taller 5

TALLER No.5 ESFUERZOS DE FRICCIÓN, ALABEO, ESFUERZOS Y DEFLEXIONES EN PAVIMENTOS RÍGIDOS

ALEXANDRA PATRICIA GUTIÉRREZ PÁEZ

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE TRANSPORTE Y VIAS

ELECTIVA DE PROFUNDIZACION III-A - ESTRUCTURAS ESPECIALES DE

PAVIMENTOS

TUNJA

2013

TALLER No.5 ESFUERZOS DE FRICCIÓN, ALABEO, ESFUERZOS Y DEFLEXIONES EN PAVIMENTOS RÍGIDOS

ALEXANDRA PATRICIA GUTIÉRREZ PÁEZ Cód. 1133500

Fecha de entrega: 07-11-13

Profesor: ING. CARLOS HERNANDO HIGUERA SANDOVAL

Materia: ELECTIVA DE PROFUNDIZACION III-A - ESTRUCTURAS

ESPECIALES DE PAVIMENTOS

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE TRANSPORTE Y VIAS

ELECTIVA DE PROFUNDIZACION III-A - ESTRUCTURAS ESPECIALES DE

PAVIMENTOS

TUNJA

2013

INTRODUCCIÓN

Aprender a diseñar una estructura de pavimento es muy importante ya que esta si

no se diseña bien podría nacer muerta afectando que el tránsito para el cual se

diseñó nunca tenga una vida útil.

El cálculo de espesores y módulos afecta a la estructura por esto se debe tener

cuidado a la hora de diseñar que la estructura no este sobre dimensionada o no

cumpla con los criterios de deflexión y esfuerzos presentes en la losa de concreto.

El diseño de una losa de concreto es muy importante ya que cuando sus

parámetros para diseño no son los adecuados la losa no cumple al calcular los

valores de servicio, ya que estos deben ser menores a los admisibles.

OBJETIVOS

GENERAL

Aprender a calcular los esfuerzos de una losa de concreto, análisis de sensibilidad de los

diferentes parámetros utilizados para su diseño.

ESPECIFICOS

Realizar el análisis de sensibilidad de las diferentes variables utilizadas en el taller

Diseñar el pavimento , teniendo en cuenta los módulos y espesores de las capas

Utilizar los programas UNALOSA Y CEDEL para calcular los esfuerzos de alabeo,

fricción y tracción debidos a las cargas del tránsito.

TALLER

1. CALCULAR LOS ESFUERZOS DE FRICCIÓN, ALABEO, LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN DEBIDO AL TRÁNSITO Y LAS DEFLEXIONES GENERADOS POR EL TRÁNSITO DE LA SIGUIENTE ESTRUCTURA DE PAVIMENTO RÍGIDO: Utilice los métodos manual y con los programas UNALOSA y CEDEL. Elabore los diagramas de esfuerzos de tracción por fricción, alabeo y debidos al tránsito. Determine los esfuerzos totales actuantes en la losa de concreto hidráulico.

Carga aplicada, P = 9000 Libras = 4100 Kg = 40000 N Espesor de la losa de concreto, H = 18 cm = 7 pulg Radio de carga, a = 15.27 cm = 6 pulg Largo de la losa, Lx = 450 cm = 177 pulg Ancho de la losa, Ly = 365 cm = 144 pulg Coeficiente de dilatación térmico del concreto, α = 5x10-6°F = 9x10-6°C Diferencia de temperatura de la losa, Δt = 2.5°F/pulg = 0.545°C/cm Módulo de reacción del conjunto de apoyo de la losa, K = 7.9 Kg/cm3 =

285Lb/pulg3 = 77.5 MN/m3 = 79 MPa/m Módulo de elasticidad del concreto, E = 273871 Kg/cm2 = 26850 MPa = 3912304

Lb/pulg2 Módulo de rotura del concreto, Sc = 40.0 Kg/cm2 = 571 Lb/pulg2 = 3.92 MPa Deflexión máxima, Δ = 3 mm = 0.12 pulg Relación de Poisson del concreto, μ = 0.15 Densidad del concreto, Dc = 0.0236 MN/m3 = 8.680556x10-2 Lb/pulg3 Coeficiente de fricción de la losa con la subbase granular = 1.5

2. MODULO DE CALCULO DE ESFUERZOS Y DEFLEXIONES DEBIDOS A LAS CARGAS DEL TRANSITO Determine los esfuerzos y deflexiones debidos al tránsito en la esquina, en el borde y en el interior de la losa y realice sus comentarios. Datos de diseño:

Carga, P = 9000 libras Radio de carga, a = 6 pulgadas Módulo de reacción del conjunto, k = 300 Libras/pulgada3 Espesor de la losa, h = 8 pulgadas Módulo de elasticidad del concreto, E = 4.4x106 Libras/pulgada2

Relación de Poisson del concreto, = 0.15

3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS VARIABLES QUE INTERVIENEN EN EL CALCULO DE LOS ESFUERZOS Y DEFLEXIONES

Realice el análisis de sensibilidad de las diferentes variables que intervienen en el cálculo de los esfuerzos y deflexiones de esquina, borde y en el interior de una losa de concreto. Para visualizar los resultados se debe elaborar cuadros y gráficas donde se muestre el comportamiento de: Esfuerzo .vs. la Variable y la Deflexión .vs. la Variable. Realice sus comentarios y conclusiones. Variación de las variables para el análisis de sensibilidad:

Carga, P Radio del área de carga, a Módulo de reacción del conjunto, k Espesor de la losa, h Módulo de elasticidad del concreto, E Relación de Poisson,

SOLUCION

1. CALCULAR LOS ESFUERZOS DE FRICCIÓN, ALABEO, LOS ESFUERZOS DE TRACCIÓN DEBIDO AL TRÁNSITO Y LAS DEFLEXIONES GENERADOS POR EL TRÁNSITO DE LA SIGUIENTE ESTRUCTURA DE PAVIMENTO RÍGIDO: Utilice los métodos manual y con los programas UNALOSA y CEDEL. Elabore los diagramas de esfuerzos de tracción por fricción, alabeo y debidos al tránsito. Determine los esfuerzos totales actuantes en la losa de concreto hidráulico.

Carga aplicada, P = 9000 Libras = 4100 Kg = 40000 N Espesor de la losa de concreto, H = 18 cm = 7 pulg Radio de carga, a = 15.27 cm = 6 pulg Largo de la losa, Lx = 450 cm = 177 pulg Ancho de la losa, Ly = 365 cm = 144 pulg Coeficiente de dilatación térmico del concreto, α = 5x10-6°F = 9x10-6°C Diferencia de temperatura de la losa, Δt = 2.5°F/pulg = 0.545°C/cm Módulo de reacción del conjunto de apoyo de la losa, K = 7.9 Kg/cm3 =

285Lb/pulg3 = 77.5 MN/m3 = 79 MPa/m Módulo de elasticidad del concreto, E = 273871 Kg/cm2 = 26850 MPa = 3912304

Lb/pulg2 Módulo de rotura del concreto, Sc = 40.0 Kg/cm2 = 571 Lb/pulg2 = 3.92 MPa Deflexión máxima, Δ = 3 mm = 0.12 pulg Relación de Poisson del concreto, μ = 0.15 Densidad del concreto, Dc = 0.0236 MN/m3 = 8.680556x10-2 Lb/pulg3 Coeficiente de fricción de la losa con la subbase granular = 1.5 I. METODO MANUAL

a) ESFUERZOS DE FRICCIÓN:

Efectos del cambio del volumen del concreto

σ c=γc∗L∗f a2

σ c= esfuerzo en el concreto en libras / pul²

γ c = peso unitario del concreto en libras / pul³

L=¿Longitud de la losa en pies

σ o=1.8∗LTon /m ²σ o=1.8∗4.5m=8.1Ton /m ²σ o=1.8∗3.65=6.57Ton /m ²

σ o=Esfuerzo de tensión generado por la retracción del concreto, ton/ m²

b) ESFURZOS DEBIDOS A CAMBIOS DE TEMPERATURA – ALABEO

l=4√ E∗h3

12∗(1−μ2 )∗k

l=4√ 3912304∗73

12∗(1−0.152 )∗285=25.17 pulg

Dónde:

LX

LYσyb

σxb

σxi

σyi

l = Radio de rigidez relativa. pulg

E= Módulo de elasticidad del concreto. Lb /pulg²

μ = Relación de poisson del concreto

h = espesor de la losa pulg

k= módulo de reacción de la subrasante Lb/ pulg³

Lx/l = 177/25.17 = 7.03 pulg

Ly/l = 144/ 25.17 = 5.72 pulg

FIGURA DE COEFICIENTES DE ALABEO

Cx = 1.03

Cy =0.8

Esfuerzos en el borde de la losa de concreto, σb:

Valores Cx y Cy

Valores Lx/l , Ly/l

Cx

Cy

σ xb=E∗α∗∆ t

2∗Cx en ladirecciónde x

σ yb=E∗α∗∆t

2∗Cy enla direcciónde y

σ xb=3912304∗5∗10−6∗(2.5° F

pulg∗7 pulg)

2∗1.03=176.29 lb / pulg ²

σ yb=3912304∗5∗10−6∗(2.5 ° F

pulg∗7 pulg)

2∗0.87=148.91 lb / pulg ²

Esfuerzos en el interior de la losa de concreto, σi:

σ xi=E∗α∗∆ t

2 [Cx+μ∗Cy1−μ2 ] enla direcciónde xσ yi=

E∗α∗∆ t2 [Cy+μ∗Cx1−μ2 ]en la direcciónde y

σ xi=3912304∗5∗10−6∗(2.5° F

pulg∗7 pulg)

2 [ 1.03+0.15∗0.871−0.152 ]=203.2 lb / pulg ²

σ yi=3912304∗5∗10−6∗(2.5 ° F

pulg∗7 pulg)

2 [ 0.87+0.15∗1.031−0.152 ]=179.39lb / pulg ²

Dónde:

E= Módulo de elasticidad del concreto. Lb /pulg²

α= coeficiente de dilatación del concreto. °F

Δt= diferencia de temperatura entre las dos caras de la losa °F

μ = Relación de poisson del concreto

Cx, Cy = coeficientes de alabeo que son función de Lx/l y Ly/l

Lx, Ly = Dimensiones de la losa de concreto. Pulg

l = Radio de rigidez relativa. pulg

c) ESFUERZOS DEBIDOS A LAS CARGAS DEL TRANSITO

Esfuerzo de tensión en la esquina de la losa σ e

σ e=3 Ph ² (1−( a∗√2

l )0.6)

σ e=3∗90007² (1−( 6∗√2

25.17 )0.6)=264.05 Lb/ pulg ²

Donde:

σ e=esfuerzo de tensión en la esquina de la losa, Lb/pulg²

h= Espesor de la losa, pulg

P= carga aplicada, Lbs

I= radio de rigidez relativa, pulg

a= Radio del área cargada, pulg

Esfuerzo de tensión en el interior de la losa, σ i

σ i=0.316Ph ² [4∗log( lb )+1.069]

σ i=0.31690007² [4∗log( 25.175.59 )+1.069]=213.58Lb / pulg ²

b=(1 .6∗a2+h2)12−0 .675h

b=(1 .6∗62+72)12−0.675∗7=5.59

Donde:

σ i=esfuerzo de tensión en el interior de la losa, Lb/pulg²





b=(1 .6∗a2+h2)12−0 .675hSi a<1.724h

b= a Sia≥1.724h

Esfuerzo de tensión en el borde de la losa, σ b

σ b=0.572Ph ² [4∗log( lb )+0.359]

σ b=0.57290007² [4∗log( 25.175.59 )+0.359]=312.33Lb / pulg ²

σ b=0.803Ph ² [4∗log( la )+0.666 al−0.034 ]YangHuang

σ b=0.80390007² [4∗log(25.176 )+0.666 6

25.17−0.034 ]=385.78 Lb / pulg ²

Donde:

σ b=esfuerzo de tensión en el borde de la losa, Lb/pulg²





b=(1 .6∗a2+h2)12−0 .675hSi a<1.724h

b= a Sia≥1.724h

d) DEFLEXIONES EN PAVIMENTOS RIGIDOS POR ACCION DEL TRANSITO

Deflexiones en la esquina de la losa, ∆e

∆e=Pkl ² [1.1−0.88( a∗√2

l )]

∆e=9000

285∗25.17² [1.1−0.88 ( 6∗√225.17 )]=0.04 pulg

Donde:

∆e=Deflexión en la esquina de la losa, pulg




k= Modulo de reacción de la subrasante, Lb/pulg³

Deflexión en el borde de la losa, ∆b

∆b=0.431Pkl ² [1−0.82( al )]

∆b=0.431∗9000285∗25.17² [1−0.82( 6

25.17 )]=0.0172 pulg

Donde:

∆b=Deflexión en el borde de la losa, pulg





Deflexión en el interior de la losa, ∆ i

∆ i=P8kl ² [1+ 1

2π ( ln( a2l )−0.673)( al )2]

∆ i=9000

8∗285∗25.17² [1+ 12π (ln( 62∗25.17 )−0.673)( 6

25.17 )2]=6.07∗10−3 pulg

Donde:

∆e=Deflexión en el interior de la losa, pulg





II. CALCULO DE ESFUERZOS Y DEFLEXIONES POR LOS PROGRAMAS DE

UNALOSA Y CEDEL

Figura N°1 esfuerzos debidos a la fricción SENIDO LONGITUDINAL

Fuente: el Autor Figura N°2 reporte esfuerzo debido a la fricción SENIDO LONGITUDINAL

Fuente: el Autor

Figura N°3 esfuerzos debidos a la fricción SENIDO TRANSVERSAL

Fuente: el Autor

Figura N°4 reporte esfuerzo debido a la fricción SENIDO TRANSVERSAL

Fuente: el Autor Figura N°5 esfuerzos debidos a cambios de temperatura ALABEO

Fuente: el Autor

Figura N°6 reporte esfuerzos debidos a cambios de temperatura ALABEO

Fuente: el Autor Figura N°7 esfuerzos y deflexiones debidos a cargas del transito

Fuente: el Autor

Figura N°8 reporte esfuerzos y deflexiones debidos a cargas del transito

Fuente: el Autor Figura N°9 resultados de esfuerzos y deflexiones programa UNALOSA

