CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOSSolución Tarea 2 (Período 01 - 2015)

Facultad de Ciencias Naturales e Ingeniería 20 de abril de 2015Departamento de Ingeniería Profesor: Byron D. Yépez V., Ph.D

1. Problema 1

En la Figura 1 se ilustra un proceso donde simultáneamente cambian el nivel y la temperatura del líquido que seencuentra en el tanque. El líquido se calienta a través de una chaqueta de calentamiento, en la cual se alimentavapor saturado a una presión Pv .

T1q1

Trampa de condensado

Tvqv

Tvqv

Condensado

T2q2

Figura 1. Diagrama de flujo para el tanque del Problema 1

La siguiente información se encuentra disponible para este proceso:

• El volumen de líquido al interior del tanque cambia y por lo tanto, el área disponible para la transferencia decalor.

• Las pérdidas de calor hacia el ambiente son despreciables.

• Las capacitancias térmicas de las paredes del tanque y de la chaqueta se consideran despreciables.

• La presión del vapor se fija mediante una válvula de control y no necesariamente es constante.

• El coeficiente global de transferencia de calor (U ) es constante.

• El flujo de líquido a la entrada (q1) y el flujo de salida (q2) se fijan de manera independiente mediante válvu-las y pueden variar con el tiempo.

Derive un modelo dinámico para este proceso. El modelo se debe simplificar tanto como sea posible. Establezca ysustente cualquier otra asunción que considere.

1. Encuentre las funciones de transferencia que relacione las variables de salida: temperatura del líquido (T2)y nivel en el tanque (h) con las variables de entrada: Caudal de alimentación (q1), caudal de salida (q2) ytemperatura del vapor (Tv ). Al final usted debe obtener en total seis (6) funciones de transferencia.

2. De manera resumida, interprete la forma de cada función de transferencia utilizando en lo posible argumen-tos físicos.

3. Considere los siguientes valores para las variables:

1

• Área transversal del tanque (A) = 2 m2

• Para la corriente de entrada: T1 = 35 ◦C

• Para la corriente de vapor: qv = 0.35 m3/min

• En el estado estacionario: hs = 1.8 m, T s2 = 60 ◦C, q s

1 = 0.02 m3/min , T sv = 125 ◦C

Encuentre la respuesta de cada variable de salida ante un cambio de +2% en cada variable de entrada (Evalúeuna variable de entrada, dejando las otras dos constantes). Presente sus resultados de manera gráfica. ¿A queconclusiones puede llegar?

1.1. Planteamiento de modelo matemático

Para plantear el modelo, se inicia realizando el balance de materia al interior del tanque:

d

d t

(ρ2 Ah

)= ρ1q1(t )−ρ2q2(t ) (1.1.1)

Como el área transversal es constante y si se considera que la densidad no cambia durante el proceso (ρ1 = ρ2 = ρ),entonces:

dh

d t= 1

A

[q1(t )− q2(t )

](1.1.2)

Ahora se tiene en cuenta el balance de energía para el líquido en el tanque:

d

d t

[ρ2 AhCp,2(T2 −Tr )

]= ρ1q1(t )Cp1(T1 −Tr )−ρ2q2(t )Cp2 [T2(t )−Tr ]+U AT [Tv (t )−T2(t )] (1.1.3)

Considerando como temperatura de referencia (Tr ) la temperatura a la entrada, entonces el modelo se simplificaa:

ρ A Cp,2d

d t[h(T2 −T1)] =−ρq2(t )Cp2 [T2(t )−T1]+U AT [Tv (t )−T2(t )] (1.1.4)

Resolviendo las derivadas del lado izquierdo y considerando que las propiedades permanecen constantes (ρ,Cp,1 =Cp,2 =Cp ), se tiene que:

h(t )dT2

d t+ [T2(t )−T1]

dh

d t=− q2(t )

A[T2(t )−T1]+ U AT

AρCp[Tv (t )−T2(t )] (1.1.5)

Si se reemplaza el resultado obtenido en la Ecuación 1.1.2, se llega a:

h(t )dT2

d t+ [T2(t )−T1]

