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Subespacios invariantes
Joan Cerda
Departament de Matematica Aplicada i Analisi; GARF, Barcelona
E-mail: [email protected]://www.mat.ub.edu/ cerda/
17 de abril de 2012
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Indice
1 El problemaHistoriadimE <∞
2 EspectroEspectro de un operadorOperadores compactos
3 Subespacios invariantesEl problemaTeorema de Lomonosov
4 Minimax
5 Algunas demostracionesEspectroSchauder
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
EL PROBLEMA
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El problema del subespacio invariante
Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?
T ∈ L(E). F subespacio T -invariante ⇔ F subespacio vectorial cerrado notrivial tal que T (F ) ⊂ F .
Per Enflo
Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J.Read (1985) en `1.E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒ [x, Tx, T 2x, . . .] invariante.
Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:
Caso de T tal que P (T ) compacto no nuloCaso de T tal que TK = KT (K compacto no nulo)Caso de T tal que TS = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI(S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El problema del subespacio invariante
Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?
T ∈ L(E). F subespacio T -invariante ⇔ F subespacio vectorial cerrado notrivial tal que T (F ) ⊂ F .
Per Enflo
Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J.Read (1985) en `1.E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒ [x, Tx, T 2x, . . .] invariante.
Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:
Caso de T tal que P (T ) compacto no nuloCaso de T tal que TK = KT (K compacto no nulo)Caso de T tal que TS = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI(S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El problema del subespacio invariante
Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?
T ∈ L(E). F subespacio T -invariante ⇔ F subespacio vectorial cerrado notrivial tal que T (F ) ⊂ F .
Per Enflo
Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J.Read (1985) en `1.E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒ [x, Tx, T 2x, . . .] invariante.
Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:
Caso de T tal que P (T ) compacto no nuloCaso de T tal que TK = KT (K compacto no nulo)Caso de T tal que TS = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI(S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El problema del subespacio invariante
Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?
T ∈ L(E). F subespacio T -invariante ⇔ F subespacio vectorial cerrado notrivial tal que T (F ) ⊂ F .
Per Enflo
Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J.Read (1985) en `1.E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒ [x, Tx, T 2x, . . .] invariante.
Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:
Caso de T tal que P (T ) compacto no nuloCaso de T tal que TK = KT (K compacto no nulo)Caso de T tal que TS = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI(S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El problema del subespacio invariante
Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?
T ∈ L(E). F subespacio T -invariante ⇔ F subespacio vectorial cerrado notrivial tal que T (F ) ⊂ F .
Per Enflo
Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J.Read (1985) en `1.E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒ [x, Tx, T 2x, . . .] invariante.
Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:
Caso de T tal que P (T ) compacto no nuloCaso de T tal que TK = KT (K compacto no nulo)Caso de T tal que TS = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI(S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El problema del subespacio invariante
Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?
T ∈ L(E). F subespacio T -invariante ⇔ F subespacio vectorial cerrado notrivial tal que T (F ) ⊂ F .
Per Enflo
Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J.Read (1985) en `1.E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒ [x, Tx, T 2x, . . .] invariante.
Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:
Caso de T tal que P (T ) compacto no nuloCaso de T tal que TK = KT (K compacto no nulo)Caso de T tal que TS = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI(S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El problema del subespacio invariante
Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?
T ∈ L(E). F subespacio T -invariante ⇔ F subespacio vectorial cerrado notrivial tal que T (F ) ⊂ F .
Per Enflo
Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J.Read (1985) en `1.E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒ [x, Tx, T 2x, . . .] invariante.
Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:
Caso de T tal que P (T ) compacto no nuloCaso de T tal que TK = KT (K compacto no nulo)Caso de T tal que TS = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI(S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El problema del subespacio invariante
Tiene todo T ∈ L(E) un subespacio invariante?
T ∈ L(E). F subespacio T -invariante ⇔ F subespacio vectorial cerrado notrivial tal que T (F ) ⊂ F .
Per Enflo
Contraejemplos de Per Enflo (1976) con E Banach real o complejo y de J.Read (1985) en `1.E no separable y 0 6= x ∈ E ⇒ [x, Tx, T 2x, . . .] invariante.
Respuesta afirmativa para clases de operadores con cierta compacidad:
Caso de T tal que P (T ) compacto no nuloCaso de T tal que TK = KT (K compacto no nulo)Caso de T tal que TS = ST y SK = KS con K 6= 0 compacto y S 6= λI(S no escalar) ⇔ T “de Lomonosov”.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El resultado de John von Neumann (1935)
J. von Neumann: Todo K ∈ L(H) compacto (o sea, K(BH) compacto)en H, espacio de Hilbert de dimension infinita, tiene subespacioinvariante.
Demostrado por Aronszajn y Smith en 1954.
Problema abierto para T arbitrario sobre H!!
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El resultado de John von Neumann (1935)
J. von Neumann: Todo K ∈ L(H) compacto (o sea, K(BH) compacto)en H, espacio de Hilbert de dimension infinita, tiene subespacioinvariante.
Demostrado por Aronszajn y Smith en 1954.
Problema abierto para T arbitrario sobre H!!
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
El resultado de John von Neumann (1935)
J. von Neumann: Todo K ∈ L(H) compacto (o sea, K(BH) compacto)en H, espacio de Hilbert de dimension infinita, tiene subespacioinvariante.
Demostrado por Aronszajn y Smith en 1954.
Problema abierto para T arbitrario sobre H!!
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Caso dimE <∞
Solucion completa considerando subespacios propios:
λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado nonulo
Tambien AT = TA⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(Tx) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).
Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio esinvariante.
Si E es complejo y dimE <∞, T tiene valores propios (soluciones dedet(T − λI) = 0) −→ distincion entre casos K = C y K = R.
Falso si dimE =∞. Ejemplo: Volterra, V f(x) =∫ x0f sobre E = C[0, 1].
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Caso dimE <∞
Solucion completa considerando subespacios propios:
λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado nonulo
Tambien AT = TA⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(Tx) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).
Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio esinvariante.
Si E es complejo y dimE <∞, T tiene valores propios (soluciones dedet(T − λI) = 0) −→ distincion entre casos K = C y K = R.
Falso si dimE =∞. Ejemplo: Volterra, V f(x) =∫ x0f sobre E = C[0, 1].
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Caso dimE <∞
Solucion completa considerando subespacios propios:
λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado nonulo
Tambien AT = TA⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(Tx) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).
Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio esinvariante.
Si E es complejo y dimE <∞, T tiene valores propios (soluciones dedet(T − λI) = 0) −→ distincion entre casos K = C y K = R.
Falso si dimE =∞. Ejemplo: Volterra, V f(x) =∫ x0f sobre E = C[0, 1].
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Caso dimE <∞
Solucion completa considerando subespacios propios:
λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado nonulo
Tambien AT = TA⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(Tx) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).
Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio esinvariante.
Si E es complejo y dimE <∞, T tiene valores propios (soluciones dedet(T − λI) = 0) −→ distincion entre casos K = C y K = R.
Falso si dimE =∞. Ejemplo: Volterra, V f(x) =∫ x0f sobre E = C[0, 1].
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Caso dimE <∞
Solucion completa considerando subespacios propios:
λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado nonulo
Tambien AT = TA⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(Tx) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).
Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio esinvariante.
Si E es complejo y dimE <∞, T tiene valores propios (soluciones dedet(T − λI) = 0) −→ distincion entre casos K = C y K = R.
Falso si dimE =∞. Ejemplo: Volterra, V f(x) =∫ x0f sobre E = C[0, 1].
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Caso dimE <∞
Solucion completa considerando subespacios propios:
λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado nonulo
Tambien AT = TA⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(Tx) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).
Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio esinvariante.
Si E es complejo y dimE <∞, T tiene valores propios (soluciones dedet(T − λI) = 0) −→ distincion entre casos K = C y K = R.
Falso si dimE =∞. Ejemplo: Volterra, V f(x) =∫ x0f sobre E = C[0, 1].
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Caso dimE <∞
Solucion completa considerando subespacios propios:
λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado nonulo
Tambien AT = TA⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(Tx) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).
Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio esinvariante.
Si E es complejo y dimE <∞, T tiene valores propios (soluciones dedet(T − λI) = 0) −→ distincion entre casos K = C y K = R.
Falso si dimE =∞. Ejemplo: Volterra, V f(x) =∫ x0f sobre E = C[0, 1].
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Caso dimE <∞
Solucion completa considerando subespacios propios:
λ valor propio y N (λ) := Nuc (T − λI) ⇒ T (N (λ)) ⊂ N (λ) cerrado nonulo
Tambien AT = TA⇒ A(N (λ)) ⊂ N (λ):x ∈ N (λ)) ⇒ T (Ax) = A(Tx) = A(λx) = λAx ⇒ Ax ∈ N (λ).
Si N (λ) = E, T = λI es un operador escalar y todo subespacio esinvariante.
Si E es complejo y dimE <∞, T tiene valores propios (soluciones dedet(T − λI) = 0) −→ distincion entre casos K = C y K = R.
Falso si dimE =∞. Ejemplo: Volterra, V f(x) =∫ x0f sobre E = C[0, 1].
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
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Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Complexificacion de E Banach real
EC = E × E Banach complejo con:
x+ ıy := (x, y), r(x+ ıy) := rx+ ıry), i(x+ ıy) := −y + ıx‖x+ ıy‖ := maxϑ∈R ‖x cos(ϑ) + y sen(ϑ)‖E .TC : EC → EC tal que TC(x+ ıy) := Tx+ ıTy(ST )C = SCTC y ‖TC‖ = ‖T‖.
complexificacion
E real de dimension finita:dimE = n <∞ impar ⇒ T tiene valores propios y, por tanto, subespaciosinvariantesdimE = 2, rotaciones sin subespacios invariantes.2 < dimE <∞ par, TC tiene vector propio no nulo:Tx0 + ıTy0 = λ(x0 + ıy0) ⇒ F := [x0, y0] ⊂ E T -invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Historia dimE < ∞
Dimension infinita→ Teoria espectral de operadores compactos para K = C
TEORIA ESPECTRAL
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C
σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}
σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ ‖T‖}: |λ| > ‖T‖ ⇒ Tx− λx = ytiene solucion unica x, pues F (x) := λ−1(Tx− y) contractiva en E.
σ(T ) cerrado: Si λ0 6∈ σ(T ) y |λ− λ0|‖(T − λ0I)−1‖ < 1, la ecuacionTx− λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) = x y tiene solucionunica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) es contractiva en E.
Formula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}:
r = lımn‖Tn‖1/n = ınf
n‖Tn‖1/n(≤ ‖T‖)!!
Basada en propiedades de la funcion holomorfa vectorial R : C \ σ(T )→ L(E),
R(λ) := (T − λI)−1 =1
λ
1
I − T/λ ∈ L(E).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C
σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}
σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ ‖T‖}: |λ| > ‖T‖ ⇒ Tx− λx = ytiene solucion unica x, pues F (x) := λ−1(Tx− y) contractiva en E.
σ(T ) cerrado: Si λ0 6∈ σ(T ) y |λ− λ0|‖(T − λ0I)−1‖ < 1, la ecuacionTx− λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) = x y tiene solucionunica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) es contractiva en E.
Formula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}:
r = lımn‖Tn‖1/n = ınf
n‖Tn‖1/n(≤ ‖T‖)!!
Basada en propiedades de la funcion holomorfa vectorial R : C \ σ(T )→ L(E),
R(λ) := (T − λI)−1 =1
λ
1
I − T/λ ∈ L(E).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C
σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}
σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ ‖T‖}: |λ| > ‖T‖ ⇒ Tx− λx = ytiene solucion unica x, pues F (x) := λ−1(Tx− y) contractiva en E.
σ(T ) cerrado: Si λ0 6∈ σ(T ) y |λ− λ0|‖(T − λ0I)−1‖ < 1, la ecuacionTx− λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) = x y tiene solucionunica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) es contractiva en E.
Formula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}:
r = lımn‖Tn‖1/n = ınf
n‖Tn‖1/n(≤ ‖T‖)!!
Basada en propiedades de la funcion holomorfa vectorial R : C \ σ(T )→ L(E),
R(λ) := (T − λI)−1 =1
λ
1
I − T/λ ∈ L(E).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C
σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}
σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ ‖T‖}: |λ| > ‖T‖ ⇒ Tx− λx = ytiene solucion unica x, pues F (x) := λ−1(Tx− y) contractiva en E.
σ(T ) cerrado: Si λ0 6∈ σ(T ) y |λ− λ0|‖(T − λ0I)−1‖ < 1, la ecuacionTx− λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) = x y tiene solucionunica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) es contractiva en E.
Formula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}:
r = lımn‖Tn‖1/n = ınf
n‖Tn‖1/n(≤ ‖T‖)!!
Basada en propiedades de la funcion holomorfa vectorial R : C \ σ(T )→ L(E),
R(λ) := (T − λI)−1 =1
λ
1
I − T/λ ∈ L(E).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C
σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}
σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ ‖T‖}: |λ| > ‖T‖ ⇒ Tx− λx = ytiene solucion unica x, pues F (x) := λ−1(Tx− y) contractiva en E.
σ(T ) cerrado: Si λ0 6∈ σ(T ) y |λ− λ0|‖(T − λ0I)−1‖ < 1, la ecuacionTx− λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) = x y tiene solucionunica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) es contractiva en E.
Formula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}:
r = lımn‖Tn‖1/n = ınf
n‖Tn‖1/n(≤ ‖T‖)!!
Basada en propiedades de la funcion holomorfa vectorial R : C \ σ(T )→ L(E),
R(λ) := (T − λI)−1 =1
λ
1
I − T/λ ∈ L(E).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Espectro σ(T ) de T ∈ L(E); K = C
σ(T ) = {λ; T − λI 6∈ L−1(E)} ⊃ σp(T ) = {λ; Nuc (T − λI) 6= {0}}
σ(T ) contenido en el disco {λ; |λ| ≤ ‖T‖}: |λ| > ‖T‖ ⇒ Tx− λx = ytiene solucion unica x, pues F (x) := λ−1(Tx− y) contractiva en E.
σ(T ) cerrado: Si λ0 6∈ σ(T ) y |λ− λ0|‖(T − λ0I)−1‖ < 1, la ecuacionTx− λx = y equivale a (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) = x y tiene solucionunica x, pues F (x) := (T − λ0I)−1(y + (λ− λ0)x) es contractiva en E.
