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XXXI Jornadas Nacionales de Administracin Financiera Septiembre 2011

EL VAN Y EL PUNTO MUERTO FINANCIERO DE UN PROYECTO DE INVERSIN CON UNA ECUACIN DE DEMANDA PQ=CONST EN FUNCIN

DE LA TASA DE DESCUENTO

Domingo A. Tarzia Universidad Austral - CONICET

SUMARIO: 1. Introduccin; 2. Proyecto de inversin con ecuacin de deman-da PQ=Const.; 3. Clculo numrico del proyecto de inversin con demanda PQ=Const; 4. Conclusiones.

Para comentarios: [email protected]

Resumen Se considera un proyecto de inversin simple que tiene los siguientes parmetros sobre los cuales se realizan las siguientes hiptesis de trabajo: 0I > : Inversin inicial que se realiza de una sola vez y se amortiza totalmente en n aos; n : Cantidad de aos de duracin del proyecto de inversin en el cual se realizan las mismas actividades y se considera que la compaa vende un solo producto; 0A > : Amortizacin anual ( /A I n= ); 0Q > : Canti-dad de unidades del producto vendidas por ao; 0vC > : Costo variable por unidad; P : Precio de venta por unidad; 0fC > : Costo fijo anual de la compaa; igt : Tasa del impues-to a las ganancias (en tanto por uno); r : Tasa de descuento o costo de oportunidad (en tanto por uno). El precio unitario P y la cantidad Q de unidades a vender estn relacionados a travs de una ecuacin de demanda hiperblica 0 0( 0)PQ C C= > . (i) Se obtiene la expre-sin explcita del Valor Actual Neto (VAN ) del proyecto de inversin en funcin de la va-riable independiente Q y de la tasa de descuento r . (ii) Bajo la hiptesis 0 fC C A> + se determina explcitamente un nico punto muerto (break even point) financiero ( )fQ r (es decir, la cantidad de unidades vendidas Q que hace que el VAN sea nulo) en funcin de los parmetros restantes del problema I , n , vC , fC , igt , 0 ,C r . (iii) En particular, se es-tudia el comportamiento analtico del punto muerto financiero respecto de la tasa de des-

XXXI Jornadas Nacionales de Administracin Financiera 341

cuento r y se demuestra que el VAN del proyecto de inversin es positivo si y solamente si Q es positivo y menor al muerto financiero ( )fQ r para una dada tasa de descuento r siempre que sta sea inferior a una tasa de descuento lmite 1r que se obtiene como la nica solucin de una ecuacin que depende de los parmetros del problema. Adems, se dan va-rios ejemplos numricos que verifican los resultados tericos obtenidos.

1. Introduccin

En el presente trabajo se considera un proyecto de inversin simple en el cual se realiza so-lamente una inversin inicial I (flujo de fondo con signo negativo) y en los n aos de duracin del mismo se tendrn, en general, flujos de fondos de signo positivo.

Es muy importante la evaluacin del proyecto de inversin para poder conocer si el mismo es o no es rentable. Existen varios criterios para la evaluacin [De Pablo et al., 1990; Lpez Dumrauf, 2003; Machain, 2002; Sapag Chain, 2001; Suarez Suarez, 1991] como son: el valor actual neto (conocido como VAN), la tasa interna de retorno (conocida como TIR), el perodo de recuperacin de la inversin (conocido como PRI) y la rentabilidad inmediata (conocido como RI). Importantes anlisis sobre los diferentes criterios de evaluacin, y en particular sobre el VAN y la TIR, pueden encontrarse en los trabajos [Beaves, 1988; Hajdasinski, 1993, 1996, 2004; Hazen, 2003; Hartman-Schafrick, 2004; Lohmann-Baksh, 1993; Lohmann, 1994; Shull, 1992; Tang-Tang, 2003; Zhang, 2005].

En este trabajo se utilizar el Valor Actual Neto o VAN como criterio de evaluacin. El VAN es aquel que permite determinar la valoracin de una inversin en funcin de la diferencia entre el valor actualizado de todos los cobros derivados de la inversin y todos los pagos actua-lizados originados por la misma a lo largo del plazo de la inversin realizada. En otras palabras, el VAN de un proyecto de inversin es igual a la sumatoria de los valores actuales (al momento cero) de todos los flujos de fondos (negativos y positivos) que genera el mismo proyecto. La inversin ser aconsejable si su VAN es positivo. La sumatoria de los valores actuales de los flujos puede presentar, en cuanto a su signo, tres situaciones, las que se interpretan a continua-cin [Baker-Fox, 2003; Bocco-Vence, 2000; Brealey-Myers, 1993; Reichelstein, 2000; Sapag Chain, 2001; Vanhoucke et al., 2001]:

(i) Un VAN positivo indica que: se recupera la inversin a valores nominales, se obtiene el retorno requerido sobre la inversin, se obtiene un remanente sobre el retorno requerido por el inversor.

