soporte modelos matemáticos2

SOPORTE MODELOS MATEMTICOSSIMULADOR DE PRUEBAS DE PRESIN NUMRICAS

(PPN V. 1.0)

Responsable(s):

Mara Adelaida Arango A, I.P

Alfonso Buitrago Ruiz, I.PJuan Pablo Moreno Crdenas, I.PLider:

Abel Naranjo Agudelo, I.P

desiciones UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLN

GRUPO DE INVESTIGACIN EN GEOMECNICA APLICADA GIGA

Medelln, Junio 2008

TABLA DE CONTENIDO

2TABLA DE CONTENIDO

4LISTA DE FIGURAS

51.Introduccin

62.Bases del Diseo

62.1.Modelo Fsico.

72.2.Modelo Diferencial.

72.2.1.Modelo de flujo de fluidos.

72.2.1.1Conservacin de masa de fluido

72.2.1.2Conservacin de masa de slido.

72.2.1.3Ley de Darcy.

82.2.1.4.Ecuacin de estado

92.2.2Modelo de flujo de fluidos en forma incremental.

102.2.3Modelo de esfuerzo-deformacin.

102.2.3.1.Ecuaciones de equilibrio de esfuerzos.

112.2.3.2.Ecuaciones de deformacin-desplazamiento.

112.2.3.3.Ecuaciones de esfuerzo-deformacin-presin.

122.2.3.4.Ecuaciones gobernantes del modelo esfuerzo-deformacin en trminos de los desplazamientos incrementales y la presin de poro incremental.

132.2.4Modelo de Porosidad

142.2.4.1 Porosidad de matriz.

142.2.4.2. Porosidad de fractura.

152.2.5Modelo de Clculo de la Permeabilidad de Matriz y Fractura

152.2.6Modelo de Dao de Formacin

152.3. Modelo Numrico.

162.3.1Ecuacin de flujo de fluidos para la matriz

172.3.2 Ecuacin de flujo de fluidos para la fractura

182.3.3 Ecuacin de deformacin geomecnica en direccin radial

192.3.4 Ecuacin de deformacin geomecnica en direccin tangencial

212.3.5 Ecuacin de deformacin geomecnica en direccin vertical

233.Configuracin del Modelo

244.Ejemplo de Aplicacin

255.Bibliografa

27ANEXO A

27A.1. Ecuaciones de Conservacin de Masa de Fluido

29A.2. Ecuaciones de conservacin de masa de slido

29A.3. Ley de Darcy

30A.4. Ecuacin de Estado (Compresibilidad isotrmica de fluido)

31A.5. Ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos

34ANEXO B

36ANEXO C

40ANEXO D.

43ANEXO E

47ANEXO F

47

LISTA DE FIGURAS

23Figura 1.- Diagrama de Bloques Simulador PPN v1.0

24Figura 2.- Presin Simulada vs. Presin de la Prueba CUP Q6

24Figura 3.- Permeabilidad vs. Esfuerzo Efectivo Promedio CUP Q6

28Figura A.1 Elemento infinitesimal de volumen

47Figura F-1 Malla de nodo distribuido (o nodo centrado)

Figura F-2 Fila de una malla de nodo centrado47

1. Introduccin

En el presente informe se describe en forma detallada el modelo matemtico de tipo diferencial y el modelo numrico utilizado para la construccin del simulador de flujo de fluidos acoplado a deformacin geomecnica.

El modelo tiene en cuenta la interaccin entre fluido y roca en un yacimiento sensible a esfuerzos, la cual se puede describir as: i) la produccin/inyeccin de fluidos cambia el estado local de esfuerzos en el yacimiento, ii) el cambio en los esfuerzos efectivos produce deformacin de la roca y cambio en la permeabilidad del yacimiento, iii) la variacin en la permeabilidad del yacimiento afecta la produccin/inyeccin de fluidos. Este proceso resulta ms notorio en yacimientos naturalmente fracturados.

El simulador desarrollado con el modelo mencionado, es aplicable al anlisis de pruebas de presin en yacimientos naturalmente fracturados, sensibles a esfuerzos y en los cuales se presenta flujo monofsico. La utilizacin del simulador en yacimientos con diferentes caractersticas, debe tener en cuenta las restricciones del modelo.

2. Bases del Diseo

En este captulo se muestra el desarrollo matemtico base para el desarrollo del simulador de pruebas de presin numricas PPN V1.0.

2.1. Modelo Fsico.

La produccin en yacimientos de petrleo y gas cambia la presin de poro y el estado de esfuerzos al cual se encuentra sometido el yacimiento. Estos cambios en la presin de poro y los esfuerzos in-situ llevan a un cambio en el volumen tanto de los fluidos como de la roca del yacimiento. El comportamiento volumtrico de los fluidos del yacimiento est controlado por la composicin del fluido y el cambio en la presin de poro. La respuesta volumtrica de la roca yacimiento depende de las propiedades mecnicas del material de la roca y del efecto combinado de los cambios en la presin de poro y el estado de esfuerzos (es decir, cambio en el esfuerzo efectivo).

La deformacin de la parte slida se determina por los cambios en el esfuerzo efectivo que acta sobre el esqueleto slido de la roca. Cualquier cambio en la presin de poro de la red de fracturas o de la matriz en el yacimiento resulta del efecto combinado de dos diferentes procesos fsicos: (i) expansin/ compresin de los fluidos del yacimiento debido a la produccin/ inyeccin, y (ii) expansin/ compresin de la parte slida de la roca debido a cambios en el estado local de esfuerzos.El modelo asume que el medio poroso se comporta como un yacimiento fracturado de doble porosidad. El medio fracturado se modela siguiendo el concepto de porosidad dual (superposicin de continuos). El sistema real consistente de dos fases, matriz y fractura, que juntas ocupan dominios completamente distintos, se remplaza por un modelo en el cual se asume que cada una de las fases se comporta como un continuo que llena completamente el dominio entero. Debido a que las fases individuales interactan una con la otra, igual pasa con el continuo (en la forma de fluido que se mueve de un subdominio a otro). Cada uno de los dos continuos superpuestos exhibe su propio conjunto de propiedades, un conjunto representa las propiedades del medio poroso de los bloques de la matriz y el otro conjunto representa las propiedades de la red de fracturas interconectadas. Asimismo, cada uno de los dos continuos superpuestos exhibe su propio campo de presin de fluido. Para la deformacin de la roca, el campo de esfuerzos se superpone en los dos campos de presin de fluido.El modelo se basa en la solucin simultnea de cinco conjuntos de ecuaciones diferenciales no lineales. Las ecuaciones gobernantes que describen la interaccin entre los campos de presin de fluido de matriz y fractura y el campo de esfuerzos, resultan del acoplamiento de dos diferentes tipos de modelos: (i) un modelos de flujo de fluidos, que describen la distribucin de la presin de poro en el medio poroso de la matriz y en la red de fracturas interconectadas, respectivamente (dos conjuntos de ecuaciones); y (ii) un modelo esfuerzo-deformacin que describe la deformacin de la parte slida de la roca en cada una de las direcciones r-, - y z- (tres conjuntos de ecuaciones).El desarrollo de las ecuaciones gobernantes se basa en las siguientes suposiciones generales: (i) flujo isotrmico y monofsico de fluido, (ii) la roca se asume isotrpica con respecto a las propiedades mecnicas, (iii) las propiedades mecnicas y la permeabilidad se asumen como funcin del esfuerzo efectivo medio, (iv) la deformacin de la parte slida de la roca se comporta como un medio elstico no lineal con pequeas deformaciones.El intercambio de fluidos entre los subdominios matriz y fractura se modela utilizando funciones de transferencia.2.2. Modelo Diferencial.Las ecuaciones que describen el modelo fsico se desarrollaron en coordenadas cilndricas, ya que es la geometra que mejor describe el flujo en la regin cercana al pozo, y por lo tanto, la ms apropiada para el anlisis de pruebas de presin.Las variables principales en el sistema resultante de ecuaciones gobernantes son: los desplazamientos en cada una de las direcciones r-, - y z-; la presin de poro de matriz y la presin de poro de fractura.2.2.1. Modelo de flujo de fluidos.