Formula de Taylor (1938) - Gelfand (1941) para r := sup{|λ|; λ ∈ σ(T )}:
r = lımn‖Tn‖1/n = ınf
n‖Tn‖1/n(≤ ‖T‖)!!
Basada en propiedades de la funcion holomorfa vectorial R : C \ σ(T )→ L(E),
R(λ) := (T − λI)−1 =1
λ
1
I − T/λ ∈ L(E).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Caso de K ∈ L(E) compacto
K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,
‖xn‖ ≤M ⇒ ∃{xnk} convergente
Si K = I ⇒ dimE <∞ y E ≡ Kn (BE compacta ⇒ dimE = n <∞ yE ≡ Kn).
Teorema
Si λ 6= 0,
dimN (λ) <∞, pues K = λI sobre N (λ).
N (λ) = 0⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto, σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.
Corolario
Si K = C, K compacto y r = ınfn ‖Kn‖1/n > 0, entonces
r = max{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = lımn‖Kn‖1/n.
Existe λ0 ∈ σp(K) \ {0} y dimN (λ0) <∞.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Caso de K ∈ L(E) compacto
K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,
‖xn‖ ≤M ⇒ ∃{xnk} convergente
Si K = I ⇒ dimE <∞ y E ≡ Kn (BE compacta ⇒ dimE = n <∞ yE ≡ Kn).
Teorema
Si λ 6= 0,
dimN (λ) <∞, pues K = λI sobre N (λ).
N (λ) = 0⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto, σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.
Corolario
Si K = C, K compacto y r = ınfn ‖Kn‖1/n > 0, entonces
r = max{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = lımn‖Kn‖1/n.
Existe λ0 ∈ σp(K) \ {0} y dimN (λ0) <∞.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Caso de K ∈ L(E) compacto
K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,
‖xn‖ ≤M ⇒ ∃{xnk} convergente
Si K = I ⇒ dimE <∞ y E ≡ Kn (BE compacta ⇒ dimE = n <∞ yE ≡ Kn).
Teorema
Si λ 6= 0,
dimN (λ) <∞, pues K = λI sobre N (λ).
N (λ) = 0⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto, σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.
Corolario
Si K = C, K compacto y r = ınfn ‖Kn‖1/n > 0, entonces
r = max{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = lımn‖Kn‖1/n.
Existe λ0 ∈ σp(K) \ {0} y dimN (λ0) <∞.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Caso de K ∈ L(E) compacto
K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,
‖xn‖ ≤M ⇒ ∃{xnk} convergente
Si K = I ⇒ dimE <∞ y E ≡ Kn (BE compacta ⇒ dimE = n <∞ yE ≡ Kn).
Teorema
Si λ 6= 0,
dimN (λ) <∞, pues K = λI sobre N (λ).
N (λ) = 0⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto, σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.
Corolario
Si K = C, K compacto y r = ınfn ‖Kn‖1/n > 0, entonces
r = max{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = lımn‖Kn‖1/n.
Existe λ0 ∈ σp(K) \ {0} y dimN (λ0) <∞.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Caso de K ∈ L(E) compacto
K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,
‖xn‖ ≤M ⇒ ∃{xnk} convergente
Si K = I ⇒ dimE <∞ y E ≡ Kn (BE compacta ⇒ dimE = n <∞ yE ≡ Kn).
Teorema
Si λ 6= 0,
dimN (λ) <∞, pues K = λI sobre N (λ).
N (λ) = 0⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto, σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.
Corolario
Si K = C, K compacto y r = ınfn ‖Kn‖1/n > 0, entonces
r = max{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = lımn‖Kn‖1/n.
Existe λ0 ∈ σp(K) \ {0} y dimN (λ0) <∞.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro de un operador Operadores compactos
Caso de K ∈ L(E) compacto
K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,
‖xn‖ ≤M ⇒ ∃{xnk} convergente
Si K = I ⇒ dimE <∞ y E ≡ Kn (BE compacta ⇒ dimE = n <∞ yE ≡ Kn).
Teorema
Si λ 6= 0,
dimN (λ) <∞, pues K = λI sobre N (λ).
N (λ) = 0⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto, σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.
Corolario
Si K = C, K compacto y r = ınfn ‖Kn‖1/n > 0, entonces
r = max{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = lımn‖Kn‖1/n.
Existe λ0 ∈ σp(K) \ {0} y dimN (λ0) <∞.
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Caso de K ∈ L(E) compacto
K ∈ L(E) compacto ⇔ K(BE) compacto, o sea,
‖xn‖ ≤M ⇒ ∃{xnk} convergente
Si K = I ⇒ dimE <∞ y E ≡ Kn (BE compacta ⇒ dimE = n <∞ yE ≡ Kn).
Teorema
Si λ 6= 0,
dimN (λ) <∞, pues K = λI sobre N (λ).
N (λ) = 0⇒ Im (K − λI) = E. Por tanto, σp(K) \ {0} = σ(K) \ {0}!!.
Corolario
Si K = C, K compacto y r = ınfn ‖Kn‖1/n > 0, entonces
r = max{|λ|; λ ∈ σp(K)} = |λ0| = lımn‖Kn‖1/n.
Existe λ0 ∈ σp(K) \ {0} y dimN (λ0) <∞.
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LOMONOSOV
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
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Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
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Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
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Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
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Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
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Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
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Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Subespacios T -hiperinvariantes
Si dimE =∞ y λ ∈ σp(T ), valor propio de T , N (λ) := Nuc (T − λI)subespacio T -invariante; sobre el, T = λI.
N (λ) tambien es A-invariante para todo A ∈ L(E) tal que AT = TA.
Se dice que F es hiperinvariante para T si es A-invariante para todoA ∈ L(E) tal que AT = TA.
Notacion: {T}′ := {A; AT = TA}, y F hiperinvariante significa que es{T}′−invariante.
Hay subespacio hiperinvariante F si y solo si
{T}′(x) = {Ax; AT = TA} 6= E
para algun x 6= 0 (F = {T}′(x)): hiperinvariante
Si F := {T}′(x) y A ∈ {T}′, para todo Sx con S ∈ {T}′ se tieneASx ∈ F ya que AS ∈ {T}′.F := {T}′(x) 6= E con x 6= 0, se tiene x ∈ F y F es no trivial.Inversamente,F {T}′−invariante y 0 6= x ∈ F ⇒ {T}′(x) ⊂ F no trivial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Viktor Lomonosov
Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con algun operadorcompacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema delpunto fijo).
Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).
El metodo de Lomonosov se aplica a mas operadores: si E complejo,existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con unoperador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T deLomonosov).
El caso real es especial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Viktor Lomonosov
Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con algun operadorcompacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema delpunto fijo).
Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).
El metodo de Lomonosov se aplica a mas operadores: si E complejo,existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con unoperador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T deLomonosov).
El caso real es especial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Viktor Lomonosov
Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con algun operadorcompacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema delpunto fijo).
Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).
El metodo de Lomonosov se aplica a mas operadores: si E complejo,existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con unoperador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T deLomonosov).
El caso real es especial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Viktor Lomonosov
Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con algun operadorcompacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema delpunto fijo).
Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).
El metodo de Lomonosov se aplica a mas operadores: si E complejo,existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con unoperador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T deLomonosov).
El caso real es especial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Viktor Lomonosov
Viktor Lomonosov (1973): todo T que conmuta con algun operadorcompacto no nulo tiene subespacio invariante (usando el teorema delpunto fijo).
Prueba simple sin usar punto fijo (Hilden).
El metodo de Lomonosov se aplica a mas operadores: si E complejo,existe subespacio hiperinvariante para todo T que conmuta con unoperador no escalar (6= λI) que conmuta con un operador compacto (T deLomonosov).
El caso real es especial.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0.
E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) eshiperinvariante (de dimension finita).
E real:KC : EC → EC es compacto y ınfn ‖Kn
C ‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0 ⇒∃NKC (λ) = [x1 + ıy1, . . . , xn + ıyn] hiperinvariante, con ACKC = KCACsi A ∈ {K}′ ⇒ F := [x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] ⊂ E es {K}′-invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0.
E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) eshiperinvariante (de dimension finita).
E real:KC : EC → EC es compacto y ınfn ‖Kn
C ‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0 ⇒∃NKC (λ) = [x1 + ıy1, . . . , xn + ıyn] hiperinvariante, con ACKC = KCACsi A ∈ {K}′ ⇒ F := [x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] ⊂ E es {K}′-invariante.
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Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0.
E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) eshiperinvariante (de dimension finita).
E real:KC : EC → EC es compacto y ınfn ‖Kn
C ‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0 ⇒∃NKC (λ) = [x1 + ıy1, . . . , xn + ıyn] hiperinvariante, con ACKC = KCACsi A ∈ {K}′ ⇒ F := [x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] ⊂ E es {K}′-invariante.
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Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0.
E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) eshiperinvariante (de dimension finita).
E real:KC : EC → EC es compacto y ınfn ‖Kn
C ‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0 ⇒∃NKC (λ) = [x1 + ıy1, . . . , xn + ıyn] hiperinvariante, con ACKC = KCACsi A ∈ {K}′ ⇒ F := [x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] ⊂ E es {K}′-invariante.
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Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (E real o complejo)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto no nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0.
E complejo: existe 0 6= λ ∈ σ(K) (r > 0) ⇒ λ valor propio y N (λ) eshiperinvariante (de dimension finita).
E real:KC : EC → EC es compacto y ınfn ‖Kn
C ‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n > 0 ⇒∃NKC (λ) = [x1 + ıy1, . . . , xn + ıyn] hiperinvariante, con ACKC = KCACsi A ∈ {K}′ ⇒ F := [x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] ⊂ E es {K}′-invariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n = 0.
Se puede suponer ‖K‖ = 1
Ad abs. suponer {K}′(x) = E para todo x 6= 0
∃‖x0‖ > 1 con ‖Kx0‖ > 1 (‖K‖ = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; ‖x− x0‖ ≤ 1}y 0 6∈ K(B(x0)).
{K}′(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}′ t.q. ‖Ax− x0‖ < 1.
K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂⋃A∈{K}′{x ∈ E; ‖Ax− x0‖ < 1}, con K(B(x0))
compacto.
hiperinvariante1
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Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n = 0.
Se puede suponer ‖K‖ = 1
Ad abs. suponer {K}′(x) = E para todo x 6= 0
∃‖x0‖ > 1 con ‖Kx0‖ > 1 (‖K‖ = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; ‖x− x0‖ ≤ 1}y 0 6∈ K(B(x0)).
{K}′(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}′ t.q. ‖Ax− x0‖ < 1.
K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂⋃A∈{K}′{x ∈ E; ‖Ax− x0‖ < 1}, con K(B(x0))
compacto.
hiperinvariante1
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Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n = 0.
Se puede suponer ‖K‖ = 1
Ad abs. suponer {K}′(x) = E para todo x 6= 0
∃‖x0‖ > 1 con ‖Kx0‖ > 1 (‖K‖ = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; ‖x− x0‖ ≤ 1}y 0 6∈ K(B(x0)).
{K}′(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}′ t.q. ‖Ax− x0‖ < 1.
K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂⋃A∈{K}′{x ∈ E; ‖Ax− x0‖ < 1}, con K(B(x0))
compacto.
hiperinvariante1
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Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n = 0.
Se puede suponer ‖K‖ = 1
Ad abs. suponer {K}′(x) = E para todo x 6= 0
∃‖x0‖ > 1 con ‖Kx0‖ > 1 (‖K‖ = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; ‖x− x0‖ ≤ 1}y 0 6∈ K(B(x0)).
{K}′(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}′ t.q. ‖Ax− x0‖ < 1.
K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂⋃A∈{K}′{x ∈ E; ‖Ax− x0‖ < 1}, con K(B(x0))
compacto.
hiperinvariante1
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Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n = 0.
Se puede suponer ‖K‖ = 1
Ad abs. suponer {K}′(x) = E para todo x 6= 0
∃‖x0‖ > 1 con ‖Kx0‖ > 1 (‖K‖ = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; ‖x− x0‖ ≤ 1}y 0 6∈ K(B(x0)).
{K}′(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}′ t.q. ‖Ax− x0‖ < 1.
K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂⋃A∈{K}′{x ∈ E; ‖Ax− x0‖ < 1}, con K(B(x0))
compacto.
hiperinvariante1
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Von Neumann-Aronszajn-Smith-Lomonosov (caso r = 0)
Teorema
Todo K ∈ L(E) compacto o nulo tiene subespacio hiperinvariante.
Caso lımn→∞ ‖Kn‖1/n = ınfn ‖Kn‖1/n = 0.
Se puede suponer ‖K‖ = 1
Ad abs. suponer {K}′(x) = E para todo x 6= 0
∃‖x0‖ > 1 con ‖Kx0‖ > 1 (‖K‖ = 1) ⇒ 0 6∈ B(x0) = {x; ‖x− x0‖ ≤ 1}y 0 6∈ K(B(x0)).
{K}′(x) = E ⇒ ∃A ∈ {K}′ t.q. ‖Ax− x0‖ < 1.
K(B(x0)) ⊂ E \ {0} ⊂⋃A∈{K}′{x ∈ E; ‖Ax− x0‖ < 1}, con K(B(x0))
compacto.
hiperinvariante1
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Continuacion
K(B(x0)) ⊂⋃Nn=1{x; ‖Anx− x0‖ < 1}, c := max1≤n≤N ‖An‖
Kx0 ∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0 ∈ {x; ‖An1x− x0‖ < 1}x1 := An1Kx0 ∈ B(x0) ⇒ x2 := An2Kx1 ∈ B(x0) . . .
xk+1 := Ank+1Kxk ∈ B(x0) y AnK = KAn.
xk+1 = Ank+1 · · ·An1Kk+1x0 = (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK)k+1x0
‖Kn‖1/n → 0 ⇒ ‖(cK)nx0‖1/n → 0 con ‖c−1An‖ ≤ 1 ⇒B(x0) 3 xk → 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??
∃{K}′(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.
