taller grado area asignatura pagina 8º algebra

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INSTITUCION EUCATIVA JUAN DE AMPUDIA

GRADO AREA ASIGNATURA PAGINA 8º MATEMÁTICAS ALGEBRA 01 1 DE 62

GUIA # 4 PARA EL GRADO OCTAVO (8-01 Y 8-02)

MOTIVACION RETO MATEMATICO

SOPA DE LETRAS SOBRE CONCEPTOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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INTRODUCCION AL ALGEBRA

El término "Álgebra" proviene de la palabra árabe "al-jabr" que significa componer. "Al-jabar" forma parte del título de un libro escrito, alrededor del año 825, por el matemático árabe Al -Khowarizmi, en el

que muestra la primera fórmula general para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y que traducido al castellano significa "ciencia de la restauración y oposición" o "trasposición y eliminación".

En este sentido, el álgebra es la parte de las matemáticas que trata del cálculo de las cantidades consideradas en general, independientemente de la magnitud numérica que representan y de los sistemas de numeración. Tiene como objetivo generalizar y simplificar la resolución de los problemas relativos a los números. Para ello, precisa de reglas que permitan trasponer términos entre l as partes

de una igualdad y cancelar o eliminar aquellos términos que representan cantidades iguales. A lo largo del tiempo, el desarrollo del álgebra ha generado un lenguaje especial que conlleva el uso de letras y expresiones literales (que generalizan los valores numéricos) sobre las que se realizan

operaciones. 1. SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Existen cuatro clases de signos de agrupación:

Las cantidades encerradas en los signos de agrupación deben considerarse como un todo, es decir,

como una sola cantidad. Varios signos de agrupación pueden estar presentes en una sola expresión; Ejemplo:

Como se observa, en la expresión anterior, se acostumbra escribir barras dentro de los paréntesis, paréntesis dentro de corchetes, y corchetes dentro de llaves.

Estos signos se utilizan para separar diversas operaciones. Estos son:

1. paréntesis ()

2. corchetes [] 3. llaves {} 4. barra o vinculo

Los signos de agrupación definen el orden en el que se realizará la operación un ejemplo es, las

operaciones que están entre paréntesis son las que se realizaran primero, posteriormente las que se encuentran entre corchetes y por último las que se encuentran entre llaves. Ejemplo:

{2*2[2+2(4+2)]} Primeramente realizaremos la operación entre paréntesis, en este caso sería 4+2=6 {2*2[2+2(6)]} posteriormente la que se encuentra entre los corchetes en este caso es una suma con multiplicación 2+2=4*6 {2*2[24]} como ves el paréntesis ha desaparecido ahora vamos con la que se

https://sites.google.com/site/itimatwm/home/numeros-enteros/signos-de-agrupacion/N%C3%9AMEROS%20Z,%20SIGNOS%20DE%20AGRUPACI%C3%93N.png?attredirects=0

https://sites.google.com/site/itimatwm/home/numeros-enteros/signos-de-agrupacion/N%C3%9AMEROS%20Z,%20COMPOSICI%C3%93N%20DE%20SIGNOS%20DE%20AGRUPACI%C3%93N.png?attredirects=0

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encuentra entre llaves*2=4*24 {96} han desaparecido los corchetes por tanto el resultado es 96. Así de sencillo solo hay que seguir la jerarquía de los signos Los signos de agrupación, paréntesis (), corchetes [ ] y llaves { }, se utilizan para orde nar los cálculos y

fijar prioridades. Convención (el punto es multiplicación y los dos puntos división) ACTIVIDAD Nº 1

No use los signos de agrupación y trate de cualquier forma de resolver las siguientes operaciones: 1) 2+4. 8: 2-5+3= 2) lo hago separando por los signos (los + y los - forman grupos)

3) Ahora decido ordenar los cálculos y así establecer las prioridades Rta: 22; 16;-3

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS ¿QUE ES EL ALGEBRA?

Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de la aritmética. A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en

álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables) o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general, El álgebra

conforma una de las grandes áreas de las matemáticas. ¿PARA QUE SIRVE EL ALGEBRA? Te enseña las bases para más tarde poder hacer planteamientos matemáticos que representen la realidad. De esa manera podrás explicar y prevenir situaciones de la

física, química y demás. Como por ejemplo “cuán rápido llegara un coche a..." “que fuerza se necesita para levantar..." etc.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros

http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reas_de_las_matem%C3%A1ticas

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ELEMENTOS DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Signo Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante

de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo. En nuestro caso del ejemplo el signo es negativo. Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es

la unidad. En nuestro caso del ejemplo el coeficiente es la parte numérica o sea 4 Parte literal La parte literal está formada por las letras que haya en el término. En nuestro caso del ejempl o la parte

literal es X Grado El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término X3Y2Z, es de tercer grado con respecto a X, de segundo grado con respecto a Y y de primer

grado con respecto a Z. En nuestro caso del ejemplo el grado es 2. TÉRMINOS SEMEJANTES CONCEPTO DE TÉRMINO SEMEJANTE

Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.

Y son términos semejantes.

Y son términos semejantes.

Y no son términos semejantes.

Y no son términos semejantes.

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REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos

semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:

a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes

anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se

escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes

anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

b) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los

términos positivos a un solo término y todos los términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

Reducir 5a -8a +a -6a + 21a Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a

Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene 27a -14a =13a Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13ª

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Ejemplo

Reducir

Reduciendo los positivos:

Reduciendo los negativos:

Tendremos: CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS

GRADO DE UN TÉRMINO. El grado absoluto de un término está dado por exponentes, con sus respectivas literales. Este puede ser relativo o absoluto. GRADO RELATIVO.

