taller iii io ii

Investigación de Operaciones IITeoría de Colas

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____________________________________________________________Universidad del Magdalena Ingeniería Industrial


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1. Se tienen dos sistemas de colas Q1 y Q2, la tasa media de llegada de los clientes, la tasa media de servicio por servidor ocupado y el numero esperado de clientes en estado estable para Q2 son el doble de los valores correspondientes a Q1. Sea Wi el tiempo esperado de espera en el sistema en estado estable para Qi, para i= 1, 2. Determine W2/W1.

Tenemos que

λ2=2 λ1; μ2=2μ1; L2=2 L1

W 2

W 1

=

L2λ2L1λ1

=1

2. Un sistema de colas tiene dos servidores, distribución de tiempos entre llegadas exponencial con media de 2 horas y distribución de tiempo de servicio exponencial con media de 2 horas para cada servidor, lo que es más, a las 12:00 del día acaba de llegar un cliente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra la siguiente llegada i) antes de 1:00 pm; ii) entre 1:00 pm y 2:00 pm; iii) después de 2:00pm?

Tenemos que.

λn=12

para n>0 y μn={12 para n=1

1 para n≥2 }P ( la siguientellegada antes de1: 00 pm )=1−e

−12 =0,393

P ( llegada entre1 :00 pm−2:00 pm )=(1−e−12

∗2)−(1−e−12 )=0,239

P ( llegada despues de2: 00 pm )=1−e−2∗12 =0,368

b) Suponga que no llegan más clientes antes de 1:00 pm, ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada tenga lugar entre 1:00 pm y 2:00 pm?

P ( llegada entre1 :00 pm y 2:00 pm )=1−e−12 =0,393

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llegadas entre 1:00 pm y 2:00 pm sea i)0 ii)1 iii)2 o más?



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P (0 llegadasentre1 :00 pm y 2: 00 pm )= ( λt )0 e−λt

0 !=e

−12 =0,607

P (1llegada entre 1: 00 pm y2 :00 pm)= ( λt )1 e−λt

1 !=12∗e

−12 =0,303

P (2o mas llegadasentre1 :00 pm y 2: 00 pm )=1−e−12 −12∗e

−12 =0,090

d) Si ambos servidores están ocupados a la 1:00 pm. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente haya completado su servicio, i) antes de 2:00 pm; ii) antes de la 1:10 pm; iii) antes de la 1:01 pm?

P (servicio completado antes de2 :00 pm )=e−1=0,368

P (servicio completado antes de1 :10 pm )=e−1( 16 )=0,846

P (servicio completado antes1: 01 pm )=e−1( 160 )=0,983

3. Los trabajos que deben realizarse en una maquina especifica llegan según un proceso de Poisson con tasa media de 2 por hora. Suponga que la maquina se descompone y su reparación tarda 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de trabajos que llegan en ese tiempo es i)0; ii)2; iii)5 o más?

Tenemos que:

λ=2 para n>0→ P (n llegadasen1hora )=2n e−2

n !

P (0 trabajosque llegan en1hora )=e−2=0,135

P (2trabajos que llegan en1hora)=22 e−2

2 !=2e−2=0.270

P (5o mas llegadasen1hora)=1−∑n=0

4

P (n llegadasen1hora )

¿1−e−2−2e−2−2e−2−( 43 )e−2−( 23 )e−2

¿1−7 e−2=0,0527

4. El tiempo requerido de un mecánico para reparar una maquina tiene una distribución exponencial con media de 4 horas, sin embargo, una herramienta especial reduciría esta media a 2 horas. Si el mecánico repara la maquina antes de dos horas el pago es de $100, de otra



____________________________________________________________manera se le paga $80. Determine el aumento esperado en el pago del mecánico si usa esta herramienta especial.

Tenemos que:

pago=$100 . P (T <2 )+$80 . P (T >2 )=100−20 P (T>2 )

P (Tnormal>2 )=e−14

∗2=e

−12 =0,607

P (Tespecial>2 )=e−12

∗2=e−1=¿

Aumento=pago espcial−pago normal=20¿

5. Un sistema de colas de tres servidores tiene un proceso de llegadas controlado que proporciona clientes a tiempo para mantener ocupados continuamente los 3 servidores. Los tiempos de servicio tiene una distribución exponencial con media de 0,5. Se observa el arranque del sistema con los 3 servidores que inician el servicio en tiempo t=0. La primera terminación ocurre en t=1. Dada esta información, determine el tiempo esperado después de t=1 hasta que ocurra la siguiente terminación de servicio.