El modelo de flujo de fluidos asume flujo isotrmico, monofsico de fluido en un medio poroso deformable. Este modelo est constituido por cuatro relaciones bsicas: conservacin de masa de fluido, conservacin de masa de slido, ley de Darcy, y una ecuacin de estado. La combinacin de estas cuatro relaciones da lugar a dos ecuaciones generales de flujo de fluidos, una para flujo de fluidos en la matriz y otra para flujo de fluidos en la red de fracturas. Estos dos modelos generales de flujo de fluidos pueden tomar formas particulares dependiendo de la naturaleza del fluido: compresible, ligeramente compresible o incompresible.A continuacin se enuncian las relaciones con las cuales se obtiene el modelo de flujo de fluidos, una deduccin detallada puede verse en el Anexo A. Las cuatro relaciones bsicas en las cuales se basa el modelo de flujo de fluidos pueden expresarse como sigue:2.2.1.1 Conservacin de masa de fluido. La conservacin de masa de fluido en la matriz puede expresarse de la siguiente manera (Anexo A, parte A.1):

(2.1)

Asimismo, la conservacin de masa de fluido en la fractura est dada por:

(2.2)2.2.1.2 Conservacin de masa de slido. Similarmente, la conservacin de masa de slido est dada por: (Anexo A, parte A.2):

(2.3)2.2.1.3 Ley de Darcy. Para flujo de fluido en la matriz, la ley de Darcy est dada por (Anexo A, parte A.3):

(2.4)

Para flujo de fluido en la fractura, la ley de Darcy est dada por:

(2.5)2.2.1.4. Ecuacin de estado (compresibilidad de fluido isotrmico).La ecuacin de estado que se aplica al fluido en el sistema de matriz est dada por (Anexo A, parte A.4):

(2.6)

Similarmente, la ecuacin de estado que se aplica al fluido en el sistema de fractura est dada por:

(2.7)

En las Ecuaciones 2.1 a 2.7, es la densidad, es la porosidad efectiva, es el vector velocidad, es tiempo, es la tasa de transferencia de masa de fluido de los bloques de la matriz a la fractura por unidad de volumen total, es el termino de fuentes/ sumideros expresado como tasa de masa por unidad de volumen total (la convencin es que el signo menos representa una fuente y el signo mas representa un sumidero), es el tensor de permeabilidad, es la viscosidad del fluido, es la presin del fluido, y es la compresibilidad. Los subndices m, f y s se refieren a las fases de matriz, fractura y slido, respectivamente. Los smbolos y denotan gradiente y divergencia, respectivamente.

El vector velocidad de slido se relaciona con el vector desplazamiento de slido por:

(2.8)

La deformacin volumtrica , en coordenadas cilndricas, se define como:

(2.9)

donde , y son las deformaciones normales en las direcciones r-, - y z-, respectivamente.

De las Ecuaciones 2.8 y 2.9, se concluye que la divergencia de la velocidad del slido se relaciona con la deformacin volumtrica por:

(2.10)

Las Ecuaciones 2.1, 2.3, 2.4, 2.6 y 2.8 a 2.10 pueden combinarse dando como resultado la siguiente ecuacin de flujo de fluido para la matriz (Anexo A, parte A.5):

(2.11)

De forma similar, las Ecuaciones 2.2, 2.3, 2.5, 2.7 y 2.8 a 2.10 se combinan dando como resultado la siguiente ecuacin de flujo de fluido para la fractura:

(2.12)

En las Ecuaciones 2.11 y 2.12, es la tasa de transferencia de masa de fluido desde los bloques de la matriz hacia la fractura por unidad de volumen total, es la tasa de masa de fluido a travs de fuentes o sumideros por unidad de volumen total.

La sustitucin de las Ecuaciones E-15 y E-16 en las Ecuaciones 2.11 y 2.12 resulta en:

Para presin en la matriz,

EMBED Equation.3 (2.13)

Para presin en la fractura,

EMBED Equation.3


En las Ecuaciones 2.13 y 2.14, y son los coeficientes de esfuerzo efectivo asociados con la presin de fluido en la matriz y en la fractura , respectivamente, y se utilizan para calcular el esfuerzo efectivo incremental requerido para describir los cambios de volumen poroso del sistema fracturado de porosidad dual. Las Ecuaciones E-11 y E-12 (Anexo E) son usadas para calcular los coeficientes y . Las Ecuaciones E-18 y E-19 se utilizan para estimar los valores de compresibilidad y . Adems, el Anexo E presenta una discusin detallada de las expresiones utilizadas para estimar los valores de , , y .

2.2.2 Modelo de flujo de fluidos en forma incremental.

La solucin del modelo acoplado requiere la definicin de valores iniciales para la presin de poro de la matriz y la fractura, y para los desplazamientos. La presin de poro inicial se puede obtener fcilmente de datos de campo. Sin embargo, en la prctica, los desplazamientos iniciales son desconocidos.Para superar esta dificultad, la aproximacin que se toma en este estudio trata los desplazamientos y la presin de poro en forma incremental a partir de las condiciones iniciales, es decir, se calcula el cambio en las variables principales, en lugar de sus valores absolutos, a medida que el yacimiento es producido.

La presin en la matriz al tiempo , , se relaciona con la presin en la matriz al tiempo , , a travs de la siguiente relacin:

Para simplificar notacin,

(2.15)

Similarmente,

(2.16)

La sustitucin de las Ecuaciones 2.15 y 2.16 en las Ecuaciones 2.13 y 2.14 da:

Para presin en la matriz,


Para presin en la fractura,

EMBED Equation.3 (2.18)2.2.3 Modelo de esfuerzo-deformacin.

El modelo esfuerzo-deformacin asume que la fase slida se comporta como un medio elstico no lineal con pequeas deformaciones. El modelo esfuerzo-deformacin se basa en tres relaciones principales: relaciones de equilibrio de esfuerzos, deformacin-desplazamiento y esfuerzo-deformacin-presin. Para la aplicacin de estas relaciones, los esfuerzos, deformaciones y presin de poro se toman en forma incremental a partir del estado de referencia de esfuerzos y presin del yacimiento. A pesar de que se considere un solo campo de esfuerzos en el modelo de esfuerzo-deformacin, se consideran dos campos de presin de fluido. La forma final de las ecuaciones gobernantes para el modelo de esfuerzo-deformacin se escribe en trminos de los desplazamientos incrementales y la presin de poro incremental.2.2.3.1. Ecuaciones de equilibrio de esfuerzos. Para preservar el equilibrio de fuerzas despus del incremento/ decremento de presin , se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio de esfuerzos; es decir,

(2.19)

En las Ecuaciones 2.19, representa las componentes del tensor de esfuerzos y es la componente del vector de fuerzas de cuerpo resultante de la gravedad.

El esfuerzo total al tiempo , , se relaciona con el esfuerzo total al tiempo , , a travs de la siguiente relacin:

Para simplificar notacin,

(2.20)

Donde,

(2.21)

En las Ecuaciones 2.21 y 2.22, es el esfuerzo total incremental y es el esfuerzo total al estado de referencia.