(ii) Un VAN negativo indica que: se puede o no cubrir la inversin a valores nominales, no cubre las expectativas de retorno del inversor, no se obtiene ningn remanente.

(iii) Un VAN cero indica que cubre exactamente la devolucin del capital nominal ms el retorno requerido representado por la tasa utilizada para descontar los fondos al mo-mento 0. En trminos econmicos-empresarios no se agrega ni se destruye va-lor.

La importancia del criterio del VAN puede apreciarse en [Brick-Weaver, 1997; Chung-Lin,

1998; Grinyer-Walker, 1990; Hajdasinski, 1995, 1997; Kim-Chung, 1990; Lan et al., 2003; Mo-on-Yun, 1993; Pasin-Leblanc, 1996; Pierru-Feuillet, 2002; Prakash et al., 1988; Roumi-Schnabel, 1990; Stanford, 1989].


En este trabajo se utilizarn proyectos de inversin convencionales que son aquellas inver-siones que contienen uno o ms flujos netos negativos (en particular, un solo flujo neto negati-vo) seguidos por uno o ms flujos netos positivos [Bierman-Smidt, 1993; Hartman-Schafrick, 2004; Zhang, 2005].

En el presente trabajo se estudia un proyecto de inversin con la existencia de dos variables independientes: la cantidad de unidades Q a vender en cada ao (que se encuentra relacionada con el precio P a travs de una ecuacin de demanda hiperblica dada por la ecuacin (1)) y la tasa de descuento r que pueden hacer, segn los valores que adopten, que el proyecto de inver-sin sea viable o no. Por ende, el VAN ser una funcin de las variables Q y r (tambin, sin prdida de generalidad, podra ser una funcin de las variables P y r). Es de mucha importancia encontrar el valor de la variable independiente Q que haga que el correspondiente VAN sea nulo para una dada tasa de descuento r . Se define como Punto Muerto Financiero (break even point) el valor de la variable independiente Q para el cual el VAN es nulo para una dada tasa de descuento r [Brealey-Myers, 1993; Kim-Kim, 1996].

Se generalizar el estudio realizado en [Tarzia, 2007, 2010] considerando que la empresa funciona con una ecuacin de demanda lineal dada por la recta de ecuacin [SaNo]:

(1) ( )0 0 0PQ C C= > que relaciona la cantidad de unidades a vender Q con el precio unitario P , donde 0C es una constante positiva sobre la cual se determinarn condiciones a los efectos de que el problema tenga solucin, es decir que el proyecto de inversin sea viable. Planteo del problema, hiptesis y resultados obtenidos. En el proyecto de inversin a estudiar se tienen los siguientes parmetros:

I : Inversin inicial. Se considera un proyecto de inversin simple que tiene una inversin inicial que se realiza en el ao cero (antes del comienzo del ao 1 corres-pondiente al primer ao del desarrollo del proyecto de inversin). Dimensin: [ ]I = $;

n : cantidad de aos de duracin del proyecto de inversin (2 )n . Dimensin:[ ]n = 1;

A : Amortizacin anual. Es la parte anual de la inversin que se deduce como gasto para el pago del impuesto a las ganancias. Dimensin: [ ]A = $;

Q : Cantidad de unidades del producto vendidas por ao. Dimensin: [ ]Q = # unidades ;

P : Precio de venta unitario al que la Compaa vende cada producto. Dimensin: [ ]P = $ unidad ;

0C : Constante de la ecuacin de demanda (1). Dimensin: [ ]0 $C = ; vC : Costo variable por unidad para producir el producto. Dimensin: [ ]vC =

$ unidad ; fC : Costo fijo anual de la Compaa. Dimensin: fC = $; igt : Tasa del impuesto a las ganancias (en tanto por uno). Dimensin: igt = 1; r : Tasa de descuento o costo de oportunidad (en tanto por uno). Dimensin:

[ ]r =1; t : Referente al ao t ( 0,1,...,t n= ). Dimensin: [ ]t = 1.


