Microeconomía Avanzada: Teoría de Juegos

Taller 1

1. Dos individuos compiten sobre cómo distrubuir una extensión de terreno circular deuna unidad de tamaño. Cada individuo iε {1, 2} envia su demanda xiε [0, 1] en un sobrecerrado en la que revela cuánto desea obtener de este terreno. Un agente externo abrelos sobres y divide el terreno de la siguiente manera:

i) Si x1+x2 ≤ 1, a cada individuo se le asigna una porción de terreno igual a xi+(1−x1−x2)

2

ii) Si x1 + x2 > 1, ninguno de los individuos recibe participación alguna del terreno.

a) Identi�que todos los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego.

b) ¾Existe algún equilibrio de Nash en el que por lo menos un jugador juegue unaestrategia completamente mixta? Si lo hay, especifíquelo y demuestre que efectivamentees un equilibrio de Nash.

2. Considere los equilibrios de Nash del siguiente juego, tenga en cuenta que dichosresultados dependerán del valor de x.

1\2 D O GC x,x x,0 x,0A 0,x 1,0 0,1T 0,x 0,1 1,0

Describa que sucede en cada uno de los siguientes casos:

a) En los casos extremos ( x < 0 y x > 1 ) para todos los Equilibrios de Nash.

b) Para los equilibrios de Nash en estrategias mixtas que asignan una probabilidadpositiva a todas las estrategias puras, cuando x < 1

2y x > 1

2.

3. Encuentre todos los equilibrios de Nash (tanto en estrategias puras como mixtas) delsiguiente juego:

1\2 A B CX 5,5 3,4 4,8Y 3,5 8,4 6,3Z 3,7 5,6 4,9

4. a) Demostrar que si existe un equilibrio en estrategias dominantes (estríctamente odébilmente) entonces es único.

b) Sea W 0i = Si y W

ki , k > 0 de la siguiente forma:

1

W k+1i =

{wi ∈ W k

i : No existe wi ∈ W ki tal que

πi(wi, w−i) ≥ πi(wi, w−i), ∀w−i ∈ W k−i

y W∞i =

∞⋂k=0

W ki , y W

∞ =N∏i=0

W∞i .

¾Es posible que el conjunto W∞ sea vacío? Si su respuesta es a�rmativa, dé un ejemplode un juego que lo muestre. De lo contrario, pruebe formalmente que no puede ser vacío.

5. a) Mostrar que una estrategia estríctamente dominada nunca es una mejor respuesta.

b) Demostrar que R∞ ⊆ S∞.

c) ¾Se cumple que S∞ ⊆ R∞? Si su respuesta es a�rmativa, demuestre esta proposición.De lo contario, dé un contraejemplo.

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