2.2.3.2. Ecuaciones de deformacin-desplazamiento. Las ecuaciones de deformacin desplazamiento pueden escribirse en forma incremental como:

,

(2.23)

En la Ecuacin 2.23, representa las componentes del tensor de esfuerzos incrementales, representa las componentes del vector desplazamiento incremental, y es la deformacin volumtrica incremental definida como:

(2.24)2.2.3.3. Ecuaciones de esfuerzo-deformacin-presin. Las ecuaciones de esfuerzo-deformacin-presin relacionan los esfuerzos efectivos (presin de poro y esfuerzo total) con las deformaciones de la siguiente forma:

(2.25)

En la Ecuacin 2.25, representa las componentes del tensor de esfuerzos efectivos incrementales. La ley de esfuerzos efectivos incrementales define la relacin que combina los esfuerzos totales incrementales y la presin de poro incremental de matriz y de fractura utilizada para obtener el esfuerzo efectivo incremental. Siguiendo la definicin general para esfuerzo efectivo incremental para un sistema de porosidad simple, el esfuerzo efectivo incremental para un sistema de doble porosidad se define como:

(2.26)

En la Ecuacin 2.26, y son los coeficientes para los esfuerzos efectivos incrementales asociados con un cambio en volumen. Cuando se utiliza para calcular un cambio en el volumen total de la matriz y la fractura, y , respectivamente. Similarmente, cuando se utiliza para calcular un cambio en el volumen poroso de la matriz y la fractura, y , respectivamente. En los Anexos D y E se presenta una discusin ms detallada de los coeficientes de esfuerzo efectivo incremental , , y .La interpretacin fsica de la Ecuacin 2.26 es que cualquier cambio en las deformaciones, partiendo de un estado de referencia, producir un cambio en el esfuerzo efectivo igual a , donde:

(2.27)

La ecuacin que relaciona la deformacin volumtrica incremental,, con el esfuerzo efectivo medio incremental, , est dada por la Ecuacin D-1 (Anexo D),

(2.28)

2.2.3.4. Ecuaciones gobernantes del modelo esfuerzo-deformacin en trminos de los desplazamientos incrementales y la presin de poro incremental. Combinando las Ecuaciones 2.24 y 2.25 y resolviendo para los esfuerzos totales incrementales, da como resultado:

(2.29)

Combinando las Ecuaciones 2.21, 2.22, 2.23 y 2.28, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio, representadas por la Ecuacin 2.19, en trminos de los desplazamientos incrementales y las presiones de poro incrementales de matriz y de fractura. Esto da como resultado:

En direccin radial

(2.30)

En direccin Tangencial

EMBED Equation.DSMT4

(2.31)

En direccin Vertical

EMBED Equation.DSMT4 (2.32)

donde es el vector desplazamiento incremental dado por:

(2.33)

Las incgnitas en las Ecuaciones 2.17, 2.18 y 2.30 a 2.32 son las presiones de poro incrementales de matriz y de fractura y , respectivamente, y los desplazamientos incrementales en las direcciones r-, - y z-, , y , respectivamente.

2.2.4 Modelo de Porosidad

Debido al comportamiento de porosidad dual (superposicin de continuos), es necesario definir dos porosidades diferentes: una para los bloques de la matriz y otra para la red de fracturas. Las porosidades de matriz y fractura se relacionan a travs de los volmenes porosos de matriz y fractura como se indica en las siguientes ecuaciones:

(2.34)

lo que lleva a:

(2.35)

y son las porosidades efectivas de matriz y de fractura, respectivamente, definidas como sigue:

(2.36)

(2.37)

La porosidad total efectiva de define como:

(2.38)

Las siguientes dos secciones discuten las ecuaciones utilizadas para calcular y .

2.2.4.1 Porosidad de matriz. La Ecuacin 2.36 es el punto de partida para desarrollar una ecuacin que relacione el cambio en la porosidad de la matriz con la presin de poro de matriz y fractura, y el estado de esfuerzos. De la Ecuacin 2.36:

(2.39)

Sustituyendo las Ecuaciones D-2 (Anexo D) y E-15(Anexo E) en la Ecuacin 2.39 resulta:

(2.40)

La Ecuacin 2.40 expresa el incremento en la porosidad de la matriz en trminos del incremento en los esfuerzos efectivos y las propiedades mecnicas del sistema de porosidad dual. Las expresiones para calcular y estn dadas por las Ecuaciones E-18 y E-3 (Anexo E), y para calcular y por las Ecuaciones D-6 y D-3 del Anexo D, respectivamente.

2.2.4.2. Porosidad de fractura. De forma similar, la ecuacin que relaciona el cambio en la porosidad de la fractura con la presin de poro de matriz y fractura y el estado de esfuerzos puede ser obtenida a partir de la Ecuacin 2.37, de la cual se obtiene fcilmente:

(2.41)

Sustituyendo las Ecuaciones E-16 (Anexo E) y D-2 (Anexo D) en la Ecuacin 2.41 se obtiene:

(2.42)

La Ecuacin 2.42 relaciona el incremento en la porosidad de la fractura con el incremento en los esfuerzos efectivos y las propiedades mecnicas del sistema de porosidad dual. En la Ecuacin 2.42, est dado por la Ecuacin E-19 (Anexo E).2.2.5 Modelo de Clculo de la Permeabilidad de Matriz y Fractura

El clculo de la permeabilidad de matriz y fractura es uno de los parmetros ms importante a ser considerados en yacimientos que presentan sensibilidad a esfuerzos. Diversos investigadores han tratado de establecer modelos matemticos que permitan calcular la permeabilidad en funcin del estado de esfuerzos, el modelo utilizado en el simulador de pruebas de presin es de la forma:

(2.43)

donde es el mdulo de permeabilidad, k es la permeabilidad, K0 es la permeabilidad original, es el esfuerzo efectivo promedio calculado para cada tiempo, y es el esfuerzo efectivo inicial. 2.2.6 Modelo de Dao de Formacin

El simulador ac presentado est diseado para la interpretacin de una prueba de presin, por esta razn debe considerarse el factor de dao de formacin dentro de los parmetros a ser modelados. La expresin utilizada para simular el efecto del dao es la ecuacin de Hawkins presentada por Lee, J. en 1982 y se puede escribir como:

(2.44)

Ka es la permeabilidad de la zona daada, k es la permeabilidad original del medio poroso, ra es la profundidad de la zona daada desde el centro del pozo, rw es el radio del pozo y S es el factor de dao.La ecuacin (2.44) se aplica suponiendo un valor de dao y encontrando el valor de la permeabilidad de la zona daada a partir de la permeabilidad calculada para cada tiempo en funcin del cambio en el esfuerzo efectivo. Adems, esta permeabilidad se calcula en la cara de la formacin en los estratos abiertos a produccin y para cada uno de los medio continuos, matriz y fractura.2.3. Modelo Numrico.

El sistema fsico representado en coordenadas cilndricas se discretiza por medio de diferencias finitas de segundo orden en una malla de nodo centrado. Se adopta un procedimiento completamente implcito para asegurar mxima estabilidad numrica.

Las ecuaciones discretizadas finales se escriben en trminos de stencils. A continuacin se presentan tales ecuaciones, el proceso de discretizacin detallado puede verse en el anxo F.2.3.1 Ecuacin de flujo de fluidos para la matriz

La ecuacin de flujo de fluidos para la matriz puede expresarse en trminos de stencils de la siguiente forma:

(2.45)

Donde:

(2.46)

(2.47)

(2.48)

(2.49)

(2.50)

(2.51)

(2.52)

(2.53)

2.3.2 Ecuacin de flujo de fluidos para la fractura

La ecuacin de flujo de fractura para la matriz puede expresarse en trminos de stencils de la siguiente forma:

(2.54)

Donde:

(2.55)

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

(2.62)

2.3.3 Ecuacin de deformacin geomecnica en direccin radial

La ecuacin de deformacin geomecnica en direccin radial puede expresarse en trminos de stencils de la siguiente forma:

(2.63)

Donde:

(2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67)

(2.68)

(2.69)

(2.70)

(2.71)

2.3.4 Ecuacin de deformacin geomecnica en direccin tangencial

La ecuacin de deformacin geomecnica en direccin tangencial puede expresarse en trminos de stencils de la siguiente forma:

(2.72)

Donde:

(2.73)

(2.74)

(2.75)

(2.76)

(2.77)

(2.78)

(2.79)

(2.80)2.3.5 Ecuacin de deformacin geomecnica en direccin vertical

La ecuacin de deformacin geomecnica en direccin vertical puede expresarse en trminos de stencils de la siguiente forma:

(2.81)

Donde:

(2.82)

(2.83)

(2.84)

(2.85)

(2.86)

(2.87)

(2.88)

(2.89)

3. Configuracin del Modelo

Figura 1.- Diagrama de Bloques Simulador PPN v1.0

4. Ejemplo de Aplicacin

Se presenta los resultados que se obtienen cuando se corre el simulador de pruebas de presin numricas para el pozo Cup Q6, localizado en el piedemonte llanero colombiano y cuyas propiedades de la roca y de otros parmetros iniciales se presentan a continuacinRock Density (g/cc)2,3

Rock Compressibility (1/psi)0,0000001

Poisson Ratio0,19

E8434600

Total Compressibility (1/K)0,000000201

Sh (psi/ft)0,74

SH (psi/ft)1,04

Sv (psi)10193

P*4036

Permeability (md)33

Rate (mmscf/d)84,9

Tp (h)449,4

Figura 2.- Presin Simulada vs. Presin de la Prueba CUP Q6

Figura 3.- Permeabilidad vs. Esfuerzo Efectivo Promedio CUP Q65. Bibliografa1. ALCALDE, O.M & WILLS, A: Anlisis de Pruebas de Presin en Yacimientos Sensitivos a Esfuerzos y Deformaciones, Trabajo Dirigido de Grado, Universidad Nacional de Colombia, Medelln 2001.2. AVASTHI, J. M., NOLEN-HOEKSEMA, R. C. and EL RABAA, A. W. M.: In-Situ Stress Evaluation in the McElroy Field, West Texas, SPEFE (Sept, 1991) 301-09.3. BAKER, R. O. and KUPPE, F. Epic. Reservoir Characterization for Naturally Fractured Reservoirs. Paper SPE 63286. 2000.4. BUCHSTEINER, H.; WARPINSKI, N. R. and ECONOMIDES, M. J. Stress-Induced Permeability Reduction in Fissured Reservoirs. Paper SPE 26513.1993.5. CHEN, H.Y. & TEUFEL, L.W.,: Coupling Fluid-Flow and Geomechanics in Dual Porosity Modeling of Naturally Fractured Reservoirs, paper SPE 38884 presented in the Annual technical Conference, San Antonio, 5-8 May 1997.6. CHOU, P. and PAGANO N.: Elasticity: Tensor, Dyadic and Engineering Approaches, (1967).

7. DUARTE, G y CAAS, M. Simulacin Numrica de Pruebas de Presin en Yacimientos Naturalmente Fracturados. Trabajo dirigido de grado. Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln. 2003.8. FJaer, E.; Holt R.M.; et. al. Petroleum Related Rock Mechanics, Elsevier NY. 1992.9. GRAY, H. D., FATT, I. and BERGAMINI, G.: The Effect of Stress on Permeability of Sandstone Cores, SPEJ (June 1963) 95-100.10. Grupo de Investigacin en Geomecnica Aplicada GIGA.:Entregable, informe anual de proyectos. Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln. Frente de Modelamiento numrico. Diciembre 31 de 2003.11. Grupo de Investigacin en Geomecnica Aplicada GIGA.:Entregable, Informe Anual de Proyectos. Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln. Frente de Pruebas de Presin. Diciembre 31 de 2003.12. Grupo de Investigacin en Geomecnica Aplicada GIGA.:Entregable, Informe Anual de Proyectos. Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln. Frente de Pruebas de Presin. Diciembre 31 de 2005.13. HOLT, R. M. Permeability Reduction Induced by a Nonhydrostatic Stress Field. Paper SPE 19595. 1990.14. JOLLY, R. J. H., WEI L. and PINE R. J. Stress-Sensitive Fracture-Flow Modelling in Fractured Reservoirs. Paper SPE 59042. 2000.15. JONES, F. O. A Laboratory Study of the Effects of Confining Pressure on Fracture Flow and Storage Capacity in Carbonate Rocks. Paper SPE 4569. 1975.16. JONES, F. O. and OWENS, W. W.: A Laboratory Study of Low-Permeability Gas Sands, JPT (Sept. 1980) 1631-40.

17. MAKURAT, A. and GUTIERREZ, M. Fracture Flow and Fracture Cross Flow Experiments. Paper SPE 36732. 1996.18. MORITA, N. et al., Rock-Property Changes During Reservoir Compaction, SPEFE (Sept. 1992) 197-20519. NELSON, R. A. and BRADLEY, J. S. Differential Reservoir Stresses Derived From Burial. Paper SPE 6971. 197720. RHETT, D. W. and TEUFEL, L. W. Effect of Reservoir Stress Path on Compressibility and Permeability of Sandstones. Paper SPE 24756. 1992.21. RHETT, D. W.and TEUFEL, L. W. Effect of Reservoir Stress Path on Compressibility and Permeability of Sandstones. Paper SPE 24756. 1992.22. TEUFEL, L.W.; RHETT, D.W., and FARRELL, H.E Control of Fractured Reservoir Permeability by Spatial and Temporal Variations in Stress Magnitude and Orientation. Paper SPE 26437. 1993.23. VAIROGS, et al.: Effect of Rock Stress on Gas Production from Low-Permeability Reservoirs, JPT (Sept. 1971) 1161-67.24. WARPINSKI, N. R.; TEUFEL, L. W. and GRAF D. C. Effect of Stress and Pressure on Gas Flow Through Natural Fractures. Paper SPE 22666. 199125. WARPINSKI, N. R. and TEUFEL, L. W. In-Situ Stresses in Low-Permeability, Nonmarine Rocks. Paper SPE 16402. 1990.26. WILHELMI, B. D. and SOMERTON, W. H. Simultaneous Measurement of Pore and Elastic Properties of Rocks under Triaxial Stress Conditions. Paper SPE 1706. 1967.27. WRIGHT, C. A. Hydraulic Fracture Reorientation in Primary and Secondary Recovery from Low-Permeability Reservoirs. Paper SPE 30484. 1995.

ANEXO A ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL MODELO DE FLUJO DE FLUIDOS

A.1. Ecuaciones de Conservacin de Masa de Fluido

La velocidad del fluido en la matriz puede definirse como

O tambin,

Donde es el volumen de la matriz, es la porosidad de matriz, es el rea transversal al flujo, es el incremento de tiempo en consideracin.

Por consiguiente, la tasa de flujo msico en la matriz puede expresarse como

(A-1)

Efectuando un balance de masa de la fase fluido en la matriz (Figura A.1),

(A-2)

(A-3)

(A-4)

Figura A.1 Elemento infinitesimal de volumenEn las Ecuaciones A-3 y A-4, , y son las velocidades del fluido en la direccin radial, tangencial y vertical, respectivamente.

La masa que entra por fuentes o sumideros est dada por:

(A-5)

En la Ecuacin A-5 es el volumen total del elemento infinitesimal, y es la cantidad de masa que entra o sale por fuentes o sumideros en la matriz por unidad de volumen total por unidad de tiempo. Es decir:

El trmino de acumulacin en la Ecuacin A-2 est dado por:

(A-6)

Reemplazando las Ecuaciones A-3 a A-6 en la Ecuacin A-2, despreciando los trminos infinitesimales de orden superior y dividiendo por , se encuentra la expresin para el balance de masa:

(A-7)

En la Ecuacin A-7 la convencin que se sigue es: para produccin de fluidos y para inyeccin.

