Universidad de La SerenaIngeniería Civil Mecánica

Mecánica de Fluidos IITarea 3

Willis Reyes MondacaProfesor: Nelson Moraga Benavides

La Serena - 21 de abril de 2016

Resumen

El problema comprende el estudio entre dos placas paralelas, donde la placa superior en un instante deter-minado se mueve súbitamente a una velocidad determinada, ademas se consideran presiones diferencialesdentro de este este volumen de control.

1. Evolución de la mecánica de fluidos entre dos placas planas parale-las.

El flujo de Couette, que representa el caso donde existen dos placas paralelas a la cual una de las placasse mueve en una dirección con una velocidad determinada, este caso transiente es un caso particular delos flujos unidireccionales, y un caso particular de la ecuación de difusión, que aparece en muchos modelosde física (por ejemplo, la difusión térmica). En este caso particular, es la difusión del momentum lo quese lleva a cabo a través del espacio y el tiempo.

1.1. Situación física

Figura 1: Situacion Fisica.

La figura 1 representa la situación física del problema, dos placas paralelas, separadas a una distanciaH, que en un instante inicial se encuentran estáticas en un determinado momento la placa superiorcomienza a moverse a cierta velocidad Uo. Esta situación se encuentra en las coordenadas cartesianas,donde en la dirección y se encuentra la altura de las placas (H) y en la coordenada x que es la secciónlongitud de las placas.

1.2. Suposiciones y condiciones de borde.

Suposiciones

1. sólo se considerará la ecuación de momento en la dirección del flujo.

2. Flujo es unidireccional.

3. El fluido es incompresible.

4. El fluido es newtoniano.

5. propiedades constantes.

6. El flujo es laminar.

7. Flujo no desarrollado.

8. el dominio en estudio es un canal de 2D infinito de altura H.

9. Se ignoran los efectos de la gravedad.

2

Condiciones de BordeEn esta situación se imponen las siguientes

1. condiciones de contorno:u(y = 0, t) = 0⇐⇒ t > 0 (1)

u(y = H, t) = Uo ⇐⇒ t > 0 (2)

2. La ecuación inicial con t = 0 es:

u(y, t = 0) = 0⇐⇒ 0 ≤ y < H (3)

1.3. Ecuaciones

Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

∂ρ

∂t+ ∂u

∂x+ ∂v

∂y+ ∂w

∂z= 0 (4)

Componente x de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)= −∂p

∂x+ ρgx + µ

[∂2u

∂x2 + ∂2u

∂y2 + ∂2u

∂z2

](5)

Componente y de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

ρ

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)= −∂p

∂y+ ρgy + µ

[∂2v

∂x2 + ∂2v

∂y2 + ∂2v

∂z2

](6)

Componente z de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

ρ

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)= −∂p

∂z+ ρgz + µ

[∂2w

∂x2 + ∂2w

∂y2 + ∂2w

∂z2

](7)

1.4. Solución de la ecuación

Se tiene en cuenta que u = u(y, t), lo que significa que las únicas variables significativas son t e y, estesupuesto, junto con la hipótesis de flujo incompresible, reduce las ecuaciones (??) y (??) a:

∂u

∂x= 0 Ecuacion de continuidad (8)

∂u

∂t= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y2 Ecuacion de cantidad de movimiento en x (9)

Donde ν = µρ , es la viscosidad cinemática del fluido. La ecuación (??) es un caso particular de la ecuación

general de difusión. Una vez que se establecen las ecuaciones que gobiernan y las condiciones de contorno,el objetivo es la obtención de la solución analítica del problema. El primer paso está en adimensionar laecuación teniendo en cuenta las siguientes condiciones para adimensionar las ecuaciones :

U = u

Uo(10)

3

Y = y

H(11)

X = x

H(12)

τ = U2o t

µ(13)

P = p

ρU2o

(14)

De esta manera la ecuación de la cantidad de movimiento queda de la siguiente forma:

∂U

∂τ= − ν

UoH

∂P

∂X+ ν2

U2oH

2∂2U

∂Y 2 (15)

Esta ecuación queda de la siguiente forma:

∂U

∂τ= − 1

Re

∂P

∂X+ 1Re2

∂2U

∂Y 2 (16)

Las condiciones de frontera quedan de la siguiente forma:

U(Y = 0, τ) = 0⇐⇒ τ > 0 (17)

U(Y = 1, τ) = 1⇐⇒ τ > 0 (18)

Condición inicial con τ = 0:U(Y, τ = 0) = 0⇐⇒ 0 ≤ Y < 1 (19)

Para la solución del problema se tiene que homogeneizar las condiciones de contorno. En un tiempo quetiende al infinito (τ → ∞) la velocidad U(Y, τ) converge para una función independiente del tiempo(V (Y )), el fluido se asume entonces como las características de un fluido permanente.

Una vez que se establecen las ecuaciones que gobiernan y las condiciones de contorno , el objetivo esla obtención de la solución analítica del problema. El primer paso está descomponiendo la velocidad enuna parte constante y una parte transitoria:

VY (τ) = −b+ aV ′′Y (20)

Donde a = νU2

oH2 y b = ν

UoH∂P∂X .

Integrando dos veces la ecuación y aplicando las condiciones de contorno se tiene:

∂U

∂τ= −b+ a

∂2U

∂Y 2 (21)

Como τ →∞0 = −b+ a

∂2U

∂Y 2

0 = −b+ a∂2U

∂Y 2

∂2U

∂Y 2 = b

a

∫∫()dY

V(Y ) = b

2aY2 + c1Y + c2

4

Aplicando las condiciones de contorno se tiene que:

V(Y ) = b

2aY2 + c1Y + c2

c1 = 1− b

2a ; c2 = 0

V(Y ) = b

2aY2 +

(2a− b2a

)Y (22)

Se tiene en cuenta que la ecuación anterior satisface las condiciones de borde y que no depende de τdebido a que se considero el estado en permanente, ya que solo ahora se requiere la solución transitoriapara calcular U(Y, τ) con el fin de tener la solución completa.

Asumiendo que la distribución de velocidades U(Y, τ), este dividida en dos términos, uno permanenteV (y) y otro transitorio W (Y, τ), se obtiene:

U(Y, τ) = V (y) +W (Y, τ) (23)Sustituyendo la ecuación (23) en la ecuación (21) se obtiene:

∂2U

∂Y 2 = b

a+ ∂2W

∂Y 2

∂U

∂τ= ∂W

∂τQueda de la siguiente forma:

∂W

∂τ= a

∂2W

∂Y 2 (24)

Obteniendo esta ecuación se puede deducir por medio del método de separación de variables quedando:

W =∞∑n=1

bn√

2 sin(nπY )e−an2π2τ (25)

Donde:bn =

∫ 1

0V (Y )f(Y )Yndy

y se obtiene:

bn = −√

2b2a(nπ) cos(nπ) +

√2b

2a(nπ)2 (cos(nπ)− 1) +√

2(2− ab )

2 cos(nπ) (26)

Por tanto, la distribución de velocidad final puede ser determinada por la ecuación:

U =∞∑n=1

bn√

2 sin(nπY )e−an2π2τ + b

2aY2 +

(2a− b2a

)Y (27)

U =∞∑n=1

bn√

2 sin(nπY )e−1

Re2 n2π2τ + Re

2∂P

∂XY 2 +

(2 1Re − 12 1Re

)Y (28)

1.5. Método numérico

Por las variables adimensionadas aplicando a las ecuaciones de continuidad se obtiene:

∂U

∂τ= −b+ a

∂2U

∂Y 2 (29)

Dado que a = ν2

U2oH

2 y b = νUoH

∂P∂X .

