TALLER 1 1. En los ejercicios siguientes, describir y dibujar las curvas de nivel de dominio y de las funciones 2. Encontrar la curva de nivel de la función que contiene el punto dado 3. en el ejercicio siguiente, si es posible, encontrar paramétrica La ecuación paramétrica esta dada por un vector y un punto, el vector se representa seguido de “t”, se expresa con los tres ejes diferidos, el vector seguido de “t” sumado al punto. Ej: x=2t+1 , y=3t-3, z=4t-4 a) la recta que pasa por (2,0,1) y en paralelo a (2, -1,4) la recta que pasa por significa que sigue un punto, en paralelo que este significa el vector p(2,0,1) y V(2,-1,4) x=2t+2 y=-t z=4t+1 para verificar en derive el punto se escribe asi [2,0,1] y la recta [2t+2,-t,4t+1] siempre en paréntesis cuadrados. Y el vector [2t,-t,4t] b) la recta que pasa por (1,2,2) y (1,1,2) en este caso los datos son dos puntos dados p(1,2,2) y o(1,1,2) restamos en cualquier orden y esto nos genera un vector p-o=(1-1,2-1,2-2)=(0,1,0) y la paramétrica seria x=1, y=t+1, z=2 teniendo en cuenta que en x en z no hay “t” ya que el vector en esos planos tiene 0. c) la línea paralela a (x, y, z) = (2,1, -1) t, y por ella (2, -1,2) en este caso nos dan la paramétrica expresada y si eliminamos el punto al momento de generar otro vector de la paramétrica que nos dieron entonces tenemos una línea paralela a la recta dada. X=2t Y=t Z=-2t d) la recta que pasa por (2,3,1) y por el punto de intersección de las líneas (x, y, z) = t(2,1, -2) + (1,1,2) y (x, y, z) = v(1, -1,2) + (3,2,0) en este caso nos dan un punto, dos rectas paramétricas y nos piden encontrar una recta que atraviese el punto dado y el de intersección entre las líneas dadas, primero debemos conocer el punto de intersección, para ello igualamos las dos

ecuaciones paramétricas y por método de eliminación de las ecuaciones y luego por sustitución encontramos dicho punto. x=2t+1 y=t+1 z=-2t+2 x=v+3 y=-v+2 z=2v p(2,3,1) x=x 2t+1=v+3 y=y t+1=-v+2 z=z -2t+2=2v se toman dos líneas de ecuaciones para eliminar una expresión y continuamos con el despeje de la expresión restante

2t+1=v+3 + t+1=-v+2

3t+2=5 t=5-2 3 Luego tomamos la ecuación que no sumamos y en ella reemplazamos el

valor de “t” y luego despejamos “v” -2(1)+2=2v -> -2+2=2v -> -1+1=v 0=v Ahora en cualquiera de las ecuaciones paramétricas podemos reemplazar

el parámetro en su valor para generar el punto de intersección x=2t+1 y=t+1 z=-2t+2 x=2(1)+1 y=(1)+1 z=-2(1)+2 x=2+1 y=1+1 z=-2+2 x=3 y=2 z=0 p´=(3,2,0) y con estos puntos claros, p´=(3,2,0) y p(2,3,1) los restamos para generar el vector y luego generar la recta parametrica p´=(3,2,0) - p(2,3,1) = (1,-1,-1) x=t+3 y=-t+2 z=-t

e) la recta que pasa por (-2,0,1) y por el punto de intersección de las líneas (x, y, z) = t(-2, -1,2)+ (1,1,2) y (x, y, z) = v(2, -3,1) + (3,2,0) en este caso podemos utilizar el mismo método anterior pero con mucho ciudado de no confundirse

p(-2,0,1) x=-2t+1 y=-t+1 z=2t+2 x=2v+3 y=-3v+2 z=v -2t+1=2v+3 -t+1=-3v+2 2t+2= v

-2t+1=2v+3 + 2t+2= v 3=3v+3 => 1-1=v 0=v -t+1=-3v+2 => -t+1=-3(0)+2 => -t+1=2 =>

t=-1 x=-2(-1)+1 =3 y=-(-1)+1 =2 z=2(-1)+2 =0 p´=(3,2,0) y p(-2,0,1) p´-p= (3,2,0) - (-2,0,1) = (5, 2,-1) x=5t+3 y=2t+2 z=-t