Tomando lmites cuando, y y aplicando la definicin de derivada a la Ecuacin A1.7:

(A-8)

La Ecuacin A-8 es la expresin para la conservacin de masa de fluido en la matriz. Esta ecuacin puede escribirse de forma general como:

(A-9)

En la Ecuacin A-9, es la funcin divergencia. Para el caso de coordenadas cilndricas, la divergencia se define como:

(A-10)

Anlogamente puede obtenerse la expresin para la conservacin de masa de fluido en la fractura:

(A-11)

A.2. Ecuaciones de conservacin de masa de slido

Siguiendo un razonamiento similar:

luego:

Por consiguiente: masa de slido =

Efectuando un procedimiento anlogo al de la seccin A.1, se obtiene la expresin para conservacin de masa de slido:

(A-12)

A.3. Ley de Darcy

La velocidad relativa del fluido de la matriz con respecto a la del slido, puede expresarse como:

(A-13)

De la Ley de Darcy:

As:

Entonces la Ecuacin A-13 puede escribirse de la siguiente forma:

O tambin:

(A-14)

De forma similar para la fractura:

(A-15)

A.4. Ecuacin de Estado (Compresibilidad isotrmica de fluido)

De la definicin de compresibilidad:

Cuando

Teniendo en cuenta que: y como m = constante, se tiene:

(A-16)

A.5. Ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos

De la Ecuacin A-14:

(A-17)

Llevando la Ecuacin A-17 a la Ecuacin A-9:

As:

(A-18)

En trminos de la derivada material, se puede escribir:

(A-19)

En la Ecuacin A-19, representa la variacin de a travs de la senda seguida por la partcula, y representa la velocidad instantnea en un punto dado.


(A-20)

Expandiendo el lado derecho de la Ecuacin A-20:

(A-21)

(A-22)

Expandiendo el primer trmino de la Ecuacin A-12:

(A-23)


(A-24)

En trminos de la derivada material se tiene:

(A-25)


As:

(A-26)

Para una masa de slido constante. Teniendo en cuenta que , de la Ecuacin A-26 se tiene:

As:

(A-27)

Por consiguiente, la divergencia de la velocidad del slido refleja la produccin de slidos.

Ahora

Por consiguiente:

(A-28)

Llevando las Ecuaciones A-27 y A-28 a la Ecuacin A-22 se tiene una forma del modelo de flujo de fluidos para la matriz:

(A-29)

Siguiendo un procedimiento anlogo para la fractura, se obtiene:

(A-30)

ANEXO B COMPRESIBILIDAD DE ROCAS POROSAS Y SU RELACIN CON ALGUNOS MDULOS ELSTICOS ROCAS NO FRACTURADAS

De acuerdo con Zimmerman (1986), cuatro compresibilidades diferentes pueden ser asociadas a una roca porosa no fracturada. Cada una de estas compresibilidades de roca porosa relaciona cambios en el volumen poroso o el volumen total con cambios en la presin de poro o el esfuerzo total promedio . Usando una notacin en la cual el primer subndice indica el cambio relevante en volumen y el Segundo subndice indica la variacin ya sea en la presin de poro o en el esfuerzo total promedio, las cuatro compresibilidades pueden ser definidas de la siguiente manera:

(B-1)

(B-2)

(B-3)

(B-4)

En las definiciones B-1 a B-4, se asume implcitamente que la temperatura se mantiene constante mientras la presin vara. El esfuerzo total promedio se considera positivo en compresin. El superndice s denota porosidad simple o roca no fracturada.

De las cuatro compresibilidades, las primeras dos, y , se denominan compresibilidades totales, debido a que involucran cambios en el volumen total de la roca. Las otras dos compresibilidades, y , son compresibilidades de poro y expresan el efecto de las variaciones en presin (presin de poro o esfuerzo total promedio) con respecto al espacio vaco contenido en la roca.

Zimmerman (1986) encontr las relaciones entre las cuatro compresibilidades en trminos de la porosidad y la compresibilidad del material rocamatriz (definida como el valor de compresibilidad obtenido de una prueba sin camisar). Dichas relaciones pueden ser expresadas como

(B-5)

(B-6)

(B-7)

Los cinco parmetros ms ampliamente usados en la teora de poroelasticidad son la constante de Biot (o coeficiente de esfuerzo efectivo) , ; la relacin de Poisson, ; y los mdulos de Lam, Young y cizalladura , y , respectivamente. En muchos casos, es conveniente relacionar estos parmetros con de las compresibilidades de la roca. Estas relaciones pueden expresarse de la siguiente manera

(B-8)

(B-9)

(B-10)

(B-11)

(B-12)

En las Ecuaciones B-8 y B-9, y son las constantes de Biot (o coeficientes de esfuerzo efectivo) asociadas a los cambios en volumen de poro y volumen total, respectivamente (i.e., y se usan para estimar el esfuerzo efectivo a ser usado para los clculos de volumen de poro y volumen total, respectivamente). La relacin con compresibilidades diferentes de puede ser establecida usando las ecuaciones B-5 a B-7.

ANEXO C

EVALUACIN DE LAS PROPIEDADES MECNICAS NO LINEALES ENTRE DOS NIVELES (DOS DIFERENTES ESTADOS DE ESFUERZO)

La deformacin incremental se relaciona con la presin de poro incremental y el estado de esfuerzo mediante la siguiente ecuacin (Zimmerman, 1986)

(C-1)

Dos comentarios a propsito de la Ecuacin C-1 son los siguientes:

En la ecuacin C-1, los parntesis denotan funcin de; i.e.,

(C-2)

Zimmerman (1986) demuestra que . As

(C-3)

donde:

(C-4)

Por consiguiente la Ecuacin C-1 puede escribirse de la siguiente manera

(C-5)

Considere un cambio en el estado de esfuerzos de a efectuado en dos pasos:

Primer paso: se incrementa de a , manteniendo .

Segundo paso: se incrementa de a , manteniendo .

De la Ecuacin B-1 (Apndice B),

por consiguiente,

(C-6)

En la Ecuacin C-6, el parntesis indica funcin de. Integrando la Ecuacin C-6 para hallar la deformacin del volumen total durante el primer paso,

Definiendo , entonces, puesto que el primer paso tiene lugar a constante, . Integrando,

(C-7)

El Segundo paso se refiere al cambio en el volumen total a presin de confinamiento constante y a presin de poro variable. Por consiguiente, la definicin de (Ecuacin B-2) es aplicable:

Por consiguiente

(C-8)

En la Ecuacin C-8, el parntesis indica funcin de. De la Ecuacin B-5,

Entonces:

(C-9)

Integrando la Ecuacin C-9 para hallar la deformacin del volumen total durante el segundo paso,

Definiendo , teniendo en cuenta que el Segundo paso tiene lugar a constante e integrando, se obtiene

(C-10)

La deformacin incremental total desde el estado 1 hasta el estado 2 est dada por la suma de y (ecuaciones C-7 y C-8),

(C-11)

Considere la variacin de como una funcin de . Mediante la aplicacin del teorema del valor medio

(C-12)

As

(C-13)

Substituyendo la Ecuacin C-13 en ka Ecuacin C-11 se obtiene

(C-14)

La Ecuacin C-14 puede escribirse de la siguiente manera

O tambin

(C-15)

La Ecuacin C-15 es la ecuacin que convencionalmente relaciona la deformacin incremental y el esfuerzo efectivo incremental. El modo en que la Ecuacin C-15 fue desarrollada demuestra que la aplicacin de la Ecuacin C-12 permite una forma bastante consistente de evaluar las propiedades mecnicas no lineales entre dos niveles de tiempo (i.e., dos estados de esfuerzo diferentes). El signo promedio se omitir en las ecuaciones subsecuentes (e.g., se denotar como ). Se asume implcitamente que las propiedades mecnicas entre dos niveles de tiempo o dos estados de esfuerzo se evala mediante aplicacin de la Ecuacin C-12.

ANEXO D. CAMBIO EN EL VOLUMEN TOTAL DE UN SISTEMA FRACTURADO DE DOBLE POROSIDAD.

