Universidad del Bío-Bío.Facultad de IngenieríaDepto. Ingeniería Civil y Ambiental

DINÁMICA ESTRUCTURAL (450011)

Tarea N° 3

Preparado por:Camila Sanhueza S.

Profesor:Gilda Espinoza

Ayudantes:

Iris GrandonDiego Neira

Concepción, 24 de Mayo de 2014

Introducción

El espectro de respuesta es un concepto práctico que caracteriza los movimientos sísmicos y el efecto sobre las estructuras. Este es función del periodo de vibración (T) del sistema y del amortiguamiento (ξ ¿ .El espectro de respuesta se encuentra sumando los máximos en valor absoluto de la respuesta dinámica para todos los sistemas estructurales de un grado de libertad con el mismo amortiguamiento.

En este trabajo se pide utilizar el método de Newmark, de las diferencias centrales y mantenedor de orden cero con el fin de obtener los espectros de respuesta para un sistema de un grado de libertad, sometido a 20 sismos artificiales. Por otra parte se pide graficar el espectro de diseño tanto en escala normal como trilogarítmica utilizando la media más una desviación estándar de los sismos entregados.

Desarrollo

Para realización de este trabajo se ultilizó el software computacional MatLAb, donde se desarollaron dos actividades:

Graficar los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de cada uno de los pisos del edificio de corte de la figura 1 sometido al sismo San Pedro 27/F.

1. Método de Park2. Analisis modal con el método de Newmark

Para esto se utilizó 20 sismos artificiales entregados por la profesora.

Actividad 2.

Método de Newmark:

M xk +1+C xk+1+k xk+1=Fk +1

xk+θ=xk+h x k+h2

2{(1−2 β ) xk+2 β xk+1 }

xk+θ= xk+h {(1−γ ) xk+γ xk+1 }

Para que el método sea incondicionalmente estable con precisión de segundo orden se deben cumplir las siguientes relaciones entre parámetros.

γ=12

β=14

Para el análisis modal es necesario calcular los modos y frecuencias naturales para obtener la masa modal, rigidez modal, amortiguamiento modal y carga modal.

De acuerdo a lo anterior se presentan las ecuaciones utilizadas en MatLab:

xk+1=xk+1−xkβ h2

−xkβh

− xk1

2 β−1

xk+1=β Fk+1+(Mh2 + cγh ) xk+Mhc (γ−β ) xk+[( 12−β )M+c (γ−2 β ) 1

2h] xk

M

h2+cγh+βk

xk+1= xk+h [ (1−γ ) xk+γ xk+1 ]

Método de las diferencias centrales:

X k+1=(mh2+ c2h )

−1

¿

Estabilidad:

De acuerdo a lo anterior se presentan las ecuaciones utilizadas en MatLab:

xk+1=x0−h x0+a3 x0M=a0M+a1+C

F k=F k−(k−a2M )xk−(a0M−a1C)xk−1

Mantenedor de Orden Cero:

A(2nx 2 n)=[ 0 I−M−1K −M−1C ]Bu=[ 0−1]

De acuerdo a lo anterior se presentan las ecuaciones utilizadas en MatLab:

yk +1=expm(A∗dT ) yk+inv (A )(expm(A∗dT )−I )Buuxk

Bu=[ 0−1]A=[ 0 I

−M−1 K −M−1C ]

Actividad 2.

Para la realización de esta actividad se calculó el promedio y la desviación estándar de los 20 sismos entregados. En primer lugar para obtener el vector de aceleraciones promedio se sumaron los 20 sismos y luego se divieron por 20. Luego para obtener la desviación estándar, se utilizó la función de matlab “std()” que devuelve un vector que contiene la desviación estándar de cada columna de una matriz, por esta razón se construyo una matriz con los 20 sismos donde cada columna correspondia a un periodo. Una vez obtenidos dichos parámetros se sumaron ambos vectores y se graficó el espectro de diseño tanto en escala normal como trilogarítmica. Para esto se utilizó el metodo de Newmark con razón de amortiguamiento del 5%.

Ecuaciones utilizadas en matlab para la obtención del espectro de diseño.

suma_total = 0;matrix_ux = []; for i=1:20 string=strcat('artificial_', int2str(i),'.mat'); load(string); suma_total = suma_total + ux; matrix_ux = [matrix_ux;ux]; end promedio_ux = suma_total/20;stdiv = std(matrix_ux);espectro_dis= promedio_ux + stdiv;

for j = 1:length(T) if T==0wn = 0 elsewn = 2*pi/T(j); k = M*wn^2; cr = 2*sqrt(k*M); c = chi*cr; for i = 1:n-1X(1+i)=(B*F(1+i)+(M/(h^2)+c*G/h)*X(i)+(M/h+c*(G-B))*V(i)+((0.5-B)*M+c*(G-2*B)*0.5*h)*A(i))/((M/(h^2)+c*G/h+B*k)); A(i+1)=(X(i+1)-X(i))/(B*h^2)-V(i)/(B*h)-A(i)*(1/(2*B)-1); V(i+1)=V(i)+((1-G)*A(i)+G*A(1+i))*h; end