4. en el ejercicio siguiente, si es posible, encontrar una ecuación del plano

dado

la ecuación del plano esta dado por 3 puntos en los planos x,y,z y d que es una distancia determinada por la ecuación

(xo,yo,zo).(A,B,C)=(-1)D (xo,yo,zo) representa un punto y (A,B,C) un vector estos dos datos se les

efectua el producto punto que consiste en multiplicar cada parte correspondiente y sumarlas al final o sea

(A*Xo + B*Yo + C*Zo)=(-1)D Y finalmente el plano en su ecuación mas conocida se representa con el

vector que fue multiplicado seguido del respectivo eje al que corresponde asi Ax + By + Cz – D = 0 , en ocaciones el D puede ser positivo también. V(2,3,4) p(2,3,5) V.p=-d 2*2+3*3+4*5=-(33) 2x+3y+4z-33=0 Siempre recuerden que el resultado del producto punto debe ser

multiplicado por (-1) Recordemos que un plano esta determinado por 2 o mas rectas

a) el plano que contiene los puntos (0,3, -1), (2, -1,7) y (2,1,3) en este caso tomamos los tres puntos y los restamos entre si generando

dos rectas que tengan uno de los puntos en común a(0,3,-1) b(2,-1,7) c(2,1,3) ab=(2,-1,7)- (0,3,-1) = (2,-4,8) bc=(2,1,3) -(2,-1,7) = (0,2,-4) ahora hallamos el vector normal a estas rectas, recordemos que el vector

normal se halla por medio del producto cruz, resolvemos por medio de una matriz

x,y,z (2,-4,8) (0,2,-4) = abxbc = (0, 8, 4) a.abxbc=(0,3,-1).(0,8,4) =-(20) entonces el plano es 8y+4z-20=0 Para verificar en derive pueden emplear este mismo formato de ecuación

del plano 8y+4z-20=0 y la de los puntos, formula ya mencionada al inicio del documento. b) el plano que contiene el punto (1,2,1) con el vector normal (2,1,2) para este caso empleamos la ecuación ya conocida del plano que es el producto punto entre el punto y el vector normal.

(1,2,1).(2,1,2)=-(1*2+2*1+1*2)=-6 2x+y+2z -6=0 c) el plano que contiene las líneas (2t + 1, t + 1,-2t + 2) y (v + 3,-v + 2, 2v) primero que todo identificamos los vectores contenidos en las

ecuaciones paramétricas dadas U(2,1,-2), p(1,1,2) V(1,-1,2), p(3,2,0) Los acomodamos en una matriz para generar el vector normal a las rectas

dadas y buscamos los valores de I,-J,K i -J K 2 1 -2 1 -1 2 = (1*2-[-1*-2])i, -(2*2-[1*-2])J, (2*-1-[1*1])K = (0,-6,-3) Conociendo este vector, le hacemos producto punto con alguno de los

puntos incluidos dentro de las ecuaciones paramétricas que nos dieron y hallamos la d, generando la ecuación del plano.

(0,-6,-3).(1,1,2)=-d => -(0-6-6) = 12 -6y -3z+12=0

d) el plano que contiene las líneas (2t + 2, t + 1, 2t + 3) y (2v 3, V-2, 2v +1)

realizamos el mismo procedimiento del punto anterior

U(2,-1,2), p(2,1,3) V(2,-1,2), p(3,2,1) Los acomodamos en una matriz para generar el vector normal a las rectas

dadas y buscamos los valores de I,-J,K i -J K 2 -1 2 2 -1 2 = (-1*2-[-1*2])i, -(2*2-[2*2])J, (2*-1-[2*-1])K = (0,0,0) Conociendo este vector, le hacemos producto punto con alguno de los

puntos incluidos dentro de las ecuaciones paramétricas que nos dieron y hallamos la d, generando la ecuación del plano.

(0,0,0).(2,1,3)=-d => -(0+0+0) = 0 0x+0y+0z+0=0 e) el plano es paralelo a x - 2y + 3z = 3 y contiene (1,2, -1)

en este caso tomamos el vector del plano dado y hacemos producto punto de este con el punto dado para generar un plano que contenga el punto dado.

(1,-2,3).(1,2,-1)=-(1-4-3)=6 x-2y+3z+6=0

f) el plano es paralelo al plano 2x + 2y - 3z - 3 = 0 y contiene (1,2,1) hacemos la misma operación del punto anterior (2,2,-3).(1,2,1)=-(2+4-3)=-3 2x+2y-3z-3=0

g) el plano es perpendicular a x - 2y + 3z = 3 y contiene (1,2, -1)

en este caso como lo que necesitamos es encontrar el vector perpendicular el cual se halla del producto punto del vector contenido en el plano dado es igual a cero

(1,-2,3).(?,?,?)=0, entonces, Puede ser (1,-2,3).(2,1,0)=0 => 1*2 + -2*1 + 3*0 = 2-2+0 = 0 Con este vector hallado lo multiplicamos en producto punto con el punto

dado y generamos el plano

(2,1,0).(1,2,-1)= - d => - (2*1 + 1*2 + 1*0) = - 4 2x + y - 4 = 0 5. Encontrar, si es posible, la ecuación de la intersección de planos

x+y+z-1=0 y –x-y+z+2=0 Para resolver este ejercicio, necesitamos igualar las ecuaciones y

despejar una variable, en este caso de la siguiente manera z=1-x-y z=x+y-2 1-x-y=x+y-2 3-2y=2x 3-2y=x 2 Y=0 x=3/2 z=1-3/2 = (2-3)/2 = -1/2 Y=1 x=[3-2(1)]/2 = 1/2 z=1-1-(1/2) = -1/2 ahora que ya tenemos dos puntos hallados p( 3/2 , 0 , -1/2 ) q( ½ , 1, -1/2 ) restamos estos dos puntos para generar la recta que parte en uno de

ellos y cruza por el otro q( ½ , 1, -1/2 ) - p( 3/2 , 0 , -1/2 ) = ( - 1 , 1, 0 ) entonces ya tenemos la recta y generamos ahora una recta en ecuación

paramétrica x= - t + ½ y= t + 1 z= -1/2

6. Encontrar, si es posible, la ecuación de la intersección de planos 2x+y+3z-1=0 y -x+2y+2=0

Como en este caso tenemos una ecuación que no tiene referencia en z entonces se complica mucho el despeje de la anterior forma, en este caso tomamos las ecuaciones del plano y por método de gauss despejamos lo mas que se pueda para generar la recta de intersección

2 1 3 | 1 -1 2 0 | -2 F1>F2 -1 2 0 | -2

2 1 3 | 1 -F1 1 -2 0 | 2 2 1 3 | 1 -2F1 + F2 1 -2 0 | 2 0 5 3 |-3 1/5 F2

1 -2 0 | 2 0 1 3/5 | -3/5 2F2 + F1 1 0 6/5 | 4/5

0 1 3/5 | -3/5 X+0+6/5 Z = 4/5 Y+3/5 Z = -3/5 Z=t

X=4/5 - 6/5t Y = -3/5 t -3/5 Z=t

7. Encontrar, si es posible, la ecuación del plano que contiene la línea (t+1,t+2,-2t+1) Para este caso determinamos el vector y el punto contenidos en la ecuación paramétrica efectuamos el producto punto para generar un plano a partir de la ecuación dada, V(1,1,-2) p(1,2,1) (1,1,-2).(1,2,1)= - d => -(1+2 -2) = - 1 X + y - 2z -1 =0 Luego buscamos un vector que sea perpendicular al plano generado anteriormente y con este utilizando el producto punto con el punto dado inicialmente en la ecuación parametrica y generamos el plano resultante (1,1,-2).(2,4,3)=0

