Soluciones a los ejercicios propuestos

Unidad 5. Funciones reales de variable real

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

CONCEPTO DE FUNCIÓN. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN 2. A partir de los siguientes enunciados determina:

a) Las variables que intervienen, considerando la unidad de su medida. b) Las variables dependientes e independientes y la función que establece dicha dependencia. El coste de consumo de electricidad se factura con la siguiente regla: un coste fijo de

11,78 euros por la potencia contratada y 0,092834 euros por kWh. El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a 1,14

euros. La longitud de una circunferencia y la longitud de su radio. El volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura h. La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y x cm

respectivamente. El precio de un artículo y la rebaja de un 5 % que realiza un determinado centro

comercial sobre dicho artículo. SOLUCIÓN:

El coste de consumo de electricidad se factura con la siguiente regla: un coste fijo de

11,78 euros por la potencia contratada y 0,092834 euros por kWh. Variables que intervienen: x: consumo de electricidad en kWh y: importe en euros La función que establece la dependencia sería:

xy 092834,078,11

El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a 1,14

euros. Variables que intervienen: x: número de litros de gasolina y: consumo en euros La función que establece la dependencia es:

xy 14,1

La longitud de una circunferencia y la longitud de su radio.

Variables que intervienen: x: longitud del radio de la circunferencia, por ejemplo en cm. y: longitud de la circunferencia, en cm. La función que establece la dependencia es:

xy 2

El volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura h.

Variables que intervienen: x: altura en cm del cilindro (h en el enunciado) y: volumen del cilindro en centímetros cúbicos. La función que establece la dependencia es:

xxy 932

La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y x cm

respectivamente.

Variables que intervienen: x: longitud de uno de los catetos en cm. y: longitud de la hipotenusa en cm. La función que establece la dependencia es:

29 xy

El precio de un artículo y la rebaja de un 5 % que realiza un determinado centro comercial sobre dicho artículo. Variables que intervienen: x: precio del artículo en euros. y: rebaja que se realiza sobre el precio del artículo en euros. La función que establece la dependencia es:

xx

y

05,0100

5

DOMINIO, RECORRIDO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

7. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) 1)( 2 xxf b) 4

1)(

2

xxg

c) 2)( xxh

d) 4 2 12)( xxxj e) 2312)( xxxk

SOLUCIÓN:

a) 1)( 2 xxf Como el cuadrado de un número se puede realizar siempre, al igual que la diferencia entre dos números reales, R)( fDom

b) 4

1)(

2

xxg

Los valores que anulan el denominador se obtienen resolviendo la ecuación 042 x ,

cuyas soluciones son 2,2 21 xx . Por tanto }2,2{}2,2/{)( RR xxxgDom

c) 2)( xxh ,2}2/{}02/{)( xxxxhDom RR

d) 4 2 12)( xxxj

}012/{)( 2 xxxjDom R

Resolvamos la inecuación 0122 xx

Como 22 )1(12 xxx , y 0)1( 2 x para todos los valores de x, tenemos que

R)( jDom

e) 2312)( xxxk ,2/1}3/2,2/1/{}023,012/{)( xxxxxxkDom RR

8. Dada la función xxxf 2)( 2 construye una tabla para los valores de x: –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 y representa dichos pares en los ejes de coordenadas. A partir de la representación, ¿podrías perfilar la gráfica de la función?