Fuente: el Autor

III. RESULTADOS POR METODO MANUAL

Tabla N° 1 cuadro resumen de esfuerzos por fricción

Dirección actuante Esfuerzo por fricción Ton /m²x 8.1y 6.57

Fuente: el Autor

Tabla N° 2 cuadro resumen de esfuerzos por cambios de temperatura

Dirección actuante

Esfuerzos de alabeo (Lb/pulg²)Interior, σi Borde, σb

x 203.2 176.29y 179.39 148.91

Fuente: el Autor

Tabla N° 3 cuadro resumen de esfuerzos y deflexiones por las cargas del transito

posición en la losa Esfuerzo (Lb/pulg²) Deflexión (pulg)Esquina 264.05 0.04Interior 213.58 0.00607Borde 312.33 0.0172

Fuente: el Autor

IV. RESULTADOS POR PROGRAMA UNALOSA Y CEDEL

Tabla N° 4 cuadro resumen de esfuerzos por fricción CEDEL Y UNALOSA

Dirección actuante

Esfuerzo por fricción Lb /pulg²CEDEL UNALOSA

x 11.52 11.52y 9.38 ---------

Fuente: el Autor

Tabla N° 5 cuadro resumen de esfuerzos por cambios de temperatura CEDEL Y UNALOSA

Dirección actuante

Esfuerzos alabeo (Lb/pulg²)CEDEL UNALOSA

Interior, σi Borde, σb Interior, σi Borde, σbx 203.02 176.18 201.26 173.97y 178.96 148.50 181.93 151.74

Fuente: el Autor

Tabla N° 6 cuadro resumen de esfuerzos y deflexiones debidos a las cargas del tránsito

posición en la losaCEDEL UNALOSA

Esfuerzo (Lb/pulg²)

Deflexión (pulg)

Esfuerzo (Lb/pulg²)

Deflexión (pulg)

Esquina 264.1 0.04 264.05 0.04Interior 213.6 0.00607 213.69 0.00607

Bordecirculo

312.0385.8 0.01728 385.69 0.01729

semicírculo 473.2 0.0197 473.05 0.0197Fuente: el Autor

V. DIAGRAMAS DE ESFUERZOS DE TRACCIÓN POR FRICCIÓN, ALABEO Y DEBIDOS AL TRÁNSITO.

VI. ESFUERZOS TOTALES ACTUANTES EN LA LOSA DE CONCRETO HIDRÁULICO.

Tabla N° 7 cuadro resumen chequeo de la losa de concreto valores manuales

∑ Esfuerzos totales valor % Deflexión valor Admisible % consumo

LX

LYσyb = 148.50

σxb = 176.18

σxi = 203.02

σyi = 178.96

+

LX

LYσfx = 11.52

σfy =9.38

+

LX

LYσTi =213.6

σTb = 385.8σTe =264.1 =

1. Esfuerzos tensión por Fricción Lb/plg²

2. Esfuerzos tensión Alabeo Lb/plg²

3. Esfuerzos tensión inducidos por el transito Lb/plg²

∑σe =451.8

∑σb = 500.14

∑σi = 428.3

valores servicio Lb/plg²

Admisible σ Lb/plg² consumo valores servicio Δ pulg

σe 451.86571

79.13485 Δe 0.04

0.12

33.33σi 428.3 75.00876 Δi 0.00607 5.06σb 500.14 87.59019 Δb 0.0172 14.33Fuente: el Autor

Tabla N° 8 cuadro resumen chequeo de la losa de concreto valores CEDEL

∑ Esfuerzos totales valores servicio

Lb/plg²

valor Admisible Lb/plg²

% consumo

Deflexión valores servicio

valor Admisible pulg

% consumo

σe 451.8571

79.12434 Δe 0.04

0.12

33.33σi 428.14 74.98074 Δi 0.006 5.06σb 573.5 100.4378 Δb 0.017 14.40

Fuente: el Autor

2. MODULO DE CALCULO DE ESFUERZOS Y DEFLEXIONES DEBIDOS A LAS CARGAS DEL TRANSITO Determine los esfuerzos y deflexiones debidos al tránsito en la esquina, en el borde y en el interior de la losa y realice sus comentarios. Datos de diseño:

Carga, P = 9000 libras Radio de carga, a = 6 pulgadas Módulo de reacción del conjunto, k = 300 Libras/pulgada3 Espesor de la losa, h = 8 pulgadas Módulo de elasticidad del concreto, E = 4.4x106 Libras/pulgada2

Relación de Poisson del concreto, = 0.15

l=4√ E∗h3

12∗(1−μ2 )∗k

l=4√ 4400000∗83

12∗(1−0.152 )∗300=28.29 pulg

ESFUERZOS DEBIDOS A LAS CARGAS DEL TRANSITO

Esfuerzo de tensión en la esquina de la losa σ e

σ e=3 Ph ² (1−( a∗√2

l )0.6)

σ e=3∗90008² (1−( 6∗√2

28.29 )0.6)=217.04 Lb / pulg ²

Donde:

σ e=esfuerzo de tensión en la esquina de la losa, Lb/pulg²





Esfuerzo de tensión en el interior de la losa, σ i

σ i=0.316Ph ² [4∗log( lb )+1.069]

σ i=0.31690008² [4∗log( 28.295.627 )+1.069]=172.169 Lb / pulg ²

b=(1 .6∗a2+h2)12−0 .675h

b=(1 .6∗62+82)12−0.675∗8=5.627

Donde:

σ i=esfuerzo de tensión en el interior de la losa, Lb/pulg²





b=(1 .6∗a2+h2)12−0 .675hSi a<1.724h

b= a Sia≥1.724h

Esfuerzo de tensión en el borde de la losa, σ b

σ b=0.572Ph ² [4∗log( lb )+0.359]

σ b=0.57290008² [4∗log( 28.295.627 )+0.359]=254.53Lb / pulg ²

σ b=0.803Ph ² [4∗log( la )+0.666 al−0.034 ]YangHuang

σ b=0.80390008² [4∗log(28.296 )+0.666 6

28.29−0.034]=316.31 Lb/ pulg ²

Donde:

σ b=esfuerzo de tensión en el borde de la losa, Lb/pulg²





b=(1 .6∗a2+h2)12−0 .675hSi a<1.724h

b= a Sia≥1 .724 h

DEFLEXIONES EN PAVIMENTOS RIGIDOS POR ACCION DEL TRANSITO

Deflexiones en la esquina de la losa, ∆e

∆e=Pkl ² [1.1−0.88( a∗√2

l )]

∆e=9000

300∗28.29² [1.1−0.88 ( 6∗√228.29 )]=0.0313 pulg

Donde:

∆e=Deflexión en la esquina de la losa, pulg





Deflexión en el borde de la losa, ∆b

∆b=0.431Pkl ² [1−0.82( al )]

∆b=0.431∗9000300∗28.29² [1−0.82( 6

28.29 )]=0.0133 pulgDonde:

∆b=Deflexión en el borde de la losa, pulg





Deflexión en el interior de la losa, ∆ i

∆ i=P8kl ² [1+ 1

2π ( ln( a2l )−0.673)( al )2]

∆ i=9000

8∗300∗28.29² [1+ 12π (ln( 62∗28.29 )−0.673)( 6

28.29 )2]=0.00459 pulg

Donde:

∆e=Deflexión en el interior de la losa, pulg





Figura N°10 esfuerzos y deflexiones debidos a cargas del transito

Fuente: el Autor

Tabla N° 9 cuadro resumen de esfuerzos y deflexiones por las cargas del transito

posición en la losa Esfuerzo (Lb/pulg²) Deflexión (pulg)Esquina 217.04 0.0313Interior 172.169 0.00459Borde 254.53 0.0133

Fuente: el Autor

CONCLUSIONES

Al aumentar la capacidad de la subrasante y el espesor de la losa de concreto los esfuerzos y las deflexiones disminuyen.