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Continuacion
K(B(x0)) ⊂⋃Nn=1{x; ‖Anx− x0‖ < 1}, c := max1≤n≤N ‖An‖
Kx0 ∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0 ∈ {x; ‖An1x− x0‖ < 1}x1 := An1Kx0 ∈ B(x0) ⇒ x2 := An2Kx1 ∈ B(x0) . . .
xk+1 := Ank+1Kxk ∈ B(x0) y AnK = KAn.
xk+1 = Ank+1 · · ·An1Kk+1x0 = (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK)k+1x0
‖Kn‖1/n → 0 ⇒ ‖(cK)nx0‖1/n → 0 con ‖c−1An‖ ≤ 1 ⇒B(x0) 3 xk → 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??
∃{K}′(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Continuacion
K(B(x0)) ⊂⋃Nn=1{x; ‖Anx− x0‖ < 1}, c := max1≤n≤N ‖An‖
Kx0 ∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0 ∈ {x; ‖An1x− x0‖ < 1}x1 := An1Kx0 ∈ B(x0) ⇒ x2 := An2Kx1 ∈ B(x0) . . .
xk+1 := Ank+1Kxk ∈ B(x0) y AnK = KAn.
xk+1 = Ank+1 · · ·An1Kk+1x0 = (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK)k+1x0
‖Kn‖1/n → 0 ⇒ ‖(cK)nx0‖1/n → 0 con ‖c−1An‖ ≤ 1 ⇒B(x0) 3 xk → 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??
∃{K}′(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Continuacion
K(B(x0)) ⊂⋃Nn=1{x; ‖Anx− x0‖ < 1}, c := max1≤n≤N ‖An‖
Kx0 ∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0 ∈ {x; ‖An1x− x0‖ < 1}x1 := An1Kx0 ∈ B(x0) ⇒ x2 := An2Kx1 ∈ B(x0) . . .
xk+1 := Ank+1Kxk ∈ B(x0) y AnK = KAn.
xk+1 = Ank+1 · · ·An1Kk+1x0 = (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK)k+1x0
‖Kn‖1/n → 0 ⇒ ‖(cK)nx0‖1/n → 0 con ‖c−1An‖ ≤ 1 ⇒B(x0) 3 xk → 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??
∃{K}′(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.
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Continuacion
K(B(x0)) ⊂⋃Nn=1{x; ‖Anx− x0‖ < 1}, c := max1≤n≤N ‖An‖
Kx0 ∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0 ∈ {x; ‖An1x− x0‖ < 1}x1 := An1Kx0 ∈ B(x0) ⇒ x2 := An2Kx1 ∈ B(x0) . . .
xk+1 := Ank+1Kxk ∈ B(x0) y AnK = KAn.
xk+1 = Ank+1 · · ·An1Kk+1x0 = (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK)k+1x0
‖Kn‖1/n → 0 ⇒ ‖(cK)nx0‖1/n → 0 con ‖c−1An‖ ≤ 1 ⇒B(x0) 3 xk → 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??
∃{K}′(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Continuacion
K(B(x0)) ⊂⋃Nn=1{x; ‖Anx− x0‖ < 1}, c := max1≤n≤N ‖An‖
Kx0 ∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0 ∈ {x; ‖An1x− x0‖ < 1}x1 := An1Kx0 ∈ B(x0) ⇒ x2 := An2Kx1 ∈ B(x0) . . .
xk+1 := Ank+1Kxk ∈ B(x0) y AnK = KAn.
xk+1 = Ank+1 · · ·An1Kk+1x0 = (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK)k+1x0
‖Kn‖1/n → 0 ⇒ ‖(cK)nx0‖1/n → 0 con ‖c−1An‖ ≤ 1 ⇒B(x0) 3 xk → 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??
∃{K}′(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Continuacion
K(B(x0)) ⊂⋃Nn=1{x; ‖Anx− x0‖ < 1}, c := max1≤n≤N ‖An‖
Kx0 ∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0 ∈ {x; ‖An1x− x0‖ < 1}x1 := An1Kx0 ∈ B(x0) ⇒ x2 := An2Kx1 ∈ B(x0) . . .
xk+1 := Ank+1Kxk ∈ B(x0) y AnK = KAn.
xk+1 = Ank+1 · · ·An1Kk+1x0 = (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK)k+1x0
‖Kn‖1/n → 0 ⇒ ‖(cK)nx0‖1/n → 0 con ‖c−1An‖ ≤ 1 ⇒B(x0) 3 xk → 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??
∃{K}′(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Continuacion
K(B(x0)) ⊂⋃Nn=1{x; ‖Anx− x0‖ < 1}, c := max1≤n≤N ‖An‖
Kx0 ∈ K(B(x0)) ⇒ Kx0 ∈ {x; ‖An1x− x0‖ < 1}x1 := An1Kx0 ∈ B(x0) ⇒ x2 := An2Kx1 ∈ B(x0) . . .
xk+1 := Ank+1Kxk ∈ B(x0) y AnK = KAn.
xk+1 = Ank+1 · · ·An1Kk+1x0 = (c−1Ank+1) · · · (c−1An1)(cK)k+1x0
‖Kn‖1/n → 0 ⇒ ‖(cK)nx0‖1/n → 0 con ‖c−1An‖ ≤ 1 ⇒B(x0) 3 xk → 0 con B(x0) cerrado, pero 0 6∈ B(x0) ??
∃{K}′(x) 6= E con x 6= 0, hiperinvariante.
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MINIMAX
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones El problema Teorema de Lomonosov
Minimax para una funcion de pagos K : X × Y → R
Siempresupy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) ≤ ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y) :
Fijados y y x, K(x, y) ≤ supy∈Y K(x, y)
ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y)
Ası supy∈Y ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
Contraejemplo a la desigualdad inversa:
X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y
Teoremas minimax: Condiciones para que se cumpla la igualdad.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Minimax para una funcion de pagos K : X × Y → R
Siempresupy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) ≤ ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y) :
Fijados y y x, K(x, y) ≤ supy∈Y K(x, y)
ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y)
Ası supy∈Y ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
Contraejemplo a la desigualdad inversa:
X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y
Teoremas minimax: Condiciones para que se cumpla la igualdad.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Minimax para una funcion de pagos K : X × Y → R
Siempresupy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) ≤ ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y) :
Fijados y y x, K(x, y) ≤ supy∈Y K(x, y)
ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y)
Ası supy∈Y ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
Contraejemplo a la desigualdad inversa:
X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y
Teoremas minimax: Condiciones para que se cumpla la igualdad.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Minimax para una funcion de pagos K : X × Y → R
Siempresupy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) ≤ ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y) :
Fijados y y x, K(x, y) ≤ supy∈Y K(x, y)
ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y)
Ası supy∈Y ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
Contraejemplo a la desigualdad inversa:
X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y
Teoremas minimax: Condiciones para que se cumpla la igualdad.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Minimax para una funcion de pagos K : X × Y → R
Siempresupy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) ≤ ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y) :
Fijados y y x, K(x, y) ≤ supy∈Y K(x, y)
ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y)
Ası supy∈Y ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
Contraejemplo a la desigualdad inversa:
X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y
Teoremas minimax: Condiciones para que se cumpla la igualdad.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Minimax para una funcion de pagos K : X × Y → R
Siempresupy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) ≤ ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y) :
Fijados y y x, K(x, y) ≤ supy∈Y K(x, y)
ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y)
Ası supy∈Y ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
Contraejemplo a la desigualdad inversa:
X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y
Teoremas minimax: Condiciones para que se cumpla la igualdad.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Minimax para una funcion de pagos K : X × Y → R
Siempresupy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) ≤ ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y) :
Fijados y y x, K(x, y) ≤ supy∈Y K(x, y)
ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y)
Ası supy∈Y ınfx∈X K(x, y) ≤ ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
Contraejemplo a la desigualdad inversa:
X = Y = [0, 1], K(x, x) = 1, K(x, y) = 0 si x 6= y
Teoremas minimax: Condiciones para que se cumpla la igualdad.