SOLUCIÓN: La tabla de valores es:

x y

-5 -35

-4 -24

-3 -15

-2 -8

-1 -3

0 0

1 1

2 0

3 -3

4 -8

5 -15

y su representación gráfica:

9. Dadas las funciones:

a) 5)(1 xxf b) xxf 5)(2 c) 1

5)(3

xxf

Determina si las siguientes curvas son la gráfica de alguna de las funciones anteriores:

i) ii) iii)

SOLUCIÓN: La función a tiene como gráfica iii)

La función b tiene como gráfica i) La función c tiene como gráfica ii)

10. Las siguientes curvas son las gráficas de varias funciones. Determina para cada una de ellas su

dominio y su recorrido:

a) b) c)

SOLUCIÓN: a)

3,0)( fDom , Rec 4,02,3)( f

b)

2,0)(Re,4,0)( fcfDom

c)

6,2)( fDom , 2,0)(Re fc

CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LAS FUNCIONES. 13. Las siguientes curvas son las gráficas de tres funciones f(x), g(x) y h(x):

Gráfica de f(x) Gráfica de g(x) Gráfica de h(x) Determina en cada una de ellas los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, y si están acotadas.

SOLUCIÓN:

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

o Crecimiento: ),1()0,1( .

o Decrecimiento: )1,0()1,( .

Máximo: (0,0). Mínimos: (-1,-1) y (1,-1). Acotación: está acotada inferiormente por -1. No está acotada

superiormente.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento: o Crecimiento: todo R. o Decrecimiento: no decrece.

Máximos: no tiene. Mínimos: no tiene. Acotación: no está acotada inferior ni superiormente.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

o Crecimiento: ),2( .

o Decrecimiento: )2,( .

Máximos: no tiene. Mínimo: (2,0). Acotación: está acotada inferiormente por 0. No está acotada

superiormente.

14. Estudia si las siguientes funciones son pares o impares e indica el tipo de simetría:

a) 26 3)( xxxf b)

25 3)( xxxg

c) xxxh 23)( 2 d) xxxj 23)( 3

SOLUCIÓN:

a) 26 3)( xxxf

)(3)(3)()( 2626 xfxxxxxf . Por tanto, se trata de una función simétrica respecto del eje OY. Es una función par.

b) 25 3)( xxxg

)(

)(3)(3)()( 2525

xg

xgxxxxxg

luego no es una función par ni impar. No tiene simetrías respecto del eje OY ni respecto del origen de coordenadas.

c) xxxh 23)( 2

)(

)(23)(2)(3)( 22

xh

xhxxxxxh

, luego no es una función par ni impar. No tiene simetrías respecto del eje OY, ni respecto del origen de coordenadas.

d) xxxj 23)( 3

)(23)(2)(3)( 33 xjxxxxxj se trata de una función impar, simétrica respecto del origen de coordenadas.

15. Construye la gráfica de dos funciones periódicas, la primera de periodo 3 y la segunda de

periodo 5.

SOLUCIÓN: De periodo 3:

De periodo 5:

FUNCIONES POLINÓMICAS

20. Determina la expresión analítica de una función lineal f que verifica: f(1)=3, f(–1)=6, cuyo dominio de definición es [–1,3]. Representa gráficamente dicha función.

SOLUCIÓN: Sea la función lineal baxxf )(

Como f(1)=3, ba3 , y como f(-1)=6, ba 6 Resolvamos el sistema de ecuaciones:

6

3

ba

ba2/992 bb . Deducimos el valor de a: 2/32/933 aba

Por tanto la función lineal que verifica las dos condiciones iniciales es: 2/92/3)( xxf

Como su dominio está limitado al intervalo 3,1 entonces definimos la función de la siguiente forma:

2/92/3)( xxf si 3,1x

La gráfica de la función es:

21. Determina la expresión analítica de una función afín que verifica: f(3)=7 y cuya pendiente es –2, definida en [0,5).

SOLUCIÓN: Sea la función lineal baxxf )( .

Como la pendiente es -2, entonces a=-2.

Por otro lado como f(3)=7, tenemos que 1376 bb . Por tanto la función pedida es:

132)( xxf si 5,0x .

22. Representa las siguientes funciones cuadráticas y determina su recorrido:

a) 3

82)(

2

1

xxxf

b) 45)( 2

2 xxxf c) 64)( 2

3 xxxf

d) 45)( 2

4 xxxf e) 1693)( 2

5 xxxf f) 24)( 2

6 xxf

SOLUCIÓN:

a) 3

8

3

2

3

1

3

82)( 2

2

1

xxxx

xf

Como a=1/3>0, es una parábola abierta hacia arriba.