psd(j)=max(abs(X));psv(j)=wn*psd(j);psa(j)=wn^2*psd(j)/g;end

Para graficar en escala trilogaritmica se realizó la siguiente rutina:

loglog(T,psv,'r',T,psv1,'g',T,psv2,'m','LineWidth',1.0001);legend('media','desviacion estandar','media+desv.st')grid on;title('Espectro Trilogaritmico');ylabel('Sv [m/s]'); xlabel('T[s]'); axis tight; hold on; d1 = 0.00001:0.00001:0.00009;d = [d1 d1.*10 d1.*100 d1.*1000 d1.*10000 d1.*100000];for i=1:length(d)v =100*d(i).*T/2/pi; plot(T, v,'black');c = 2*pi*d(i)./T; plot(T, c,'black');endtext( 3.3, 62.4, sprintf('Sd[m]'),'color',[0 0 0], 'rotation', -35, 'FontSize', 10)text( 0.04, 50.4, sprintf('Sa[g]'),'color',[0 0 0], 'rotation', 35, 'FontSize', 10)

Para ambas actividades se consideró la siguiente estructura de un grado de libertad:

Análisis.

En los gráficos que se muestran a continuación, se representa el periodo propio de la estructura (o la frecuencia) en el eje de las abscisas y la respuesta máxima calculada en el eje de ordenadas. Se muestra la respuesta de los 12 primeros sismos entregados para los 3 metodos solicitados, donde cada color representa un

sismo diferente representando los 4 primeros por el método de Newmark, los 4 siguientes mediante las Diferencias centrales y los 4 últimos por mantenedor de orden cero.

Gáfico 1. Espectros de respuesta sismos artificiales 1,2,3 y 4 método de Newmark.

Gráfico 2. Espectros de respuesta sismos artificiales 5,6,7 y 8 método de las diferencias centrales.

Gráfico 3. Espectros de respuesta sismos artificiales 9,10,11 y 12 Mantenedor de orden cero.

Gráfico 4. Espectro de diseño.

Gráfico 5. Espectro de diseño. Desplazamiento

Gráfico 6. Espectro de diseño pseudo velocidades.

Gráfico 7. Espectro de diseño pseudo aceleraciones.

Gráfico 8. Espectro de diseño escala trilogarítmica.

Una vez obtenidos los espectros de respuesta se puede ver que los métodos de Newmark y de las diferencias centrales tienen una mayor presición y definición en comparación al Mantenedor de orden cero. Sin embargo se observa que los espectros de respuesta de los sismos siguen un mismo patrón y son bastante similares a pesar de haber sido obtenidos mediante diferentes métodos. De la segunda actividad se aprecia tanto en el espectro de desplazamiento como en el de pseudo velocidades que la desviación estándar tiende a alejarse, por lo que ocurre el mismo fenomeno al graficar la suma de la media mas la desviación estandar.

Conclusiones

Luego de realizar el análisis de los gráficos obtenidos se puede concluir que:

La fuerza producida en la estructura debido a los simos que actúan en la base, varía su magnitud según cambie la aceleración en el tiempo. Si la aceleración es mayor, mayor será la fuerza y viceversa. Puesto que la aceleración producida por el sismo es variable, la fuerza también lo es, por lo que para estudiar la estructura es necesario un anális estático en cada instante de tiempo.

A mayor orden del método numérico mendiante el que se obtienen los espectros de respuesta, más preciso y definido es el gráfico obtenido. Esto se debe a un mayor procesamiento de las señales.

En este caso los espectros de desplazamiento, pseudo-velocidad y pseudo-aceleración contienen básicamente la misma información que los de velocidad y aceleración relativas. Sólo la representación del desplazamiento corresponde al espectro verdadero, mientras que las velocidades y aceleraciones se denominan como pseudo, puesto que son aproximaciones de el espectro real.

El uso de la obtención de espectros de respuesta según la media más desviación estandar representa un suavizado de los espectros siendo utilizada para el cálculo de el espectro de diseño ya que presenta una mayor representatividad al utilizar parámetros estadisticos de una base de datos de sismos. Esto es de gran utilidad para el diseño sismoresistente ya que como sabemos las magnitudes y comportamiento de los sismo son siempre diferentes a pesar de ocurrir en una misma zona geográfica.

Cuando los valores de los espectros de respuesta son similares, la desviación estándar es baja y la curva espectral se aproxima al promedio. Por el contrario, si los valores presentan diferencias significativas, la desviación estándar es alta y la curva espectral se acerca al valor máximo, o incluso puede superarlo como vemos en los gráficos 6 y 7.

El gráfico en escala trilogarítmica es de gran utilidad para el analisis ya que

se permite presentar en forma compacta una gran cantidad de información al incluir los espectros de desplazamiento, pseudo-velocidad y pseudo-aceleración al mismo tiempo.