Es el grado de cada factor por separado. GRADO ABSOLUTO Es la suma de los exponentes de cada uno de sus factores.

CLASIFICACIONES DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas se clasifican según los números de términos que contenga: Monomio: es una expresión que solo cuenta con un término, es decir no está separado por ningún

signo de + ó -. Polinomio: es la expresión algebraica que indica que dos o más términos se suman o se restan, dentro de los polinomios se encuentran los binomios y trinomios en los cuales su nombre indica cuantos términos lo forman.

En los polinomios pueden existir ó no términos semejantes que son aquellas literales que tienen los mismos exponentes y que en conjunto son iguales. El grado absoluto de un polinomio es igual al grado del mayor exponente y el grado relativo de una

literal es igual al mayor exponente de esa literal dentro del polinomio. Clasificación de los términos por sus características: Término entero: es que no tiene denominador literal Ejemplos:

-4a

Término Fraccionario: es el que si tiene denominador literal

Ejemplos:

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Término Racional: es el que no tiene signo radical Ejemplos:

-3a

Término Irracional: es el que si tiene signo radical Ejemplos:

Clasificación de los términos por su grado absoluto:

Términos homogéneos: Es un conjunto de términos algebraicos con igual valor absoluto. Ejemplos:

a2b2 6sxyz

Son términos de cuarto grado absoluto.

Términos heterogéneos: Es un conjunto de términos algebraicos con diferente valor absoluto. Ejemplos:

a3b2 6sxyz

Son términos de distinto grado.

Clasificación de los términos por sus elementos:

Términos semejantes: Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente. Ejemplos:

Términos iguales: Son aquellos términos que tienen igual el signo, coeficiente, literal y exponente. Ejemplos:

-7a3b2 a3b2

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Término simétrico: Son aquellos términos que tienen el mismo coeficiente, literal y exponente, pero no tienen el mismo signo.

Ejemplos:

-2a3b2 2a3b2

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN El uso de paréntesis en Álgebra, es muy frecuente. Los paréntesis se utilizan para separar expresiones, siendo necesario eliminarlos, para poder resolver una expresión algebraica que contenga términos

semejantes. En necesario, entonces, tener en cuenta las siguientes reglas: Si delante de un paréntesis hay un signo + (más) se eliminan los paréntesis sin hacer ningún cambio de signo. Si delante de un paréntesis hay un signo - (menos) se eliminan los paréntesis y se cambian

TODOS los signos de los términos que estaban en su interior. Al hacer esto, el signo - que estaba delante del paréntesis, se elimina. Si en una expresión algebraica hay más de un paréntesis, siempre se comienza desde el más pequeño al

más grande o bien desde el interior hacia el exterior. Ejercicios resueltos: 1) 3ab – { 3a – ( – 5ab + 8a ) – 2a } Se eliminan primero los paréntesis interiores. Como delante del paréntesis redondo hay un signo –,

éste se elimina y se cambian los signos de los términos que están dentro del paréntesis. 3ab – {3a + 5ab – 8a – 2a} Se suman o restan los términos semejantes (aquellos que tienen el mismo factor literal y por

consiguiente, el mismo grado). 3ab – {– 7a + 5ab} Se elimina el paréntesis exterior. Como hay un signo menos, se deben cambiar los signos de los

términos que estaban dentro del paréntesis. 3ab + 7a – 5ab Se reducen los términos semejantes.

– 2ab + 7ª 2) 7x + {– 5y + 6z } – 8z

Como delante del paréntesis hay un signo +, se suprimen los paréntesis y los signos de los términos comprendidos en ellos, NO CAMBIAN. 7x – 5y + 6z – 8z 7x – 5y – 2z

3) 7a – [ { ( 3x – 8a ) – ( 2x – 4a )} – 5x ] 7a – [ { 3x – 8a – 2x + 4a } – 5x ] 7a – [{x – 4a – 5x} ]

7a – [ – 4x – 4a] 7a + 4x + 4a 11a + 4x

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VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se

obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado: Ejemplo: Dada la expresión:

Respuesta: 1066 Solución: Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos aritméticos:

L(r) = 2 r

r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm S (l) = l2 l = 5 cm A (5) = 52 = 25 cm2

V(a) = a3 a = 5 cm V (5) = 53 = 125 cm3

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un

número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x - 3; x = 1 P (1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Q(x) = x4 − 2x3 + x2 + x − 1; x = 1 Q (1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0 R(x) = x10 − 1024: x = −2

R (−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

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ACTIVIDAD Nº 2

* reducción de términos semejantes

1. Reducir estos términos semejantes: 4x -3x =

a. 7x b. -7x c. x

2. Reducir estos términos: -10a +3a =

a. -13a b. -7a c. 7a

3. Reducir estos términos: 11b -4b =

a. 15b b. -15b c. 7b

4. Reducir estos términos: -28y +13y =

a. -15y b. 31y

c. 15y

5. Reducir estos términos: 22x -10x =

a. 32x

b. 12x c. -32x

6. Reducir estos términos: -18c +7c =

a. -11c b. -25c c. 11c

Calcula el valor numérico de:

3a – 2b + 4a + 3b si a = 2 y b = 3

Respuesta: 17


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Respuesta: 7


Respuesta:

Halla el valor numérico: para a = 3, b = 4 y c = 5

Respuesta:


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Para p = 5, a = 2, b = 3 y c = 4

Respuesta:

Solución:

Respuesta:


Para a = 5 y b = 3

Respuesta:

Solución: Recuerda que si entre paréntesis no hay signos aritméticos, se entiende que se encuentra el signo X.