(2,4,3).(1,2,1)= - d = - ( 2+8+3) = - 13 2x+4y+3z -13 =0 8. Encontrar las ecuaciones de dos planos paralelos separados 3 unidades de distancia La solución esta en que en la ecuación del plano d hace referencia a la distancia, si queremos que estén paralelos a una cierta distancia, la diferencia de distancia esta determinada en la variación del –d en la ecuación X + y + z – d = 0 X + y + z -2 = 0 X + y + z - 5 = 0 9. Encontrar las ecuaciones de dos planos paralelos separados 3 unidades de distancia La solución esta en que en la ecuación del plano d hace referencia a la distancia, si queremos que estén paralelos a una cierta distancia, la diferencia de distancia esta determinada en la variación del –d en la ecuación X + y + z – d = 0 2X +2y + 2z -2 = 0 2X + 2y +2z - 5 = 0 10. Encontrar, si es posible, las ecuaciones de dos líneas paralelas que figuran en el plano 2x+y-3z+2=0 En primer lugar buscamos un vector perpendicular al plano por medio del producto punto =0 (2,1,-3). (5,11,7)= 0 Luego generamos el plano a partir del vector encontrado 2x+y-3z +2 =0 y 5x + 11y +7z =0 Igualamos las ecuaciones, despejamos variables y buscamos dos puntos 2x + y +2 = z -5x -11y = z 3 7 14x+7y+14=-15x-33y

Y= -29x -14 40 X=0 Y= - 7/20 Z=11/20 X=1 Y= - 43/40 Z= 39/40 p(0, -7/20, 11/20) q(1, -43/40, 39/40) q-p= (1, -43/40, 39/40) - (0, -7/20, 11/20) = (1, -29/40, 17/40 ) x= t y= -29/40 t – 7/20 z= 17/40 t + 11/20 como conocemos que para generar un plano paralelo

simplemente se depende de la d de cada ecuación de plano, conociendo el plano anterior y su intersección, tomamos ese plano y le generamos un plano paralelo para que por medio de la línea de intersección con el plano dado inicialmente se generen las dos rectas paralelas dentro del plano

5x+11y + 7z =2 Pero en este caso utilizaremos el método de gauss para

generar la recta

5 11 7 | 2 2 1 -3 | -2 F1->F2

2 1 -3 | -2 5 11 7 | 2 1/2F1

1 ½ -3/2 | -1 5 11 7 | 2 -5F1 +F2 1 ½ -3/2 | -1 0 17/2 29/2 | 7 2/17F2 1 ½ -3/2 | -1 0 1 29/17 | 14/17 -1/2F2 + F1 1 0 - 40/17 | - 24/17 0 1 29/17 | 14/17

X= -24/17 + 40/17 t Y= 14/17 – 29/17 t Z= t

11. en los ejercicios siguientes, deberá indicarse si la declaración es verdadera o falsa a) dos planos o son paralelas o se cruzan V b) la intersección de dos planos es una línea V c) la intersección de tres planos es un punto V d) las líneas que se encuentran en planos paralelos son siempre sesgo (sesgo describe una línea que no es ni paralelo ni se cruzan) F e) el conjunto de todas las líneas perpendiculares a una línea determinada forma un plano V f) hay una línea de una perpendicular a un plano dado g) el conjunto de todos los puntos equidistantes de dos puntos dado forma un plano h) el conjunto de todos los puntos equidistantes de dos planos dados forman un plano