APLICACIONES DE LAS INTEGRALES CALCULO DE AREAS DE FIGURAS PLANAS

ndice 1rea del recinto donde interviene una funcin 1.1La funcin f(x) es positiva en [a, b] 1.2La funcin f(x) es negativa en [a, b] 1.3La funcin toma valores positivos y negativos en [a, b] 2rea del recinto donde intervienen dos funciones 2.1Las dos funciones no se cortan en [a, b] 2.2Las dos funciones se cortan en [a, b]

1.1La funcin f(x) es positiva en [a, b] | | b , a en 0 ) x ( f >rea del recinto =}badx ) x ( f1rea del recinto donde interviene una funcin El recinto ser el limitado por la funcin f(x), el eje OX y dos recta verticales x =a y x = b. 4 Definicin: Sea f una funcin contnua tal que: f(x) >0 en [a, b] y S={(x, y)/ asxsb,0sysf(x)} SedenotaporA(S)ysellamareade laregindefinidaporSalnmero dado por: = b a dx)x(f)S(A 5 y = f(x) dx dA = f(x)dx }=baf(x)dx Af(x) dx y x 0 ab x A6 dy y x 0 dy x = g(y) d c =dcg(y)dy AdA = g(y)dy g(y) 7 Ejemplo 1: Hallarelreadelareginlimitada por y = 2x,y = (x-2)2 + 1,x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura. y=x2 y=x4-2x3+2 rea = rea =Ejemplos 2. Hallar el rea del recinto limitado por la parbola de ecuacin y = x2, el eje OX, la recta x = 2 y la recta x = 4.3. Hallar el rea de la regin R limitada por la curva y = x4 2x3 + 2 entre x = -1 y x = 2. 9 dx y x 0dx y = f(x) y = g(x) f(x) - g(x) | | =badx g(x) - f(x) AdA =[f(x) -g(x)]dx ba Hallar el rea limitado por:a)23 y x x = 2y x x = b)| |0, 2 0 y senx x x y t = e + =c)60y xy xy== +=1.2 La funcin f(x) es negativa en [a, b] rea del recinto = -}badx ) x ( fEjemplo: rea = y = -x2 4) Hallar el rea del recinto determinado por la parbola de ecuaciny = -x2, el eje OX y las rectas x = -2 y x = 2 El recinto ser el limitado por la funcin f(x), el eje OX y dos recta verticales x =a y x = b. 1.3La funcin toma valores positivos y negativosrea (R) = } } } } + beeddccadx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( fEjemplo 5: Hallar el rea delimitada por la grfica de y = cos xy el eje OX en el intervalo [0 , 2t] 2t23tt 2y=cosx rea (R) = Ejemplo 6: Hallar el rea limitada por la curva y = x3 6x2 + 8xy el eje OX. rea (R) = y = x3 6x2 + 8x Ejemplo 7: Hallar el rea de la regin limitada por las funciones y = x2 e y = 2x 3 entre x = 2 y x = 4 rea (R) =y = x2 y = 2x 3 2.2Las dos funciones se cortan en [a, b] rea (R) =} } + bccadx )] x ( g ) x ( f [ dx )] x ( f ) x ( g [Ejemplo 8: Hallar el rea de la regin limitada por las funciones; y = x2ex=2x y =y = x2 x y =rea (R) =Hallar las siguientes reas de las figuras planasa) Hallar el rea del recinto limitado por las ecuaciones: y = x2ey = -x + 2 y el eje OX b) Hallar el rea de la regin limitado por y = ,x-2, - ,x-6, ;x- y = 4 d) Hallar el rea de una elipse de semiejes a y b. e) Hallar el rea del recinto plano y limitado por la parbola y = 4x x2y las tangentes a la curva en los puntos de interseccin con el eje OX. f) Calcular el rea limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.