La Ecuacin C-15 (Apndice C) relaciona la deformacin incremental total con el esfuerzo efectivo incremental para un sistema no fracturado de porosidad simple. La Ecuacin C-15 puede escribirse en forma diferencial de la siguiente forma

(D-1)

Para extender la Ecuacin D-1 a un sistema de doble porosidad, debe mantenerse la relacin funcional dada por dicha ecuacin (Chen y Teufel, 1997). Por consiguiente, la deformacin incremental y el esfuerzo efectivo incremental en un sistema fracturado de doble porosidad se expresa de la siguiente manera:

(D-2)

En la Ecuacin D-2, el superndice d se usa para denotar sistema fracturado de doble porosidad. Puesto que dos campos de presin entran en consideracin en el concepto de doble porosidad, el esfuerzo efectivo incremental en la Ecuacin D-12 puede escribirse de la siguiente manera

(D-3)

y son los coeficientes de esfuerzo efectivo asociados a las presiones de fluido (matriz) y (fractura), respectivamente, y se usan para calcular el esfuerzo efectivo incremental que se requiere para describir los cambios en el volumen total. Se imponen las siguientes condiciones sobre y

(D-4)

y

(D-5)

Algunos comentarios, a propsito de las Ecuaciones D-4 y D-5 son los siguientes:

(i) y son compresibilidades de roca fracturada. Las relaciones entre compresibilidades en un sistema fracturado de doble porosidad se definen de manera similar a las usadas en el caso de un sistema no fracturado de porosidad simple (Ver Ecs. B-1 a B-7 del Apndice B),

(D-6)

(D-7)

(D-8)

(D-9)

(D-10)

(D-11)

(D-12)

(ii) Los trminos de compresibilidad en un sistema de doble porosidad, , y , se miden bajo las mismas condiciones definidas para los trminos de compresibilidad en un sistema de porosidad simple, , y (Considerando la misma presin de fluido). Sin embargo, en el primer caso la muestra de ncleo est fracturada, mientras que en el segundo caso no lo est.

La Ecuacin D-4 define a

(D-13)

La Ecuacin D-5 define a :

(D-14)

El cual puede escribirse como

(D-15)

Las Ecuaciones D-13 y D-15 permiten estimar los coeficientes de esfuerzo efectivo asociados con las presiones de fluido (matriz) y (fractura), y , respectivamente, requeridos para calcular el esfuerzo efectivo usado en la determinacin de los cambios en el volumen total.

ANEXO E CAMBIOS EN EL VOLUMEN POROSO DE UN SISTEMA FRACTURADO DE DOBLE POROSIDAD

La deformacin incremental de poro y el esfuerzo efectivo incremental de un sistema no fracturado de doble porosidad se puede obtener de la Ecuacin B-3 (Apndice B):

(E-1)

Siguiendo el mismo razonamiento del Apndice D, el cambio neto en el volumen de poro de un sistema de doble porosidad, puede escribirse de la siguiente manera

(E-2)

donde

(E-3)

y son los coeficientes de esfuerzo efectivo asociados con la presin de fluido (matriz) y (fractura), respectivamente, y se usan para estimar el esfuerzo efectivo incremental requerido para describir cambios en el volumen poroso de un sistema fracturado de doble porosidad.

Se imponen las siguientes restricciones sobre y :

(E-4)

y

(E-5)

Puede demostrarse que las siguientes ecuaciones aplican a los clculos del volumen de poro de un sistema fracturado de doble porosidad.

(E-6)

(E-7)

(E-8)

(E-9)

(E-10)

En las Ecuaciones E-7 a E-10, es la porosidad efectiva neta definida como .

La Ecuacin E-4 define a :

(E-11)

Por consiguiente, est dada por la Ecuacin E-5

(E-12)

O tambin

(E-13)

El volumen poroso neto se relaciona tanto con la matriz como con la fractura, de la siguiente manera:

(E-14)

En la Ecuacin E-14, los subndices , y indican poros totales, de matriz y de fractura, respectivamente.

Asumiendo que la ley de esfuerzo efectivo dada por la Ecuacin E-3 sigue siendo vlida para describir los cambios tanto en poros de matriz como en poros de fractura, se tiene

(E-15)

y

(E-16)

En las Ecuaciones E-15 y E-16, es la compresibilidad de los poros primarios y es la compresibilidad de poros secundarios.

Substituyendo las Ecuaciones E-2, E-15 y E-16 en la Ecuacin E-14 se tiene

(E-17)

Con el fin de obtener expresiones para y , se asume que, del mismo modo que en la Ecuacin E-7, puede escribirse que

(E-18)

Por consiguiente , pueden determinarse de la Ecuacin E-17:

O tambin

(E-19)

Las Ecuaciones E-18 y E-19 se usan para estimar los valores de compresibilidades y , respectivamente, que se requieren para calcular los cambios en volumen de poro de matriz y fractura dados por las Ecuaciones E-15 y E-16, respectivamente. Las Ecuaciones E-11 y E-13 se usan para calcular los coeficientes y requeridos para estimar el esfuerzo efectivo incremental que se usar para describir los cambios en el volumen de poro de un sistema fracturado de doble porosidad (Ecuacin E-3).

ANEXO F APROXIMACIN GENERAL DE LOS TRMINOS DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL UTILIZANDO UNA MALLA DE NODO DISTRIBUIDO (O NODO CENTRADO)

En este documento se desarrolla la discretizacin generalizada de los trminos mas comnmente incluidos en las ecuaciones diferenciales de flujo en medios porosos para una malla de nodo centrado tal como la ilustrada en la Figura F- 1.

Figura F-1 Malla de nodo distribuido (o nodo centrado)

Discretizacin del trmino:

Siguiendo la notacin ilustrada en la Figura F-2, el trmino puede ser discretizado de la siguiente forma:

Figura F-2 Fila de una malla de nodo centrado

Por consiguiente,

O bien,

Utilizando una notacin mas comprimida,

(F-1)

En la Ecuacin F-1, los trminos y se definen de la siguiente forma:

(F-2)

(F-3)


De la Figura F- 2:

Si se define el operador de la siguiente forma:

(F-4)

Por tanto,

(F-5)


Siguiendo la notacin de un plano de una malla de nodo centrado tal como el ilustrado en la Figura F- 1, se tiene:

O bien,

(F-6)

El trmino puede ser aproximado de la siguiente forma:

(F-7)

Teniendo en cuenta que:

EMBED Equation.3 Adems,

EMBED Equation.3 Entonces la Ecuacin F-7 puede ser escrita de la siguiente forma:

(F-8)

Similarmente:

(F-9)

Llevando las Ecuaciones F-8 y F-9 a la Ecuacin F-6 se obtiene:

Teniendo en cuenta la Ecuacin F-4, entonces:

(F-10)


El trmino diferencial puede ser expresado de la siguiente forma:

(F-11)


El trmino puede ser aproximado de la siguiente forma:

(F-12).

