FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS 2

TALLER DE REFUERZO SOBRE LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL ÁREAS 1. Encuentre El área de la región limitada arriba por xy e= abajo por y x= y a

los lados por 0 1x y x= = . Gráfica explicativa. Rta: 32

e −

2. Encuentre el área de la región encerrada por las parábolas 2 22y x y y x x= = − .Socializa el ejercicio con tus compañeros. Gráfica

explicativa. 3. Encuentre el área encerrada por la recta 1y x= − y la parábola 2 2 6y x= + 4. Encuentre el área de la región sombreada de la figura dada.

5. Esquematice la región encerrada por las curvas dadas. Decida si integra con respecto a x o y : Dibuje un rectángulo típico de aproximación y marque su altura y su ancho. A continuación, halle el área de la región.

a) 21, 9 1 2y x y x x x= + = − = − =

b) , 02

xy senx y e x xπ= = = =

c) 2

1 1, , 2y y x

x x= = =

d) 2 2,y x y x= =

e) 2 2y x y x= = −

6. Use el cálculo para hallar el área del triángulo cuyos vértices son

( ) ( ) ( )0,5 , 2, 2 5,1A B y C−

• Solicite al estudiante que consulte sobre: Si conocemos las coordenadas de los vértices del triangulo el área se calcula por medio del

Determinante: 1 1

2 2

3 3

11

12

1

x y

A x y

x y

=

• Solicite al estudiante que consulte sobre: distancia de un punto a una

recta que para nosotros sería aplicar el concepto sobre el área de un

triangulo .2

base alturaA = . La base sería la longitud del segmento

( ) ( )2 2

2 1 2 1AB x x y y= − + − y la altura sería la distancia del punto a la

recta así: 2 2

Ax By Cd

A B

+ +=

+. Este tipo de problema es sumamente

importante porque se conjugan varios conceptos matemáticos y producen en el estudiante motivación.

VOLÚMENES 1. Mediante el método de los cascarones (corteza, envolvente, capas etc.)

Determine el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región definida por las curvas dadas. Dibuje la región y un cascaron, así como también el respectivo sólido.

a) 1

, 0 , 1, 2y y x xx

= = = = Rta. 2π

b) ( )2 24 2 , 4 7y x y x x= − = − + Rta: 16π

c) 23 2 , 3y x x x y= + − + =

2. Mediante el método de los cascarones, determine el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje x la región definida por las curvas dadas. Dibuje la región y un cascaron como también el respectivo sólido.

a) 21 , 0, 1, 2x y x y y= + = = = Rta 212π

b) , 0, 1x y x y= = =

c) 3, 8, 0y x y x= = = Rta: 7687π

3. Utilizar cualquier método para calcular el volumen del sólido limitado por la

región R al girar alrededor del eje especificado. Gráfica de la región y del sólido de revolución.

a) 24 , 3y x x y= − = alrededor de 1x = Rta: 83π

b) 3, 0, 1y x y x= = = alrededor de 1y = Rta: 514π

4. Plantee pero no evalúe una integral para calcular el volumen del sólido que se genera al hacer rotar la región que definen las curvas dadas alrededor del eje especificado.

a) ln , 0, 2y x y x= = = alrededor del eje y

b) 2, 4y x y x x= = − alrededor de 7x =

c) 2 2 7, 4x y x− = = alrededor de 5y =

5. Calcule el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región bajo la curva y x= en el intervalo [ ]0,1 . Realice la gráfica de la región y del sólido

correspondiente.

a) Alrededor del eje x b) Alrededor del eje y c) Alrededor del eje 2x = − d) Alrededor del eje 4y =

6. Utilice su imaginación para calcular los siguientes volúmenes de sólidos

conocidos por Uds. desde el Bachillerato. Socialice con sus compañeros el ejercicio.

• Volumen del cilindro • Volumen del cono • Volumen de la esfera

7. Calcular el volumen del sólido cuya región plana es la que se muestra en la

figura.

¿El resultado del cálculo será igual, girando alrededor del eje x y luego girando

alrededor del eje y? Elabore el diagrama del sólido y concluya. 8. Dibujar el sólido cuando la región acotada por las gráficas de

2 1, 0 0 , 1y x y x y x= + = = = al girar alrededor del eje y. Indique cuál método es más conveniente desde el punto de vista operativo para calcularlo.

9. En ocasiones las integrales que se utilizan en el cálculo del volumen de un

sólido y dependiendo de la rotación, esta puede ser de cuidado para su desarrollo.

Veamos el siguiente ejercicio:

Calcular el volumen del sólido de revolución cuando la región plana limitada por la gráfica de la función lny x= , el eje x desde 1x = hasta 2x = al girar alrededor del eje x. Ver figura

LONGITUD DE ARCO Ejercicios del texto guía Página 530 Números: 1 – 2 – 3 – 4 – 6 - 12 – 19 – 22 Además resolver los siguientes:

• Importante y como motivación que el estudiante verifique que la longitud de una circunferencia de radio r es: 2L rπ= (ver figura 1)

• Calcular la longitud del arco en rojo correspondiente a la figura 2

INTEGRALES IMPROPIAS

1. Evaluar dxe

ex

x

∫∞

∞− + 21

Respuesta: 2

π

2. Evaluar 1

30

1dx

x∫ Respuesta: 2

3

3. Evaluar 2

0

x

x e dx−∞

∫ Respuesta: 2

4. Evaluar dxee xx∫

∞

−+0

1 Respuesta:

4

π

5. Encontrar el área de la región comprendida por xey −≤ ; 0,0 ≥≥ xy Ayuda:

trace la grafica de la función xey −= y forme la integral impropia. Respuesta: 1

6. Determine si la integral 1

1dx

x

∞

∫ es convergente o divergente Rta: divergente

7. Explique por qué cada una de las siguientes integrales es impropia.

a) 2

0sec x dx

π

∫

b) 2

20 5 6x

dxx x− +∫

c) 2

1ln( 1)x dx−∫

8. Determine si la integral 2

4

y

e dy−∞

∫ es convergente o divergente

9. Determine si la integral 2x

xe dx∞ −

−∞∫ es convergente o divergente

10. Determine si la integral 2 2

1

4dx

x x

∞

−∫ es convergente o divergente

11. Demostrar que el área de la región R es 2 3 El ejercicio sirve para evaluar la integral impropia.

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

Ejercicios del texto guía Página 548 Números: 21 – 22 - 23 – 24 – 25 – 26 – 29 – 32

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