[q1(t )− q2(t )

]A

=− q2(t )

A[T2(t )−T1]+ U AT

AρCp[Tv (t )−T2(t )] (1.1.6)

Si se cancelan los términos repetidos en la ecuación, el modelo para la temperatura es:

dT2

d t=− q1(t )

Ah(t )[T2(t )−T1]+ U AT

AρCp h(t )[Tv (t )−T2(t )] (1.1.7)

Finalmente, el área de transferencia de calor se puede escribir en términos de la altura así:

AT =πD h(t )

donde D es el diámetro del tanque, el cual se relaciona con el área transversal del tanque mediante la siguienteexpresión:

A =πD2

Reemplazando estos resultados, se obtiene el modelo para la temperatura de salida:

dT2

d t=− q1(t )

Ah(t )[T2(t )−T1]+ U

ρCp D[Tv (t )−T2(t )] (1.1.8)

2

1.2. Linealización y cálculo de funciones de transferencia

Se reconoce entonces que el sistema tiene 2 variables de salida: h(t ) y T2(t ) y tres variables de entrada: q1(t ), q2(t )y Tv (t ). Entonces se deben linealizar las siguientes funciones alrededor del valor de estado estacionario:

f1 =dh

d t= 1

A

[q1(t )− q2(t )

](1.2.1)

f2 =dT2

d t=− q1(t )

Ah(t )[T2(t )−T1]+ U

ρCp D[Tv (t )−T2(t )] (1.2.2)

Para ello se definen las siguientes variables de salida en términos de desviación:

x1(t ) = h(t )−hss x2(t ) = T2(t )−T ss2 (1.2.3)

y las siguientes variables de entrada en términos de desviación:

w1(t ) = q1(t )− q ss1 w2(t ) = q2(t )− q ss

2 w3(t ) = Tv (t )−T ssv (1.2.4)

Expandiendo las funciones en series de Taylor, se tiene que:

f1 =d x1

d t=

[∂ f1

∂h

]s

x1(t )+[∂ f1

∂T2

]s

x2(t )+[∂ f1

∂q1

]s

w1(t )+[∂ f1

∂q2

]s

w2(t )+[∂ f1

∂Tv

]s

w3(t ) (1.2.5)

f2 =d x2

d t=

[∂ f2

∂h

]s

x1(t )+[∂ f2

∂T2

]s

x2(t )+[∂ f2

∂q1

]s

w1(t )+[∂ f2

∂q2

]s

w2(t )+[∂ f2

∂Tv

]s

w3(t ) (1.2.6)

Lo cual se puede escribir como:

d x1

d t= a11x1(t )+a12x2(t )+b11w1(t )+b12w2(t )+b13w3(t ) (1.2.7)

d x2

d t= a21x1(t )+a22x2(t )+b21w1(t )+b22w2(t )+b23w3(t ) (1.2.8)

o de manera matricial:d~x

d t= A~x +B ~w (1.2.9)

Se calculan los valores para los elementos de las matriz A:

a11 =[∂ f1

∂h

]s

= 0 (1.2.10)

a12 =[∂ f1

∂T2

]s

= 0 (1.2.11)

a21 =[∂ f2

∂h

]s

= q s1

A(hs )2 (T s2 −T1) (1.2.12)

a22 =[∂ f2

∂T2

]s

=− q s1

Ahs −U

ρCp D(1.2.13)

3

y los valores para los elementos de la matriz B :

b11 =[∂ f1

∂q1

]s

= 1

A(1.2.14)

b12 =[∂ f1

∂q2

]s

=− 1

A(1.2.15)

b13 =[∂ f1

∂Tv

]s

= 0 (1.2.16)

b21 =[∂ f2

∂q1

]s

=−T s2 −T1

Ahs (1.2.17)

b22 =[∂ f2

∂q2

]s

= 0 (1.2.18)

b23 =[∂ f2

∂Tv

]s

= U

ρCp D(1.2.19)