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

m

m+1

m-1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(lm-1

(lm

(rn

(rn-1

m,n-1

m,n+1

m-1,n

m+1,n

m,n

rn+1/2

rn+1

rn-1

rn-1/2

rn

lm+1

lm

lm-1

lm+1/2

lm-1/2

EMBED Equation.3

_1121943620.unknown

_1168347959.unknown

_1178780409.unknown

_1178963883.unknown

_1178965726.unknown

_1178966073.unknown

_1275469572.unknown

_1275469605.unknown

_1275721709.xlsGrfico2

4053.6374165.630371

4076.4044161.030273

4099.1924149.118896

4121.0424145.545654

4141.8544147.635498

4161.544151.459229

4180.5494155.314697

4199.0274158.901123

4216.4514162.259521

4233.1764165.547363

4248.7664168.827637

4263.54172.090576

4277.6464175.358398

4290.8634178.622314

4303.5324181.876709

4315.3334185.134521

4326.5054188.389893

4337.2264191.642822

4347.2364194.904785

4356.8024198.171143

4365.8364201.443848

4374.344204.723389

4382.5144208.007324

4390.1554211.297363

4397.4254214.594238

4404.3854217.894775

4410.9344221.199219

4417.2214224.51123

4423.144227.829102

4428.7914231.150146

4434.224234.474609

4439.3474237.80249

4444.3214241.133789

4448.9894244.467529

4453.4784247.803223

4457.8284251.140137

4461.944254.481689

4465.9544257.828369

4469.7274261.178467

4473.3654264.530762

4476.9184267.88623

4480.34271.245117

4483.5624274.607666

4486.7184277.972412

4489.7534281.3396

4492.7184284.712646

4495.5444288.091309

4498.2874291.473877

4500.984294.860107

4503.5454298.249512

4506.0464301.643066

4508.4744305.039795

4510.8144308.439453

4513.1254311.841797

4515.334315.248291

4517.5144318.661133

4519.6014322.078125

4521.6474325.497559

4523.6534328.92041

4525.5764332.346924

4527.4844335.776611

4531.1214339.386963

4534.6034343.508545

4537.934347.647217

4541.1274351.616699

4544.184355.469727

4547.0884359.281006

4549.7914363.089844

4552.3664366.9021

4554.8094370.713379

4557.1574374.519775

4559.4584378.319336

4561.684382.115967

4563.6274385.911133

4565.4634389.703369

4567.8024393.603271

4569.8694397.865723

4571.7154402.206299

4573.4834406.4375

4575.2084410.56543

4576.9224414.643555

4578.5674418.704102

4580.1884422.76123

4582.3154426.896729

4584.4144431.315674

4586.4724435.823975

4588.4754440.24585

4590.4384444.56543

4592.334448.826416

4594.6174453.12207

4596.8154457.650635

4598.9214462.275879

4600.954466.82959

4602.9014471.283447

4605.1314475.71582

4607.2664480.323242

4609.2874485.02124

4611.5234489.694336

4613.6454494.451416

4615.6674499.247314

4617.8654503.992676

4619.954508.788818

4621.964513.623047

4624.1064518.407959

4626.1894523.22168

4628.1914528.063965

4630.3644532.857178

4632.4544537.654297

4634.6514542.489746

4636.7514547.357422

4638.9344552.240234

4641.174557.128174

4643.3034562.065918

4645.4764567.007568

4647.5314571.89917

4649.564576.730469

4651.6194581.52832

4653.7194586.342285

4655.8214591.187988

4657.7964596.056885

4659.7574600.862305

4661.6924605.583984

4663.6224610.265625

4665.5164614.932617

4667.3664619.584473

4669.214624.213623

4671.1024628.829834

4672.9524633.432617

4675.074637.984619

4677.0554642.47168

4678.8134646.918457

4680.5764651.338135

4682.1334655.731201

4683.6544660.088867

4685.2154664.412109

4686.724668.710693

4688.2354672.988525

4689.6464677.23999

4697.1774681.532227

4703.5374686.469482

4708.9324692.293457

4712.6894697.948975

4717.8254702.515869

4722.1994705.998535

4724.0914709.018066

4724.7934712.157227

4726.6284715.668701

4727.3724719.581055

4729.9244723.764648

4730.9234728.028809

4733.2724732.22876

4737.114736.27417

4740.8024740.220947

4744.7364744.133789

4748.7374748.04126

4752.8754751.949219

Actual Pressure

Simulated Pressure

Time (h)

Pressure (Psi)

Bottom Hole Pressure Vs Time CUP Q6

Hoja1

Cupiagua Q6

Reported skin = 19

Skin = 4.2

Permeability Module = 0.000014

Time (h)Pressure (Psi)Simulated Pressure (psi)Average Effective Stress (Psi)Permeability (md)

0.002784053.6374165.6303711818.85186434.80936

0.004174076.4044161.0302731840.51730134.798803

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Hoja2

Hoja2

4053.6374165.630371

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4199.0274158.901123

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4374.344204.723389

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4410.9344221.199219

4417.2214224.51123

4423.144227.829102

4428.7914231.150146

4434.224234.474609

4439.3474237.80249

4444.3214241.133789

4448.9894244.467529

4453.4784247.803223

4457.8284251.140137

4461.944254.481689

4465.9544257.828369

4469.7274261.178467

4473.3654264.530762

4476.9184267.88623

4480.34271.245117

4483.5624274.607666

4486.7184277.972412

4489.7534281.3396

4492.7184284.712646

4495.5444288.091309

4498.2874291.473877

4500.984294.860107

4503.5454298.249512

4506.0464301.643066

4508.4744305.039795

4510.8144308.439453

4513.1254311.841797

4515.334315.248291

4517.5144318.661133

4519.6014322.078125

4521.6474325.497559

4523.6534328.92041

4525.5764332.346924

4527.4844335.776611

4531.1214339.386963

4534.6034343.508545

4537.934347.647217

4541.1274351.616699

4544.184355.469727

4547.0884359.281006

4549.7914363.089844

4552.3664366.9021

4554.8094370.713379

4557.1574374.519775

4559.4584378.319336

4561.684382.115967

4563.6274385.911133

4565.4634389.703369

4567.8024393.603271

4569.8694397.865723

4571.7154402.206299

4573.4834406.4375

4575.2084410.56543

4576.9224414.643555

4578.5674418.704102

4580.1884422.76123

4582.3154426.896729

4584.4144431.315674

4586.4724435.823975

4588.4754440.24585

4590.4384444.56543

4592.334448.826416

4594.6174453.12207

4596.8154457.650635

4598.9214462.275879

4600.954466.82959

4602.9014471.283447

4605.1314475.71582

4607.2664480.323242

4609.2874485.02124

4611.5234489.694336

4613.6454494.451416

4615.6674499.247314

4617.8654503.992676

4619.954508.788818

4621.964513.623047

4624.1064518.407959

4626.1894523.22168

4628.1914528.063965

4630.3644532.857178

4632.4544537.654297

4634.6514542.489746

4636.7514547.357422

4638.9344552.240234

4641.174557.128174

4643.3034562.065918

4645.4764567.007568

4647.5314571.89917

4649.564576.730469

4651.6194581.52832

4653.7194586.342285

4655.8214591.187988

4657.7964596.056885

4659.7574600.862305

4661.6924605.583984

4663.6224610.265625

4665.5164614.932617

4667.3664619.584473

4669.214624.213623

4671.1024628.829834

4672.9524633.432617

4675.074637.984619

4677.0554642.47168

4678.8134646.918457

4680.5764651.338135

4682.1334655.731201

4683.6544660.088867

4685.2154664.412109

4686.724668.710693

4688.2354672.988525

4689.6464677.23999

4697.1774681.532227

4703.5374686.469482

4708.9324692.293457

4712.6894697.948975

4717.8254702.515869

4722.1994705.998535

4724.0914709.018066

4724.7934712.157227

4726.6284715.668701

4727.3724719.581055

4729.9244723.764648

4730.9234728.028809

4733.2724732.22876

4737.114736.27417

4740.8024740.220947

4744.7364744.133789

4748.7374748.04126

4752.8754751.949219

Actual Pressure

Simulated Pressure

Time (h)

Pressure (Psi)


Hoja3

34.80936

34.798803

34.788873

34.772477

34.767424

34.759551

34.748457

34.741481

34.732005

34.722634

34.71524

34.706421

34.698582

34.691539

34.683952

34.67732

34.670982

34.664584

34.658739

34.652876

34.647174

34.641806

34.636428

34.631068

34.625813

34.620433

34.615062

34.60964

34.604138

34.598572

34.592959

34.587272

34.581546

34.575783

34.569986

34.564181

34.558361

34.552543

34.546753

34.540978

34.535227

34.529511

34.523829

34.518187

34.512585

34.507019

34.501521

34.496031

34.490602

34.485185

34.479849

34.474521

34.469252

34.46406

34.458873

34.453744

34.448705

34.443684

34.438721

34.433832

34.429003

34.424236

34.419366

34.414642

34.409944

34.405352

34.400855

34.396385

34.392011

34.387724

34.383518

34.379398

34.375358

34.371401

34.367523

34.363725

34.359682

34.355861

34.352211

34.348648

34.345156

34.341748

34.338417

34.335162

34.33165

34.328342

34.325275

34.322307

34.319409

34.31659

34.313321

34.310519

34.307955

34.305519

34.303051

34.300071

34.297585

34.295365

34.292734

34.290513

34.288444

34.286024

34.28397

34.282062

34.280039

34.278002

34.276276

34.274382

34.272528

34.270742

34.269068

34.267381

34.265466

34.263964

34.262477

34.261044

34.259602

34.258046

34.256518

34.25506

34.253792

34.252539

34.251196

34.249864

34.248559

34.247279

34.245938

34.244635

34.243426

34.242227

34.240962

34.239707

34.238456

34.237217

34.235977

34.234703

34.233432

34.232168

34.230907

34.225229

34.225476

34.22607

34.22608

34.224949

34.223701

34.222573

34.22162

34.220081

34.219084

34.21767

34.216689

34.215263

34.213841

34.212501

34.211212

34.209903

Average Effective Stress (Psi)