El esfuerzo en el borde debido al tránsito es el mayor y el menor esfuerzo es de interior de la losa de concreto.

Si comparamos el punto dos con el primero con respecto a los resultados el radio de rigidez aumenta debido a que se aumentó el Módulo de reacción del conjunto, el Módulo de elasticidad del concreto y el espesor de la losa del concreto.

esto significa que al tener buena capacidad la subrasante estaría cumpliendo con los criterios de diseño, la estructura va a tener un buen comportamiento estructural como funcional durante el periodo de servicio.

Realizando una comparación entre el punto 1 y 2 se puede observar que en cuanto a los esfuerzos el mayor se presenta en el borde y el menor en el interior, para las deflexiones la mayor deflexión de presenta en la esquina y la menor en el interior de la losa.

Con respecto a los resultados del primer punto al aumentar el módulo del concreto Ec y el Modulo de reacción de la subrasante k, los esfuerzos y las deflexiones disminuyen. Es decir que al tener mayor capacidad la subrasante tiene más facilidad de soportar estos esfuerzos y deflexiones.

3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS VARIABLES QUE INTERVIENEN EN EL CALCULO DE LOS ESFUERZOS Y DEFLEXIONES Realice el análisis de sensibilidad de las diferentes variables que intervienen en el cálculo de los esfuerzos y deflexiones de esquina, borde y en el interior de una losa de concreto.

Para visualizar los resultados se debe elaborar cuadros y gráficas donde se muestre el comportamiento de: Esfuerzo .vs. la Variable y la Deflexión .vs. la Variable. Realice sus comentarios y conclusiones. Variación de las variables para el análisis de sensibilidad:

Carga, P Radio del área de carga, a Módulo de reacción del conjunto, k Espesor de la losa, h Módulo de elasticidad del concreto, E Relación de Poisson,

a) VARIACIÓN DE LA CARAGA APLICADA

Tabla N° 10 Rango de variación de la carga aplicada al modelo estructural

Variable rango de variación, Lb

variación , Lb

Carga, P 6000 - 12000 1000Fuente: el Autor

Tabla N° 11 Resultados de Esfuerzos y deflexiones ante la variación de la carga P

Carga Aplicada P,

Lb

Esfuerzo Esquina Lb/pulg²

Esfuerzo Borde

Lb/pulg²

Esfuerzo Interior Lb/pulg²

Deflexión Esquina,

pulg

Deflexión Borde,

pulg

Deflexión Interior ,

pulg6000 176 208 142.4 0.02669 0.01152 0.0040487000 205.4 242.7 166.1 0.03114 0.01344 0.0047238000 234.7 277.4 189.9 0.03559 0.01536 0.0053989000 264.1 312 213.6 0.04004 0.01728 0.006073

10000 293.4 346.7 237.3 0.04449 0.0192 0.00674711000 322.7 381.4 261 0.04894 0.02112 0.00742212000 352.1 416 284.8 0.05339 0.02304 0.008097

Fuente: el Autor

Tabla N° 12 Grado de sensibilidad de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función de la carga aplicada P

Carga Aplicada P,

% Variación

σe σb σi Δe Δb Δi

Lb6000 -33 -33 -33 -33 -33 -337000 -22 -22 -22 -22 -22 -228000 -11 -11 -11 -11 -11 -119000 0 0 0 0 0 0

10000 11 11 11 11 11 1111000 22 22 22 22 22 2212000 33 33 33 33 33 33

Fuente: el Autor

Grafica N° 1 variación de la deflexión en la esquina, borde e interior de la losa en función de la carga aplicada P

5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 130000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

f(x) = 6.74785714285714E-07 x − 4.99999999998765E-07R² = 0.999999966384977

f(x) = 0.00000192 xR² = 1

f(x) = 0.00000445 x − 9.99999999999612E-06R² = 1

Variación de la deflexión en función de la carga P Deflexión

EsquinaLinear (De-flexión Es-quina)Deflexión BordeLinear (De-flexión Borde)deflexión Interior

Carga, Lb

Defle

xión

pul

g

Fuente: el Autor

Grafica N° 2 variación del esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función de la carga aplicada P

5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 130000

50100150200250300350400450

f(x) = 0.0237285714285714 x + 0.0285714285714107R² = 0.99999963753959

f(x) = 0.0346678571428571 x + 0.0178571428571104R² = 0.99999984080804f(x) = 0.0293428571428571 x − 0.0285714285714107R² = 0.999999762972346

Variación de el esfuerzo en funcion de la carga P

Esfuerzo Esquina Linear (Es-fuerzo Es-quina )Esfuerzo Borde Linear (Es-fuerzo Borde )Esfuerzo Interior

Carga, Lb

Esfu

erzo

, Lb

/ p

ulg²

Fuente: el Autor

conclusiones de la variación de la deflexión, esfuerzo en función de la carga

De la información presentada en las tablas 10, 11 y 12 y en las gráficas 1 y 2 se deduce que:

la relación entre la magnitud de la carga, la magnitud de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, en el borde y en el interior de la losa de concreto es directamente proporcional presentando un comportamiento lineal.

Un cambio en la magnitud de la carga genera el mismo cambio en la magnitud de la deflexión ( en la esquina , en el borde y en el interior) de la losa con respecto al esfuerzo ( en la esquina , en el borde y en el interior) de la losa pasa lo mismo un aumento en la carga aumenta el esfuerzo. Esto es muy importante en el diseño de las losas de concreto, sobre todo en la evaluación de cargas de diseño y en la evaluación de la capacidad portante de la losa.

Las ecuaciones que describen el comportamiento de la deflexión y el esfuerzo con respecto a la variación de la carga son las siguientes:

Tabla N° 13 Variación de la carga PParámetro Ecuación en,(P = Lb)

deflexión en la esquina pulg Δe = 4E-06 *P - 1E-05 R² = 1deflexión en el borde pulg Δb = 2E-06*P R² = 1deflexión en el interior pulg Δ¡ = 7E-07*P - 5E-07 R² = 1Esfuerzo en la esquina Lb/pulg² σb= 0.0347*P + 0.0179 R² = 1Esfuerzo en el borde Lb/pulg² σe = 0.0293*P - 0.0286 R² = 1Esfuerzo en el interior Lb/pulg² σ¡ = 0.0237*P + 0.0286 R² = 1

Fuente: el Autor

Cuando se disminuyó la magnitud de la carga P, según la tabla 12 nos presenta el porcentaje de variación que fue de 33% con respecto a esfuerzos y deflexiones (en la esquina, en el borde y en el interior). Lo anterior demuestra que un cambio en la carga genera el mismo cambio en la magnitud de la deflexión y el esfuerzo en la losa de concreto.

El grado de sensibilidad entre la carga, deflexión y esfuerzo es alto, es decir que la carga es una variable que al modificar su magnitud genera cambios significativos en la magnitud del esfuerzo y la deflexión.