En [Fernandez Blanco, 1991] se realiza un estudio del VAN de un proyecto de inversin en

funcin de la tasa de descuento r ; se demuestra que el VAN de un proyecto de inversin en funcin de la tasa de descuento r es una funcin estrictamente decreciente y convexa. Dicho estudio no es completo y fue ampliado adecuadamente en [Tarzia, 2007] realizando un anlisis del punto muerto financiero, respecto de la variable Q , en funcin de la tasa de descuento r , adems de un anlisis de sensibilidad. Adems, en [Tarzia, 2009] se generaliz dicho anlisis cuando se considera un crecimiento anual en la cantidad de unidades a vender por ao. En el presente trabajo, se completar el estudio anterior considerando que la Compaa sigue una ecuacin de demanda dada por la ecuacin (1).

En el proyecto de inversin simple se considerarn las siguientes hiptesis de trabajo: Toda la inversin I se realiza de una sola vez y en el ao 0; La inversin inicial se amortiza totalmente en n aos, con lo cual la amortiza-

cin anual est dada por:

nIA =

En los n perodos de tiempo de duracin del proyecto de inversin se realizan las mismas actividades;

Se considera que la compaa vende un solo producto (podra producirse o com-prarse para luego revenderse).

El objetivo del presente trabajo es el de obtener la expresin explcita del VAN del proyecto

de inversin en funcin de la variable independiente Q para una dada tasa de descuento r . Tambin se determinarn explcitamente el punto muerto financiero fQ en funcin de los par-metros restantes del problema ( I , n , fC , vC , 0C , igt , r ) y se estudiar analticamente su compor-tamiento respecto de la tasa de descuento r . Por ltimo, se demostrar que el VAN ser positivo (el proyecto de inversin es viable) si y solamente si 10 ( ), 0fQ Q r r r< < < < donde 1r es una tasa de descuento lmite superior que se determinar como la nica solucin de una ecuacin que depende de los parmetros restantes del problema bajo una cierta hiptesis sobre la constan-te 0C , dada por la desigualdad (7). Adems, se dan varios ejemplos numricos en los cuales se verifican los resultados tericos obtenidos y una aplicacin del software @RISK de Palisade cuando se considera 0C como una variable de entrada aleatoria. 2. Proyecto de inversin con ecuacin de demanda PQ=Const.

Como en cada ao ( 1,2,...,t n= ) se realizan las mismas operaciones se supone que los parmetros 0, , , , , ,f v igQ P C C C r t son constantes durante los n aos de duracin del proyecto de inversin. Para cada ao t ( 1, 2,...,t n= ) se tiene:

Ingresos (precio por cantidad): 0PQ C= Costos variables: vC Q

Costos fijos: fC

Amortizacin: IAn

= Beneficios antes de impuestos ( )BAT : tBAT ( )v fP C Q C A=


Impuesto a las Ganancias ( )IG : tIG = ( )ig v ft P C Q C A Beneficio Neto ( )BN BAT IG= : tBN = ( )(1 )ig v ft P C Q C A Flujo de Tesorera Neto ( )F BN A= + : tF = ( )(1 )ig v ft P C Q C A A +

= ( )0(1 ) (1 )ig v ig f igt C Q t C C t A + + Factor de descuento para el ao t : tr)1(

1+ .

Teniendo en cuenta que la inversin I se realiza en el perodo 0 se tiene que el correspon-

diente VAN del proyecto de inversin viene dado por I ms los valores actuales de todos los flujos de fondos tF obtenidos en cada ao t variando t desde 1 a n , es decir [Tarzia, 2000; Villalobos, 2001]:

(2) ( ),VAN Q r = 1 (1 )

nt

tt

FIr=

+ + ( ) ( )h r m r Q= , expresin que resulta ser una funcin afn de la variable Q donde se han definido las funciones reales ( ), ( )m m r h h r= = y ( )f f r= de la siguiente manera:

(3) 1 1( ) 1 , 0(1 )n

f r rr r = > + ,

(4) ( ) ( )( ) ( )0( ) 1 , ( ) 1 ( ), 0ig ig f ig vh h r I f r t A t C C m r t C f r r = = + + = > . A los efectos de estudiar el VAN, en primer lugar se obtienen las siguientes propiedades

auxiliares. Lema 1 (i) La funcin real = ( )h h r tiene las siguientes propiedades: (5) + = + = +0 fC C A entonces ( ) ( )+ > < >0 0, 0, 0h h r r , y por lo tanto h es una funcin estrictamente decrecien-te. (iii) Si 0C verifica la desigualdad (7) entonces h tiene un nico cero >1 0r que viene dado por la nica solucin de la ecuacin:

(8) = > +0( ) , 0

(1 )( )ig f igIf r r

t C C t A.