Vértice: 13/2

3/2

)3/1(2

)3/2(

vx , 3

3

821)1()( 1

fxfy vv , luego el vértice es

(1,-3). Cortes con el eje X: resolvemos la ecuación de segundo grado:

03

8

3

2

3

1 2 xx

y obtenemos como soluciones: x=4, x=-2, por lo que la parábola corta al eje X en los puntos (4,0), (-2,0).

Cortes con el eje Y: si x=0 entonces y=-8/3. Representamos la función:

b) 45)( 2

2 xxxf

a=1>0. Por tanto, es una parábola abierta hacia arriba.

Vértice: 2

5vx

, 4/9)2/5()( 22 fxfy vv , luego el vértice es (-5/2,-9/4).

Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación 0452 xx obtenemos como soluciones x=-4, x=-1, luego los puntos de corte son (-4,0), (-1,0).

Cortes con el eje Y: si x=0 entonces y=4, luego pasa por (0,4). Representando la función:

c) 64)( 2

3 xxxf

a=1>0, luego la parábola es abierta hacia arriba. Vértice: 22/4 vx , 2)2()( 33 fxfy vv

, por tanto el vértice es (-2,2).

Cortes con el eje X: si intentamos resolver la ecuación 0642 xx , observamos que no tiene soluciones reales; por tanto, la parábola no corta al eje X.

Cortes con el eje Y: (0,6). Representamos la función:

d) 45)( 2

4 xxxf a=-1<0, luego la parábola es abierta hacia abajo.

Vértice: 2/5vx 4/41)2/5(4 f .

Cortes con el eje X: resolvemos la ecuación 0452 xx ; sus soluciones son

2

4151

x

, 2

4152

x

. Así pues, la parábola corta aproximadamente por los puntos (-0,7, 0), (5,7 ,0).

Cortes con el eje Y: (0,4). La representación gráfica es:

e) 1693)( 2

5 xxxf

a=3>0, luego la parábola es abierta hacia arriba. Vértice: 2/3vx , 4/37)2/3(5 fyv

Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación 01693 2 xx obtenemos que no existen soluciones reales, por lo que no corta al eje X.

Cortes con el eje Y: (0,16). La representación gráfica es:

f) 24)( 2

6 xxf

a=4>0 por lo que la parábola es abierta hacia arriba.

Vértice: 0vx , 2vy luego el vértice es (0,2)

Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación 024 2 x no obtenemos ninguna solución real, por lo que no corta al eje X.

Cortes con el eje Y: (0,2) (el vértice). La representación gráfica es:

23. Representa las funciones:

a) )1,1[,32)( 21 xxxxf b) )6,3()2,1(,9)( 2

2 xxxf

c) 4,0,45)( 2

3 xxxxf d) )0,2(,2

4

1)( 2

4 xxxxf

SOLUCIÓN:

a) )1,1[,32)( 21 xxxxf

Representamos en primer lugar la función cuadrática en todo el dominio: a=-1<0 por tanto es una parábola abierta hacia abajo Vértice: ,12/2 vx 2)(1 vxf , luego el vértice es (-1,-2).

Puntos de corte con el eje X: como la ecuación 0322 xx no tiene soluciones reales, no existen puntos de corte con el eje X.

Puntos de corte con el eje Y: (0,-3). La representación gráfica de la parábola es:

Teniendo en cuenta que la función está definida en el intervalo )1,1[ y que los

valores en los extremos son 2)1(1 f , 6)1(1 f , limitamos la curva a dicho intervalo. Puesto que el punto (-1,-2) está en la gráfica pero (1,-6) no, obtenemos:

b) )6,3()2,1(,9)( 2

2 xxxf

Representamos en primer lugar la función cuadrática en todo el dominio: a=1>0; se trata de una parábola abierta hacia arriba. Vértice: 0vx , 9vy , luego el vértice es (0,-9).