En la gráfica 1y 2 se observa que el esfuerzo mayor se genera en el borde de la losa y el menor en el interior para la deflexión es la mayor en la esquina y la menor en el interior de la losa de concreto.

b) VARIACIÓN DEL RADIO DE CARAGA , a

Tabla N° 14 Rango de variación del radio del área de carga, “a” aplicada al modelo estructural

Variable rango de variación, pulg variación , pulg

Radio del área de carga, "a" pulg 3 - 9 1Fuente: el Autor

Tabla N° 15 Resultados de Esfuerzos y deflexiones ante la variación del radio del área de carga, “a”

Radio del área de carga, "a"

pulg


Esfuerzo Borde

Lb/pulg²


Deflexión Esquina,

pulg

Deflexión Borde,

pulg


pulg3 361.7 412 268.8 0.04743 0.01938 0.0061814 326 377.5 249.7 0.04497 0.01868 0.006155 293.8 343.6 231.1 0.04251 0.01798 0.0061146 264.1 312 213.6 0.04004 0.01728 0.0060737 236.2 283.1 197.6 0.03758 0.01658 0.0060278 210 256.8 183.1 0.03511 0.01588 0.0059799 185 232.9 169.9 0.03265 0.01518 0.005927

Fuente: el Autor

Tabla N° 16 Grado de sensibilidad de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función del radio del área de carga, “a”

Radio del área de carga, "a" pulg

% Variación


3 37 32 26 18 12 24 23 21 17 12 8 15 11 10 8 6 4 16 0 0 0 0 0 07 -11 -9 -7 -6 -4 -18 -20 -18 -14 -12 -8 -29 -30 -25 -20 -18 -12 -2

Fuente: el Autor

Grafica N° 3 variación de la deflexión en la esquina, borde e interior de la losa en función del radio del área de carga, “a”

2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

f(x) = − 4.25357142857143E-05 x + 0.00631964285714286R² = 0.992794531823043

f(x) = − 0.0007 x + 0.02148R² = 1

f(x) = − 0.00246392857142857 x + 0.054825R² = 0.999999684848896

Variación de la deflexión en funcion del Radio del area de carga, "a" pulg

Deflexión Esquina

Linear (Deflex-ión Esquina )

Deflexión Borde

Linear (Deflex-ión Borde )

Deflexión In-terior

Linear (Deflex-ión Interior )

Radio del area de carga " a" , pulg

Defl

exió

n p

ulg

Fuente: el Autor

Grafica N° 4 variación del esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función del radio del área de carga, “a”

2 3 4 5 6 7 8 9 10150

200

250

300

350

400

450

f(x) = 0.630952380952373 x² − 24.1214285714285 x + 335.747619047619R² = 0.99996018875968

f(x) = 1.14761904761903 x² − 43.742857142857 x + 533.395238095238R² = 0.999958683421595

f(x) = 1.03690476190475 x² − 41.7178571428569 x + 476.945238095237R² = 0.999931226365364

Variación de el esfuerzo en funcion del Radio del area de carga, "a" pulg

Esfuerzo Esquina Polynomial (Esfuerzo Esquina )Esfuerzo Borde Polynomial (Esfuerzo Borde )Esfuerzo Interior Polynomial (Esfuerzo Interior )

Radio del area de carga " a" , pulg

Esfu

erzo

, Lb

/ p

ulg²

Fuente: el Autor

conclusiones de la variación de la deflexión y esfuerzo del radio del área de carga, “a”.

la relación entre el radio de carga, la magnitud de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, en el borde y en el interior de la losa de concreto es inversamente proporcional.

En las gráficas 3 y 4 se presenta la variación de (la deflexión, esfuerzo) en la esquina, en el borde y en el interior de la losa de concreto en función del radio de carga (a, pulg), se aprecia en la gráfica que la tendencia y la relación entre las tres variables, para radios pequeños los cambios son más sensibles y para radios de carga grandes los cambios son menos sensibles a la deflexión y el esfuerzo.

Las ecuaciones que describen el comportamiento de las gráficas de deflexión y esfuerzo son las siguientes:

Fuente: el Autor

El grado de sensibilidad entre el radio de carga, la deflexión es media, o sea, que el radio de carga es una variable que al modificar su magnitud genera cambios de media a baja magnitud en la deflexión de la losa.

El grado de sensibilidad entre el esfuerzo y el radio de carga es alta, o sea que al modificar la magnitud del radio de carga produce cambios significativos en el esfuerzo en el interior, en el borde y en la esquina de la losa estos esfuerzos son inversamente proporcionales.

En cuanto a las ecuaciones de los gráficos 3 para la deflexión presenta en su comportamiento una tendencia lineal, para el grafico de esfuerzo 4 el comportamiento de la gráfica presenta una tendencia polinómica.

Tabla N° 17 Variación del radio de carga "a"Parámetro Ecuación en,(a = pulg)

deflexión en la esquina pulg Δe = -0.0025(a) + 0.0548 R² = 1deflexión en el borde pulg Δb= -0.0007(a) + 0.0215 R² = 1deflexión en el interior pulg Δ¡ = -4E-05(a) + 0.0063 R² = 0.9928Esfuerzo en la esquina Lb/pulg² σe= 1.0369(a²) - 41.718(a) + 476.95 R² =0.99Esfuerzo en el borde Lb/pulg² σb = 1.1476(a²) - 43.743(a) + 533.4 R² = 1

Esfuerzo en el interior Lb/pulg² σ¡= 0.631(a²) - 24.121(a)+ 335.75 R² = 1

c) VARIACIÓN DEL MÓDULO DE REACCIÓN DEL CONJUNTO, k

Tabla N° 18 Rango de variación del módulo de reacción del conjunto, “k” aplicada al modelo estructural

Variable rango de variación, Lb/pulg³

variación, Lb/pulg³

Módulo de reacción del conjunto, k 85 - 485 100Fuente: el Autor

Tabla N° 19 Resultados de Esfuerzos y deflexiones ante la variación del módulo de reacción de la subrasante "k"

Módulo de reacción del conjunto, k

Lb/pulg³


Esfuerzo Borde

Lb/pulg²


Deflexión Esquina,

pulg

Deflexión Borde,

pulg


pulg

85 311.7 367.2 244.1 0.08039 0.03365 0.01123

185 282.1 331.7 224.5 0.05158 0.02199 0.007569

285 264.1 312 213.6 0.04004 0.01728 0.006073

385 250.8 298.3 206 0.03346 0.01459 0.005207

485 240.2 287.8 200.2 0.02908 0.01279 0.004626

Fuente: el Autor

Tabla N° 20 Grado de sensibilidad de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función del módulo de reacción de la subrasante "k"

Módulo de reacción del conjunto, k Lb/pulg³

% Variación


85 18 18 14 101 95 85

185 7 6 5 29 27 25

285 0 0 0 0 0 0

385 -5 -4 -4 -16 -16 -14

485 -9 -8 -6 -27 -26 -24

Fuente: el Autor

Grafica N° 5 variación de la deflexión en la esquina, borde e interior de la losa en función del

radio del módulo de reacción de la subrasante "k"

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

f(x) = 0.107923278562063 x -̂0.509196111716721R² = 0.999995611094251

f(x) = 0.397356772666574 x -̂0.555097222252644R² = 0.999936304259359

f(x) = 1.07737028108267 x -̂0.583220525002399R² = 0.999849023188816

Variación de la deflexión en funcion del Modulo de reacción del conjunto, k Lb/pulg³

Deflexión EsquinaPower (Deflexión Esquina)Deflexión BordePower (Deflexión Borde)deflexión Interior

Modulo de reacción del conjunto, k Lb/pulg³

Defl

exió

n p

ulg

Fuente: el Autor

Grafica N° 6 variación del esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función del

módulo de reacción de la subrasante "k"

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500150

200

250

300

350

400

f(x) = − 25.2140835605359 ln(x) + 356.119884858174R² = 0.999999733282365

f(x) = − 45.5971008762592 ln(x) + 569.754425137857R² = 0.999999569141528

f(x) = − 40.9382774834413 ln(x) + 494.554793321068R² = 0.998472873781651

Variación de el esfuerzo en funcion de el Modulo de reacción del conjunto, k Lb/pulg³

Esfuerzo Esquina Loga-rithmic (Esfuerzo Esquina )Esfuerzo Borde Loga-rithmic (Es-fuerzo Borde )Esfuerzo Interior

Modulo de reacción del conjunto, k Lb/pulg³

Esfu

erzo

, Lb

/ p

ulg²

Fuente: el Autor

conclusiones de la variación de la deflexión y esfuerzo en función módulo de reacción de la subrasante "k" la relación entre el módulo de reacción de la subrasante, la magnitud de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, en el borde y en el interior de la losa de concreto es inversamente proporcional.