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Respuesta: 15


Para a = 1 y b = 2 Cuidado con los signos negativos. Respuesta: -3


Para

Respuesta:

Halla el valor numérico de:

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Respuesta:

Operaciones básicas con polinomios.

SUMA ALGEBRAICA

Recordemos que el álgebra es una rama de la Matemáticas, que se caracteriza por el empleo de letras para representar números, con ellas y con los símbolos que se han utilizado para indicar operaciones y

agrupamientos, se ha elaborado un código especia, el lenguaje algebraico. El simbolismo del lenguaje algebraico ha ido modificándose al paso del tiempo. Sus orígenes se remontan a Babilonia, Egipto, Grecia y Arabia.

Años más tarde el álgebra fue expresada mediante el lenguaje ordinario, a través de palabras. La Diferencia con la aritmética es que en aritmética las cantidades son representadas por números que

expresan valores determinados; en álgebra se generaliza un poco más y las cantidades se representan por medio de letras y pueden expresar cualquier valor que se le asigne. Nomenclatura Algebraica.- Es la rama de las matemáticas que generaliza los procedimientos, cálculos

matemáticos para resolver problemas. . En esta unidad interactiva el estudiante: - Explorará la suma de expresiones algebraicas a través de varias escenas que le permitirán recordar y aprender algunos conceptos básicos de álgebra, tales como expresión algebraica y sus componentes.

- Practicará la simplificación de expresiones algebraicas, agrupando y sumando términos semejantes

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. ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONCEPTO DE ADICIÓN O SUMA ALGEBRAICA

La suma o adición es una operación que tienen por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas

(sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).

En aritmética la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma tiene un concepto más general, ya que puede significar aumento o disminución.

En la suma algebraica se distinguen dos casos que son:

a) Suma de monomios b) Suma de polinomios.

Suma de monomios: para sumar dos ó más monomios primero se eliminaran paréntesis se escriben uno a continuación de los otros con sus propios signos y se reducen los términos semejantes aplicando la ley de los signos:

SIGNOS IGUALES SE SUMAN Y CONSERVAN SU SIGNO YA SEA + Ó –

SIGNOS DIFERENTES SE RESTAN Y SE CONSERVA EL SIGNO DEL NÚMERO DE MAYOR VALOR.

Suma de polinomios Para sumar polinomios, se organizan estos unos debajo de los otros, de tal forma que, los términos semejantes queden en columna. Se hace la reducción correspondiente separándolos por los signos correspondientes. El resultado se ordena en forma ascendente o descendente respecto de una letra.

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Ejemplos. Sumas

Este apartado consta de cinco escenas: Sumas 1 a Sumas 5. Sumas 1 En la primera escena de este apartado se trata de evaluar expresiones algebraicas en uno o más valores de x. El propósito es que el estudiante adquiera la habilidad de sumar términos semejantes. La forma

de interacción se explica por sí misma.

Sumas 2

La segunda escena es similar a la primera, se evalúan dos expresiones algebraicas en uno o más valores

de x. La forma de interacción es por medio de pulsadores para cambiar el valor de x.

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Sumas 3

Se trata de sumar 2 términos semejantes generados automáticamente por la computadora. El alumno tiene que introducir su respuesta en el campo de texto y presionar el botón Verificar. Si la respuesta fue incorrecta el alumno podrá sustituir diversos valores de x y comprobar por qué su respuesta fue equivocada.

Sumas 4

Escena orientada a que el estudiante ponga en práctica sus habilidades de agrupar términos

semejantes en la suma de expresiones algebraicas.

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Sumas 5

Por último, ejercicios destinados a practicar la suma de expresiones algebraicas.

La suma de polinomios consiste en sumar el coeficiente de los términos del mismo grado, si son diferentes sólo se deja indicado Sumar a − b, 2a + 3b − c y − 4a + 5b

La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de paréntesis; así: (a − b) + (2a + − c) + ( − 4a + 5b) Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros con sus propios

signos, y tendremos: a − b + 2a + 3b − c − 4a + 5b = − a + 7b − c Ejemplo 1

(X + 2) + (x2 − 2x + 4) = x2 + x − 2x + 2 + 4 = x2 − x + 6 Ejemplo 2 (2x2 + 3x + 2) + (2x + 1) = 2x2 + 3x + 2x + 2 + 1 = 2x2 + 5x + 4 Ejemplo 3

(7x4 + 3x3 − 5x2 − 1) + (x4 + 2x3 − 3x2 + 3) = 7x4 + x4 + 3x3 + 2x3 − 5x2 − 3x2 + 3 − 1 = 8x4 + 5x3 − 8x2 + 2 Ejemplo: P(x) = 8x3 + 4x2 − 6x + 2

Q(x) = 3x4 − 2x3 + x2 + x Escribimos todo como una sola expresión: P(x) + Q(x) = (8x3 + 4x2 − 6x + 2) + (3x4 − 2x3 + x2 + x)

Para mayor claridad, agrupar por el valor de las potencias: P(x) + Q(x) = 3x4 + 8x3 − 2x3 + 4x2 + x2 − 6x + x + 2 Finalmente sumar las expresiones del mismo grado:

P(x) + Q(x) = 3x4 + 6x3 − 5x2 − 5x + 2

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Suma con coeficientes fraccionarios

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PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En resumen:

La operación de adición (+)

se escribe

es conmutativa:

es asociativa:

tiene una operación inversa llamada sustracción: , que es igual a sumar un

número negativo,

Tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma:

http://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad

http://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_%28%C3%A1lgebra%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_opuesto

http://es.wikipedia.org/wiki/Sustracci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo

http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro

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SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONCEPTO DE SUSTRACCIÓN O RESTA ALGEBRAICA

Polinomio opuesto

Dados dos polinomios:

De grado n, se dice que son opuestos y se representa:

Si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos), esto es:

Ejemplo:

Los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.