Mediante el método de las diferencias finitas tenemos las siguientes aproximaciones:

5

1.5.1. Método Explícito

∂U

∂τ=Un+1j − Unj4τ

∂2U

∂2Y=Unj−1 − 2Unj + Unj+1

(4Y )2

Reescribiendo en la ecuación:

Un+1j − Unj4τ

= −b+ a

(Unj−1 − 2Unj + Unj+1

(4Y )2

)

Re ordenando:Un+1j = −b4 τ + a

( 4τ(4Y )2

)(Unj−1 − 2Unj + Unj+1)

Un+1j = −α+ λ(Unj−1 − 2Unj + Unj+1)

α = b4 τ

λ = a4τ4Y 2

1.5.2. Método Implícito

∂U

∂τ=Un+1j − Unj4τ

∂2U

∂2Y=Un+1j−1 − 2Un+1

j + Un+1j+1

(4Y )2

Reescribiendo en la ecuación:

Un+1j − Unj4τ

= −b+ a

(Un+1j−1 − 2Un+1

j + Un+1j+1

(4Y )2

)

Re ordenando:Unj = Un+1

j − a( 4τ

(4Y )2

)(Un+1

j−1 − 2Un+1j + Un+1

j+1 ) + b4 τ

Unj = α− λUn+1j+1 + (2λ+ 1)Un+1

j − λUn+1j−1

α = b4 τ

λ = a4τ4Y 2

6

1.5.3. Método de Crank-Nicolson

Donde u, y, t son idénticamente las variables no dimensionales de U, Y, τ que aparecen en la ecuación(29). Usando el método de Crank-Nicolson, la representación de diferencias finitas de la ecuación:

∂U

∂τ=Un+1j − Unj4τ

∂2U

∂2Y=

(un+1j+1 + unj+1)− 2(un+1

j + unj ) + (un+1j−1 + unj−1)

2(4Y )2

un+1j − unj4t

= −b+ a

((un+1j+1 + unj+1)− 2(un+1

j + unj ) + (un+1j−1 + unj−1)

2(4Y )2

)(30)

un+1j − unj = −α+ λ

2((un+1j+1 + unj+1)− 2(un+1

j + unj ) + (un+1j−1 + unj−1)

)(31)

α = b4 τ

λ = a4τ4Y 2

Agrupando todos los términos a nivel de tiempo n+ 1 en la ecuación. En el lado de la izquierda y lafactorización de ambos lados apropiadamente de la ecuación ?? se obtiene:[

−λ2

]un+1j−1 + [1 + λ]un+1

j +[−λ2

]un+1j+1 = [1− λ]unj +

[λ

2

](unj+1 + unj−1)− α (32)

Esto es de la forma:Aun+1

j−1 +Bun+1j +Aun+1

j+1 = Kj − α (33)

DondeA = −λ2 (34)

B = 1 + λ (35)

Kj = [1− λ]unj +[λ

2

](unj+1 + unj−1) (36)

La ecuación (36) se resuelve mediante una cuadrícula tal como se representa en la figura (2) en la distanciavertical (en la dirección y) en todo el conducto se divide en N incrementos iguales de longitud4y mediantela distribución de N + 1 puntos de la cuadrícula sobre la altura H, es decir:

De las condiciones de contorno,u1 y uN+1 son conocidos:

u1 = 0 (37)

uN+1 = 1 (38)

7

Figura 2: Etiquetado de los puntos de la cuadrícula.

Con esto, el sistema de la ecuación representada por la ecuación (33) se puede escribir, en forma de matriz,como:

B A 0 0 0 · · · 0 0 0A B A 0 0 · · · 0 0 00 A B A 0 · · · 0 0 00 0 A B B · · · 0 0 0

. . .. . .

. . .

. . .. . .

. . .

. . .. . .

. . .

0 0 0 0 0 · · ·A B A0 0 0 0 0 · · · 0 A B

un+12un+1

3un+1

4un+1

5.........

un+1N−1un+1N

+

α2α3α4α5.........