En las gráficas 5 y 6 se presenta la variación de (la deflexión, esfuerzo) en la esquina, en el borde y en el interior de la losa de concreto en función del módulo de reacción de la subrasante, se aprecia en las gráficas la tendencia y la relación entre las tres variables, para módulos de conjunto subrasante bajos los cambios con respecto a la deflexión son más sensibles (Altos) y para los esfuerzos la sensibilidad es media, cambios para módulos de conjunto subrasante Altos la sensibilidad es baja tanto para deflexiones como para esfuerzos .


Fuente: el Autor

El grado de sensibilidad entre del módulo de reacción de la subrasante, la deflexión es alta, o sea, que del módulo de reacción de la subrasante es una variable que al modificar su magnitud genera cambios de alta magnitud en la deflexión de la losa.

El grado de sensibilidad entre el esfuerzo y el módulo de reacción de la subrasante es media, o sea que al modificar la magnitud del módulo de reacción de la subrasante produce cambios medios en el esfuerzo en el interior, en el borde y en la esquina de la losa estos esfuerzos son inversamente proporcionales.

Tabla N° 21 Variación del módulo de reacción de la subrasante "k"Parámetro Ecuación en,(k = Lb/pulg3)

deflexión en la esquina pulg Δe = 1.0774 *k-0.583 R² = 0.9998

deflexión en el borde pulgΔb= 0.3974*k-0.555 R² = 0.9999

deflexión en el interior pulgΔ¡ = 0.1079*k-0.509 R² = 1

Esfuerzo en la esquina Lb/pulg² σe= -40.94ln(k) + 494.55 R² = 0.9985

Esfuerzo en el borde Lb/pulg² σb= -45.6ln(k) + 569.75 R² = 1

Esfuerzo en el interior Lb/pulg² σ¡ = -25.21ln(k) + 356.12 R² = 1

En cuanto a las ecuaciones del gráfico 5 para la deflexión presenta en su comportamiento una tendencia potencial, para el grafico de esfuerzo 6 el comportamiento de la gráfica presenta una tendencia logaritmica.

d) VARIACIÓN DEL ESPESOR DE LA LOSA , h

Tabla N° 22 Rango de variación del módulo de espesor de la losa, “h” aplicada al modelo estructural

Variable rango de variación, pulg variación, pulg

Espesor de la losa, h 4 - 10 1Fuente: el Autor

Tabla N° 23 Resultados de Esfuerzos y deflexiones ante la variación del espesor de la losa, “h”

Espesor de la losa, h pulg


Esfuerzo Borde

Lb/pulg²


Deflexión Esquina,

pulg

Deflexión Borde,

pulg


pulg4 557 693.8 509.5 0.07484 0.03494 0.01375 425.6 514.1 364.8 0.0593 0.02663 0.0099276 331.4 394.9 274.2 0.04817 0.02113 0.0076117 264.1 312 213.6 0.04004 0.01728 0.0060738 215 252.2 170.9 0.03393 0.01447 0.004999 178.3 207.6 139.6 0.02921 0.01235 0.004194

10 150.2 173.6 116.1 0.02548 0.01178 0.00359 Fuente: el Autor

Tabla N° 24 Grado de sensibilidad de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función del espesor de la losa, “h”


% Variación


3 111 122 139 87 102 1264 61 65 71 48 54 635 25 27 28 20 22 256 0 0 0 0 0 07 -19 -19 -20 -15 -16 -188 -32 -33 -35 -27 -29 -319 -43 -44 -46 -36 -32 -41

Fuente: el Autor

Grafica N° 7 variación de la deflexión en la esquina, borde e interior de la losa en función del radio del espesor de la losa, “h”

3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

f(x) = 0.104338173611322 x -̂1.46237691460953R² = 0.999982081012397

f(x) = 0.192510085888071 x -̂1.23438871398427R² = 0.995788062244406

f(x) = 0.393149830727355 x -̂1.18083553174208R² = 0.998486755106533

Variación de la deflexión en funcion del Espesor de la losa, h

Deflexión EsquinaPower (De-flexión Es-quina)Deflexión BordePower (De-flexión Borde)deflexión Interior


Defl

exió

n p

ulg

Fuente: el Autor

Grafica N° 8 variación del esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función del radio del espesor de la losa, “h”

3 4 5 6 7 8 9 10 110

100

200

300

400

500

600

700

800

f(x) = 4883.09192314837 x -̂1.61573229627002R² = 0.999214413056412

f(x) = 5836.18410017322 x -̂1.51540045092134R² = 0.998242818468145f(x) = 4249.91373756403 x -̂1.43929126738579R² = 0.997146262935591

Variación de el esfuerzo en funcion del Espesor de la losa, h

Esfuerzo Esquina Power (Es-fuerzo Es-quina )Esfuerzo Borde Power (Es-fuerzo Borde )Esfuerzo Interior


Esfu

erzo

, Lb

/ p

ulg²

Fuente: el Autor

conclusiones de la variación de la deflexión y esfuerzo en función del espesor de la losa “h”.

la relación entre el espesor de la losa, la magnitud de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, en el borde y en el interior de la losa de concreto es inversamente proporcional.

En las gráficas 7 y 8 se presenta la variación de (la deflexión, esfuerzo) en la esquina, en el borde y en el interior de la losa de concreto en función del espesor de la losa, se aprecia en las gráficas la tendencia y la relación entre las tres variables, para espesor de la losa pequeño los cambios son más sensibles y para espesor de la losa grande los cambios son medio- alto sensible a la deflexión y el esfuerzo.


Fuente: el Autor

El grado de sensibilidad entre el espesor de la losa, la deflexión es alta, o sea, que el espesor de la losa es una variable que al modificar su magnitud genera cambios de alta magnitud en la deflexión de la losa.

El grado de sensibilidad entre el esfuerzo y el espesor de la losa, o sea que al modificar la magnitud del espesor de la losa produce cambios significativos en el esfuerzo en el interior, en el borde y en la esquina de la losa estos esfuerzos son inversamente proporcionales.

En cuanto a las ecuaciones del gráfico 7 para la deflexión presenta en su comportamiento una tendencia potencial, para el grafico de esfuerzo 8 el comportamiento de la gráfica presenta una tendencia potencial.

Tabla N° 25 Variación del espesor de la losa "h"Parámetro Ecuación en,(h = pulg)

deflexión en la esquina pulg Δe= 0.0695h-0.405 R² = 0.9999deflexión en el borde pulg Δb = 0.1925h-1.234 R² = 0.9958deflexión en el interior pulg Δ¡= 0.1043h-1.462 R² = 1Esfuerzo en la esquina Lb/pulg² σe = 4249.9h-1.439 R² = 0.9971

Esfuerzo en el borde Lb/pulg² σb = 5836.2h-1.515 R² = 0.9982

Esfuerzo en el interior Lb/pulg² σ¡ = 4883.1h-1.616 R² = 0.9992

e) VARIACIÓN DEL MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL CONCRETO, Ec

Tabla N° 26 Rango de variación del módulo de elasticidad del concreto, “Ec” aplicada al modelo estructural

Variable rango de variación, Lb/pulg² variación, Lb/pulg²

Módulo de elasticidad del concreto, Ec

2.4*10⁶ - 5.4*10⁶ 0.5*10⁶

Fuente: el Autor

Tabla N° 27 Resultados de Esfuerzos y deflexiones ante la variación del módulo de elasticidad del concreto, “Ec”

Módulo de elasticidad del

concreto, Ec Lb/pulg² *10⁶


Esfuerzo Borde

Lb/pulg²


Deflexión Esquina,

pulg

Deflexión Borde,

pulg


pulg

2.4 242.5 290 201.4 0.04857 0.02132 0.007692.9 251.1 298.6 206.1 0.0451 0.01966 0.0070153.4 258.1 305.8 210.1 0.04232 0.01835 0.0064933.9 264.1 312 213.6 0.04004 0.01728 0.0060734.4 269.2 317.5 216.6 0.03812 0.01639 0.0057254.9 273.7 322.4 219.3 0.03646 0.01563 0.0054325.4 277.7 326.8 221.8 0.03502 0.01497 0.00518

Fuente: el Autor

Tabla N° 28 Grado de sensibilidad de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función del módulo de elasticidad del concreto, “Ec”

Módulo de elasticidad del

concreto, Ec Lb/pulg² *10⁶

% Variación


2.4 -8 -7 -6 21 23 272.9 -5 -4 -4 13 14 163.4 -2 -2 -2 6 6 73.9 0 0 0 0 0 04.4 2 2 1 -5 -5 -64.9 4 3 3 -9 -10 -115.4 5 5 4 -13 -13 -15

Fuente: el Autor

Grafica N° 9 variación de la deflexión en la esquina, borde e interior de la losa en función del módulo de elasticidad del concreto, “Ec”

1.9 2.4 2.9 3.4 3.9 4.4 4.9 5.4 5.90

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

f(x) = 0.0118312304641847 x -̂0.489014113754392R² = 0.999998829099817

f(x) = 0.0313795144943962 x -̂0.43776350646213R² = 0.999968932083454

f(x) = 0.0694951817952671 x -̂0.405003124564834R² = 0.999903995229833

Variación de la deflexión en funcion del Módulo de elas-ticidad del concreto, Ec

Deflexión EsquinaPower (De-flexión Es-quina)Deflexión BordePower (De-flexión Borde)deflexión In-terior

Módulo de elasticidad del concreto, Ec *10⁶ Lb/pulg²

Defl

exió

n p

ulg

Fuente: el Autor

Grafica N° 10 variación del esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función del módulo de elasticidad del concreto, “Ec”

1.9 2.4 2.9 3.4 3.9 4.4 4.9 5.4 5.9150

175

200

225

250

275

300

325

350

f(x) = 25.2429443094474 ln(x) + 179.141827999586R² = 0.99998662190912

f(x) = 45.5333615535691 ln(x) + 249.910442221676R² = 0.999998998610449

f(x) = 43.5304236238976 ln(x) + 204.473163920306R² = 0.999687845786356

Variación de el esfuerzo en funcion del Módulo de elas-ticidad del concreto, Ec

Esfuerzo Esquina Loga-rithmic (Esfuerzo Esquina )Esfuerzo Borde Loga-rithmic (Esfuerzo Borde )Esfuerzo Interior

Módulo de elasticidad del concreto, Ec *10⁶ Lb/pulg²

Esfu

erzo

, Lb

/ p

ulg²

Fuente: el Autor

conclusiones de la variación de la deflexión y esfuerzo en función del módulo de elasticidad del concreto, “Ec”

La relación entre el módulo de elasticidad del concreto y la magnitud de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, en el interior y en el borde de la losa de concreto es inversamente proporcional.

Un cambio en el módulo de elasticidad del concreto genera cambios importantes en la magnitud de la deflexión y el esfuerzo (medio) en la esquina y en el borde de la losa y en el interior de la losa. Esta conclusión, es muy importante en el diseño de las losas de concreto, en especial cuando se analiza las propiedades y características del concreto de la losa.

El grado de sensibilidad entre el módulo de elasticidad del concreto de la losa y la deflexión es alta, o sea, que el módulo de elasticidad es una variable que al modificar su magnitud genera cambios de importantes en la deflexión de la losa.

En cuanto a las ecuaciones de los gráficos 9 para la deflexión presenta en su comportamiento una tendencia potencial, para el grafico de esfuerzo 10 el comportamiento de la gráfica presenta una tendencia logarítmica.


Fuente: el Autor

Tabla N° 29 Variación del módulo de elasticidad del concreto "Ec"Parámetro Ecuación en,(Ec = Lb/pulg2)

deflexión en la esquina pulg Δe= 0.0695Ec-0.405 R² = 0.9999deflexión en el borde pulg Δb = 0.0314Ec-0.438 R² = 1deflexión en el interior pulg Δ¡ = 0.0118Ec-0.489 R² = 1Esfuerzo en la esquina Lb/pulg² σe= 43.53ln(Ec) + 204.47 R² = 0.9997

Esfuerzo en el borde Lb/pulg² σb= 45.533ln(Ec) + 249.91 R² = 1

Esfuerzo en el interior Lb/pulg² σ¡ = 25.243ln(Ec) + 179.14 R² = 1

f) VARIACIÓN DE LA RELACIÓN DE POISSON, μ

Tabla N° 30 Rango de variación de la relación de Poisson, “μ” aplicada al modelo estructural

Variable rango de variación variaciónRelación de Poisson del concreto, μ

0.09 - 0.21 0.02

Fuente: el Autor

Tabla N° 31 Resultados de Esfuerzos y deflexiones ante la variación de la relación de Poisson, “μ”

Relación de Poisson del concreto, μ


Esfuerzo Borde

Lb/pulg²


Deflexión Esquina,

pulg

Deflexión Borde,

pulg


pulg0.09 263.4 377.5 202.2 0.04028 0.01711 0.0061160.11 263.6 380.3 206 0.04021 0.01717 0.0061040.13 263.8 383 209.8 0.040113 0.01723 0.006090.15 264.1 385.8 213.6 0.04004 0.01728 0.0060730.17 264.3 388.2 217.6 0.03993 0.01735 0.0060530.19 264.7 390.7 221.5 0.03981 0.01741 0.0060310.21 265 393 225.4 0.03968 0.01747 0.006007

Fuente: el Autor

Tabla N° 32 Grado de sensibilidad de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función de la relación de Poisson, “μ”


% Variación


2.4 0 -2 -5 1 -1 12.9 0 -1 -4 0 -1 13.4 0 -1 -2 0 0 03.9 0 0 0 0 0 04.4 0 1 2 0 0 04.9 0 1 4 -1 1 -15.4 0 2 6 -1 1 -1

Fuente: el Autor

Grafica N° 11 variación de la deflexión en la esquina, borde e interior de la losa en función de la relación de Poisson, “μ”