Así, considerando únicamente aquellos valores diferentes a cero, las funciones linealizadas serían:

d x1

d t= b11w1(t )+b12w2(t ) (1.2.20)

d x2

d t= a21x1(t )+a22x2(t )+b21w1(t )+b23w3(t ) (1.2.21)

Ahora para calcular las funciones de transferencia, se procede a aplicar la transformada de Laplace al modelorepresentado por las Ecuaciones 1.2.20 y 1.2.21:

sX1(s)−x1(0) = b11W1(s)+b12W2(s) (1.2.22)

sX2(s)−x2(0) = a21 X1(s)+a22 X2(s)+b21W1(s)+b23W3(s) (1.2.23)

y por lo tanto:

X1(s) = b11

sW1(s)+ b12

sW2(s) (1.2.24)

X2(s) = a21

s −a22X1(s)+ b21

s −a22W1(s)+ b23

s −a22W3(s) (1.2.25)

Reemplazando la primera ecuación en la segunda:

X2(s) = a21

s −a22

[b11

sW1(s)+ b12

sW2(s)

]+ b21

s −a22W1(s)+ b23

s −a22W3(s) (1.2.26)

=[

a21

s −a22

b11

s+ b21

s −a22

]W1(s)+ a21

s −a22

b12

sW2(s)+ b23

s −a22W3(s) (1.2.27)

= a21b11 + sb21

s(s −a22)W1(s)+ a21b12

s(s −a22)W2(s)+ b23

s −a22W3(s) (1.2.28)

Dividiendo el numerador y el denominador de cada función de transferencia entre −a22, se obtiene:

X2(s) =− a21b11

a22− b21

a22s

s(− 1a22

s +1)W1(s)+

− a21b12a22

s(− 1a22

s +1)W2(s)+

− b23a22

− 1a22

s +1W3(s) (1.2.29)

4

Si se definen las siguientes constantes:

τ=− 1

a22(1.2.30)

K1 = b11 = 1

A(1.2.31)

K2 = b12 =− 1

A(1.2.32)

K3 =−a21b11

a22= τ

(−T s

2 −T1

A(hs )2

)q s

1

A=− τq s

1

(Ahs )2 (T s2 −T1) (1.2.33)

K4 =−b21

a22=−T s

2 −T1

Ahs τ (1.2.34)

K5 =−a21b12

a22=−τ

(−T s

2 −T1

A(hs )2

)q s

1

A= τq s

1

(Ahs )2 (T s2 −T1) (1.2.35)

K6 =−b23

a22= Uτ

ρCp D(1.2.36)

Las funciones de transferencia del problema serían:

X1(s) = K1

sW1(s)+ K2

sW2(s) (1.2.37)

X2(s) = K3 +K4s

s(τs +1)W1(s)+ K5

s(τs +1)W2(s)+ K6

τs +1W3(s) (1.2.38)

1.3. Evaluación numérica de parámetros

En primer lugar se evalúa el modelo dado por las Ecuaciones 1.1.2 y 1.1.8 en el estado estacionario:

dhs

d t= 1

A

[q s

1 − q s2

]= 0 (1.3.1)

dT s2

d t=− q s

1

Ahs

[T s

2 −T1]+ U

ρCp D

[T s

v −T s2

]= 0 (1.3.2)

De la primera ecuación se deduce que:q s

1 = q s2 (1.3.3)

Mientras que de la segunda:U

ρCp D= q s

1

Ahs

T s2 −T1

T sv −T s

2

(1.3.4)

por lo tanto.

a22 =− q s1

Ahs −U

ρCp D=− q s

1

Ahs −q s

1

Ahs

T s2 −T1

T sv −T s

2

=− q s1

Ahs

[1+ T s

2 −T1

T sv −T s

2

]=− q s

1

Ahs

T sv −T1

T sv −T s

2

(1.3.5)

y por ende:

τ=− 1

a22= Ahs

q s1

T sv −T s

2

T sv −T1

(1.3.6)

K6 = Uτ

ρCp D= q s

1

Ahs

T s2 −T1

T sv −T s

2

Ahs

q s1

T sv −T s

2

T sv −T1

= T s2 −T1

T sv −T1

(1.3.7)

5

Reemplazando valores:

τ= (2)(1.8)

0.02

125−35

125−60= 130min (1.3.8)

K1 = 1

A= 0.5

1

m2 (1.3.9)

K2 =− 1

A=−0.5

1

m2 (1.3.10)

K3 =− τq s1

(Ahs )2 (T s2 −T1) =−5.0154

min◦C

m6 (1.3.11)

K4 =− τ

Ahs (T s2 −T1) =−902.777

min◦C

m3 (1.3.12)

K5 =τq s

1

(Ahs )2 (T s2 −T1) = 5.0154

min◦C

m6 (1.3.13)

K6 =T s

2 −T1

T sv −T1

= 0.2778 (1.3.14)

1.4. Evaluación de cambios en las variables de entrada

A continuación se evaluará el efecto del cambio de +2% en cada variable de entrada sobre las variables de salida.En general, sin importar la variable, dicho cambio se puede presentar a través de la siguiente función:

y(t ) ={

y s t ≤ 0

1.02 y s t > 0(1.4.1)

En términos de la variable de desviación w(t ), la función anterior se escribe como:

w(t ) = y(t )− y s ={

0 t ≤ 0

0.02 y s t > 0= 0.02 y sU (t ) (1.4.2)

y por lo tanto:

W(s) = 0.02 y s

s(1.4.3)

1.4.1. Cambio en el caudal de entrada (q1)

Para el caso de esta variable, la función de transferencia W1(s) se escribe como:

W1(s) = 0.02 q s1

s(1.4.4)

Si todas las demás variables de entrada no sufren cambio, entonces las Ecuaciones 1.2.37 y 1.2.38 se reducen a:

X1(s) = K1

sW1(s) (1.4.5)

X2(s) = K3 +K4s

s(τs +1)W1(s) (1.4.6)

Entonces:

X1(s) = K1

s

0.02 q s1

s= 0.02 q s

1 K1

s2 (1.4.7)

X2(s) = K3 +K4s

s(τs +1)

0.02 q s1

s= 0.02 q s

1

[K3

s2(τs +1)+ K4

s(τs +1)

](1.4.8)

6

Calculando las transformadas inversa de Laplace para cada una de las funciones, se tiene que:

x1(t ) = 0.02 q s1 K1t (1.4.9)

Puesto que K1 > 0, en términos físicos esta función indicaría que el tanque seguiría llenándose indefinidamente ycomo es obvio, el máximo valor que alcanzaría sería la altura del tanque. La velocidad al cual se llenaría el tanquesería igual a :

d x1

d t= 0.02 q s

1 K1 (1.4.10)

Para el cambio de la temperatura, la función sería la siguiente:

x2(t ) = 0.02 q s1

[K3t −K3τ+K3τexp

(− t

τ

)+K4 −K4 exp

(− t

τ

)](1.4.11)

= 0.02 q s1

[−(K3τ−K4)+K3t + (K3τ−K4)exp

(− t

τ

)](1.4.12)

= 0.02 q s1K3t − (K3τ−K4)

[1−exp

(− t

τ

)](1.4.13)

0 100 200 300 400 500

t (min)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

x1(t)(m

)

0 100 200 300 400 500

t (min)

250

200

150

100

50

0x2(t)(K)

Figura 2. Comportamiento de las variables de salida ante un cambio en el caudal de entrada

1.4.2. Cambio en el caudal de salida (q2)

Si todas las demás variables de entrada no sufren cambio, entonces las Ecuaciones 1.2.37 y 1.2.38 se reducen a:

X1(s) = K2

sW2(s) (1.4.14)

X2(s) = K5

s(τs +1)W2(s) (1.4.15)

De igual manera que en el caso anterior, la función del cambio del caudal en términos de variables de desviaciónsería:

W2(s) = 0.02 q s1

s(1.4.16)

7

Entonces:

X1(s) = K2

s

0.02 q s1

s= 0.02 q s

1 K2

s2 (1.4.17)