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El teorema minimax de von Neumann
X, Y compactos convexos de Rn y K(x, y) continua.
K(·, y) concava para todo y ∈ Y .
K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.
Entonces supy∈Y ınfx∈X K(x, y) = ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
1928 J. von Neumann para el caso de sımplex de Rn y luego (1935/36)mas general.
Usaba una reduccion al caso n = 1.
En teorıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dandos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) +H(x, y) ≡ 0.
La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las gananciasmınimas de A, minimizan las perdidas maximas de B.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
El teorema minimax de von Neumann
X, Y compactos convexos de Rn y K(x, y) continua.
K(·, y) concava para todo y ∈ Y .
K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.
Entonces supy∈Y ınfx∈X K(x, y) = ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
1928 J. von Neumann para el caso de sımplex de Rn y luego (1935/36)mas general.
Usaba una reduccion al caso n = 1.
En teorıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dandos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) +H(x, y) ≡ 0.
La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las gananciasmınimas de A, minimizan las perdidas maximas de B.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
El teorema minimax de von Neumann
X, Y compactos convexos de Rn y K(x, y) continua.
K(·, y) concava para todo y ∈ Y .
K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.
Entonces supy∈Y ınfx∈X K(x, y) = ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
1928 J. von Neumann para el caso de sımplex de Rn y luego (1935/36)mas general.
Usaba una reduccion al caso n = 1.
En teorıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dandos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) +H(x, y) ≡ 0.
La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las gananciasmınimas de A, minimizan las perdidas maximas de B.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
El teorema minimax de von Neumann
X, Y compactos convexos de Rn y K(x, y) continua.
K(·, y) concava para todo y ∈ Y .
K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.
Entonces supy∈Y ınfx∈X K(x, y) = ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
1928 J. von Neumann para el caso de sımplex de Rn y luego (1935/36)mas general.
Usaba una reduccion al caso n = 1.
En teorıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dandos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) +H(x, y) ≡ 0.
La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las gananciasmınimas de A, minimizan las perdidas maximas de B.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
El teorema minimax de von Neumann
X, Y compactos convexos de Rn y K(x, y) continua.
K(·, y) concava para todo y ∈ Y .
K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.
Entonces supy∈Y ınfx∈X K(x, y) = ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
1928 J. von Neumann para el caso de sımplex de Rn y luego (1935/36)mas general.
Usaba una reduccion al caso n = 1.
En teorıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dandos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) +H(x, y) ≡ 0.
La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las gananciasmınimas de A, minimizan las perdidas maximas de B.
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El teorema minimax de von Neumann
X, Y compactos convexos de Rn y K(x, y) continua.
K(·, y) concava para todo y ∈ Y .
K(x, ·, ) convexa para todo x ∈ X.
Entonces supy∈Y ınfx∈X K(x, y) = ınfx∈X supy∈Y K(x, y).
1928 J. von Neumann para el caso de sımplex de Rn y luego (1935/36)mas general.
Usaba una reduccion al caso n = 1.
En teorıa de juegos de dos jugadores A y B, en un juego de suma cero, se dandos funciones de pagos bilineales, K y H, tales que K(x, y) +H(x, y) ≡ 0.
La igualdad minimax significa que las estrategias que maximizan las gananciasmınimas de A, minimizan las perdidas maximas de B.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Extension del teorema de von Neumann
X e Y compactos convexos de espacios de Banach.K(·, y) es cuasi-concava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X.Ası U(λ) :=
⋂y∈Y {K(·, y) ≥ λ} son convexos.
K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x.Ası L(λ) :=
⋂x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.
Teorema
Si K(·, y) es continua y cuasi-concava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua ycuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces
supy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) = ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y).
U(λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad,
λ0 := supU(λ)6=∅
λ < +∞, U(λ0) 6= ∅
yµ0 := ınf
L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.
Para cada (x0, y0) ∈ U(λ0)× L(µ0), se tiene λ0 ≤ K(x0, y0) ≤ µ0.El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Extension del teorema de von Neumann
X e Y compactos convexos de espacios de Banach.K(·, y) es cuasi-concava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X.Ası U(λ) :=
⋂y∈Y {K(·, y) ≥ λ} son convexos.
K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x.Ası L(λ) :=
⋂x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.
Teorema
Si K(·, y) es continua y cuasi-concava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua ycuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces
supy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) = ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y).
U(λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad,
λ0 := supU(λ)6=∅
λ < +∞, U(λ0) 6= ∅
yµ0 := ınf
L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.
Para cada (x0, y0) ∈ U(λ0)× L(µ0), se tiene λ0 ≤ K(x0, y0) ≤ µ0.El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Extension del teorema de von Neumann
X e Y compactos convexos de espacios de Banach.K(·, y) es cuasi-concava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X.Ası U(λ) :=
⋂y∈Y {K(·, y) ≥ λ} son convexos.
K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x.Ası L(λ) :=
⋂x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.
Teorema
Si K(·, y) es continua y cuasi-concava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua ycuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces
supy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) = ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y).
U(λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad,
λ0 := supU(λ)6=∅
λ < +∞, U(λ0) 6= ∅
yµ0 := ınf
L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.
Para cada (x0, y0) ∈ U(λ0)× L(µ0), se tiene λ0 ≤ K(x0, y0) ≤ µ0.El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Extension del teorema de von Neumann
X e Y compactos convexos de espacios de Banach.K(·, y) es cuasi-concava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X.Ası U(λ) :=
⋂y∈Y {K(·, y) ≥ λ} son convexos.
K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x.Ası L(λ) :=
⋂x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.
Teorema
Si K(·, y) es continua y cuasi-concava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua ycuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces
supy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) = ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y).
U(λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad,
λ0 := supU(λ)6=∅
λ < +∞, U(λ0) 6= ∅
yµ0 := ınf
L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.
Para cada (x0, y0) ∈ U(λ0)× L(µ0), se tiene λ0 ≤ K(x0, y0) ≤ µ0.El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Extension del teorema de von Neumann
X e Y compactos convexos de espacios de Banach.K(·, y) es cuasi-concava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X.Ası U(λ) :=
⋂y∈Y {K(·, y) ≥ λ} son convexos.
K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x.Ası L(λ) :=
⋂x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.
Teorema
Si K(·, y) es continua y cuasi-concava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua ycuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces
supy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) = ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y).
U(λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad,
λ0 := supU(λ)6=∅
λ < +∞, U(λ0) 6= ∅
yµ0 := ınf
L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.