αN−1αN

=

K2K3K4K5.........

KN−1KN

(39)

8

2. Anexo APrograma que utiliza los algoritmos de diferencias finitas:

C***********************************************************DIMENSION A(100) ,B(100) ,C(100) ,D(100) ,T(0:100) ,TB(0:100) ,X(100),

&S(100)C *** ingreso de datos ***c ’0: EXPLICITO␣;␣1: IMPLICITO␣;␣0.5:␣CRANK -NICOLSON ’c ’DAR␣EL␣VALOR␣DE␣THETA ’

TH=0.5IF (TH.EQ.0) PRINT *,’METODO␣EXPLICITO.’IF (TH.GT .0.5) PRINT *,’METODO␣IMPLICITO.’IF (TH.GT .0.4999. AND.TH.LT .0.5001) PRINT *,’CRANK -NICOLSON.’DT=0.5 !paso de tiempoRe=10. !numero de ReynoldsAL=1/(Re*Re) !termino aDP=0 !Diferencia de Presion

USUP=1 !CB SuperiorUINF=0 !CB Inferior

NMAX =20 !MAXIMO DE INTERVALOS DE TIEMPOMI=10 !Numeros de nodos internos

C Separacion placasXL=1 !Distancia entreplacas

C Delta YDX=XL/(MI+1)

C GammaGA=AL*DT/(DX)**2

PRINT *,’LAMDA=’,GAPAUSE

C Parametros que define el metodoZE=TH*GAET=(1-TH)*GA

C Maximo de intervalos de tiempoMAXIMO=NMAX

C salida de datosOPEN(UNIT=1,file=’RESULTADOS.txt’)

WRITE (1,*) ’DT␣VALORES␣EN␣LOS␣NODOS ’

C InicializacionDO I=1,MITB(I)=0END DO

9

DO I=1,MIS(I)=-DP/Re

END DO

c Condiciones en los extremos de las paredesTB(0)= UINF

TB(MI+1)= USUP

C Para aumentar el paso de tiempoNT=0

130 NT=NT+1TIME=NT*DTPRINT *,’Intervalo␣de␣tiempo=’,NT,’Tiempo=’,TIME

C Termino fuente ecuacion tridiagonal

DO I=1,MIX(1)=DX*IEND DO

DO I=1,MID(I)=TB(I)+ET*(TB(I-1)-2*TB(I)+TB(I+1))-S(I)END DO

D(MI)=D(MI)+ZE*TB(MI+1)

C******************************************************IF (TH.EQ.0) GOTO 60

!M EXPLICITOC******************************************************

DO I=1,MIA(I) = -ZEB(I) = 1 + 2*ZEC(I) =-ZE

END DOCALL TRID(A,B,C,D,MI)

C******************************************************60 DO I=1,MI

TB(I)=D(I)END DO

WRITE (1 ,75) TIME ,(TB(I),I=0,MI+1)75 FORMAT(F9.4,16F9.4)

L1=MI+1M1=2

OPEN(UNIT=3,file=’PLOT.PLT’)WRITE (3,*)’ZONE␣T="’,TIME ,’",␣I=’,L1+1,’,␣J=’,M1+1DO 410 J=0,M1

10

DO 410 I=0,L1WRITE (3,*) X*XL,DX*I,TB(I)

410 CONTINUE

IF (NT.LT.MAXIMO) GOTO 130END

C********************************************************SUBROUTINE TRID(A,B,C, D,N)

DIMENSION A(1),B(1),C(1),D(1)DO 10 I=2,NR=A(I)/B(I-1)B(I)=B(I)-R*C(I-1)D(I)=D(I)-R*D(I-1)

10 CONTINUED(N)=D(N)/B(N)DO 20 I=N-1,1,-1D(I)=(D(I)-C(I)*D(I+1 ))/B(I)

20 CONTINUERETURNEND

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