X2(s) = K5

s(τs +1)

0.02 q s1

s= 0.02 q s

1 K5

s2(τs +1)(1.4.18)

(1.4.19)

Calculando la transformada inversa de Laplace:

x1(t ) = 0.02 q s1 K2t (1.4.20)

x2(t ) = 0.02 q s1 K5

[t −τ+τexp

(− t

τ

)](1.4.21)

0 100 200 300 400 500

t (min)

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

0.02

x1(t)(m

)

0 100 200 300 400 500

t (min)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

x2(t)(K)

Figura 3. Comportamiento de las variables de salida ante un cambio en el caudal de salida

1.4.3. Cambio en la temperatura del vapor (Tv )

Si todas las demás variables de entrada no sufren cambio, entonces las Ecuaciones 1.2.37 y 1.2.38 se reducen a:

X2(s) = K6

τs +1W3(s) (1.4.22)

De igual manera que en el caso anterior, la función del cambio del caudal en términos de variables de desviaciónsería:

W2(s) = 0.02T sv

s(1.4.23)

Entonces:

X2(s) = K6

τs +1

0.02T sv

s= 0.02T s

v K6

s(τs +1)(1.4.24)

Calculando la transformada inversa de Laplace:

x3(t ) = 0.02T sv K6

[1−exp

(− t

τ

)](1.4.25)

8

0 100 200 300 400 500

t (min)

0.06

0.04

0.02

0.00

0.02

0.04

0.06x1(t)(m

)

0 100 200 300 400 500

t (min)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x2(t)(K)

Figura 4. Comportamiento de las variables de salida ante un cambio en la temperatura del vapor

2. Problema 2

En la Figura 5 se observa el diagrama de Instrumentación y tubería (P&ID) de un tanque de mezclado. La concen-tración del componente A en la corriente de alimentación (Corriente 2) puede variar con el tiempo. El controladorque se instaló pretende compensar dicha variación mediante la manipulación del flujo de una corriente de con-centración constante (Corriente 1) a través de una válvula de control. Todos los transmisores se consideran ideales,es decir no tienen dinámica.

Se dispone de la siguiente información para este proceso:

• Condiciones normales de funcionamiento:

1. El volumen de líquido es constante (5 m3)

2. El flujo de la corriente 2 es constante (q2 = 7 m3/min)

3. El flujo de entrada de la corriente 1 varía pero es pequeño comparado con el caudal de la corriente 2(q1 = 0.5 m3/min)

4. La concentraciones del componente A en las corrientes son: C1 = 800 kg/m3 y C2 = 50 kg/m3

• Información del sistema de control:

1. La tubería después de la bomba tiene una longitud de 20 m y tiene un diámetro interno de 0.5 m

2. El volumen interno de la bomba se puede despreciar.

3. El transmisor de datos de concentración (AT) emite una señal de 4 a 20 mA, cuando la concentraciónvaría de 0 a 200 kg/m3

4. Las entradas y salidas del controlador (AC) son señales de corriente (mA).

5. El transductor de I/P produce una salida entre 3 y 15 psig asociada a una entrada de corriente de 4 a 20mA.

6. Se utiliza una válvula de control cuyo caudal de salida se relaciona con la presión de la señal de controlmediante la siguiente ecuación:

q1 = 0.17+0.03(20)Pv −3

12

1. Dibuje un diagrama de bloques para el proceso en control y derive las funciones de transferencia de cadabloque.

9

2. Programe el funcionamiento de este proceso en Xcos o Simulink.

3. Muestre de manera gráfica la respuesta del sistema en control cuando la composición de la corriente 2 cam-bia un +1.5%. ¿Cuanto tiempo le toma al proceso llegar nuevamente a las condiciones normales de funcio-namiento?

4. Muestre de manera gráfica la respuesta del sistema de control cuando la concentración que se desea obteneren la salida del proceso cambia -1%. ¿Cuánto tiempo le toma al proceso llegar a las nuevas condiciones?

I/P

AC

AT

////

q1C1

q2C2

Pv

P Cm

C3,TLTubería largaC3

Figura 5. Diagrama P&ID el tanque del Problema 2

Solución:

2.1. Deducción de modelo para el proceso

Para la deducción del modelo dinámico del proceso, se considerarán como variables de entrada: el caudal de lacorriente 1 (q1(t )) y la concentración de la corriente 2 (C2(t )). De estas, la primera se considera como la variablemanipulable y la segunda como una perturbación. La variable a controlar, será la concentración a la salida deltanque (C (t )).

A partir del balance global de materia en el tanque, se tiene que:

dV

d t= q1(t )ρ1 +q2ρ2 −q3(t )ρ3 (2.1.1)

Del enunciado del problema, se sabe que el volumen permanece constante y por tanto:dV

d t= 0. Si se considera

que la densidad de las corrientes no se ve afectado por el cambio de concentración de las mismas, entonces elanterior balance se reduce a:

q3(t ) = q1(t )−q2 (2.1.2)

Ahora, se realiza el balance de componente en el tanque:

VdC3

d t= q1(t )C1 +q2C2(t )−q3(t )C3(t ) (2.1.3)

10

Reemplazando el resultado del balance global y reorganizando se tiene que:

dC3

d t= q1(t )

V[C1 −C3(t )]+ q2

V[C2(t )−C3(t )] (2.1.4)

2.1.1. Linealización

Ahora se procede a linealizar la función:

f (q1,C2,C3) = q1(t )

V[C1 −C3(t )]+ q2

V[C2(t )−C3(t )] (2.1.5)

Si se definen las siguientes variables de desviación:

w1(t ) = q1(t )−q s1 w2(t ) =C2(t )−C s

2 x(t ) =C3(t )−C s3

El modelo linealizado se escribe como:

d x

d t=

[∂ f

∂q1

]ss

w1(t )+[∂ f

∂C2

]ss

w2(t )+[∂ f

∂C3

]ss

x(t ) (2.1.6)

Se calculan las derivadas parciales y se evalúan en el estado estacionario:[∂ f

∂q1

]ss

= C1 −C s3

V= b1 (2.1.7)[

∂ f

∂C2

]ss

= q2

V= b2 (2.1.8)[

∂ f

∂C3

]ss

=−q s1 +q2

V=−q s

3

V= a (2.1.9)

De tal manera que el modelo se puede escribir como:

d x

d t= b1w1(t )+b2w2(t )+ax(t ) (2.1.10)

Si se toma la transformada de Laplace a la función anterior, se tiene que:

sX (s) = b1W1(s)+b2W2(s)+aX (s) (2.1.11)

y por lo tanto:

X (s) = b1

s −aW1(s)+ b2

s −aW2(s) (2.1.12)

X (s) = − b1a

(− 1a )s +1

W1(s)+ − b2a

(− 1a )s +1

W2(s) (2.1.13)

Si se define que:

τ=− 1

a= V

q s1 +q2

= (2.1.14)

Kp =−b1

a= C1 −C s

3

q s1 +q2

(2.1.15)

Ku =−b2

a= q2

q s1 +q2

(2.1.16)

11

Entonces el modelo linealizado del proceso se puede escribir como:

X (s) = Kp

τs +1W1(s)+ Ku

τs +1W2(s) (2.1.17)

Se procede a calcular los parámetros:

q s3 = q s

1 +q2 = 7.5m3

min(2.1.18)

C s3 =

C1q s1 +C s

2q2

q s3

= 100kg

m3 (2.1.19)

τ= V

q s1 +q2

= 0.666min (2.1.20)

Kp = C1 −C s3

q s1 +q2

= 93.333kgmin

m6 (2.1.21)

Ku = q2

q s1 +q2

= 0.933 (2.1.22)

2.2. Diagrama de Bloques del sistema de control

Considerando lo que se sabe del proceso y la información disponible respecto al controlador, al transductor, a laválvula y al medidor de concentración, el diagrama de bloques del proceso sería el siguiente:

Gsp Gc Gt Gv G1

G2

HrH

XSP

W2(s)

+Xsp (s) E (s) R(s) P (s) W1(s) +Xp (s) X (s)

Xr (s)

−

Xm (s)

+

Xu (s)

en donde cada señal se describe a continuación:

XSP : Set-point (kg/m3)Xsp (s) : Set-point interno para el controlador (mA)E (s) : Señal de error (mA)R(s) : Respuesta del controlador (mA)P(s) : Salida del transductor (psig)Xr (s) : Señal de la variable de control con retardo (kg/m3)Xm(s) : Señal del medidor (mA)W1(s) : Variable manipulable (m3/min)W2(s) : Variable de perturbación (kg/m3)Xp (s) : Contribución del proceso a la variable de control (kg/m3)Xu(s) : Contribución de la perturbación a la variable de control (kg/m3)X (s) : Variable de control (kg/m3)

12

Por su parte, las funciones de trasferencia representan los siguientes elementos del sistema de control:

1. Controlador (Gc ): El controlador se asumirá que es proporcional únicamente, de tal manera que:

R(s) =Gc (s)E (s) −→ Gc (s) = Kc (2.2.1)

2. Transductor I/P (Gt ): traduce al señal de salida del transductor (mA) a señal neumática (psig).

P(s) =Gt (s)R(s) −→ Gt (s) = Kt (2.2.2)

De la información suministrada, se puede deducir que:

Kt = ∆P

∆R= (15−3)psig

(20−4)mA= 0.75

psig

mA

3. Válvula (Gv ) : esta función de transferencia relaciona la presión neumática con el caudal en la válvula de con-trol:

W1(s) =Gv (s)P(s) (2.2.3)

Para la válvula se conoce la relación entre la presión de entrada y el caudal a la salida. Linealizando dicha rela-ción se procede a calcular la función de transferencia. Del enunciado, se sabe que:

q1(t ) = 0.17+0.03(20)Pv −3

12 = f (Pv )

Si se realiza la linealización alrededor del estado estacionario, se tiene que:

q1(t )−q s1 =

[∂ f

∂Pv

]ss

(Pv −P sv ) = 0.03(20)

P sv −312

ln20

12(Pv −P s

v ) (2.2.4)

En el estado estacionario: Pv = 3 psig y por lo tanto:

q1(t )−q s1 = 0.03

ln20

12(Pv −P s

v ) = Kv (Pv −P sv ) −→ w1(t ) = Kv p(t ) (2.2.5)

donde:

Kv = 0.03ln20

12= 7.489×10−3 m3/min

psig

Tomando la transformada de Laplace, finalmente se obtiene que:

W1(s) = Kv P(s)

4. Retardo en la medición (Hr ): En este bloque se representa el retardo en la medición de la concentración a lasalida provocado por el tiempo muerto en la tubería (θ). Así, a la salida de este bloque se tiene una señal para lavariable de control retardada:

Xr (s) = Hr (s)X (s) (2.2.6)

Dicho tiempo muerto se relaciona con el tiempo de retención del fluido en la tubería, por lo cual:

θ = Vt

q s3

= πD2t L

4q s3

= π(0.5)2(20)

4(7.5)= 0.523min (2.2.7)

por lo tanto:Hr (s) = e−θs (2.2.8)

la cual, se puede escribir mediante la aproximación de Padé:

e−θs ≈ 1− θs2

1+ θs2

= 2−θs

2+θs(2.2.9)

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5. Medidor de concentración (H) : Este bloque toma la señal retardada de la variable de control y la traduce a unaseñal digital:

Xm(s) = H(s)Xr (s) (2.2.10)

Según el enunciado, el medidor no tiene dinámica y por lo tanto se puede calcular una ganancia para el medidorasí:

Hm(s) = Km = (20−4) mA

(200−0) kg/m3 = 0.08mAm3

kg(2.2.11)

6. Transductor de señal (Gsp ) : Esta función traduce la señal del set-point en (kg/m3) a señal digital (mA) para quepueda compararse con la señal proveniente de la medición.