Puntos de corte con el eje X: resolviendo la ecuación 092 x , obtenemos como soluciones x=3, x=-3. Por tanto corta al eje X en los puntos (3,0), (-3,0).

Puntos de corte con el eje Y: (0,-9), el propio vértice. La representación gráfica de la parábola es:

Teniendo en cuenta que el dominio de definición de la función es )6,3()2,1( , y considerando el valor de la expresión cuadrática en los extremos de los intervalos:

si x=-1, y=-8; si x=2, y=-5; si x=3, y=0; y si x=6, y=27. Dibujamos los dos trozos de parábola comprendidos entre los puntos (-1,-8), (2,-5) y (3,0),

(6,27), sin incluir dichos puntos en la representación gráfica, y obtenemos:

c) 4,0,45)( 2

3 xxxxf

Representamos en primer lugar la función cuadrática en todo el dominio: a=1>0, luego es una parábola abierta hacia arriba, Vértice: 2/5vx , 4/9vy .

Puntos de corte con el eje X: las soluciones de la ecuación 0452 xx son x=4, x=1; por tanto la parábola corta al eje X en los puntos (4,0) y (1,0).

Puntos de corte con el eje Y: (0,4). La representación gráfica de la parábola es:

Teniendo en cuenta que la función está definida en el intervalo [0,4], y como el valor de la

expresión cuadrática que la define en x=0 es y=4 y en x=4 es y=0, entonces la representación gráfica de la función es el trozo de parábola comprendida entre los puntos (0,4) y (4,0) inclusive, es decir:

d) )0,2(,24

1)( 2

4 xxxxf

Representamos en primer lugar la función cuadrática en todo el dominio: a=¼ > 0 luego es una parábola abierta hacia arriba. Vértice: 2)4/2/(1 vx , 3)2(4 fyv , luego el vértice es (-2,-3).

Puntos de corte con el eje X: si resolvemos la ecuación 024

1 2 xx obtenemos como

soluciones 232 x , 232 x , aproximadamente x=-5,46 y x=1,46. Luego la

parábola completa corta al eje X en los puntos )0,232( y )0,232( .

Puntos de corte con el eje Y: (0,-2).

La representación gráfica de la parábola es:

Teniendo en cuenta que la función está definida en el intervalo (-2,0), y como el valor de la

expresión cuadrática en x=-2 es y=-3 y en x=0 es y=-2, entonces la gráfica de la función )(4 xf es el trozo de parábola comprendida entre los puntos (-2,-3) y (0,-2) sin incluir dichos

puntos, es decir:

FUNCIONES RACIONALES

24. Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) 30

23)(

21

xx

xxf

b) xxx

xxxf

3633

734)(

23

2

2

c) 306

52)(

233

xxx

xxf

d) 1517

12)(

234

xxx

xxf

e) 81710

2)(

235

xxx

xxf

SOLUCIÓN:

a) 30

23)(

21

xx

xxf

}030/{)( 2

1 xxxfDom R

Las soluciones de la ecuación 0302 xx son x=-6, x=5, entonces }.5,6{}5,6/{)( 1 RR xxxfDom

b) xxx

xxxf

3633

734)(

23

2

2

}03633/{)( 23

2 xxxxfDom R

Para revolver la ecuación 03633 23 xxx , sacamos factor común 3x en el primer miembro y obtenemos:

0)12(3 2 xxx

Luego una solución es x=0, y las otras dos se obtienen de resolver 0122 xx , que arroja x=-4 y x=3. Por tanto:

}3,0,4{}3,4,0/{)( 2 RR xxxxfDom

c) 306

52)(

233

xxx

xxf

}0306/{)( 23

3 xxxxfDom R

Resolviendo la ecuación 0306 23 xxx obtenemos como soluciones x=3, x=-2, x=5, por lo que:

5,32}5,2,3/{)( 3 ,xxxxfDom RR

d) Factorizando el denominador de la función tenemos:

)1)(5)(3(

12

1517

12)(

234

xxx

x

xxx

xxf

por tanto }1,5,3{)( 4 RfDom

e) Factorizando el denominador:

)8()1(

2

81710

2)(

2235

xx

x

xxx

xxf , luego }8,1{)( 5 RfDom

25. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) xxf

3)(1

b) xxf

4)(2

c) xxf

5)(3

d) xxf

6)(4

e) xxf

3)(5

f) xxf

4)(6

g) xxf

5)(7

h) xxf

6)(8

i) xxf

2

1)(9

j) x

xf2

1)(10

SOLUCIÓN:

a) x

xf3

)(1 b) x

xf4

)(2 c) x

xf5

)(3 d) x

xf6

)(4

Representaremos las gráficas de estas funciones en los mismos ejes de coordenadas, de modo que )(1 xf es la curva dibujada en rojo, )(2 xf la dibujada en verde, )(3 xf la dibujada en azul y

)(4 xf la dibujada en morado.

e) x

xf3

)(5 f) x

xf4

)(6 g) x

xf5

)(7 h) x

xf6

)(8

Las gráficas de estas funciones las representamos en los mismos ejes de coordenadas, con

)(5 xf la curva dibujada en rojo, )(6 xf la dibujada en verde, )(7 xf la dibujada en amarillo y

)(8 xf la dibujada en azul.

i) x

xf2

1)(9 :

j) x

xf2

1)(10 :

FUNCIONES IRRACIONALES

27. Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) xxxf 2

1 3)( b) 5

2 2)( xxf

c) 4 2

3 30)( xxxf d)

64

3

2)(

x

xxf

SOLUCIÓN:

a) xxxf 2

1 3)( ).,0[]3/1,(}03/{)( 2

1 xxxfDom R

b) 5

2 2)( xxf

Como se trata de una función irracional con índice impar, .)( 2 RfDom

c) 4 2

3 30)( xxxf

RR }030/{)( 2

3 xxxfDom

d) 64

3

2)(

x

xxf

),0[)3,(}03

2/{)( 4

x

xxfDom R .

28. Dada la función 10)( xxf , determina su dominio y recorrido, construye una tabla de

valores y realiza una representación aproximada de la función. Representa en el mismo

sistema de ejes la función xxg )( .

SOLUCIÓN: ),0[}0/{)( xxfDom R

),0[)( fRec

x y

0 0,00

1 1,00

2 1,07

3 1,12

4 1,15

5 1,17

6 1,20

7 1,21

8 1,23

9 1,25

10 1,26

Si representamos estos puntos podemos trazar un perfil de la gráfica. En los mismos ejes se ha

representado la función x .

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

31. Representa las siguientes funciones y determina en cada una de ellas su dominio y recorrido:

a)

422

2113

112

)(1

x

xx

xx

xf b)

2

2/1)( 22

xx

xxxf

c)

422

203)(3

x

xxxf d)

321

221)(

2

4xx

xxxf

e)

32

20

052

)(2

5

xx

xx

x

xf f)

11

1/1)(6

x

xxxf

SOLUCIÓN:

a)

422

2113

112

)(1

x

xx

xx

xf

4,1)( 1 fDom , Rec 5,2)( 1 f

b)

2

2/1)(

22xx

xxxf

R)( 2fDom , ,2/1)( 2fRec

c)

422

203)(3

x

xxxf

4,0)( 3 fDom , 3,1)( 3 fRec

d)

321

221)(

2

4xx

xxxf

3,22,2)( 4 fDom , 4,1)( 4 fRec

e)

32

20

052

)(2

5

xx

xx

x

xf

3,5)( 5 fDom , 9,4}2{)0,2()( 5 fRec

f)

11

1/1)(6

x

xxxf

R)( 6fDom , 0,1)( 6 fRec

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL.