Permeability (md)

Permeability Vs Average Effective Stress CUP Q6

_1275721697.xlsGrfico3

34.80936

34.798803

34.788873

34.772477

34.767424

34.759551

34.748457

34.741481

34.732005

34.722634

34.71524

34.706421

34.698582

34.691539

34.683952

34.67732

34.670982

34.664584

34.658739

34.652876

34.647174

34.641806

34.636428

34.631068

34.625813

34.620433

34.615062

34.60964

34.604138

34.598572

34.592959

34.587272

34.581546

34.575783

34.569986

34.564181

34.558361

34.552543

34.546753

34.540978

34.535227

34.529511

34.523829

34.518187

34.512585

34.507019

34.501521

34.496031

34.490602

34.485185

34.479849

34.474521

34.469252

34.46406

34.458873

34.453744

34.448705

34.443684

34.438721

34.433832

34.429003

34.424236

34.419366

34.414642

34.409944

34.405352

34.400855

34.396385

34.392011

34.387724

34.383518

34.379398

34.375358

34.371401

34.367523

34.363725

34.359682

34.355861

34.352211

34.348648

34.345156

34.341748

34.338417

34.335162

34.33165

34.328342

34.325275

34.322307

34.319409

34.31659

34.313321

34.310519

34.307955

34.305519

34.303051

34.300071

34.297585

34.295365

34.292734

34.290513

34.288444

34.286024

34.28397

34.282062

34.280039

34.278002

34.276276

34.274382

34.272528

34.270742

34.269068

34.267381

34.265466

34.263964

34.262477

34.261044

34.259602

34.258046

34.256518

34.25506

34.253792

34.252539

34.251196

34.249864

34.248559

34.247279

34.245938

34.244635

34.243426

34.242227

34.240962

34.239707

34.238456

34.237217

34.235977

34.234703

34.233432

34.232168

34.230907

34.225229

34.225476

34.22607

34.22608

34.224949

34.223701

34.222573

34.22162

34.220081

34.219084

34.21767

34.216689

34.215263

34.213841

34.212501

34.211212

34.209903


Permeability (md)


Hoja1

Cupiagua Q6

Reported skin = 19

Skin = 4.2

Permeability Module = 0.000014

Time (h)Pressure (Psi)Simulated Pressure (psi)Average Effective Stress (Psi)Permeability (md)

0.002784053.6374165.6303711818.85186434.80936

0.004174076.4044161.0302731840.51730134.798803

0.005564099.1924149.1188961860.90317734.788873

0.006954121.0424145.5456541894.57456434.772477

0.008344141.8544147.6354981904.95612234.767424

0.009734161.544151.4592291921.1312734.759551

0.011124180.5494155.3146971943.93365334.748457

0.01254199.0274158.9011231958.27402934.741481

0.013894216.4514162.2595211977.76033234.732005

0.015284233.1764165.5473631997.03384334.722634

0.016674248.7664168.8276372012.24741234.71524

0.018064263.54172.0905762030.39502534.706421

0.019454277.6464175.3583982046.52958934.698582

0.020844290.8634178.6223142061.02866234.691539

0.022234303.5324181.8767092076.65212734.683952

0.023624315.3334185.1345212090.31176634.67732

0.0254326.5054188.3898932103.3679234.670982

0.026394337.2264191.6428222116.54934634.664584

0.027784347.2364194.9047852128.59556534.658739

0.029174356.8024198.1711432140.67847434.652876

0.030564365.8364201.4438482152.43300634.647174

0.031954374.344204.7233892163.50192134.641806

0.033344382.5144208.0073242174.59035934.636428

0.034734390.1554211.2973632185.64500234.631068

0.036124397.4254214.5942382196.48471734.625813

0.03754404.3854217.8947752207.58381534.620433

0.038894410.9344221.1992192218.66686634.615062

0.040284417.2214224.511232229.85521934.60964

0.041674423.144227.8291022241.21248634.604138

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0.044454434.224234.4746092264.29092334.592959

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Hoja2

Hoja2

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4605.1314475.71582

4607.2664480.323242

4609.2874485.02124

4611.5234489.694336

4613.6454494.451416

4615.6674499.247314

4617.8654503.992676

4619.954508.788818

4621.964513.623047

4624.1064518.407959

4626.1894523.22168

4628.1914528.063965

4630.3644532.857178

4632.4544537.654297

4634.6514542.489746

4636.7514547.357422

4638.9344552.240234

4641.174557.128174

4643.3034562.065918

4645.4764567.007568

4647.5314571.89917

4649.564576.730469

4651.6194581.52832

4653.7194586.342285

4655.8214591.187988

4657.7964596.056885

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4663.6224610.265625

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4669.214624.213623

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4672.9524633.432617

4675.074637.984619

4677.0554642.47168

4678.8134646.918457

4680.5764651.338135

4682.1334655.731201

4683.6544660.088867

4685.2154664.412109

4686.724668.710693

4688.2354672.988525

4689.6464677.23999

4697.1774681.532227

4703.5374686.469482

4708.9324692.293457

4712.6894697.948975

4717.8254702.515869

4722.1994705.998535

4724.0914709.018066

4724.7934712.157227

4726.6284715.668701

4727.3724719.581055

4729.9244723.764648

4730.9234728.028809

4733.2724732.22876

4737.114736.27417

4740.8024740.220947

4744.7364744.133789

4748.7374748.04126

4752.8754751.949219

Actual Pressure

Simulated Pressure

Time (h)

Pressure (Psi)


Hoja3

34.80936

34.798803

34.788873

34.772477

34.767424

34.759551

34.748457

34.741481

34.732005

34.722634

34.71524

34.706421

34.698582

34.691539

34.683952

34.67732

34.670982

34.664584

34.658739

34.652876

34.647174

34.641806

34.636428

34.631068

34.625813

34.620433

34.615062

34.60964

34.604138

34.598572

34.592959

34.587272

34.581546

34.575783

34.569986

34.564181

34.558361

34.552543

34.546753

34.540978

34.535227

34.529511

34.523829

34.518187

34.512585

34.507019

34.501521

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34.474521

34.469252

34.46406

34.458873

34.453744

34.448705

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34.438721

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34.424236

34.419366

34.414642

34.409944

34.405352

34.400855

34.396385

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34.387724

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34.379398

34.375358

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34.355861

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34.345156

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34.335162

34.33165

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34.310519

34.307955

34.305519

34.303051

34.300071

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34.288444

34.286024

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34.280039

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34.267381

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34.261044

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34.25506

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34.252539

34.251196

34.249864

34.248559

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34.245938

34.244635

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34.242227

34.240962

34.239707

34.238456

34.237217

34.235977

34.234703

34.233432

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34.225476

34.22607

34.22608

34.224949

34.223701

34.222573

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34.220081

34.219084

34.21767

34.216689

34.215263

34.213841

34.212501

34.211212

34.209903


Permeability (md)


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_1274524204.vsd

Entrada de Datos

Condiciones Iniciales

Dao

Mdulo de Permeabilidad Matriz

Mdulo de Permeabilidad Fractura

Solucin DUr, DUteta, DUz

Actualizacin Esfuerzo EfectivoPorosidadPermeabilidad

Convergencia

Solucin DPm, DPf

Pc Psimulada < e

Impresin Datos

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soporte modelos matemáticos2

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