Tarea 1

UNIVERSIDAD DE TALCAFACULTAD DE INGENIERAESCUELA DE INGENIERA CIVIL INDUSTRIAL

PROCESOS ESTOCSTICOS

TAREA 1

AUTOR:Daniela Lazo Toledo

PROFESOR: Alejando Rodrguez

CURIC - CHILEABRIL DE 2014Introduccin

Daniela Lazo Toledo

1. Generacin de nmeros pseudoaleatorios y variables aleatorias.

1.1. Generacin de nmeros pseudoaleatorios

Para generar nmeros aleatorios con distribucin uniforme se utiliz el algoritmo recursivo de congruencia lineal, cuyos parmetros corresponden a:

: semilla; ;: multiplicador ;: incremento ;: mdulo; ;

Este algoritmo genera una secuencia de nmeros diferentes de la siguiente forma:

Los valores de al transformarse en tienen valores entre 0 y 1.

1.2. Mtodo de la transformada inversaSi se desea simular una variable aleatoria continua se puede utilizar el mtodo de la transformada inversa, mediante la funcin acumulada de la distribucin y la generacin de nmeros pseudoaleatorios con distribucin uniforme (0,1).Este mtodo consta de los siguientes pasos: Calcular la funcin acumulada a partir de la funcin de densidad . Despejar la variable aleatoria x, obtenindose la funcin acumulada inversa Evaluar con nmeros pseudoaleatorios la funcin . De esta forma, los valores obtenidos permiten simular la variable aleatoria.

1.3. Generacin de nmeros pseudoaleatorios con distribucin uniforme (0,1)Para generar nmeros pseudoaleatorios con distribucin uniforme (a,b) (a=0, b=1) se aplic el algortimo de congruencia lineal y se incluye el mtodo de la transformada inversa. Este algoritmo fue programado en lenguaje Java, a continuacin se muestra el cdigo de ste.

public static void main(String[] args) {//parmetros generador congruencial linealdouble X0=1;//semilladouble X; // nmero pseudoaleatoriodouble A=5;//multiplicadordouble B=7;//incrementodouble C=100000;//modulodouble r; // nmero pseudoaletorio (0,1)//parmetros distribucin uniformedouble a=0;//limite superiordouble b=1;// limite inferiordouble unif;// nmero aleatorio distribucin uniformedouble n=20;// cantidad de nmeros generadosX=X0;for (int i = 0; i < n; i++){X= ((A*X+B)%C); //nmero pseudoaleatorio r=X/(C-1); // nmero pseudoaleatorio (0,1)unif= r*(b-a)+a;System.out.println(unif); }

}

}1.4. Generacin de una variable aleatoria con distribucin exponencial de parmetro aPara generar nmeros pseudoaleatorios con distribucin exponencial de parmetro a (a>0) se aplic el algortimo de congruencia lineal y el mtodo de la transformada inversa. La funcin inversa obtenida a partir de la funcin acumulada corresponde a , donde r es un nmero pseudoaleatorio (0,1).Este algoritmo fue programado en lenguaje Java, a continuacin se muestra el cdigo de ste.

public class Vexponencial {public static void main(String[] args) {//parmetros generador congruencial linealdouble X0=1;//semilladouble X; // nmero pseudoaleatoriodouble A=5;//multiplicadordouble B=7;//incrementodouble C=100000;//modulodouble r; // nmero pseudoaletorio (0,1)//parmetros distribucin exponencialdouble a=1;//tasadouble exp;// nmero aleatorio distribucin exponencialdouble n=20;// cantidad de nmeros generadosX=X0;for (int i = 0; i < n; i++){X= ((A*X+B)%C); //nmero pseudoaleatorio r=X/(C-1); // nmero pseudoaleatorio (0,1)exp=(-Math.log(r))/a;System.out.println(exp); }}

}

2. Aproximacin de una distribucin binomial a una distribucin normal

El teorema del lmite central (TCL) se refiere a que, bajo ciertas hiptesis, la distribucin de la suma de un nmero muy grande de variables aleatorias se aproxima a una distribucin normal: (1)Donde Una variable aleatoria binomial x representa el nmero de xitos que ocurren en n ensayos Bernoulli, con una probabilidad probabilidad de xito p. De esta forma, la suma de variables Bernoulli corresponde a una distribucin binomial, si se denota a esta suma, el teorema del lmite central se aplica de la siguiente manera: Si corresponde a una variable aleatoria Bernoulli de parmetro p, con promedio y , entonces reemplazando en (1):

Entonces, para :