0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.220

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

f(x) = − 0.00315476190476217 x² + 3.57142857143762E-05 x + 0.0061383869047619R² = 0.999959573909001

f(x) = 0.00119047619047527 x² + 0.00264285714285744 x + 0.0168634523809524R² = 0.999339186255074

f(x) = − 0.0145535714285712 x² − 0.000603571428571525 x + 0.0404502767857143R² = 0.999124067757828

Variación de la deflexión en funcion de la Relación de Poisson del concreto, μ

Deflexión EsquinaPolynomial (Deflexión Esquina)Deflexión BordePolynomial (Deflexión Borde)deflexión Interior


Defl

exió

n p

ulg

Fuente: el Autor

Grafica N° 12 variación del esfuerzo en la esquina, borde e interior de la losa en función de la relación de Poisson, “μ”

0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.220

50

100

150

200

250

300

350

400

450

f(x) = 41.666666666655 x² + 181.071428571433 x + 185.56369047619R² = 0.999980711583715

f(x) = − 127.976190476217 x² + 167.857142857152 x + 363.405654761904R² = 0.999911328651486

f(x) = 38.6904761904531 x² + 1.78571428572175 x + 262.928273809523R² = 0.997425093632959

Variación de el esfuerzo en funcion de la Relación de Poisson del concreto, μ

Esfuerzo Esquina Polyno-mial (Es-fuerzo Esquina )Esfuerzo Borde Poly-nomial (Es-fuerzo Borde )Esfuerzo Interior Linear (Es-fuerzo In-terior )Relación de Poisson del concreto, μ

Esfu

erzo

, Lb

/ p

ulg²

Fuente: el Autor

conclusiones de la variación de la deflexión y esfuerzo en función de la relación de poisson, “μ”

La relación entre la relación de Poisson del concreto y la magnitud de la deflexión y el esfuerzo en la esquina, en el interior y en el borde de la losa de concreto es inversamente proporcional.

Un cambio en la relación de Poisson del concreto de la losa genera cambios de poca importancia en la magnitud de la deflexión y el esfuerzo en la esquina y en el borde de la losa y en el interior de la losa. Esta conclusión, es muy importante en el diseño de las losas de concreto, en especial cuando se analiza las propiedades y características del concreto de la losa.

El grado de sensibilidad entre la relación de Poisson del concreto, la deflexión y el esfuerzo es muy baja, o sea, que la relación de Poisson del concreto de la losa es una variable que al modificar su magnitud no genera cambios de importantes en la deflexión de la losa.

En cuanto a las ecuaciones de los gráficos 11 para la deflexión presenta en su comportamiento una tendencia polinómica, para el grafico de esfuerzo 12 el comportamiento de la gráfica presenta una tendencia polinómica.


Fuente: el Autor

Tabla N° 33 Variación de la Relación de Poisson "μ"Parámetro Ecuación μ

deflexión en la esquina pulg Δe= -0.0146x2 - 0.0006x + 0.0405 R² = 0.999deflexión en el borde pulg Δb = 0.0012x2 + 0.0026x + 0.0169 R² = 0.9993deflexión en el interior pulg Δ¡= -0.0032x2 + 4E-05x + 0.0061 R² = 1Esfuerzo en la esquina Lb/pulg² σe= 38.69x2 + 1.7857x + 262.93 R² = 0.9974

Esfuerzo en el borde Lb/pulg² σb= -127.98x2 + 167.86x + 363.41 R² = 0.9999

Esfuerzo en el interior Lb/pulg² σ¡= 41.667x2 + 181.07x + 185.56 R² = 1

Tabla N°34 Escala para definir el grado de sensibilidad.

Fuente: HIGUERA SANDOVAL, Carlos Hernando. “Mecánica de Pavimentos. Principios Básicos”.Tunja, 2007.

GRADO DE SENSIBILIDAD DE LAS VARIABLES QUE AFECTAN EL DISEÑO DE UN PAVIMENTO RIGIDO

Variable de diseño

Grado de sensibilidadEsfuerzo Esquina Lb/pulg²

Esfuerzo Borde

Lb/pulg²


Deflexión Esquina,

pulg

Deflexión Borde, pulg


pulgCarga, P ALTA ALTA ALTA ALTA ALTA ALTAEspesor de la losa, h ALTA ALTA ALTA ALTA ALTA ALTARadio de carga, a ALTA ALTA MEDIA MEDIA BAJA BAJA

Módulo de elasticidad del concreto, Ec BAJA BAJA BAJA MEDIA MEDIA MEDIARelación de poisson, μ BAJA BAJA BAJA BAJA BAJA BAJA

Módulo de reacción del conjunto, kc MEDIA MEDIA BAJA ALTA ALTA ALTA

Fuente: el Autor

VARIABLES MÁS SENSIBLES EN LA DEFLEXIÓN

1. Espesor de la losa, h

2. Carga, P

3. Módulo de reacción del conjunto, kc

4. Módulo de elasticidad del concreto, Ec

5. Radio de carga, a

6. Relación de poisson, μ

VARIABLES MÁS SENSIBLES EN EL ESFUERZO

7. Espesor de la losa, h

8. Carga, P

9. Radio de carga, a

10. Módulo de reacción del conjunto, kc

11. Módulo de elasticidad del concreto, Ec

12. Relación de poisson, μ

Grado de sensibilidad Variación, %Baja <15Media 15 – 30Alta >30

CONCLUSIONES

La subrasante tiene buena capacidad de soporte por esta razón las deflexiones no son tan altas, si las deflexiones fueran altas esto conduciría a la falla o fractura de la losa.

Para el cálculo de los esfuerzos por Alabo al realizarlo por el método manual se presentan algunas variaciones debido al cálculo de los coeficientes de alabeo ya que se hace por una gráfica, los programas de CEDEL Y UNSALOSA son más exactos al calcular los esfuerzos y deflexiones.

Al calcular los esfuerzos y deflexiones debidos a las cargas del tránsito al calcularlos de forma manual y por los programas CEDEL Y UNALOSA dan los mismos valores.

Cuando calculamos los esfuerzos de alabeo si comparamos los resultados de los programas de CEDEL y UNALOSA presentan una variación grande esto se debe al cálculo de coeficientes de alabeo Cx y Cy .

Con respecto a la sumatoria total de esfuerzos el mayor esfuerzo de la losa de concreto se presenta en el borde y el menor esfuerzo en el interior.

En el cuadro N° 7 y 8 se encuentra el resumen del cálculo de esfuerzos totales y se puede apreciar que los esfuerzos actuantes de tensión en la losa son menores al esfuerzo a la flexo-tracción del concreto por lo tanto está bien diseñada.

La losa de concreto rígido para el ejemplo de diseño propuesto cumple con todos los criterios de diseño por lo tanto es una estructura que va a tener un buen comportamiento tanto estructural como funcional durante el periodo de servicio.

Al realizar el chequeo de la losa con respecto a los esfuerzos y deflexiones en el interior, borde y esquina se presentan los resultados en el cuadro resumen N°7 y 8 donde se aprecia que los valores de servicio tanto para esfuerzo como para la deflexión son menores que los valores admisibles, esto nos demuestra que la losa cumple con los criterio de diseño y que por ende está bien diseñada.

BIBLIOGRAFIA

HIGUERA SANDOVAL, Crlos Hernando, deformaciones y deflexiones en pavimentos flexibles y rigidos. Conferencias de clase. Universidad pedagógica y tecnológica de Colombia. Tunja 2005

taller 5

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