Xsp (s) =Gsp (s)XSP (2.2.12)

Se considera que debe tener la misma ganancia de la medición:

Gsp = Km = 0.08mAm3

kg

Con todas estas consideraciones, entonces el sistema de control se puede representar como:

Km Kc Kt KvKp

τs +1

Ku

τs +1

e−θsKm

XSP

W2(s)

+ +−

+

El cual se puede representar como:

X (s) =KmKc Kt Kv

Kp

τs +1

1+KmKc Kt KvKp

τs +1e−θs

XSP +Ku

τs +1

1+KmKc Kt KvKp

τs +1e−θs

W2(s) (2.2.13)

Si se define :

GOL = KmKc Kt KvKp

τs +1e−θs = KOL

τs +1e−θs (2.2.14)

donde KOL = KmKc Kt Kv Kp . Entonces:

X (s) =KOL

τs +11+GOL

XSP +Ku

τs +11+GOL

W2(s) (2.2.15)

X (s) = KOL

(τs +1)(1+GOL)XSP + Ku

(τs +1)(1+GOL)W2(s) (2.2.16)

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2.3. Análisis de estabilidad

Para efectuar el análisis de estabilidad del modelo, se considera el denominador de las funciones de transferenciadel modelo. Se procede entonces a trabajar un poco con el denominador:

(τs +1)(1+GOL) = (τs +1)

(1+ KOLe−θs

τs +1

)= τs +1+KOLe−θs (2.3.1)

Ahora se aplica la aproximación de Padé:

(τs +1)(1+GOL) = τs +1+KOL2−θs

2+θs= (τs +1)(2+θs)+KOL(2−θs)

2+θs(2.3.2)

Efecutando los cálculos indicados, se llega a:

(τs +1)(1+GOL) = (τθ) s2 + [2τ+θ(1−KOL)] s +2(1+KOL)

2+θs(2.3.3)

Ahora bien, el criterio de estabilidad establece que las raíces del polinomio característico de la función de transfe-rencia deben ser positivas. Dicho polinomio para este caso sería:

(τs +1)(1+GOL) = 0 (2.3.4)

el cual se simplifica a:(τθ) s2 + [2τ+θ(1−KOL)] s +2(1+KOL) = 0 (2.3.5)

Aplicando la matriz de Routh para estabilidad, se tendría que:∣∣∣∣∣∣τθ 2(1+KOL)2τ+θ(1−KOL) 02(1+KOL)

∣∣∣∣∣∣ (2.3.6)

Entonces:

−1 < KOL < 2τ

θ+1 (2.3.7)

Reemplazando el valor de KOL , se puede decir que:

−1 < KmKc Kt Kv Kp < 2τ

θ+1 (2.3.8)

− 1

KmKt Kv Kp< Kc < 2τ+θ

θKmKt Kv Kp(2.3.9)

Reemplazando valores numéricos, se obtiene que:

−23.8 < Kc < 84.5

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2.4. Programación en Xcos

Para programar el problema en Xcos, se hace un resumen de las funciones de transferencia:

Gsp (s) = Km = 0.08

Gc (s) = Kc

Gt (s) = Kt = 0.75

Gv (s) = Kv = 7.489×10−3

G1(s) = Kp

τs +1= 93.333

0.666s +1

G2(s) = Ku

τs +1= 0.933

0.666s +1

Hr (s) = e−θs = e−0.523s

H(s) = Km = 0.08

Figura 6. Representación en Xcos del problema

2.5. Respuesta del sistema ante un cambio en la Perturbación (Regulación)

Si se considera que la concentración de la corriente 2 cambia +1.5%, entonces matemáticamente esto se puederepresentar como:

w2(t ) = 0.015C s2U (t ) = 0.75U (t ) (2.5.1)

Por lo tanto:

W2(s) = 0.75

s(2.5.2)

2.6. Respuesta al cambio en el set-point (Servocontrol)

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Figura 7. Respuesta del sistema a la perturbación con Kc = 10

Figura 8. Cambio en la respuesta con la variación del valor de Kc

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