Adems, la funcin real =1 1 0( )r r C , que a cada parmetro 0C le asigna la nica solucin de la ecuacin (8), es una funcin estrictamente creciente de la variable 0C con las propiedades siguientes: (9) + = + = +1 1( ) 0, ( )fr C A r . Demostracin (i) Los resultados (5) y (6) se deducen de las siguientes propiedades de la funcin real f , obte-nidas en [Tarzia, 2007]:

(10) ( )0f + = 0n > , ( )f + = 0, (11) ( )df r

dr = ( )f r = ( ) 12

( ) 01 nG r

r r +

(12) ( )0f + = ( )12n n + , ( )f + = 0, (13) ( )f r = ( ) 23

( ) 01 nH r

r r +>+ , 0r >

(14) ( )0f + = ( )( )1 23n n n+ + , ( )f + = 0 donde las funciones reales ( )G G r= y ( )H H r= estn definidas por las expresiones: (15) ( ) ( ) ( )11 1 1nG r r n r+= + + , 0r > (16) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 1 2 2 2 1 2nH r r n r n n r+= + + + + , 0r > y tienen las siguientes propiedades:

(17) ( )0 0G + = , ( )G + = + , ( ) 0G r > , 0r > (18) ( )0 0H + = , ( )H + = + , ( ) 0H r > , 0r > . (ii) Si 0C verifica la desigualdad (7) entonces

( )+ = >00 (1 )( ) 0,ig fh n t C C A y por lo tanto ( ) < >0, 0h r r con lo cual h es una funcin estrictamente decreciente. (iii) Si 0C verifica la desigualdad (7) entonces, teniendo en cuenta (5), (6) y (11), se deduce que existe una tasa de descuento >1 0r que es el nico cero de h que est caracterizado por la ecua-cin (8) pues

(19) = = +0( ) 0 ( )

(1 )( )ig f igIh r f r

t C C t A.


Adems, si se define la funcin real =1 1 0( )r r C , que a cada parmetro > +0( )fC C A le asig-na la nica solucin de la ecuacin (8), entonces resulta ser una funcin estrictamente creciente de la variable 0C con las propiedades (9) debido a las propiedades (10) y (11) de la funcin f . Teorema 2 (i) Si < +00 fC C A entonces < >( , ) 0, , 0VAN Q r Q r y por ende el proyecto de inversin no es viable. (ii) Si 0C verifica la desigualdad (7) entonces existe un nico punto muerto financiero, que anu-la el VAN , definido por la expresin siguiente:

(20) = = + < < < < < 1( , ) 0 0 ( ), 0fVAN Q r Q Q r r r . Demostracin (i) Si < +00 fC C A entonces < >( ) 0, 0h r r con lo cual < >( , ) 0, , 0VAN Q r Q r y por ende el proyecto de inversin no es viable. (ii) Si 0C verifica la desigualdad (7) entonces

(22) = = ( )( , ) 0( )h rVAN Q r Qm r

.

Por lo tanto, existe existe un nico punto muerto financiero, que anula el VAN , dado por la expresin (20) que se encuentra bien definido cuando >( ) 0h r , es decir para < < 10 r r , donde

>1 0r es la nica solucin de la ecuacin (8). Adems, se tiene la siguiente expresin del ( , )VAN Q r dado por:

(23) ( , ) ( )[ ( ) ], 0, 0fVAN Q r m r Q r Q Q r= > > . (iii) El proyecto de inversin ser viable cuando >( , ) 0VAN Q r , es decir cuando la cantidad de unidades a vender Q satisfaga las desigualdades:

< < < < 10 ( ), 0fQ Q r r r .

Teorema 3 El comportamiento del punto muerto financiero = ( )f fQ Q r , definido en el interva-lo 1(0, )r , en funcin de la tasa de descuento r , est dado por las siguientes propiedades:

(24) 0 1(0 ) 0, ( ) 0ff fv

C C AQ Q r

C+ = > = ,


(25) 12'( )( ) 0, (0, )

(1 ) ( )f

v ig

dQ I f rr r rdr C t f r

= < ,

(26) 1(0 ) 1 02(1 )

f

ig v

dQ Idr n t C

+ = +


Figura 1. Grfica de ( ) vs. rfQ r hasta la tasa de descuento lmite 1r

Punto Muerto Financiero Q(fr) vs Rentabilidad r (Co=100.000)

0,00

2000,00

4000,00

6000,00

8000,00

10000,00

12000,00

14000,00

16000,00

18000,00

20000,00

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Rentabilidad r

Punt

o M

uert

o Fi

nanc

iero

Q(r

)

Figura 2. Grfica de 1 0r vs. C

Tasa de Descuento Lmite r1 vs. Parmetro Co

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000

Parmetro Co

Tasa

de

Des

cuen

to L

mite

r1

Costo variable de produccin por unidad: [ ]3,00 $ / unidadvC = ; Costo fijo anual: [ ]30000 $fC = ; Tasa del impuesto a las ganancias: ( )0,35 35%igt = anual; Tasa de descuento: 0,10 (10%) anualr = ; Parmetro de la Ecuacin de Demanda: [ ]0 100.000 $C = ; Cantidad de unidades a vender: [ ]12.000 unidad ( 8,33[$] / unidad)Q P= = .


Teniendo en cuenta los resultados tericos obtenidos en la seccin anterior se obtienen los siguientes resultados deterministas:

(29) ( ), 18.053,91[$]; ( ) 13.506,76 [unidad]fVAN Q r Q r= = . En general, este proyecto de inversin puede ser considerado probabilstico si al menos uno

de los parmetros del sistema es estocstico. Uno de los parmetros sensibles que ms pueden influir en el VAN es el parmetro 0C . Como ejemplo, se utiliza el software @RISK de Palisade asumiendo para la variable aleatoria de entrada 0C una distribucin de probabilidad de tipo Triangular con valores mnimo, medio y mximo dados respectivamente como en las tres situa-ciones siguientes:

(30) 0

0

0

( ) RISKTriang(95.000; 100.000; 105.000),( ) RISKTriang(90.000; 100.000; 110.000),( ) RISKTriang(85.000; 100.000; 115.000).

a Cb Cc C

===

Entonces se obtienen los siguientes resultados que estn resumidos en las Figuras 3a, 3b y 3c. De estas grficas se deduce que:

(i) el valor de la media de la variable aleatoria VAN en los tres escenarios es prctica-mente el mismo valor dado por 18.054;

(ii) la probabilidad de que la variable aleatoria VAN sea menor o mayor a su media es de 0,50 en los tres escenarios;

(iii) a medida que la desviacin estndar en 0C es mayor entonces se aprecia que la vola-tilidad del VAN es mayor llegando a tener valores negativos con probabilidad de 0,005; 0,15 y 0,244 respectivamente a pesar que la media 18.054 permanece constan-te en los tres escenarios.

Figura 3a. Histograma del VAN para el Ejemplo 2 con escenario (a) para 0C

0,5% 49,5% 50,0%

0 18.054

-5.0

00 0

5.00

0

10.0

00

15.0

00

20.0

00

25.0

00

30.0

00

35.0

00

40.0

00

0,00,5

1,0

1,52,0

2,53,0

3,5

4,0

4,55,0

Valo

res

en x

10^

-5

VAN

VAN

Mnimo -1.680,82Mximo 37.867,24Media 18.053,91Desv Est 8.153,08Valores 10000


Figura 3b. Histograma del VAN para el Ejemplo 2 con escenario (b) para 0C

Figura 3c. Histograma del VAN para el Ejemplo 2 con escenario (c) para 0C

Ejemplo 3.

Se consideran los siguientes datos del proyecto de inversin simple:

Inversin inicial: 150000 [$];I = Cantidad de aos de duracin del proyecto: 10n = ; Amortizacin anual: [ ]15000 $A = ; Costo variable de produccin por unidad: [ ]3,00 $ / unidadvC = ; Costo fijo anual: [ ]30000 $fC = ; Tasa del impuesto a las ganancias: ( )0,35 35%igt = anual;

24,4% 25,6% 50,0%

0 18.054

-60.

000

-40.

000

-20.