Para cada (x0, y0) ∈ U(λ0)× L(µ0), se tiene λ0 ≤ K(x0, y0) ≤ µ0.El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Extension del teorema de von Neumann
X e Y compactos convexos de espacios de Banach.K(·, y) es cuasi-concava ∀y si {K(·, y) ≥ λ} son convexos de X.Ası U(λ) :=
⋂y∈Y {K(·, y) ≥ λ} son convexos.
K(x, ·) es cuasi-convexa si {K(x, ·) ≤ λ} son convexos de Y ∀x.Ası L(λ) :=
⋂x∈X{K(x, ·) ≤ λ} son convexos.
Teorema
Si K(·, y) es continua y cuasi-concava para todo y ∈ Y y K(x, ·) es continua ycuasi-convexa para todo x ∈ X, entonces
supy∈Y
ınfx∈X
K(x, y) = ınfx∈X
supy∈Y
K(x, y).
U(λ) y L(λ) son convexos y cerrados. Por compacidad,
λ0 := supU(λ)6=∅
λ < +∞, U(λ0) 6= ∅
yµ0 := ınf
L(µ)6=∅λ > −∞, L(µ0) 6= ∅.
Para cada (x0, y0) ∈ U(λ0)× L(µ0), se tiene λ0 ≤ K(x0, y0) ≤ µ0.El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Una reduccion
Recordemos: U(λ) :=⋂y∈Y {K(·, y) ≥ λ} y L(λ) :=
⋂x∈X{K(x, ·) ≤ λ}.
Supongamos λ0 = supU(λ)6=∅ λ y µ0 = ınfL(µ)6=∅ µ satisfacen µ0 = λ0. O sea,
K(x0, y) ≥ λ0 = K(x0, y0) = µ0 ≥ K(x, y0) (x ∈ X, y ∈ Y ).
Resultamaxx
mınyK(x, y) ≥ mın
yK(x0, y) = K(x0, y0)
yK(x0, y0) = max
xK(x, y0) ≥ mın
ymaxx
K(x, y).
Con ello maxx mınyK(x, y) ≥ mıny maxxK(x, y).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Demostracion de µ0 = λ0
U(λ0 + ε) = ∅ y L(µ0 − ε) = ∅ implican que para cada x ∈ X y cada y ∈ Yexisten y ∈ Y y x ∈ X tales que
λ := λ0 + ε > K(x, y), µ := µ0 − ε < K(x, y).
Con los abiertos
Ay := {x ∈ X; K(x, y) < λ} (y ∈ Y )
Bx := {y ∈ X; K(x, y) > µ} (x ∈ X)
formamos recubrimientos finitos
X ⊂N⋃j=1
Ayj , Y ⊂M⋃k=1
Bxk ,
con lo que
mınjK(x, yj) < λ (∀x ∈ X), max
kK(xk, y) > µ (∀y ∈ Y ).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Continuacion: una funcion con punto fijo
ϕk(y) := max(K(xk, y)− µ, 0), ψj(x) := max(λ−K(x, yj), 0).
Por las ultimas desigualdades,∑k
ϕk(y) > 0,∑j
ψj(x) > 0
y
F (x, y) :=(∑
k ϕk(y)xk∑k ϕk(y)
,
∑j ψj(x)yj∑j ψj(x)
)define una funcion continua
F : X × Y → X × Y
tal que F ( co{xk}Mk=1 × co{yj}Nj=1) ⊂ co{xk}Mk=1 × co{yj}Nj=1.
C := co{xk} × co{yj} ⊂ [xk; k = 1, . . .M ]× [yj ; j = 1, . . . N ] ⊂ E × F
es compacto convexo. F tiene punto fijo, (x, y) ∈ C
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Final de la demostracion
x =
∑k ϕk(y)xk∑k ϕk(y)
, y =
∑j ψj(x)yj∑j ψj(x)
.
Por ser K cuasi-concava en x,
ϕk(y) = max(K(xk, y)− µ, 0) ≥ 0⇒ K(xk, y) ≥ µ⇒ K(x, y) ≥ µ.
Por ser K cuasi-convexa en y,
K(x, y) ≤ λ.
Ası µ ≤ λ o, equivalentemente, µ0 ≤ λ0 + 2ε, y ya sabemos que λ0 ≤ µ0; osea µ0 = λ0.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
APENDICE
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones
Analiticidad de la resolvente (E complejo)
R : C \ σ(K) 7→ L(E), R(λ) := (K − λI)−1 = 1λ
1I−K/λ ∈ L(E).
Lema
L−1(E) abierto de L(E) y T ∈ L−1(E) 7→ T−1 ∈ L−1(E) continua.
S ∈ L−1(E) y ‖H‖ ≤ 1/(2‖S−1‖) implican S +H ∈ L−1(E):(S +H)x = y tiene solucion unica, F (x) := S−1y − S−1Hx contractiva!
(S +H)−1 − S−1 = (I − S−1H)−1S−1 − S−1 → 0 si ‖H‖ → 0:
‖(S(I + S−1H))−1 − S−1‖Neumann
≤ ‖S−1‖ ‖S−1H‖
1−‖S−1H‖ ≤ 2‖S−1‖2‖H‖ si
‖H‖ ≤ 1/(2‖S−1‖).
Teorema
R′(λ) = R(λ)2, analıtica, y |λ| > ‖T‖ ⇒ R(λ) = −λ−1∑n λ−nTn.
R′(λ) = R(λ)2 pues (λ− µ)I = (T − λI)(R(λ)−R(µ))(T − µI) implicaR(λ)−R(µ)
λ−µ = R(λ)R(µ)→ R(λ)2 si µ→ λ, pues R es continua.
Si ‖T‖/|λ| < 1, λ−1∑n λ−nTn es la inversa de T − λI
(∑n ‖λ
−nTn‖ ≤∑n |λ|
−n‖T‖n <∞, serie de Neumann).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Analiticidad de la resolvente (E complejo)
R : C \ σ(K) 7→ L(E), R(λ) := (K − λI)−1 = 1λ
1I−K/λ ∈ L(E).
Lema
L−1(E) abierto de L(E) y T ∈ L−1(E) 7→ T−1 ∈ L−1(E) continua.
S ∈ L−1(E) y ‖H‖ ≤ 1/(2‖S−1‖) implican S +H ∈ L−1(E):(S +H)x = y tiene solucion unica, F (x) := S−1y − S−1Hx contractiva!
(S +H)−1 − S−1 = (I − S−1H)−1S−1 − S−1 → 0 si ‖H‖ → 0:
‖(S(I + S−1H))−1 − S−1‖Neumann
≤ ‖S−1‖ ‖S−1H‖
1−‖S−1H‖ ≤ 2‖S−1‖2‖H‖ si
‖H‖ ≤ 1/(2‖S−1‖).
Teorema
R′(λ) = R(λ)2, analıtica, y |λ| > ‖T‖ ⇒ R(λ) = −λ−1∑n λ−nTn.
R′(λ) = R(λ)2 pues (λ− µ)I = (T − λI)(R(λ)−R(µ))(T − µI) implicaR(λ)−R(µ)
λ−µ = R(λ)R(µ)→ R(λ)2 si µ→ λ, pues R es continua.