La sustracción es la operación inversa de la suma. Si se tiene: a __ b = a + __ b

Apliquemos este concepto al siguiente ejercicio en el cual hay una sustracción o resta.

p(x) = 3 x2 + 2 x5 __ 5 x

p(x) __ q(x) = p(x) + __ q(x)

q(x) = 6 x5 __ 8 x + 4 x2

El primer consiste en reemplazar los polinomios en la operación dada.

p(x) __ q(x) = 3 x2 + 2 x5 __ 5 x __ [ 6 x5 __ 8 x + 4 x2 ]

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A continuación en el segundo se aplica la propiedad de la operación inversa de la adición y, eliminando el paréntesis, se cambian los signos del polinomio que está a la derecha del signo menos.

3 x2 + 2 x5 __ 5 x __ [6 x5 __ 8 x + 4 x2 ]

3 x2 + 2 x5 __ 5 x + __ [6 x5 __ 8 x + 4 x2 ] 3 x2 + 2 x5 __ 5 x + __ 6 x5 + 8 x __ 4 x2

El tercer paso consiste en ordenar los polinomios de acuerdo a su grado decreciente o creciente y

reducir los términos semejantes. Si hay una resta se procede a utilizar la propiedad anteriormente citada (en este caso hay que cambiar el signo de resta que está delante del 4 x).

2 x5 + __ 6 x5 + 3 x2 __ 4 x2 + __ 5 x + 8 x

2 x5 + __ 6 x5 + 3 x2 + __ 4 x2 + __ 5 x + 8 x Podemos comprobar que: 2 + __ 6 = __ 4, que 3 + __ 4 = __ 1 y que __ 5 + 8 = 3, para quedar:

4 x5 + __ x2 + 3 x = __ 4 x5 __ x2 + 3 x El resultado se puede expresar de cualquiera de las dos formas, pues ambas expresiones son

equivalentes. Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.

En otras palabras podemos ver la resta de polinomios así: Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:

Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del paréntesis se

afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo antepuesto al paréntesis pasa a ser positivo.

Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo sólo escriba los términos que están dentro del

paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los dos paréntesis. Paso 3: Agrupe los términos semejantes; es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.

Paso 4: Sume y reste los términos semejantes. Así que aplicando este concepto a la expresión original tendríamos:

=

=

=

=

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Ejemplo Efectuemos la siguiente resta de polinomios

La resta anterior se convierte en la suma

Que es igual a

Objetivo Restar polinomios Nuestro objetivo es simplificar - ( x2 - 2x + 3)

Para simplificar el opuesto de un polinomio, cambias el signo de cada término que está dentro del paréntesis. -(x2 - 2x +3) = - x2 + 2x - 3

Polinomios pueden ser restados usando el formato vertical o el formato horizontal. Recuerda que para restar es lo mismo sumar el opuesto del polinomio. Simplifica ( -3x2 - 7) - (-8x2 + 3x + -4). Usa el formato vertical.

-3x2 + 7 - (-8x2 + 3x + -4) =

-3x2 + 7 + 8x2 + 3x + -4)

= 5x2 - 3x - 3

(Restar un número es igual

que sumar el opuesto del número.) (-3x2 - 7) - ( -8x2 + 3x + -4)

(-3x2 + -7) + - (8x2 + 3x + -4) (-3x2 + -7) + ( -8x2 + -3x + 4)

1. Arreglar los términos de cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la

misma columna. 2. Reescribes la resta como la suma del opuesto. 3. Combinar los términos en cada columna.

Simplifica (5x2 - 3x + 4) - ( -3x3 - 2x + 8). Usar el formato horizontal. 1. Reescribes la resta como la suma del opuesto. (5x2 - 3x + 4) - (-3x3 - 2x + 8) 2. Combinas los términos semejantes. (5x2 + -3x + 4) + - (-3x3 + -2x + 8)

3. Escribes el polinomio en orden descendente. (5x2 + -3x + 4) + (3x3 + 2x + -8) 3x3 + 5x2 + -3x + 2x + 4 + -8 3x3 + 5x2 - x - 4

Ejemplo: Simplifica (6y2 - 3y - 1) - (7y2 - y) = Usar formato vertical. Solución:

( 6y2 + - 3y + -1)+ - (7y2 + - y) = 6y2 + -3y+-1 + -7y2 + y 6y2 + -7y2 + -3y + y + -1 -y2 + -2y + -1 o sea -y2- 2y - 1

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Ejemplo: Simplifica (4x3 - 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2). Usar el formato horizontal. Solución: (4x3 - 3x - 7) - (7x2 - 4x - 2)

(4x3 + -3x + -7) +-(7x2 + -4x + -2) (4x3 + -3x + -7) + (-7x2+ 4x + 2) o sea 4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 +2 4x3 + -7x2 + x + -5 o sea 4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 + 2

4x3 + -7x2 + -3x + 4x + -7 + 2 o sea 4x3 + -7x2 + x + -5 o sea 4x3 - 7x2 + x - 5

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PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS La diferencia de polinomios consiste en restar coeficientes de igual grado (lo que acompaña a las equis, recordemos) entre sí. Este tipo de operaciones, al igual que la suma y la multiplicación poseen una serie

de propiedades: A). Propiedad asociativa: Sean dos polinomios A(x) y B(x) se cumple que: (A(x) – B(x)) – C(x) = (A(x) – C(x)) – B(x)

B) Elemento Neutro: Sea un polinomio P(x) y 0 un polinomio nulo cuyo valor numérico es cero, se cumple que: P(x) – 0= P(x)

C) Elemento Opuesto: Siendo A(x) un polinomio y –A(x) su opuesto (es decir, el mismo polinomio pero cambiado los + por – y los – por + de todos sus coeficientes) se cumple que: A(x) – A(x) = 0 *Nota: Para aclarar el concepto de elemento opuesto, si no lo entendisteis del todo bien, mirad el

ejemplo de abajo, pues el elemento que está restando le hemos cambiado los signos a sus coeficientes, quedándonos el susodicho elemento opuesto. Pues vamos a ello y hagamos un ejemplo:

**Pista**: Como observáis, lo único que tenéis que hacer es cambiarle el signo al polinomio que está en el sustraendo, quedando con signo negativo. Dicho esto, solo se tiene que agrupar cada coeficiente de igual grado y proceder a operar. Cabe destacar que bien os puede dar un valor positivo negativo o

ningún valor, en este último caso, simplemente lo omitís y dejáis un espacio en blanco (no pongáis cero, no es necesario ya que 0x=0). El siguiente ejercicio tiene los signos alternados, para poner lo más lioso posible, solo os tenéis que fijar

antes de operar y acordaros de cambiar cada signo correctamente:

Como se puede apreciar, para realizar correctamente el

cálculo, hemos cambiado de signo los coeficientes del sustraendo, quedando todo en la suma del opuesto de ese sustraendo anteriormente citado

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MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONCEPTO DE MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO ALGEBRAICO Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética,

las cuales son: Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) (+) = + (-) (-) = + (+) (-) = -

(-) (+) = -

Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

(Xm) (Xn) = X (m+n) Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto

(x) (z) (y) = (y) (z) (x) = (z) (x) (y) = xyz

Pero en el álgebra se obedece también la ley de los coeficientes. Ley de los coeficientes: el coeficiente del producto de dos o más expresiones algebraicas es igual al

producto de los coeficientes de los factores. (4x) (5y) = 4 · 5 · x · y = 20xy

MONOMIO POR MONOMIO

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Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo término por otro término Reglas:

Se multiplica él término del multiplicando por él término del multiplicador.

Se suman los exponentes de las literales iguales. Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado. Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente.

Cuando existen multiplicación más de dos monomios resulta sencillo multiplicar uno a uno los factores para obtener el resultado.

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Ejemplos:

En el último ejemplo se multiplican primero los dos primeros factores entre sí, sin tocar el resto,

luego se multiplica este resultado por el tercer factor, por último se multiplicó este segundo resultado por el cuarto factor obteniéndose el resultado final.

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MONOMIO POR POLINOMIO

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Se le llama multiplicación de monomios con polinomios cuando un solo factor se encuentra multiplicando a un polinomio Reglas:

Se multiplica el término del monomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.

Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente

Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales. Ejemplos:

POLINOMIO POR POLINOMIO

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La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso se

multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o cero. Reglas:

Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los

exponentes de las literales iguales. Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas

anteriormente

Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales. Ejemplos

Como puede verse en el segundo ejemplo una manera fácil y ordenada de realizar las multiplicaciones es planteándolo como diferentes multiplicaciones de monomios por polinomios y sumando términos

semejantes.

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MULTIPLICACIONES SUCESIVAS Producto continuado de polinomios. Es cuando son más de dos los polinomios a multiplicar.

Procedimiento Se efectúa la multiplicación de dos factores cualquiera Se multiplica el resultado de la operación anterior con el tercer factor y así se sigue

sucesivamente. Ejemplo Z (5 – z) (z + 2) (z - 9)

Lo desarrollaremos de dos maneras Primera forma (factor por factor)

Segunda forma (multiplicaciones simultáneas)

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN CON PRODUCTOS INDICADOS Cuando un signo de agrupación tenga coeficiente que no sea 1 (que se sobreentiende si no tiene coeficiente), hay que multiplicar todos los términos encerrados en ese signo de agrupación por ese coeficiente, aplicando siempre la regla de los signos y se suprime dicho signo de agrupación.

Ejemplo -(x + y)[-3(a + 3b + 7)] = (- x - y)(- 3a - 9b - 21) MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR EXPONENTES LITERALES EJEMPLO

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PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Propiedades de la Multiplicación de Polinomios

Propiedad conmutativa: dado dos polinomios cuales quiera P(x) y Q(x) sobre Q se cumple que: P(x).Q(x)= Q(x).P(x)

Propiedad asociativa: dado tres polinomios cualesquiera P(x), Q(x) y R(x) sobre Q se cumple que:

[P(x).Q(x)].R(x)= P(x). [Q(x) .R(x)]

Existencia de elemento neutro: para todo polinomio Q(x) sobre Q, existe el polinomio unidad P(x)=1 tal que: 1=1.Q(x)= Q(x).

Propiedad distributiva: de la multiplicación con respecto a la adición dado tres polinomios P(x), Q(x) y R(x) sobre Q(x) la Propiedad distributiva establece que

P(x)+ [Q(x) +R(x)]= P(x).Q(x)= Q(x).R(x) DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONCEPTO DE DIVISIÓN O COCIENTE ALGEBRAICO

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el

cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+ (+)÷(–)=–

(–)÷(+)=– TIPOS DE DIVISIONES ALGEBRAICAS

DIVISIÓN DE MONOMIO ENTRE MONOMIO

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a

continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

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E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN: E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.

b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

E J E M P L O :

Dividir

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

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Dividir

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir

:

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente: 1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se

resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo

con la ordenación del dividendo y del divisor. 4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este

modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

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E J E M P L O :

Dividir:

Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente: En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, , entre el primer término del

divisor, , obteniéndose , por cada uno de los términos del divisor, obteniéndose como

resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del divide ndo cambiando los signos de todos los términos semejantes, obteniéndose como primer resto

.

Después se ha dividido entre obteniéndose como cociente , que es el segundo

término del cociente. Multiplicando por todos los términos del divisor que se obtiene como

resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como

segundo resto

Finalmente se ha dividido entre , obteniéndose como cociente . Multiplicando por

todos los términos del divisor se obtiene como producto , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos los términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división.

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E J E M P L O :

Dividir: SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Dividir:

SOLUCIÓN:

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E J E M P L O :

Dividir:

SOLUCIÓN:

Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:

a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es divisible entre

el primer término del divisor. b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor. c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor exponente

que en el primer término del divisor. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Prueba de la división

La división de polinomios, es muy parecida a la división de números enteros, tiene las mismas partes que cualquier división, dividendo P(x), divisor Q(x), residuo R(x) y cociente C(x). Una manera de comprobar que la división se realizó de un modo exitoso es utilizando la siguiente ecuación:

P(x) = Q(x) * C(x) + R(x) Otras

inversa, para números diferentes a cero, llamada división: , que

es igual a multiplicar por el recíproco,

distributiva respecto a la adición:

http://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo

http://es.wikipedia.org/wiki/Cero

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo

http://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva

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ACTIVIDAD Nº 3 Ejercicios Propuestos – Respuestas:

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EJERCICIOS ANEXOS A LA ACTIVIDAD 3

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ACTIVIDAD 4 MULTIPLICACIÓN

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ACTIVIDAD 5

Dividir:

1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

2(x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3 P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

Divide

1 (x3 + 2x + 70) : (x + 4)

2(x5 − 32) : (x − 2)

3(x4 − 3x2 + 2): (x −3)

Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

2(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)

3( x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x3 − 5x −1): (x − 3)

2(x6 − 1): (x + 1)

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1): (x − 1)

4(x10 − 1024): (x + 2)

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)

4(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x2 − 4.

Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + bx + 5 sea divisible por x2 + x + 1.

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

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ACTIVIDAD 6 EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS Los puntos del uno al cuatro se responden con base en la siguiente expresión:

(9d3-4b2-8d-1)/ (7x+y) 1. La expresión consta de

a. Dos términos

b. Cuatro términos c. Seis términos d. Ocho términos

2. Las variables de la expresión son

a. (x,y) b. (d,b,x,y) c. (d,x,b)

d. (y,x,b) 3. Las constantes de la expresión son

a. (7,1)

b. (9,4,8) c. (9,4,8,1,7) d. (9,4,8,7)

4. La expresión es un a. Monomio b. Binomio c. Trinomio

d. Polinomio 5. Los enteros consecutivos entre los cuales se ubica -√57 son

a. -8 y -9

b. -7 y -8 c. 7 y 8 d. 8 y 9

6. El resultado de la expresión (x2y4z4)*(x2y5z8) es a. X4y20z32 b. x4y9z12

c. 2x4+2y20+2z32 d. x2yz4

Las preguntas 7 y 8 se responden con base en el siguiente enunciado: Un número aumentado en 42 da -

100 7. La ecuación correspondiente al enunciado es

a. x - 42 = 100 b. x + 42 = 100

c. x + 42 = -100 d. x - 42 = -100

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8. El resultado de la ecuación es

a. 58

b. -58 c. 142 d. -142

9. El resultado de la ecuación w + 2/3 = -5/6 a. -3/2 b. 3/2

c. -7/9 d. 7/9

10. Al simplificar la expresión (-5-3-1) – (8-5+2) se obtiene a. -12

b. 12 c. 20 d. -22

11. El resultado de la expresión (2+(-16)) / (3-(-4)) es a. 4 b. -2

c. 2 d. -4

12. Al simplificar la expresión 2{26–3[12–2(8-5)]} se obtiene a. 10

b. 12 c. 141 d. 16

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ACTIVIDAD 7

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8. Expresiones algebraicas notables (triangulo de pascal, productos y cocientes notables y

binomio de newton).

El triángulo de Pascal

Una de las pautas de números más interesantes él es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).

Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon

números debajo formando un triángulo.

Cada número es la suma de los dos números que tiene

encima, menos los extremos, que son siempre "1".

(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)

Productos notables: Este es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas.

Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Es

recomendable memorizar todos los productos notables posibles ya que son utilizados frecuentemente en el álgebra.

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Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común.