A partir de lo dicho, se producen en el sistema una cola de dos servidores después de la primera realización.

P (T<t )=P (min (T2 , T3 )< t)

T= cantidad de tiempo después del 1 y antes de la próxima finalización del servicio.

Así, la distribución exponencial de T se satisface con media 0,5/2= 0,25.

6. Un sistema de colas tiene 3 servidores con tiempos de servicios esperados de 20, 15,10 minutos, los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial. Cada servidor ha estado ocupado con el cliente actual durante 5 minutos, determine el tiempo esperado que falta para la siguiente terminación del servicio.

Tenemos que:

U=min (T1 , T2 , T3 )

T 1 exp ( 120 );T 2 exp( 115 );T3 exp( 110 )U exp( 120 + 1

15+ 110 )=exp( 1360 )



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por lo tanto se espera queel tiempo deespera sea=6013

=4 813

minutos

7. La compañía 4M tiene un torno como pieza central de trabajo de la planta. Los trabajos llegan según el proceso de poisson con tasa media de 2/día, el tiempo de procesado de cada trabajo tiene una distribución exponencial con media de ¼ día. Como los trabajos son grandes sino están en proceso se guardan en un almacén a cierta distancia. Pero para ahorrar tiempo al traerlos, el gerente de producción propone agregar espacio para 3 trabajos en proceso además del que está en el torno (el resto seguirá almacenándose), con esta propuesta, ¿Qué proporción de tiempo será adecuado el espacio junto a torno para los trabajos que esperan? W.

a) Calcule sus respuestas con las formulas disponibles.

Tenemos:

λ=2 ;μ=4 ;C=1; ρ=12

para lacola M /M /1→ P0=1−λμ

y Pn=(1−ρ) ρn

P0=1−24=12

P0=0,5

P1=0,25

P2=0,125

P3=0,0625

P4=0,03125

∑i=0

4

pi=3132

=0,968≈97%

8. Es necesario determinar cuánto espacio de almacén para material en proceso conviene asignar a un centro de trabajo para una nueva fábrica. Los trabajos llegan de acuerdo con un proceso Poisson con tasa media de 3 por hora, y el tiempo requerido para realizar el proceso necesario para realizar el proceso tiene una distribución exponencial con media de 0,25 hora. Cuando los trabajos que esperan requieren más espacio del almacén asignado, el exceso va a un almacén temporal en un lugar menos conveniente. Si cada trabajo requiere un pie cuadrado de suelo en el almacén del centro de trabajo, ¿Cuánto espacio se debe proporcionar para acomodar todos los trabajos a) 50%, b)90%, c)99%



____________________________________________________________del tiempo? Derive una expresión analítica para responder a estas tres preguntas, sugerencia: la suma de una serie geométrica.

Datos:

λ=3 ; μ=4 ;C=1 ; ρ=34

El sistema sin la restricción de almacenamiento es una cola M/M/1. si el espacio de pies cuadrados n estaban disponibles para la espera, la proporción de tiempo que esto sería suficiente es

∑i=0

n+1

Pi

Por lo tanto queremos encontrar λl tal que

∑i=0

n+1

Pi≥ q l paral=1,2,3cuando q1=50 ;q2=90 ;q3=99

Ahora,

∑i=0

n+1

Pi≥ q l↔∑i=0

n+1

(1− ρ ) ρ i≥ ql ↔ (1−ρ )(1−ρn+2 )

(1−ρ )≥ ql

(1−ρn+2 ) ≥ ql ↔ ρn+2≤1−ql ↔ (n+2 ) ln ρ ≤ ln (1−q l )

(n l+2 )≥ln (1−ql )ln ρ

↔ nl ≥ln (1−ql )ln ρ

−2

parte q l ln (1−q l )ln ρ

−2Espacio de piso

requerido

A 0,50 0,40 1B 0,90 6,004 7C 0,99 14, 008 15


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