Si ‖T‖/|λ| < 1, λ−1∑n λ−nTn es la inversa de T − λI
(∑n ‖λ
−nTn‖ ≤∑n |λ|
−n‖T‖n <∞, serie de Neumann).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Analiticidad de la resolvente (E complejo)
R : C \ σ(K) 7→ L(E), R(λ) := (K − λI)−1 = 1λ
1I−K/λ ∈ L(E).
Lema
L−1(E) abierto de L(E) y T ∈ L−1(E) 7→ T−1 ∈ L−1(E) continua.
S ∈ L−1(E) y ‖H‖ ≤ 1/(2‖S−1‖) implican S +H ∈ L−1(E):(S +H)x = y tiene solucion unica, F (x) := S−1y − S−1Hx contractiva!
(S +H)−1 − S−1 = (I − S−1H)−1S−1 − S−1 → 0 si ‖H‖ → 0:
‖(S(I + S−1H))−1 − S−1‖Neumann
≤ ‖S−1‖ ‖S−1H‖
1−‖S−1H‖ ≤ 2‖S−1‖2‖H‖ si
‖H‖ ≤ 1/(2‖S−1‖).
Teorema
R′(λ) = R(λ)2, analıtica, y |λ| > ‖T‖ ⇒ R(λ) = −λ−1∑n λ−nTn.
R′(λ) = R(λ)2 pues (λ− µ)I = (T − λI)(R(λ)−R(µ))(T − µI) implicaR(λ)−R(µ)
λ−µ = R(λ)R(µ)→ R(λ)2 si µ→ λ, pues R es continua.
Si ‖T‖/|λ| < 1, λ−1∑n λ−nTn es la inversa de T − λI
(∑n ‖λ
−nTn‖ ≤∑n |λ|
−n‖T‖n <∞, serie de Neumann).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Radio espectral (E complejo)
r = lımn‖Kn‖1/n = ınf
n‖Kn‖1/n
radio
R(λ) = (K − λI)−1 = −λ−1∑n λ−nKn si |λ| > ‖K‖ ⇒
∑n ‖K
n‖|z|n
(z = 1/λ) con radio de convergencia % = (lım supn ‖Kn‖1/n)−1 ≥ 1/r ⇒r ≥ lım supn ‖Kn‖1/n.
λ ∈ σ(K)⇒λn ∈ σ(Kn)⇒ |λ|n ≤ ‖Kn‖ ⇒ r ≤ ınfn ‖Kn‖1/n ≤lım infn ‖Kn‖1/n.
Nota: K − λI 6∈ L−1(E)⇒ Kn − λnI 6∈ L−1(E) ya queKn − λnI = (K − λI)P (K) si zn − λn = (z − λ)P (z).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Radio espectral (E complejo)
r = lımn‖Kn‖1/n = ınf
n‖Kn‖1/n
radio
R(λ) = (K − λI)−1 = −λ−1∑n λ−nKn si |λ| > ‖K‖ ⇒
∑n ‖K
n‖|z|n
(z = 1/λ) con radio de convergencia % = (lım supn ‖Kn‖1/n)−1 ≥ 1/r ⇒r ≥ lım supn ‖Kn‖1/n.
λ ∈ σ(K)⇒λn ∈ σ(Kn)⇒ |λ|n ≤ ‖Kn‖ ⇒ r ≤ ınfn ‖Kn‖1/n ≤lım infn ‖Kn‖1/n.
Nota: K − λI 6∈ L−1(E)⇒ Kn − λnI 6∈ L−1(E) ya queKn − λnI = (K − λI)P (K) si zn − λn = (z − λ)P (z).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Radio espectral (E complejo)
r = lımn‖Kn‖1/n = ınf
n‖Kn‖1/n
radio
R(λ) = (K − λI)−1 = −λ−1∑n λ−nKn si |λ| > ‖K‖ ⇒
∑n ‖K
n‖|z|n
(z = 1/λ) con radio de convergencia % = (lım supn ‖Kn‖1/n)−1 ≥ 1/r ⇒r ≥ lım supn ‖Kn‖1/n.
λ ∈ σ(K)⇒λn ∈ σ(Kn)⇒ |λ|n ≤ ‖Kn‖ ⇒ r ≤ ınfn ‖Kn‖1/n ≤lım infn ‖Kn‖1/n.
Nota: K − λI 6∈ L−1(E)⇒ Kn − λnI 6∈ L−1(E) ya queKn − λnI = (K − λI)P (K) si zn − λn = (z − λ)P (z).
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
El problema Espectro Lomonosov Minimax Demostraciones Espectro Schauder
Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
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Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
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Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
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Caso K ∈ L(E) compacto, λ 6= 0
(a) dimN (λ) <∞.Sobre N (λ), I = λ−1K es compacta.
(b) Im (K − λI) es cerrada en E.λ = 1 (dividir por λ), S := K − I, R := ImS.S−1 : R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??
(c) λ ∈ σ(K)⇒ λ ∈ σp(K)S−1 : R(1) = R→ E continua: Si no, ‖Sxn‖ ≤ 1/n con ‖xn‖ = 1, parcialKxn → z, Sxn → 0, xn = Kxn − Sxn → z, Sz = lımSxn = 0 y llego az = 0 con ‖z‖ = lım ‖xn‖ = 1??R(1) Banach y K : R(1)→ R(1) compacto. S : R(1)→ R(1).R(2) := S(R(1)) = S2(E) 6= R(1). R(1) ⊃ R(2) ⊃ · · · .un ∈ R(n), ‖un‖ = 1, d(un, R(n+ 1)) ≥ 1/2 ⇒‖Kup −Kuq‖ = ‖Sup − Suq + uq − up‖ = ‖z − up‖ ≥ 1/2 si p > q,imposible por ser K compacto.
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Teorema de Brouwer para un compacto convexo K ⊂ B(0, r) ⊂ Rn
Teorema
Toda f : K → K continua tiene punto fijo.
P : Rn → K proyeccion optima.
F = f ◦ P : B(0, r)→ B(0, r) tiene punto fijo x0 ∈ B(0, r).
x0 = f(Px0)⇒ x0 ∈ K ⇒ Px0 = x0.
f(x0) = f(Px0) = x0
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Teorema de Schauder
Aproximacion finito-dimensional de la identidad sobre un compacto convexoK ⊂ E:
K ⊂ B(x1, ε) ∪ · · · ∪B(xn, ε), Eε := [x1, . . . , xn].
ϕi(x) := (ε− ‖x− xi‖)χB(xi,ε)(x) continuas,∑ni=1 ϕi(x) > 0 sobre K.
gε(x) =∑ni=1
ϕi(x)∑nk=1
ϕk(x)xi.
gε : K → Eε ∩K y ‖gε(x)− x‖ ≤ ε si x ∈ K:
Teorema
f : K → K continua tiene punto fijo.
Aplicamos Brouwer a Kε := co(x1, . . . , xn) ⊂ K ∩ Eε y fε = gε ◦ f .
xε = fε(xε) con parcial tal que xε → x si ε→ 0.
‖x− f(x)‖ ≤ ‖x− xε‖+ ‖xε − f(xε)‖+ ‖f(xε)− f(x)‖,‖x− xε‖+ ‖f(xε)− f(x)‖ → 0.
Tambien ‖xε − f(xε)‖ = ‖gε(f(xε))− f(xε)‖ ≤ ε.
Por paso al lımite, f(x) = lım f(xε) = lımxε = x.
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