El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área

del rectángulo es (el producto de la base por la altura), que también puede

obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y

Ejemplo:

Cuadrado de un binomio

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:FactorComun.svg



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Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de

cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo. Ejemplo:

Simplificando:

Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:

http://es.wikipedia.org/wiki/Trinomio_cuadrado_perfecto

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Termino_comun.svg

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Producto de dos binomios conjugados

Véase también: Conjugado (matemática).

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:


A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia

Polinomio al cuadrado

Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada té rmino

individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjugado_%28matem%C3%A1tica%29

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diferencia_de_cuadrados.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_cuadrados

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Suma_por_la_diferencia&action=edit&redlink=1

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trinomio_al_cuadrado.svg

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Ejemplo:

Multiplicando los monomios:


Luego:

Cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo. Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.

El triple producto del primero por el cuadrado del segundo. El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:


Identidad de Argand

http://es.wikipedia.org/wiki/Monomio

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Binomio_al_cubo.svg

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Identidades de Gauss

Identidades de Legendre

Artículo principal: Identidad de LaGrange.

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre

ellas se destacan:

Adición de cubos:

Diferencia de cubos:

Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como fórmulas de factorización, ya que los

productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).

La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: xn). Suma de potencias enésimas:

Si -sólo si- n es impar,

Diferencia de potencias enésimas:

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio. Para representar un cubo como suma de dos cuadrados existe una fórmula ingeniosa:

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Lagrange

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio

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producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo

a2 2 = Diferencia de cuadrados

a3 3 = 2 + b2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 Suma de cubos

a4 4 = 2 + b2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

COCIENTES NOTABLES No debe confundirse con Productos notables.

Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, es decir,

igual a cero.

Forma general de un cociente notable

Casos de un cociente notables

Existen 3 casos de cocientes notables:

Caso 1

Este caso se produce cuando n es un número par o impar.

Caso 2 Este caso se produce cuando n es un número par.

Caso 3

Este caso se produce cuando n es un número impar.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_pares_e_impares

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Caso 4 (No es un cociente notable)

Este caso se produce siendo n un número par o impar, en dicho desarrollo no se genera un cociente

notable, ya que posee residuo : .

Propiedades

Sólo si es un cociente notable, se cumple las siguientes propiedades

Número de términos de desarrollo Para hallar el número de términos que va a tener la solución de la división, por ejemplo de:

Se calcula como la división de los exponentes de la misma variable:

Cálculo del término k-ésimo

Si te piden el término lugar o posición k, del siguiente cociente notable:

Entonces "tk" se calcula de la siguiente manera:

Notas:

En esta propiedad si k ocupa un número de término par (como segundo o cuarto), se coloca el signo - ; y si k ocupa un número de término impar, el signo es +

En esta propiedad n simboliza el número de términos del desarrollo.

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ACTIVIDAD Nº 8 EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES 1.- Desarrolla los siguientes binomios:

1 (x + 5)2 = 2 (2x − 5)2 = 3 (3x − 2)2 =

4

2.- Desarrolla los siguientes binomios al cubo: 1 (2x − 3)3 =

2 (x + 2)3 = 3 (3x − 2)3 = 4 (2x + 5)3 = 3.- Desarrolla:

1 (3x − 2) · (3x + 2) = 2 (x + 5) · (x − 5) = 3 (3x − 2) · (3x + 2) = 4 (3x − 5) · (3x − 5) =

4.- Desarrolla las expresiones: (x2 − x + 1)2 =

ACTIVIDAD 9

Resolver los siguientes Productos Notables 1.- (X + 5)2 2.- (7a + b)2 3.- (4ab2 + 6xy3)2 4.- (x4 + y2)2 5.- (8 - a)2 6.- (3x4 -5y2)2 7.- (x5 - 4x3)2 8.- (5a + 10b)(5a - 10b) 9.- (7x2 - 12y3) (7x2 + 12y3) 10.- (x + 4)3 11.- (5x + 2y)3 12.- (2x2y + 4m)3 13.- (1 - 4y)3 14.- (3a3 - 7xy4)3 15.- (2x4 - 8y4)3 16.- (y - 12)(y - 7) 17.- (x + 5)(x + 3) 18.- (a + 9)(a - 6) 19.- (4x3 + 15)(4x3 + 5) 20.- (5y2 + 4)(5y3 - 14) En los siguientes productos notables corregir el error o los errores 1) (x – 6)2 = x2 +12x +36 2) (x +8)2 = x2 + 8x + 16 3) (x – 11)2 = x3 + 22x -121 4) (x + 16)2 = x2 – 32x +526 5) (x+3)3 = x3 +9x -27x +27 6) (x – 4)3 = x3 -48x 2 -12x + 64 7) (x - 7) (x + 15) = x2 – 8x -105 8) (x-13)(x+13) = x2 + 169

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Calcular: 1) (X + 5)2 = 2) ( a – 3)2 = 3) (2x + 7)2 = 4) (ax2 -by)2 = 5) (2/3x + 9y)2 = 6) (9x – 4) (9x + 4)= 7) (4/6y +5abc2)3 8) (7a2x3 -2 xa2)3 9) (r–3s)2= ACTIVIDAD 10 Dividir sin hacer la operación

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ACTIVIDAD 11

Ejercicio 1: Expresa con lenguaje algebraico: a) Un número más siete b) Nueve menos un número

c) El triple de un número d) La suma de un número y su cuadrado e) El doble de un número menos cinco

f) La mitad de un número g) La tercera parte de un número más su cubo h) La suma de dos números

i) El producto de dos números j) Un número más cinco es igual a nueve. (Resuelve)

