taller 2. macroeconomía iii
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taller de macroTRANSCRIPT
7/21/2019 Taller 2. Macroeconomía III.
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Universidad del ValleFacultad de Ciencias Sociales y EconómicasMacroeconomía III – Javier Andrés Castro Herediaavid Andrés !íos Se"ura #$%&$$&Catalina Medina 'autista #$($))*
+A,,E! $-
#- M.E,. /E.C,0SIC. E C!ECIMIE/+.-
Asuma una función de utilidad dada por:
u (c (t ) )=ln(c ( t ))
Y la función de producción Cobb- Douglass:
Y (t )= K (t )
α
L( t )
1−α
a1 Halle la ecuación de Euler y de acumulación de capital per cápita. Muestre
todos los pasos y especicaciones utili!adas.
Utilidad intertem2oral de la 3amilia re2resentativa4
U =∫0
∞
u ( c ( t ) )∗ L(t )e− ρt dt
L(t ) "ama#o de la familia representati$a en el momento (t ) . %or tanto
crece a lo largo del tiempo a una tasa e&ponencial constante n>0 . Donde
L ( t )=ent
' por lo tanto:
U =∫0
∞
u ( c ( t ) ) e−( ρ−n)t dt
!estricción 5resu2uestaria4
´B (t )=w (t ) L (t )+r (t ) B (t )−c (t ) L(t )
´B(t ) L(t )
=w (t ) L(t )
L( t ) +
r (t ) B ( t ) L(t )
−c (t ) L(t )
L(t )
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´B(t ) L(t )
=w (t )+r (t ) b ( t )−c ( t ) 6#1
´b (t )=´B( t )
L(t )=
∂ B(t )/ L(t )
∂ t =
∂ B (t ) L−1(t )
∂ t = ´B (t ) L−1 ( t )−B (t ) L−2 (t ) ´ L(t )
´b (t )=´B( t )
L(t )−
B (t ) L (t )
∗ ´ L (t )
L (t ) =
´B (t ) L (t )
−b (t )∗n (
´B(t ) L(t )
= ´b(t )+b (t )∗n 6$1
)eempla!ando 6#1 en 6$1 obtenemos:
´b(t )+b (t )∗n=w ( t )+r (t ) b (t )−c (t )
Despe*ando´b(t ) ' se llega a:
´b(t )=w (t )+r (t ) b (t )−b (t )∗n−c ( t )
´b(t )=w (t )+[r (t )−n ] b (t )−c (t )
De acuerdo con esto' si los ingresos por persona compensaran e&actamente los
gastos por persona' entonces los acti$os por persona +cuando B (t )>0 ,
caeran debido al crecimiento de la población. %ara mantener el ni$el de
acti$os por persona' el ogar debe aorrar lo suciente para darles a los
miembros /ue nacen' los mismos acti$os per cápita /ue tiene el resto del
ogar.
Hamiltoniano4
H =
u
(c
(t
))e−( ρ−n)t
+ λ
(t
) [w
(t
)+b
(t
) (r
(t
)−n
)−c(t )]
H =ln(c (t ))e−( ρ−n)t + λ (t ) [w ( t )+b (t ) (r (t )−n)−c (t )]
Aora deri$amos con respecto a las $ariables de control' de estado y de
coestado:
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0∂ H
∂ c( t )=
1
c (t ) e
−( ρ−n )t − λ (t )=06#1
0∂ H
∂b (t )= λ (t )(r (t )−n)= ´− λ (t ) 6$1
0∂ H
∂ λ (t )=w (t )+b (t ) ( r (t )−n )−c (t )=0 6%1
1a $ariable de coestado λ (t ) ' mide el efecto sobre la utilidad del ogar en el
periodo t' de incrementar b(0) en una unidad. λ (t ) "ambi2n se conoce
como precio sombra de los acti$os' por/ue permite $alorarlos en t2rminos de
bienestar.
Aora bien' se deri$a la primera condición respecto al tiempo:
´ λ(t )= −1
c (t )2∗ ´c (t ) e−( ρ−n )t −( ρ−n )
(e−( ρ−n )t )∗1
c (t )
)eempla!ando λ(t ) en 6$1' obtenemos:
−1
c (t ) e
−( ρ−n )t (r (t )−n)= ´ λ (t )
Aora:−1
c (t ) e
−( ρ−n )t (r (t )−n)= −1
c (t )2∗ ´c (t ) e−( ρ−n ) t −( ρ−n )
(e−( ρ−n )t )∗1
c (t )
1
c (t )(r (t )−n)=
−1
c (t )2∗ ´c (t ) e−( ρ−n )t
−(e−( ρ−n) t ) −( ρ−n )
(e−( ρ−n )t )
−(e−( ρ−n) t )∗1
c (t )
1
c ( t ) (r (t )−n)= 1
c (t )2∗ ´c (t )+( ρ−n )∗1
c (t )
1
c ( t ) (r (t )−n)−
( ρ−n )∗1
c (t ) =
1
c ( t )2∗ ´c (t )
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1
c ( t ) [r (t )−n− ρ+n ]= 1
c (t )2∗ ´c (t )
1
c(t
)
[r (t )− ρ ]= 1
c (t )
2∗ ´c (t )
1
c ( t ) [r (t )− ρ ]
1
c ( t )2
= ´c ( t )
1
c ( t ) [r (t )− ρ ]
1
c ( t )2
= ´c ( t )
[r (t )− ρ ]∗c (t )2
c (t ) = ´c (t )
[r ( t )− ρ ]∗c (t )= ´c (t )
Como se necesita allar la tasa de crecimiento del consumo' entonces decimos
/ue:
[r (t )− ρ ]=´
c (t )c (t ) 6(1
)ecordemos /ue:
[r ( t )− ρ ]∗σu (c (t ))=´
c (t )c( t )
Como se obser$a en la ecuación 6(1' $emos /ue no aparece la elasticidad de
sustitución intertemporal del consumo' es decir σu (c ( t ) )=1 . 1o /ue indica /ue
el indi$iduo $alora de igual manera el consumo el da de oy y el consumo del
da de ma#ana' de modo /ue si el indi$iduo /uisiera aorrar para consumir el
da de ma#ana' lo /ue tendra /ue ocurrir es /ue suba la tasa de inter2s del da
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de oy as 2l decidirá sua$i!ar su consumo y podrá recibir mayores retornos el
da de ma#ana.
Acumulación de ca2ital4
Con
Y t =C (t )− I ( t )(
Y t −C (t )= I ( t )
)ecordemos /ue: Y t = K (t )α L( t )1−α
' por lo tanto:
I (t )= K (t )α L(t )1−α −C (t )
De modo /ue:´
K (t )= I (t )−δK (t ) (´
K (t )= K (t )α L( t )1−α −C (t )−δK (t )
Aora en t2rminos per cápita:
´ K (t ) L( t )
= K ( t )α
L(t )1−α −C (t )−δK (t ) L(t )
´k (t )= K (t )α
L(t )1−α
L(t ) −
C ( t ) L(t )
−δK (t ) L(t )
´k (t )= K (t )α
L(t )α −c (t )−δk (t ) 6#1
´k (t )=´ K (t )
L(t )=
∂K (t )/ L(t )∂ t
=∂ K (t ) L−1(t )
∂ t = ´ L ( t ) L−1 (t )− K (t ) L−2 (t ) ´ L(t )
´k (t )=´ K (t )
L(t )−
K (t ) L (t )
∗ ´ L ( t )
L (t ) =
´ K (t ) L (t )
−k (t )∗n (
´ K (t ) L(t )
= ´k ( t )+k (t )∗n 6$1
)eempla!ando 6#1 en 6$1 obtenemos:
´k (t )+k (t )∗n= K (t )α
L(t )α −c ( t )−δk (t )
Despe*ando´k (t ) ' se llega a:
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´k (t )= K (t )α
L(t )α −c (t )−δk (t )−k (t )∗n
´k (t )=k (t )α −c (t )−(δ +n)k (t ) Ecuación de Acumulación de
Capital.
71 Halle el ni$el de capital y consumo per cápita del estado estacionario.
)ecordemos /ue en el e/uilibrio:
b (t )=k (t )
En el mercado competiti$o:
w (t )= F ( k (t ) )−kF ' (k (t ))
r (t )= F ' ( k (t ) )−δ
´c (t )c( t )=[ F
'
(k (t ) )−δ − ρ ]∗σu(c (t ))
´c ( t )c( t )
= F ' (k (t ))−δ − ρ
´c ( t )c( t )
=α k α −1−δ − ρ
En el estado estacionario:
´c (t )c( t )
=0
α k α −1−δ − ρ=0
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α k α −1=δ + ρ
k α −1=
δ + ρ
α
k ¿=( α
δ + ρ ) 1
1−α
Nivel de capital per cápita
en EE.
El ni$el de capital per cápita /ue acabamos de allar se denomina Capital de
regla de oro modicada.
)ecordemos /ue la ecuación de acumulación de capital del modelo es:
´k (t )=
F
(k ¿
(t
))−c
(t )− (
n+
δ )k (t )
En el estado estacionario'´k (t )=0 ' entonces:
c (t )= F (k ¿ (t ) )−(n+δ ) k
¿
)eempla!ando
k
(¿¿ ¿)α
F (k ¿ (t ) )=¿
en la anterior función' tenemos:
k
(¿¿ ¿)α −(n+δ ) k ¿
c (t )=¿
Aora' reempla!aremos el k ¿=( α
δ + ρ ) 1
1−α
y obtenemos lo siguiente:
c (t )=( α
δ + ρ ) α
1
−α −(n+δ )( α
δ + ρ ) 1
1
−α Consumo per
cápita en EE.
c1 Compare el ni$el de capital per cápita de estado estacionario con el de regla
de oro. 3nterprete y gra/ue.
)etomando la ecuación de capital de modelo 4olo5- 45an es:
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k (t )=¿ s∗ F (k (t ))−(δ +n)k (t )
¿
En el estado estacionario´k (t )=0 ' por lo tanto:
s∗ F (k (t ))=(δ +n)k (t )
F (k (t ) )=(δ +n)k (t )s
F ' (k (t ) )=(δ +n)s
)ecordemos /ue F ' (k (t ) )=0 ' entonces: (δ +n)=0 . %or tanto'
F ' (k (t ) )=( δ +n ) .
Aora' como tenamos /ue F ' (k (t ) )=α k α −1
entonces:
α k α −1=(δ +n )
k α −1= (δ +n )α
k RD=( α
(δ +n ) ) 1
1−α
Nivel de capital por trabajador
de Regla dorada.
Aora' allaremos el consumo per cápita del modelo de 4olo5- 45an:
ç¿=(1−s) F (k
¿ ( t ))
ç¿=(1−s ) ¿
ç¿=
¿−s ¿
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)ecordemos /ue ¿=(k
¿)α
' obteniendo:
ç¿=(k
¿)α −s (k ¿)α
)eempla!ando k ¿=( α
δ + ρ ) 11−α
en la anterior ecuación:
ç¿=[( α
δ + ρ ) 1
1−α ]α
−s[( α
δ + ρ ) 1
1−α ]α
ç¿=( α
δ + ρ ) α
1−α −s ( α
δ + ρ ) α
1−α
Consumo per cápita del
modelo Solow- Swan.
8Com2arando el nivel de ca2ital 2er c92ita con el de re"la de oro:2odemos decir4
!AMSE;8 CASS8 <..5MA/S4 S.,.=8 S=A/4
k ¿=( α
δ + ρ ) 1
1−α k RD=( α
(δ +n ) ) 1
1−α
Debido a /ue ρ>n ' esto lo decimos para garanti!ar /ue la utilidad
intertemporal de las familias está acotada cuando el consumo per cápita es
constante.
%or tanto podemos armar /ue:
!AMSE;8 CASS8 <..5MA/S ¿ S.,.=8 S=A/
k ¿<k
RD
( α
δ + ρ ) 1
1−α ¿( α
(δ +n ) ) 1
1−α
6eamos claramente esto en la gráca:
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1a gura muestra /ue el capital de
regla dorada (k RD) es mayor al
capital de estado estacionario(k
¿) ' es decir al capital de regla
de oro modicada' esto se debe al
eco de /ue la función de
producción es cónca$a y ρ>n '
como lo mencionamos
anteriormente.
d1 Encuentre la tasa de crecimiento del consumo y el producto por traba*ador
en estado estacionario. E&pli/ue.
8+asa de Crecimiento del Consumo
t )− ρ ]=´
c (t )c (t )
)ecordemos /ue: r ( t )= F '
( k (t ) )−δ ' por tanto:
[ F ' (k (t ) )−δ − ρ ]=
´c (t )c (t )
[α k α −1−δ − ρ ]=
´c (t )c (t ) Tasa de crecimiento del
consumo.
En estado estacionario
´c( t )c( t )
=0 ' por lo tanto: [α k α −1−δ − ρ ]=0 .
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8+asa de Crecimiento del 2roducto 2or tra7a>ador
Aplicando logaritmo y deri$ando respecto al tiempo' obtenemos:
ln ( (t ) )=α ln (k )
´ =α
k
k
"eniendo en cuenta /ue la tasa del crecimiento del capital es:
k
k =
1
k 1−α
− (n+δ )−ç (t )
k
Aora' reempla!amos y obtenemos la tasa de crecimiento del producto por
traba*ador:
´ =α [ 1k
1−α −(n+δ )−
ç (t )k ]
En estado estacionario´ =0
' por lo tanto:α [ 1k
1−α −(n+δ )−
ç (t )k ]=0
e1 )ealice un e*ercicio introduciendo impuestos al consumo y gasto p7blico
como transferencias a los consumidores. E&pli/ue sus resultados a los ni$eles.
Hamiltoniano4
H =u (c (t )) e−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )−n )−c (t )(1+" )]
H =ln(c (t ))e−( ρ−n)t + λ (t ) [w ( t )+b (t ) (r (t )−n)−c (t )(1+" )]
Aora deri$amos con respecto a las $ariables de control' de estado y decoestado:
0∂ H
∂c( t )=
1
c (t ) e
−( ρ−n )t − λ (t )(1+" )=06#1
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0∂ H
∂b (t )= λ (t )(r (t )−n)= ´− λ (t ) 6$1
0∂ H
∂ λ (t )=w (t )+b (t ) ( r (t )−n )−c (t )(1+" )=0 6%1
Aora bien' se deri$a la primera condición respecto al tiempo:
´ λ(t )= −1
c (t )2
(1+" )∗ ´c (t ) e−( ρ−n ) t −( ρ−n )
(e−( ρ−n )t )∗1
c (t )(1+" )
)eempla!ando λ(t ) en 6$1' obtenemos:
−1
c ( t )(1+" )
e−( ρ−n)t (r (t )−n)= ´ λ (t )
Aora:
−1
c ( t )(1+" )e−( ρ−n)t (r (t )−n)=
−1
c (t )2
(1+" )∗ ´c (t ) e−( ρ−n) t − ( ρ−n )
(e−( ρ−n ) t )∗1
c( t )(1+" )
1
c ( t )(1+" )(r (t )−n)=
−1
c (t )2
(1+" )∗ ´
c (t ) e−( ρ−n ) t
−(e−( ρ−n ) t
) −( ρ−n )
( e−( ρ−n ) t )
−(e−( ρ−n )t )∗1
c(t )(1+ " )
1
c ( t )(1+" )(r (t )−n )= 1
c (t )2(1+" )∗ ´c (t )+
( ρ−n )∗1
c( t )(1+" )
1
c ( t ) (r (t )−n)=
1∗(1+" )
c (t )2(1+" )∗ ´
c (t )+( ρ−n )∗1∗(1+" )
c (t )(1+" )
1
c ( t ) (r (t )−n)= 1
c (t )2∗ ´c (t )+( ρ−n )∗1
c (t )
1
c ( t ) (r (t )−n)−
( ρ−n )∗1
c (t ) =
1
c ( t )2∗ ´c (t )
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1
c ( t ) [r (t )−n− ρ+n ]= 1
c (t )2∗ ´c (t )
1
c(t
)
[r (t )− ρ ]= 1
c (t )
2∗ ´c (t )
1
c ( t ) [r (t )− ρ ]
1
c ( t )2
= ´c ( t )
1
c ( t ) [r (t )− ρ ]
1
c ( t )2
= ´c ( t )
[r (t )− ρ ]∗c (t )2
c (t ) = ´c (t )
[r ( t )− ρ ]∗c (t )= ´c (t )
Como se necesita allar la tasa de crecimiento del consumo' entonces decimos
/ue:
[r (t )− ρ ]=´
c (t )c (t )
4e obser$a /ue la tasa de crecimiento del consumo es igual a la /ue allamos
en el literal a' por tanto podemos armar /ue impuestos y sub$enciones no
generan resultados en las decisiones óptimas de consumo.
$- C!ECIMIE/+. E/?@E/.-
Considere una economa donde el producto puede ser usado para consumir o
in$ertir. 1a in$ersión presenta la siguiente ecuación de acumulación
´ K = I ( t )−δK ( t ) y la producción agregada Y ( t )= #K (t )α (B (t ) L(t ))1−α
' donde
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L(t ) es la población y B (t ) s el ni$el de conocimiento agregado en la
economa.
Asuma /ue cada traba*ador aprende usando las má/uinas y una $e! ad/uiere
conocimiento se transmite de manera libre. 4e asume /ue entre más grande el
capital por traba*ador' más grande es el ni$el de conocimiento agregado en la
economa.
a1 Muestre si la anterior especicación corresponde a un modelo de
crecimiento endógeno. E&pli/ue.
Y ( t )= #K (t )α (B (t ) L(t ))1−α
Y ( t ) L(t )
= #K (t )α (B (t ) L (t ))1−α
L( t )
(t )= #K (t )α B (t )1−α
L (t )1−α −1
(t )= #K (t )α B ( t )1−α
L (t )−α
(t )= #K (t )α
B ( t )1−α
L( t )α
Diremos /ue: K (t )α
L(t )α =k (t )α
' por tanto:
(t )= #k (t )α B (t )1−α
0 I =k +δk $k = I (t )−δk (t )
k = F (k )−c (t )−δk (t )
0 %&U =∫0
∞
e− ρt
u(c (t ))dt 4u*eto a
c (t )+ ´k (t )+δk (t )= F (k (t ) ( B(t ))
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Hamiltoniano4
H =u (c (t )) e− ρt + λ(t ) [ F ( k (t ) (B( t ))−c ( t )−δk (t )]
Debido a /ue el Hamiltoniano incluye al t2rmino
B (t )' es decir al ni$el de
conocimiento agregado en la economa' podemos decir /ue este corresponde a
un modelo de crecimiento endógeno' pues e&plica el crecimiento a partir del
aprendi!a*e de los traba*adores.
71 Muestre las condiciones /ue garanti!an /ue la economa cre!ca
permanentemente.
)esol$eremos el Hamiltoniano para allar las condiciones /ue garanti!ancrecimiento permanente en la economa:
H =u (c (t )) e− ρt
+ λ(t ) [ F ( k (t ) (B( t ))−c ( t )−δk (t )]
Aora deri$amos con respecto a las $ariables de control' de estado y de
coestado:
0∂ H
∂ c( t )=u' (c (t ) ) e− ρt − λ(t )=0 6#1
0∂ H
∂b (t )= λ (t )∗ F ' (k (t )( B(t ))−δ =− ´ λ(t ) 6$1
0∂ H
∂ λ (t )= F ( k (t ) ( B( t ))−c (t )−δk (t )=0 6%1
Aora bien' se deri$a la primera condición respecto al tiempo:
´ λ(t )=u ' ' (c (t ))( ´c (t ))e− ρt − ρ e
− ρt u ' (c (t ))
)eempla!ando 6#1 en 6$1 se llega a:
u
'
( c ( t ) ) e− ρt
∗ F
'
( k (t ) (B( t ))−δ =−u
' '
( c (t ) )( ´c (t ))e
− ρt
+ ρ e
− ρt
u
'
(c ( t ) )
u' ( c ( t ) ) e− ρt ∗ F
' ( k (t ) (B( t ))− ρ e− ρt
u' (c (t ) )−δ =−u
' ' ( c (t ) )( ´c (t ))e− ρt
u' ( c ( t ) ) e− ρt [ F
' ( k (t ) (B (t ))− ρ ]−δ =−u' ' ( c (t ) )( ´c (t ))e− ρt
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u' (c ( t ) ) e
− ρt [ F ' (k (t ) ( B(t ))− ρ ]−δ
−u' ' (c ( t ) ) e
− ρt = ´c (t )
u' (c ( t ) ) e
− ρt [ F ' (k (t ) ( B(t ))− ρ ]−δ
−u' '
(c ( t ) ) e− ρt
= ´c (t )
u' (c ( t ) ) e− ρt [ F
' (k (t ) (B(t ))− ρ ]−δ
−u'' (c (t ) ) e− ρt ∗c (t )
=´c (t )
c (t )
u' (c ( t ) ) e− ρt [ F
' (k (t ) (B(t ))− ρ ]−δ
−u'' (c (t ) ) e− ρt ∗c (t )
=´c (t )
c (t )
)ecordemos /ue:
−u' (c (t ) )
u '' (c (t ) )∗(c ( t ) )=σu(c (t )) ' por lo /ue:
σu(c (t ))e− ρt [ F
' ( k (t ) ( B (t ))− ρ ]−δ
e− ρt
=´c (t )
c (t )
σu(c (t )) [ F ' (k (t )( B(t ))− ρ ]− δ
e− ρt
=´
c (t )c (t )
4e puede decir entonces' /ue se garanti!a crecimiento sostenido cuando
σF ' ( k (t ) ( B (t ) )> δ e− ρt
c1 8En los modelos de crecimiento endógeno' puede afectar la poltica
gubernamental la tasa de crecimiento de la economa9
= # k 1−α
)α
u (c (t ) )= c (t )1−*
1−*
)estricción presupuestaria: c (t )+ ( ´k (t )+δk (t ))= (1−" ) ' además )=" .
Aora el Hamiltoniano:
H =u (c (t )) e− ρt + λ(t ) [ (1−" ) −δk (t )−c( t )]
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H =c (t )1−*
1−* ∗e
− ρt + λ(t ) [ (1−" )( # k (t )1−α )
α )−δk ( t )−c (t )]
Aora deri$amos con respecto a las $ariables de control' de estado y de
coestado:
0∂ H
∂ c( t )=(1−*)c (t )1−*−1
1−* ∗e
− ρt − λ (t )=0
∂ H
∂ c( t )=c (t )−*∗e
− ρt − λ (t )=0 6#1
0∂ H
∂ k (t )= λ (t )∗(1−" )(1−α )( # k ( t )−α
)α )−δ =− ´ λ( t ) 6$1
0∂ H
∂ λ (t )=(1−" )( # k ( t )1−α
)α )−δk (t )−c( t )=0 6%1
Aora bien' se deri$a la primera condición respecto al tiempo:
´ λ(t )=−* c (t )−*−1 ´c (t )∗e
− ρt − ρ (e− ρt )∗c (t )−*
)eempla!ando 6#1 en 6$1 se llega a:
c (t )−*∗e− ρt ∗(1−" )(1−α )( # k ( t )−α )α )−δ =* c ( t )−*−1
´c (t )∗e− ρt + ρ (e− ρt )∗c (t )−*
c (t )−*∗(1−" )(1−α )( # k (t )−α )
α )− δ
e− ρt
=* c (t )−*−1 ´
c (t )∗e− ρt
e− ρt
+ ρ ( e
− ρt )∗c (t )−*
e− ρt
c (t )−*∗(1−" )(1−α )( # k (t )−α )
α )− δ
e− ρt
=* c (t )−*−1 ´c (t )+ ρ c (t )−*
u' ( c ( t ) ) e− ρt ∗ F
' ( k (t ) (B( t ))−δ =−u' ' ( c (t ) )( ´c (t ))e− ρt + ρ e
− ρt u
' (c ( t ) )
u' ( c ( t ) ) e− ρt ∗ F
' ( k (t ) (B( t ))− ρ e− ρt
u' (c (t ) )−δ =−u
' ' ( c (t ) )( ´c (t ))e− ρt
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u' ( c ( t ) ) e− ρt [ F
' ( k (t ) (B (t ))− ρ ]−δ =−u' ' ( c (t ) )( ´c (t ))e− ρt
u' (c ( t ) ) e
− ρt [ F ' (k (t ) ( B(t ))− ρ ]−δ
−u' ' (c ( t ) ) e
− ρt = ´c (t )
u' (c ( t ) ) e
− ρt [ F ' (k (t ) ( B(t ))− ρ ]−δ
−u' ' (c ( t ) ) e
− ρt = ´c (t )
u' (c ( t ) ) e− ρt [ F
' (k (t ) (B(t ))− ρ ]−δ
−u'' (c (t ) ) e− ρt ∗c (t )
=´c (t )
c (t )
u' (c ( t ) ) e− ρt [ F
' (k (t ) (B(t ))− ρ ]−δ
−u'' (c (t ) ) e− ρt ∗c (t )
=´c (t )
c (t )
c ( t )c ( t )
=σ u (c (t ) )(α# ("# )1−α
α − ρ)
otamos /ue la tasa impositi$a " impuesta por el gobierno interere en la
tasa de crecimiento del consumo' por tanto' llegamos a la conclusión /ue lapoltica gubernamental puede afectar la tasa de crecimiento de la economa.
%- A< A ,A !E'E,. 6#))#1-
Considere un modelo donde el capital es el 7nico factor de producción' tal /ue
Y = #K ' y donde # representa la tecnologa o producti$idad marginal de
capital. 1as familias ma&imi!an su función de utilidad con ori!onte innito
descontado a $alor presente' donde U (c ) es el tipo C))A. 1a economa es
cerrada y no ay gobierno.
a1 E&pli/ue las condiciones neoclásicas /ue no cumple este modelo de
crecimiento endógeno.
0!endimientos decrecientes en los 3actores 2roductivos
Y = #K
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Condiciones de %rimer ;rden: Condiciones de 4egundo
;rden:
-∂Y
∂ K = #
-∂2Y
∂ K 2=0
De este modo podemos armar /ue los rendimientos ya no son decrecientes'
sino /ue son constantes.
0Condiciones de Inada
(¿ # )= #
− lim K $ ∞
( ∂ F
∂ K )= lim K $ ∞
¿ -
(¿ # )= #
lim K $0
( ∂ F
∂ K )= lim K $0
¿
%or tanto' diremos /ue no se cumplen las Condiciones de 3nada' puesto /ue se
debera dar /ue:lim
K $∞ ( ∂F
∂ K )=0 y /ue
lim K $0
( ∂ F
∂ K )=∞ y como acabamos de
corroborar' esto es distinto a los resultados /ue allamos.
71 Dena la ecuación de acumulación del capital y desarrolle el problema de
los ogares.
)ecordemos /ue la ecuación de acumulación de capital para este modelo está
dada por la siguiente fórmula:
´k (t )=( #−δ −n ) k (t )−c (t )
)ecordemos /ue para los ogares:
u (c (t ) )=c (t )1−*−1
1−*
Hamiltoniano4
H =u (c (t )) e−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )−n )−c (t )]
H =c (t )1−*−1
1−* ∗e
−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )−n )−c (t )]
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Aora deri$amos con respecto a las $ariables de control' de estado y de
coestado:
0∂ H
∂c( t )=(1−*)c (t )1−*−1
1−* ∗e
−( ρ−n) t − λ (t )=0
∂ H
∂ c( t )=c (t )−*∗e
−( ρ−n)t − λ (t )=0 6#1
0∂ H
∂b (t )= λ (t )(r (t )−n)= ´− λ (t ) 6$1
0∂ H
∂ λ (t )=w (t )+b (t ) ( r (t )−n )−c ( t )=0 6%1
Aora bien' se deri$a la primera condición respecto al tiempo:
´ λ(t )=−* c (t )−*−1 ´c (t )∗e
−( ρ−n)t − ( ρ−n ) (e−( ρ−n) t )∗c (t )−*
)eempla!ando λ(t ) en 6$1' obtenemos:
−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )−n)= ´ λ(t )
Aora:
−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )−n)= ´ λ(t )
−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )−n)=−*c (t )−*−1 ´
c (t )∗e−( ρ−n)t −( ρ−n ) (e−( ρ−n ) t )∗c (t )−*
c (t )−*∗(r (t )−n)=−* c (t )−*−1
´c ( t )∗e
−( ρ−n )t
−(e−( ρ−n ) t ) −( ρ−n )
(e−( ρ−n) t )−(e−( ρ−n) t )
∗c(t )−*
c (t )−*∗(r ( t )−n)=* c (t )−*−1 ´c (t )+( ρ−n )∗c( t )−*
c (t )−*∗(r ( t )−n )=* c (t )−*−1 ´
c (t )+( ρ−n )∗c( t )−*
c (t )−*∗(r ( t )−n)−( ρ−n )∗c (t )−*=* c (t )−*−1 ´
c (t )
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c (t )−* [ (r ( t )−n)− ρ+n ]=* c (t )−*−1 ´
c (t )
c (t )−* [r (t )− ρ ]=* c (t )−*−1 ´
c (t )
c( t )−* [r (t )− ρ ]* c (t )−*−1
= ´c (t )
c( t )[r (t )− ρ ]*
= ´c (t )
[r (t )− ρ ]*
=´
c (t )c (t )
)ecordemos /ue r (t )= #−δ ' entonces:
[ #−δ − ρ ]*
=´
c (t )c (t )
c1 Encuentre la tasa de crecimiento del consumo' del capital' del producto per
cápita y del aorro. E&pli/ue los alla!gos.
8+asa de Crecimiento del Consumo
[ #−δ − ρ ]*
=´
c (t )c (t )
8+asa de Crecimiento del Ca2ital
´k (t )k (t )
=( #−δ −n ) k (t )−c ( t )
k (t )
´k (t )k (t )
=( #−δ −n )−c (t )k (t )
@!AFICA
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8+asa de Crecimiento del 5roducto 2er c92ita
ln (Y )=ln ( #k )
´ = ´ # #
+k
k
´ = ´ # #
+( #−δ −n )− c (t )k ( t )
8+asa de Crecimiento del Aorro
s
s=1−
´c (t )c( t )
s
s=1−
[ #−δ − ρ ]*
%or lo tanto diremos /ue a partir de los alla!gos' todas las tasas de
crecimiento son constantes' puesto /ue todos los parámetros del modelo son
constantes.
d1 8<u2 condición debe cumplirse respecto a los parámetros del modelo para/ue la utilidad sea acotada y tenga sentido económico9 8Hay con$ergencia con
este modelo9 8<u2 diferencias $e respecto al modelo estudiado de 4olo5-
45an9
01a condición /ue debe cumplirse respecto a los parámetros del modelos para
/ue la utilidad sea acostada y tenga sentido económico es /ue ρ>n ' para
/ue de este modo la descendencia de los indi$iduos no consuma todo sus
ingresos' puesto /ue se plantea un modelo con ori!onte innito.
4e debe cumplir /ue:
u (c (t ) )={ Cu&nd+ *=1ent+nces ln ( c (t ) )
Cu&nd+*,0 * -1ent+nces c (t )
1−*
1−* }
0o ay con$ergencia en este modelo' puesto /ue
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=)A>3CA
01as diferencias encontradas respecto al modelo /ue estamos utili!ando y el
modelo de 4olo5- 45an es /ue en el primero se presenta aorro endógeno'
tecnologa endógena' crecimiento sostenido y /ue en este modelo ay capital
umano' en cambio en el modelo de 4olo5- 45an no se presenta nada de esto.
e1 Aora suponga /ue se incluye un impuesto " a los retornos del capital
+nota: recuerde /ue #=r ( t )+δ ' y w (t )=0 . %lantee nue$amente la
restricción presupuestaria del ogar representati$o y encuentre las tasas de
crecimiento solicitadas en el literal c. E&pli/ue. 8Estas polticas de gra$amen
afectan de forma permanente la tasa de acumulación de capital9
u (c (t ) )=c (t )1−*−1
1−*
Hamiltoniano4
H =u (c (t )) e−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )(1−" )−n)−c(t )]
H =c (t )1−*−1
1−* ∗e
−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )(1−" )−n)−c (t )]
Aora deri$amos con respecto a las $ariables de control' de estado y de
coestado:
0∂ H
∂ c( t )=(1−*)c (t )1−*−1
1−* ∗e
−( ρ−n) t − λ (t )=0
∂ H
∂ c( t )=c (t )−*∗e
−( ρ−n)t − λ (t )=0 6#1
0
∂ H
∂b (t )
= λ (t )(r (t )−n)= ´− λ (t )
6$1
0∂ H
∂ λ (t )=w (t )+b (t ) ( r (t )(1−" )−n )−c (t )=0 6%1
Aora bien' se deri$a la primera condición respecto al tiempo:
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´ λ(t )=−* c (t )−*−1 ´c (t )∗e
−( ρ−n)t − ( ρ−n ) (e−( ρ−n) t )∗c (t )−*
)eempla!ando λ(t ) en 6$1' obtenemos:
−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )(1−" )−n)= ´ λ (t )
Aora:
−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )(1−" )−n)= ´ λ (t )
−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )(1−" )−n)=−* c (t )−*−1 ´
c ( t )∗e−( ρ−n) t − ( ρ−n ) (e−( ρ−n) t )∗c (t )−*
c (t )−*∗(r (t )(1−" )−n)=−* c(t )−*−1
´c (t )∗e
−( ρ−n)t
−(e−( ρ−n) t ) −( ρ−n ) ( e
−( ρ−n )t
)−( e−( ρ−n) t )∗c (t )−*
c (t )−*∗(r ( t )(1−" )−n )=* c (t )−*−1 ´
c (t )+ ( ρ−n )∗c (t )−*
c (t )−*∗(r ( t )(1−" )−n )=* c (t )−*−1 ´
c (t )+ ( ρ−n )∗c (t )−*
c (t )−*∗(r ( t )(1−" )−n )−( ρ−n )∗c( t )−*=* c (t )−*−1 ´
c (t )
c (t )−* [ (r ( t )(1−" )−n )− ρ+n ]=* c (t )−*−1 ´
c (t )
c (t )−* [r (t )(1−" )− ρ ]=* c (t )−*−1 ´
c (t )
c( t )−* [r (t )(1−" )− ρ ]* c ( t )
−*−1 = ´c (t )
c( t )[r (t )(1−" )− ρ ]*
= ´c (t )
[r (t )(1−" )− ρ ]*
=´
c (t )c( t )
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[( #−δ )(1−" )− ρ ]*
=´
c (t )c( t )
%or lo tanto podemos armar' /ue los distorsi$os s afectan.
8+asa de Crecimiento del Consumo
[( #−δ )(1−" )− ρ ]*
=´
c (t )c( t )
8+asa de Crecimiento del Ca2ital
#−δ ´k (t )
k (t )=
[ (¿(1−" )−n ) ]k (t )−c (t )
k (t )
#−δ ´k (t )
k (t )=(¿(1−" )−n )−
c (t )k ( t )
8+asa de Crecimiento del 5roducto 2er c92ita
´ = ´ # #
+k
k
#−δ
´ = ´ # #
+(¿(1−" )−n )− c (t )k (t )
8+asa de Crecimiento del Aorro
s
s=1−
´c (t )c( t )
s
s=1−
[( #−δ )(1−" )− ρ ]*
%or lo tanto diremos /ue a partir de los alla!gos' todas las tasas de
crecimiento son constantes' puesto /ue todos los parámetros del modelo son
constantes.
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(- CIC,.S !EA,ES-
4uponga /ue los indi$iduos $i$en dos periodos y sus preferencias $ienen dadas
as:u=lnC
1 t + lnC 2 t +1 ' asumiendo /ue cada generación tiene el mismo
tama#o y /ue en cada periodo los *ó$enes tienen una oferta inelástica de una
unidad de traba*o ganando un salario dew t ' consumiendo y aorrando para
el retirok t +1 . 1os $ie*os consumen sus aorros y sus rendimientos y el
gobierno pone un impuesto proporcional al salario de los *ó$enes.
El producto $iene dado t = # k t α .t 1−α
dondek t es el stoc? de capital
disponible en t pero determinado por los aorros en t@ y.t es la oferta
agregada de traba*o. El capital se deprecia a una tasa
.
a1 >ormule el problema del consumidor y resuel$a parak t +1 como función
del salario y los impuestos.
L=lnC 1 t +lnC
2t +1+ λ( t )[ wt (1−" ) (1+r t +1 )−c1 t (1+r t +1 )−c
2t +1 ]
Deri$ando el lagrangiano con respecto a las $ariables:
•
∂ L
∂ c1 t
= 1
c1 t
− λ (t ) (1+r t +1)=0
(
1
c1 t (1+rt +1 )= λ (t )
6#1
•
∂ L
∂ c2 t +1
= 1
c2 t +1
− λ (t )=0(
1
c2 t +1
= λ ( t )6$1
•
∂ L
∂ λ (t )=w t (1−" ) (1+rt +1 )−c
1t (1+rt +1 )−c2 t +1=0
6%1
c1 t +k t +1=wt (1−" ) c2 t +1=(1+rt +1 ) k t +1 6B1
k t +1=wt (1−" )−c1 t 6(1 c
2 t +1=(1+rt +1 ) [wt (1−" )−c1 t ]
c2 t +1=wt (1−" ) (1+r t +1)−c
1 t (1+r t +1 )
3gualamos las ecuaciones 6#1 y 6$1 y obtenemos:
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λ (t )= λ( t )
1
c1 t (1+rt +1 )
= 1
c2 t +1
c1 t (1+rt +1 )=c
2 t +1 6&1
%or lo tanto' reempla!ando 6&1 en 6B1:
c2 t +1=(1+r t +1 )k t +1
c1 t (1+rt +1 )=(1+r t +1 ) k t +1
c1 t (1+rt +1 )(1+r t +1 )
=k t +1
c1 t =k t +1
%or lo tanto' abiendo allado esta igualdad' nos de$ol$emos a la ecuación 6(1:
k t +1=wt (1−" )−c1 t
0 k t +1=wt (1−" )−k t +1 0 k t +1=wt (1−" )−k t +1
1
k t +1
= 1
wt (1−" )−k t +1 k t +1+k t +1=wt (1−" )
k t +1=w t (1−" )
261
%or lo /ue el aorro es la mitad del ingreso laboral' es decir' el indi$iduosua$i!a su consumo.
71 >ormule el problema de la rma y encuentre las condiciones de optimalidad.
05ro7lema de la Firma4
F (k t ( .t )= t = # k t α .t 1−α
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Hallamos las condiciones de primer orden:
0
∂ t
∂ k t =rt +δ 0
∂ t
∂ k t =wt
#α k t α −1
.t
1−α
=rt +δ # (1−α )k t α
.t
−α
=w t
)ecordemos /ue en el e/uilibrio' /L= DL ' entonces:
#α k t α −1−δ =r t
# (1−α )k t α =wt 6*1
t = # k t α
Aora bien' recordemos /ue la elasticidad es: 0 1 ( #=∂ 1 t / 1 t
∂ # t / #t
De acá /ue la elasticidad del producto con respecto a # ' es la siguiente:
0 ( #
=∂ t / t
∂ # / # =
∂ t
∂ #∗ #
t
=k t
α ∗ #
# k t α
=1
%or tanto la relación de sustitución es a .
Volatilidad con res2ecto al consumo y la inversión4
8Consumo
c1 t +c2 t +1+k t +1−(1−δ ) k t = # k t α
c t t
Aora' tenemos /ue el consmo agregado es:
c t = # k t α −k t +1+(1−δ ) k t 6)1
)etomando' reempla!amos la ecuación 6*1 en la ecuación 61' y obtenemos:
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# (1−α )k t α =wt ( k t +1=
w t (1−" )
2
k t +1= #(1−α )k t
α (1−" )
2
= #∗
(
(1−α )
2
)k t
α (1−" ) 6#D1
Aora reempla!amos 6#D1 en 6)1 obteniendo la siguiente e&presión:
c t = # k t α −k t +1+(1−δ ) k t
c t = # k t α −[ #∗( (1−α )
2 )k t α (1−" )]+(1−δ ) k t
c t = # k t
α
(− #2 + α#
2 )k t
α (1−" )+ (1−δ ) k t
c t =( 2 #
2 −
#
2 +
α#
2 )k t α (1−" )+ (1−δ ) k t
c t =( #2 + α#
2 )k t α (1−" )+ (1−δ ) k t
c t = # ( 1+α
2 )k t α (1−" )+ (1−δ ) k t
;bser$emos el efecto de un incremento en A en el consumo:
0c ( #=∂ c t /c t
∂ # / #=
∂ c t
∂ #∗ #
ct
=(1+α
2 )k t α (1−" )∗ #
#(1+α
2 )k t α (1−" )+(1−δ )k t
Di$idiendo por # ( 1+α
2 )k t α (1−" )
' llegamos a:
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0c ( #= 1
1+ (1−δ ) k t
# ( 1+α
2 )k t α (1−" )
<1=0 ( #
%or lo /ue podemos armar /ue el consumo es menos $olátil.
8Inversión
I t =k t +1−(1−δ )k t
I t = #∗( (1−α )2 )k t
α (1−" )−(1−δ )k t
Aora $eamos cuál es el efecto de un incremento de A en la in$ersión:
0 I ( #=∂ I t / I t ∂ # / #
=
∂ I t
∂ #∗ #
I t = #∗( (1−α )
2 )k t α (1−" )∗ #
#∗( (1−α )2 )k t
α (1−" )−(1−δ )k t
Di$idiendo por #∗( (1−α )2 )k t
α (1−" ) ' obtenemos:
0 I ( #= 1
1− (1−δ )k t
#∗( (1−α )2 )k t
α (1−" )
>1=0 ( #
%or tanto diremos /ue la in$ersión es más $olátil.
c1 Muestre el efecto de un incremento transitorio en los impuestos sobre el
producto' el consumo y la in$ersión.
∂ct
∂" =
− #t k t (1−α )2
<0
%or lo tanto un incremento transitorio en los impuestos sobre el consumo'
arán /ue ba*e el ni$el de consumo.
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∂ I t
∂ " =
− # t k t (1−α )2
Esto /uiere decir /ue un aumento transitorio en los impuestos sobre la
in$ersión' ará /ue se afecte en la misma cuanta
d1 3nterprete y e&pli/ue su respuesta.
B- Mane*o de información 4e utili!ará la información departamental sobre %3B
per cápita obtenida para el punto del taller .
a1 Bus/ue y organice los datos sobre cobertura y calidad en la educación del
Ministerio de Educación acional para los departamentos colombianos.
71 E&amine la relación entre estos indicadores de educación y el %3B per cápita
departamental. 8<u2 le sugiere9 8Cómo es la relación9 84e mantiene para
di$ersos periodos de tiempo9
c1 84erá /ue los departamentos más pobres tienen los peores resultados /ue
los departamentos más ricos9 8Cuál considera debe ser la direccionalidad entre
educación y producto y por /u29
d1 n indicador' bastante burdo' sobre 3n$estigación-Desarrollo es el n7mero
de grupos de in$estigación. "eniendo en cuenta la información de la 7ltima
clasicación de grupos de in$estigación por parte de Colciencias estable!ca
una relación del crecimiento del %3B per cápita para alg7n periodo +FFF-F,
y el n7mero de grupos de in$estigación acreditado por Colciencias. 3ntente
acer un buen e*ercicio descripti$o apoyándose en grácos y tablas.Especi/ue las $ariables a utili!ar. Muestre /ue le se#alan sus alla!gos.