000 0

20.0

00

40.0

00

60.0

00

80.0

00

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

Valo

res

en x

10^

-5

VAN

VAN


15,0% 35,0% 50,0%

0 18.054-3

0.00

0

-20.

000

-10.

000 0

10.0

00

20.0

00

30.0

00

40.0

00

50.0

00

60.0

00

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Valo

res

en x

10^

-5VAN

VAN



Tasa de descuento: 0,10 (10%) anualr = ; Parmetro de la Ecuacin de Demanda: [ ]0 100.000 $C = ; Cantidad de unidades a vender: [ ]10.000 unidad ( 10 [$ / unidad])Q P= = .

Teniendo en cuenta los resultados tericos obtenidos en la seccin anterior se obtienen los siguientes resultados deterministas:

(31) ( ), 42.017,72 [$]; ( ) 13.506,76 [unidad]fVAN Q r Q r= = . Como en el Ejemplo 2 anterior, se puede utilizar el software @RISK de Palisade asumiendo

para la variable aleatoria de entrada 0C una distribucin de probabilidad de tipo Triangular con valores mnimo, medio y mximo dados respectivamente como en las tres situaciones (30). En-tonces, se obtienen los siguientes resultados que estn resumidos en las Figuras 4a,4b y 4c. De estas grficas se deduce que:

(iv) el valor de la media de la variable aleatoria VAN en los tres escenarios es prctica-mente el mismo valor dado por 42.018;

(v) la probabilidad de que la variable aleatoria VAN sea menor o mayor a su media es de 0,50 en los tres escenarios;

(vi) a medida que la desviacin estndar en 0C es mayor entonces se aprecia que la vola-tilidad del VAN es mayor llegando a tener valores negativos con probabilidad de 0; 0 y 0,045 respectivamente a pesar que la media 42.018 permanece constante en los tres escenarios. La diferencia de estos resultados con respecto al del Ejemplo 2 se justifi-ca por el valor menor de Q utilizado (o equivalentemente a un mayor valor de P).

Figura 4a. Histograma del VAN para el Ejemplo 3 con escenario (a) para 0C

50,0% 50,0%

0 42.018

20.0

00

25.0

00

30.0

00

35.0

00

40.0

00

45.0

00

50.0

00

55.0

00

60.0

00

65.0

00

0,00,5

1,0

1,52,0

2,53,0

3,5

4,0

4,55,0

Valo

res

en x

10^

-5

VAN

VAN

Mnimo 22.294,54Mximo 61.857,69Media 42.017,74Desv Est 8.153,07Valores 10000


Figura 4b. Histograma del VAN para el Ejemplo 3 con escenario (b) para 0C

Figura 4c. Histograma del VAN para el Ejemplo 3 con escenario (c) para 0C

4. Conclusiones

Si en un proyecto de inversin la cantidad de unidades Q a vender en cada ao se encuentra relacionada con el precio P a travs de una ecuacin de demanda dada por la hiprbola de ecuacin ( )0 0con C fPQ C C A= > + , entonces se obtienen los resultados tericos siguientes:

50,0% 50,0%

0 42.0180

10.0

00

20.0

00

30.0

00

40.0

00

50.0

00

60.0

00

70.0

00

80.0

00

90.0

00

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Valo

res

en x

10^

-5VAN

VAN

Mnimo 2.536,96Mximo 81.438,90Media 42.017,70Desv Est 16.306,02Valores 10000

4,5% 45,5% 50,0%

0 42.018

-20.

000 0

20.0

00

40.0

00

60.0

00

80.0

00

100.

000

120.

000

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

Valo

res

en x

10^

-5

VAN

VAN



la expresin explcita del VAN del proyecto de inversin en funcin de la variable in-dependiente Q para una dada tasa de descuento r ;

la expresin explcita del punto muerto financiero fQ en funcin de los parmetros restantes del problema 0( , , , , , , )f v igI n C C C t r , y se estudi analticamente su compor-tamiento respecto de la tasa de descuento r ;

el VAN del proyecto de inversin es positivo si y solamente si Q se encuentra entre 0 y dicho punto muerto financiero para una dada tasa de descuento r siempre que sta sea inferior a una tasa de descuento lmite 1r que se obtiene como la nica solucin de la ecuacin (8) que depende de los parmetros del problema, es decir:

1( , ) 0 0 ( ), 0fVAN Q r Q Q r r r> < < < < . Adems, se dan varios ejemplos numricos que verifican los resultados tericos obtenidos.

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