Ejercicio 2: Halla el valor numérico de los siguientes polinomios: x+3 10-x 5x+1 x2 x/2 x·y

X=1

X=3

X=6

X=9

X=10

En todos los casos y = 6 Ejercicio 3 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios: a) 5x2y3 d) –z

b) -2xyz e) u5v c) -4/3 a2b3c f) 4

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ACTIVIDAD 12 EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS 1. (3x-2)(3x+2)

A) 9x2+12x-4 B) 9x2-12x-4 C) 9x2-4

D) 9x2+4 E) 9x2-12x+4

2. (4x2+5)(4x2-5)

A) 16x4+40x+25 B) 16x4+25 C) 16x4+40x-25 D) 16x4-25

E) 16x4-40x-25 3. (5x3-3)(5x3+3)

A) 25x6+9

B) 25x6+30x-9 C) 25x6-9 D) 25x6-30x+9

E) 25x6-30x-9 4. (6x4+5)(6x4-5)

A) 36x8-60x-25

B) 36x8+60x+25 C) 36x8+60x-25 D) 36x8-25 E) 36x8+25

5. (3x-2)(3x+5) A) 9x2+21x-10 B) 9x2+9x-10

C) 9x2+9x+3 D) 9x2-9x-10 E) 9x2-21x-10

6. (4x2+5)(4x2-7) A) 16x4-36x2-35 B) 16x4+8x2-35

C) 16x4+36x2-35 D) 16x4-8x2-2 E) 16x4-8x2-35

7. (5x3-3)(5x3+4) A) 25x6-5x3-12 B) 25x6+5x3+1 C) 25x6-35x3-12

D) 25x6+5x3-12 E) 25x6+35x3-12

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8. (6x4+5)(6x4-7) A) 36x8-12x4-35 B) 36x8-72x4-35

C) 36x8+12x4-35 D) 36x8-12x4-2 E) 36x8+72x4-35

9. (3x-2)2

A) 9x2+12x+4

B) 9x2+4 C) 9x2-12x+4 D) 9x2+12x-4 E) 9x2-12x-4

10. (4x2+5)2 A) 16x4-40x2+25 B) 16x4-40x2-25

C) 16x4+40x2-25 D) 16x4+40x2+25 E) 16x4+25

11. (5x3-3)2 A) 25x6-30x3+9 B) 25x6-30x3-9

C) 25x6+30x3+9 D) 25x6-+9 E) 25x6+30x3-9

12. (6x4+5)2

A) 36x8+25 B) 36x8+60x4-25 C) 36x8-60x4-25

D) 36x8-60x4+25 E) 36x8+60x4+

1. (x + 2)2 =

A) 2x2+4x+4 B) x2+x+2 C) x2+2x+4

D) x2+4x+16 E) x2+4x+4

2. (x + 2)(x + 3) =

A) x2+x+6 B) x2+5x+6 C) x2+6x+5 D) x2+5x+5

E) x2+6x+6

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3. (x + 1)(x – 1) = A) x2-2 B) 2X C) x-1 D) 0 E) x2-1

4. (x – 1)2 = A) x2-x+1 B) x2-2x+1 C) x2+1 D) x2-1 E) x2-2x+2

5. (n + 3)(n + 5) = A) n2+n+8 B) 3n2+8n+15 C) n2+8n+15 D) n2+8n+8 E) 5n2+8n+15

6. (m – 3)(m + 3) = A) m-9 B) 0 C) m2+6-9 D) m2-9 E) m2

7. (a2 + 4)(a2 – 4) = A) (a2–16) B) (a2–4) C) (a4–2) D) 0 E) (a4–16)

8. (ab + 3)(3 – ab) = A) -ab2-9 B) -ab2+6+9 C) ab2-6+9 D) ab2+9 E) -ab2+9

9. (m – 8)2 = A) m4-16+64 B) m2+16+64 C) m2-16+64 D) m2-16+16 E) m2-8+64

10. (x2 – 1)2 = A) X4-2X+1 B) X4+2X2+1 C) X4-2X2+1 D) X2-2X2+1 E) X3-2X2

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ACTIVIDAD 13 Ejercicio 4: Agrupa las siguientes expresiones cuando sea posible

a) 3x + 7x = b) 8y-3y =

c) a + a = d) x2 + 5x2 = e) 2x2y + 3xy2 = f) 5x + 3x2 + 2y – 3x – y + 2x2 =

Ejercicio 5: Quita paréntesis y agrupa cuando sea posible:

a) 3 (x – 5) = d) 4 (x + 5) + 3 (2x +1) = b) 7 (2x + 3) = e) 5 (2x - 3) + 4 (3x + 5) = c) 4 (3x2 + 5x – 1) =

Ejercicio 6: Escribe tres ecuaciones con las siguientes soluciones (una para cada apartado): a) x = 2 b) x = 5 c) x = 7

Ejercicio 7: Resuelve las siguientes ecuaciones calculando el valor de x: a) x + 5 = 7 b) 8 – x = 2

c) 2x + 1 = 15 d) 10 – 2x = 4 e) 5x + 3 = 17

f) 4x = 20 g) 5x = 32 h) x/7 = 5

i) x/6 = 3 j) 4x/8 = 3 k) x/2 + 3 = 5 l) x2 = 49

¡ÉXITO! ¡FRACASO!

taller grado area asignatura pagina 8º algebra

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