35. El número de alumnos matriculados en las universidades de España en el curso 2004/2005 fue 1523130; en el curso 2006/2007, 1 483 181. Estima cuántos alumnos se matricularon en el curso 2005/2006 y el número de alumnos que se espera se matriculen en el curso 2008/2009.

SOLUCIÓN: Los datos que ofrece el problema podemos recogerlos en la siguiente tabla:

Curso académico Número de alumnos matriculados

2004/20051 1.523.130

2005/20062 ?

2006/20073 1.483.181

2008/20095 ?

Consideremos los cursos con el valor variable asignado en el cuadro. Hallamos la función de interpolación lineal que pasa por los puntos (1; 1 523 130) y (3; 1 483 181):

)1(2

399491523130)1(

13

152313014831811523130

xyxy

Luego la función de interpolación lineal es:

)1(2

399491523130)( xxf

Por INTERPOLACIÓN podemos obtener el valor estimado del número de alumnos que se han matriculado el curso 2005/2006, teniendo en cuenta que el valor que representa dicho curso es el valor de x=2:

1.503.1562

399491523130)2( f alumnos.

Por EXTRAPOLACIÓN, teniendo en cuenta que el curso 2008/2009 se representa con el valor de x=5, tendríamos:

1.443.23242

399491523130)5( f alumnos.

36. Hemos realizado un experimento con un muelle elástico y hemos anotado en una tabla los centímetros que se ha estirado el muelle según diferentes pesos:

Peso (kg) 10 20 30

Elongación (cm) 9,5 17 25,5

a) Calcula el polinomio interpolador.

b) Estima cuál sería la elongación para 15 kg y 35 kg. SOLUCIÓN:

a) Consideramos una función definida en dos trozos. La primera de ellas es la función lineal que pasa por los puntos (10; 9,5) y (20;17):

4

83)10(75,05,9)10(

10

5,75,9)10(

1020

5,9175,9

xyxxyxy

La segunda función lineal pasa por los puntos (20; 17) y (30; 25,5), luego la función será:

20

17)20(85,017)20(

10

5,817)20(

2030

175,2517

xyxxyxy

luego la función de interpolación es:

20

20)(

2017

483

x

xxf

x

x

b) Por INTERPOLACIÓN, la elongación para 15 kg será 25,134

53)15( f cm; por

EXTRAPOLACIÓN la elongación para 35 kg será 75,294

119)35( f cm.

VALOR ABSOLUTO

38. Representar y definir como funciones definidas a trozos:

a) |78|)( 2

1 xxxf b) |12|)( 2

2 xxxf c) x

xf4

)(3 d) 3

5)(4

xxf

SOLUCIÓN:

a) |78|)( 2

1 xxxf

07878

07878)(

22

22

1xxsixx

xxsixxxf

Como la solución de la inecuación 0782 xx es ),7[1, , la función definida a

trozos es:

)7,1(78

),7[1,78)(

2

2

1xsixx

xsixxxf

La representación gráfica es:

b) |12|)( 2

2 xxxf

01212

01212)(

22

22

2xxsixx

xxsixxxf

Como la solución de la inecuación 0122 xx es 4,3 la función definida a trozos es:

),4()3,(12

4,312)(

2

2

2xsixx

xsixxxf

La representación gráfica es:

c) x

xf4

)(3

0/4/4

0/4/4)(3

xsix

xsixxf

Como la solución de la inecuación 0/4 x es ),0[ , la función definida a trozos es:

)0,(/4

),0[/4)(3

xsix

xsixxf

La representación gráfica es:

d) 3

5)(4

xxf

03/)5(3/)5(

03/)5(3/)5()(1

xsix

xsixxf

Como la solución de la inecuación 03/)5( x es ),5[ , la función definida a trozos es:

)5,(3/)5(

),5[3/)5()(1

xsix

xsixxf

La representación gráfica es: