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Soluciones a los ejercicios propuestos en Introduccióna la LógicaJosé Luis González Quirós

19 de abril de 2017

Ejemplo de una tabla de verdad:

p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) p ∨ q ∼ (p ∨ q)V V V F V FV F V F F VF V V F F VF F F V F V

Dos ejemplos de argumentos

1. p→ q P2. (q→ r) ∧ (r → s) P.3. q→ r RS24. r → s RS25. p AC, PA6. q MP1, 57. r MP3, 68. s MP4, 79. p→ s TD5, 8

Aquí va el segundo∼ p→ q, s→∼ p,∼ t→∼ p ` (s∨ ∼ t)→ q

1. ∼ p→ q P2. s→∼ p P3. ∼ t→∼ p P4. s∨ ∼ t PA, AC5. s DC4(1)6. ∼ p MP2, 57. q MP1, 68. ∼ t DC4(2)9. ∼ p MP3, 810. q MP1, 911. (s∨ ∼ t)→ q TD4, 7&10

Finalmente lógica de clases

soluciones a los ejercicios propuestos en introducción a la lógica 2

(∀x)(Ex →∼ Px), (∀x)(Cx → Px) ` (∀x)(Cx →∼ Ex)

1. (∀x)(Ex →∼ Px) P2. (∀x)(Cx → Px) P3. Ea→∼ Pa EG14. Ca→ Pa EG25. Ca PA (premisa auxiliar, igual que en la LP)6. Pa MP5, 47. ∼ Ea MT6, 38. Ca→∼ Ea TD5, 79. (∀x)(Cx →∼ Ex) IG6

Ejercicios de tablas de verdad

1. Construir la tabla de las dieciséis posibilidades de variación dedos valores (V/F, 0/1) e identificar en ella la definición de losdistintos conectores de la LP.

Este ejercicio está resuelto en la correspondiente sección del texto

2. Hacer la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compues-tas de las proposiciones p, q:

a. p∨ ∼ q

p q ∼ q p∨ ∼ qV V F VV F V VF V F FF F V V

b. ∼ (p∨ ∼ q)

p q ∼ q p∨ ∼ q ∼ (p∨ ∼ q)V V F V FV F V V FF V F F VF F V V F

c. ∼ p∧ ∼ q

p q ∼ p ∼ q ∼ p∧ ∼ qV V F F FV F F V FF V V F FF F V V V


d. ∼ p ∧ q

p q ∼ p ∼ p ∧ qV V F FV F F FF V V VF F V F

e. ∼ (∼ p ∧ q)

p q ∼ p ∼ p ∧ q ∼ (∼ p ∧ q)V V F F VV F F F VF V V V FF F V F V

f. ∼ p∨ ∼ q

p q ∼ p ∼ q ∼ p∨ ∼ qV V F F FV F F V VF V V F VF F V V V

g. ∼ (∼ p∨ ∼ q)

p q ∼ p ∼ q ∼ p∨ ∼ q ∼ (∼ p∨ ∼ q)V V F F F VV F F V V FF V V F V FF F V V V F

3. Hacer la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compues-tas de las proposiciones p, q, r:

a. (p∧ ∼ q) ∨ r

p q r ∼ q (p∧ ∼ q) (p∧ ∼ q) ∨ rV V V F F VV V F F F FV F V V V VV F F V V VF V V F F VF V F F F FF F V V F VF F F V F F


b. ∼ p ∨ (q∧ ∼ r)

p q r ∼ p ∼ r q∧ ∼ r ∼ p ∨ (q∧ ∼ r)V V V F F F FV V F F V V VV F V F F F FV F F F V F FF V V V F V VF V F V V F VF F V V F F VF F F V V F V

c. (p∨ ∼ r) ∧ (q∨ ∼ r)

p q r ∼ r p∨ ∼ r q∨ ∼ r (p∨ ∼ r) ∧ (q∨ ∼ r)V V V F V V VV V F V V V VV F V F V F FV F F V V V VF V V F F V FF V F V V V VF F V F F F FF F F V V V V

d. (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ r)

p q r ∼ p ∼ q ∼ r p∨ ∼ q ∼ p ∨ r (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ r)V V V F V F V F FV V F F V V V F FV F V F F F V F FV F F F F V V F FF V V V V F V V VF V F V V V V F FF F V V F F F V FF F F V F V F F F

e. ∼ (p∨ ∼ q) ∨ (∼ p ∨ r)

p q r ∼ p ∼ q p∨ ∼ q ∼ (p∨ ∼ q) ∼ p ∨ r ∼ (p∨ ∼ q) ∨ (∼ p ∨ r)V V V F V V F F FV V F F V V F F FV F V F F V F F FV F F F F V F F FF V V V V V F V VF V F V V V F F FF F V V F F V V VF F F V F F V F V


4. Mostrar las siguientes equivalencias o identidades mediante tablasde verdad

a. entre p→ q y ∼ p ∨ q

p q ∼ p ∼ p ∨ q p→ qV V F V VV F F F FF V V V VF F V V V

b. entre p→ q y ∼ (p∧ ∼ q)

p q ∼ q p∧ ∼ q ∼ (p∧ ∼ q) p→ qV V F F V VV F V V F FF V F F V VF F V F V V

c. entre p ↔ q y la conjunción del condicional directo y el inverso(p→ q) ∧ (q→ p)

p q p→ q q→ p p↔ q (p→ q) ∧ (q→ p)V V V V V VV F F V F FF V V F F FF F V V V V

Ejercicios de formalización y enigmas de naturaleza lógica

1. Formalizar el siguiente razonamiento y mostrar si es válido:

Primera premisa: Si x es un número es primo, entonces z es impar

Segunda premisa: x es un número mayor que 9 o z no es un núme-ro impar

Tercera premisa: x no es un número mayor que 9

Conclusión: x no es un número primo

SOLUCIÓN: Lo formalizaremos de la siguiente manera:

P1: (x → p)→ (z→ i)P2: (x → M9)∨ ∼ (z→ i)P3: ∼ (x → M9)CONCLUSIÓN: ∼ (x → p)

La tercera premisa afirma que es falso uno de los términos deuna disyunción que es verdadera, luego el otro término ha de ser


verdadero, y como esa verdad consiste en negar la verdad del con-secuente del condicional que aparece en la primera premisa, dadoque el condicional, al ser una premisa, es verdadero, forzosamenteha de ser falso su antecedente, que es la conclusión buscada.

2. Formalizar el siguiente razonamiento y mostrar si es válido:

Primera premisa: Ayer compré chocolate o vi la televisión,

Segunda premisa: Cuando compro chocolate, duermo a piernasuelta

Tercera premisa: Ayer no dormí en toda la noche

Conclusión: Ayer vi la televisión

SOLUCIÓN: Lo formalizaremos de la siguiente manera:

P1: (c ∨ t)P2: (c→ d)P3: ∼ dCONCLUSIÓN: t

La tercera premisa niega el consecuente de la segunda, luego suantecedente es falso, y, en consecuencia, como esa proposiciónfalsa y es uno de los términos de la disyunción que es la primerapremisa, el otro ha de ser verdadero, y es la conclusión que busca-mos.

3. Pequeños enigmas de naturaleza lógica. Estos enigmas, general-mente fruto del ingenio común y sin autoría demasiado recono-cible, se proponen aquí para ayudar a comprender lo razonable yprudente que resulta no precipitarse sacando conclusiones, y parafomentar una sana desconfianza en lo que se dice y, en general, enel lenguaje. Es obvio que algunos enunciados tienen truco.

1. Una mujer explica un retrato al óleo a su padre. En él apareceun caballero del que la mujer dice: "la madre de éste hombre fue lasuegra de mi madre". ¿Qué relación une al hombre que escucha laexplicación con el personaje retratado?

SOLUCIÓN: La suegra de cualquier madre es la madre de sumarido, de forma que si la madre del retratado es la suegra dela madre de la mujer que ofrece tan estrambótica como inútil yexcusable explicación, es evidente que estamos ante el retrato delpadre que la escucha, suponemos que atónito.

2. En el año 1930 sucedió algo notable en Santiago de Compostela.Un hombre llamado Carlos Ribeiro se casó con la hermana de suviuda. ¿Cómo lo consiguió?


SOLUCIÓN: En 1930 se casó con una mujer de la que luego en-viudó, y luego se casó con una hermana de la difunta que le so-brevivió, es decir que se convirtió en su viuda. Una vez muerto elseñor Riberiro, su boda de 1930 puede describirse de esa maneraaparentemente paradójoca.

3. ¿Puede ser el doble de una mitad igual a la mitad de un doble?

SOLUCIÓN: Suele coincidir que la mitad del doble sea la unidad,y que la unidad sea también muy exactamente el doble de sumitad.

4. Tengo dos monedas en las manos y su valor conjunto es de treseuros, pero una de ellas no es de dos euros: ¿cómo es posible?

SOLUCIÓN:: Una de ellas no es de dos euros, pero la otra sí lo es.

5. Tres amigos viajaron en automóvil y tuvieron un accidente. Dosde ellos resultaron ilesos y condujeron al tercero, inconsciente, alhospital. Cuando el médico de guardia vio al accidentado exclamó:¡Pero si es mi hijo! Pero, en realidad, no era su padre. ¿Qué podíaestar pasando?

SOLUCIÓN: Los hijos tienen madre y padre y, en principio, cual-quiera de ellos puede ser cirujano.

6. Si un avión se estrella en la frontera de España y Portugal ¿Enqué país es más lógico enterrar a los supervivientes?

SOLUCIÓN: No es lógico enterrar a los supervivientes y, porfortuna, no suele hacerse.

7. Imagine que usted es un empresario. Su empresa marcha bieny tiene un gran prestigio comercial. Alguien desea comprarle lamitad de la misma por el tercio de una inmobiliaria. Si el cambiode acciones parece correcto ¿Qué edad tiene el empresario?

SOLUCIÓN: Sólo usted lo sabe.

8. En una cena amistosa el abogado y su esposa compartieron, alpostre, doce pasteles con otro letrado y con la hermana del éste,y cada uno de ellos pudo comer cuatro pasteles: ¿qué relaciónfamiliar tienen los abogados?

SOLUCIÓN: Como cuatro por tres son doce, la esposa ha de serhermana del tercer hombre.

9. Llega usted a una bifurcación en el camino al Olimpo y no sa-be cómo seguir. Ante ella hay dos hombres y son los únicos quepueden informarle, pero usted está seguro de que uno de ellos


siempre miente, mientras que el otro siempre dice la verdad, aun-que, por desgracia, no sabe cuál de ellos es el mentiroso: ¿podríahacerles una pregunta que le sirviese para escoger el camino olím-pico sin saber si el que le responda será el mentiroso o el veraz?Desgraciadamente, usted solo puede hacer una pregunta y solouno de ellos le responderá.

SOLUCIÓN: La pregunta ha de ser: ¿Cuál es el camino que meindicaría tu compañero? y escoger siempre el contrario al que nosdigan. El mentiroso diría siempre el camino inadecuado )puesmentiría sobre lo que diría el veraz) y el que dice la verdad nosindicara correctamente el camino que nos señalaría el embustero.A quienes dicen la verdad es corriente llamarles caballeros, lla-mando escuderos a quienes siempre mienten (según la costumbreinstaurada por Smullyan que es el autor que mejor ha trabajadoesta clase de acertijos lógicos).

10. Después de resolver el anterior problema y fijarse en que am-bos llevan una camiseta que dice ¿soy veraz?: ¿qué le preguntaría acualquiera de ellos para saber si lleva la camiseta que le correspon-de, o es un mentiroso?

SOLUCIÓN:Una pregunta podría ser ¿alguno de ustedes es menti-roso? Si la respuesta es Sí, es el sincero el que habla, si la respuestaes No, el que nos habla es el mentiroso.

11. El Rey Absoluto concede a un condenado a muerte una opor-tunidad para salvarse en virtud de su mucha sabiduría. El Reydispone que en una bolsa se introduzca una piedra blanca y otranegra: si el condenado extrae la piedra blanca será indultado, y encaso contrario se le ejecutará. El condenado sabe que un enemigoha introducido una segunda bola negra retirando la bola blancapara condenarle: ¿qué podría hacer el sabio para extraer una bolay salvarse?

SOLUCIÓN: Pedir al Rey extraer una bola y que la decisión sea lacorrespondiente a la bola no extraída.

12. Estamos de nuevo frente a Don Mentiroso y a Don Veraz (quesiempre miente o dice la verdad, respectivamente), no hemosaveriguado aun quien es quien. Uno lleva una camiseta que con un1 muy grande y otro una camiseta con un 2 de no menor tamaño.El de la camiseta con el 1 dice: 2 es un mentiroso y éste asiente.¿Es verdad lo que dicen?

SOLUCIÓN: Se trata de un supuesto contrario al enunciado delproblema que establece que uno y otro han de decir siempre cosascontradictorias.


13. Estamos otra vez ante Don Mentiroso y Don Veraz y les ha-cemos una pregunta a la que uno de ellos respondió ¿No?. ¿Quépregunta les hemos podido hacer para que sepamos quien es elque ha respondido?

SOLUCIÓN: UNa pregunta puede ser ¿Tu compañero diría que túeres veraz? Si la respuesta es No. nos ha responido el sincero, si larespuesta es Sí, nos ha respondido el mentiroso.

14. Supongamos que estoy ante una pareja que pueden ser cual-quier cosa (ambos veraces, ambos mentirosos, o uno veraz y otromentiroso). Si les preguntamos ¿Alguno de ustedes es veraz? ¿Sepuede averiguar algo de cada uno de ellos dependiendo de querespondan sí o no (pero solo uno de ellos)?

SOLUCIÓN: Si la respuesta es Sí, no sabremos si ha respondidoel sincero, que sería lo que ocurriese si ambos fueran veraces o sihubiese un individuo veraz en la pareja, o si ocurre que ambospersonajes son mentirosos; si la respuesta es NO, no sabremos siha respondido el único mentiroso o si los dos son mentirosos.

15. ¿Qué pasaría si a estos personajes les preguntamos: ¿algunode ustedes es mentiroso? Y si les preguntamos: ¿son ambos ve-races? Por último: ¿qué ocurre si les preguntamos si ambos sonmentirosos?

SOLUCIÓN: A la pregunta de si hay algún mentiroso, la repuestapuede ser Sí si responde el veraz y su compañero es mentiroso, yserá No en cualquier otro caso (los dos mentirosos, los dos veraces,o si responde el mentiroso y su compañero es veraz) de maneraque el Sí nos indica quién es el veraz, pero el No no nos da criteriocierto.

A la pregunta de si son ambos veraces, el Sí no nos diría grancosa, porque sería la respuesta de cualquiera, en el caso de serambos veraces, pero también si contesta un mentiroso, tanto si sucompañero es veraz como si es otro mentiroso. El No solamentepuede significar que el que responde es veraz, y su compañero esmentiroso, pues no tendría sentido en ningún otro caso (ni conambos veraces, ni con ambos mentirosos, ni si el que responde esel mentiroso siendo su compañero veraz).

A la pregunta de si son ambos mentirosos, el Sí no tendría sentidode haber algún caballero veraz, de forma que la respuesta (aunqueparadójica) solo puede ser de un mentiroso, siendo el compañeroveraz. Si los dos fueran mentiroso, cualquiera de ellos responderíaque No, de forma que si se nos responde que No, no podremos sa-ber con seguridad si nos responde un veraz (que está acompañadopor un escudero mentiroso) o uno de los dos mentirosos.


16. Tengo tres amigos que se llaman Calvo, Delgado y Sagaz, peroninguno de ellos tiene la cualidad que indica su nombre. Cadauno tiene una de esas propiedades y ninguno de ellos tiene más deuna. Si Calvo es muy listo: ¿cómo son los demás?

SOLUCIÓN: Si Calvo es el listo (sagaz), Delgado ha de ser calvo ySagaz será delgado. Caben otras soluciones: si Si Delgado es calvo,Calvo puede ser sagaz y Sagaz calvo, Si Delgado es listo, Calvopuede ser delgado y Sagaz calvo, etc.

17. Ahora que existe el matrimonio entre personas del mismo sexo,¿permite el código civil que un hombre contraiga matrimonio conel hermano de su viuda?

SOLUCIÓN: Nadie puede casarse tras haber dejado viuda, porquelas viudas exigen maridos muertos. Sin embargo, como en el ejem-plo anterior, si cabría que un hombre se casase previamente con elhermano de quien después acabaría por ser su viuda.

18. Hay tres personas, Antonio, Bieito y Carlos que son veraces(que siempre dicen la verdad) o mentirosos (que siempre mienten).Resolvamos la siguiente situación: a. Antonio dice: ‘Todos somosescuderos¿. b. Bieito afirma: Üno de nosotros y solo uno es veraz":¿Qué clase de personaje es Carlos?

SOLUCIÓN: Como hemos advertido, escudero significa mentirosoen esta clase de acertijos; Antonio que dice que "Todos somos escu-deros"tiene que ser escudero, pues lo contrario implicaría que uncaballero mintiese (pues no sería verdad que hay tres escuderos),y, en consecuencia, al menos uno de los otros dos ha de ser uncaballero. Lo que dice Bieito implicaría que si fuese un un menti-roso habría dos caballeros y eso es contradictorio con que el sea unmentiroso, luego tiene que decir algo que no pueda ser falso y, enconsecuencia, es el único caballero, de modo que Carlos, aunqueno haya abierto la boca, es un escudero mentiroso,

19. Un hombre está mirando un retrato y le preguntan: ¿‘Quiénes el retratado?", a lo que él contestó: "Ni hermanos ni hermanastengo, pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre¿‘Quiénes el retratado?

SOLUCIÓN: El hijo de mi padre es siempre uno mismo si no exis-ten hermanos, luego se trata del retrato de un hijo del hablante.

Resolución de argumentos mediante reglas de inferencia.

Demuéstrese la validez de los siguientes argumentos de la LP,teniendo en cuenta que puede que no todos sean válidos:


1. ∼ p ∧ q, r → p `∼ r

1. ∼ p ∧ q P2. r → p P3. ∼ p RS14. ∼ r MT2, 3

Como cualquier otro argumento podríamos probarlo por reduc-ción al absurdo de la siguiente manera:

1. ∼ p ∧ q P2. r → p P3. ∼∼ r RA, NC4. r DN35. p MP2, 36. ∼ p RS17. p∧ ∼ p IC5, 6, CONT

2. p ∧ q, p→ r ` p ∧ r

1. p ∧ q P2. p→ r P3. p RS14. r MP2, 35. p ∧ r IC3, 4

3. p→ q, q→ r ` p→ r

1. p→ q P2. p→ r P3. p RS14. r MP2, 35. p→ r TD3, 4

4. p∧ ∼ q,∼ r → q ` p ∧ r

1. p∧ ∼ q P2. ∼ r → q P3. p RS14. ∼ q RS15. ∼∼ r MT4, 26. r DN5

5. p→ r, q→ s ` (p ∧ q)

Se trata de un argumento que no es válido


6. p→ q,∼ q ∧ r ` p→ r

1. p→ q P2. ∼ q ∧ r P3. ∼ q RS24. ∼ p MT1, 35. ∼ p ∨ r RA46. p→ r EC5

7. (p→ q) ∧ (q→ r) ` p→ r

1. (p→ q) ∧ (q→ r) P2. p PA, AC3. p→ q RS14. q MP2, 35. q→ r RS16. r MP3, 47. p→ r TD2, 5

8. (p→ q) ∧ (p→ r) ` p→ (q→ r)

1. (p→ q) ∧ (p→ r) P2. p PA, AC3. (p→ q) RS14. q MP2, 35. p→ r RS16. r MP2, 57. q→ r TD4, 68. p→ (q→ r) TD2, 7

9. (p→ q) ∧ (p→ r) ` p→ (q ∧ r)

1. (p→ q) ∧ (p→ r) P2. p PA, AC3. (p→ q) RS14. q MP2, 35. p→ r RS16. r MP2, 57. q ∧ r IC4, 68. p→ (q ∧ r) TD2, 7

10. (p→ r) ∧ (q→ r), p ∨ q ` r


1. (p→ r) ∧ (q→ r) P2. p ∨ q P3. p BD2, a4. p→ r RS15. r MP2, 36. q BD2, b7. q→ r RS18. r MP5, 6

11. p ∨ (q ∧ r) ` (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

1. p ∨ (q ∧ r) P2. p BD1, a3. p ∨ q RA24. q ∧ r BD1, b5. r RS46. r ∨ p RA57. p ∨ r RC68. (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) IC3, 7

12. ∼ p→∼ q, q ∨ r,∼ r ` p ∨ (s→ t)

1. ∼ p→∼ q P2. q ∨ r P3. ∼ r P4. q SD3, 25. ∼∼ p MT1, 46. p DN57. p ∨ (s→ t) RA6

13. (p ∨ q)→∼ r, p, s→ r `∼ s

1. (p ∨ q)→∼ r P2. p P3. s→ r P4. p ∨ q RA25. ∼ r MP1, 46. ∼ s MT5, 3

14. p→ q, r → s, (q ∧ s)→ t,∼ t `∼ r∨ ∼ p


1. p→ q P2. r → s P3. (q ∧ s)→ t P4. ∼ t P5. ∼ (q ∧ s) MT3, 46. ∼ q∨ ∼ s DM57. ∼ q BD6, a8. ∼ p MT1, 79. ∼ p∨ ∼ r RA810. ∼ r∨ ∼ p RC911. ∼ s BD6, b12. ∼ r MT2, 1113. ∼ r∨ ∼ p RA12

15. p ∨ q, p→ r ` r ∨ q

1. p ∨ q P2. p→ r P3. p BD1, a4. r MP2, 35. r ∨ q RA46. q BD1, b7. q ∨ r RA68. r ∨ q RC7

16. p ∧ (q ∨ r), (q ∨ r)→ t,∼ t ∨ u ` u

1. p ∧ (q ∨ r) P2. (q ∨ r)→ t P3. ∼ t ∨ u P4. q ∨ r RS15. t MP57. u SD3, 6

17. p→ q,∼ q, (∼ p∨ ∼ r)→ s ` s

1. p→ q P2. ∼ q P3. (∼ p∨ ∼ r)→ s P4. ∼ p MT1, 25. ∼ p∨ ∼ r RA47. s MP3, 5

18. p→ q, q→ r ` r

No es un argumento válido


19. p→ (q ∧ r) ` p→ q

1. p→ (q ∧ r) P2. p PA, AC3. q ∧ r MP1, 24. q RS35. p→ q TD2, 4

20. (p ∨ q)→ s,` q→ (s ∨ t)

1. (p ∨ q)→ s P2. q PA, AC3. q ∨ p RA24. p ∨ q RA35. s MP4, 16. s ∨ t RA57. q→ (s ∨ t) TD2, 6

21. p ∨ q,∼ r∨ ∼ q `∼ p→∼ r

1. p ∨ q P2. ∼ r∨ ∼ q P3. ∼ p PA, AC4. q SD3, 15. ∼∼ r SD4, 26. r DN5

22. (∼ p ∨ q)→ r,∼ r ∨ s, s→ t `∼ p→ t

1. (∼ p ∨ q)→ r P2. ∼ r ∨ s P3. s→ t P4. ∼ p PA, AC5. ∼ p ∨ q RA36. r MP4, 17. s SD2, 58. t MP3, 69. ∼ p→ t TD3, 7

23. p→ (q→ r) ` (p ∧ q)→ r


1. p→ (q→ r) P2. p ∧ q PA, AC3. p RS24. q→ r MP1, 35. q RS27. r MP4, 58. (p ∧ q)→ r MP2, 7

24. p→ (q ∨ r), q→ r, r → s ` p→ s

1. p→ (q ∨ r) P2. q→ r P3. r → s P4. q→ r MP1, 35. q RS27. r MP4, 58. (p ∧ q)→ r MP2, 7

25. ∼ (p ∧ q) ` p→∼ q

1. ∼ (p ∧ q) P2. p PA, AC3. ∼ p∨ ∼ q DM14. ∼ q SD2, 35. p→∼ q TD2, 4

26. p ∧ q, s→∼ p `∼ s ∨ p

1. p ∧ q P2. s→∼ p P3. p RS13. ∼ s MT2, 314. ∼ s ∨ p RA3

27. ∼ p→∼ s, s∨ ∼ r,∼ (s→ t), p→ (q ∧ r) ` (p ∧ q)→ (r → s)

1. ∼ p→∼ s P2. s∨ ∼ r P3. ∼ (s→ t) P3. p→ (q ∧ r) P4. ∼ r ∨ s RC25. r → s EC46. (r → s)∨ ∼ (p ∧ q) RA57. ∼ (p ∧ q) ∨ (r → s) RC68. (p ∧ q)→ (r → s) EC7


28. (q ∨ r) ∧ (p ∨ r), p→ q,∼ q ` s ∧ r

29. ∼ p ∧ t, t→∼ q,∼ q→ r ` (r∧ ∼ p)→ s

30. p ∨ (p ∧ q) ` p

31. ∼ (p ∧ q),∼ r →∼ p, p ∧ s ` q→ s

32. p→ q, p ∧ (r ∨ s) `∼ q→ (r ∧ s)

33. p→ q, s→ q ` (p ∧ s)→ q

34. p↔ q,∼ q ∧ r ` (p∨ ∼ r)→ q

35. p ↓ q, p↔ q ` p→ (∼ q ∨ r)

36. p→ (q→ r) ` q→ (p→ r)

37. ∼ p→ p ` p (Mirabilis consequentia)

38. p ∨ q,∼ (∼ p→ s), r → s ` q∧ ∼ r

39. (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) ` p ∨ q

40. (p→ q)→ (p ∧ q) ` p

41. p ∨ q `∼ q→ p

42. p ∨ q `∼ q→∼ p

43. p↔ (q ∧ r),∼ q ∧ t `∼ (p ↓ q)→ (t ∧ s)

44. ∼ p ∨ q `∼ q→ (p→ q)

45. ∼ (p→ q) ` p∧ ∼ q

46. (p→ q)→ p ` p (ley de Peirce)

47. p→∼ q, q ∧ r ` s→∼ p

48. p→∼ q, q∧ ∼ s ` s→

49. p ↓ q,∼ q↔ r ` r∨ ∼ p

50. ∼ p ↓ q,∼ t ∨ p ` q→∼ t

51. p→∼ q, r → p, q `∼ r

52. p→ q, r∨ ∼ q,∼ r `∼ p

53. p→ q, p ∨ s,∼ q ` s

54. p ↓ q,∼ r|s,∼ s→ q `∼ r → t

55. p ∨ q,∼ q ∧ s ` p→ t


56. (p ∧ q)→ r, r → s, q∧ ∼ s `∼ p

57. p ∨ q, r →∼ p, s→ r,∼ t→ s, r ↔∼ q ` t

58. [p→ (q ∧ r)] ∨ s, (p ∧ s)→ r ` p→ r

59. p→ q, r → p,∼ r →∼ t,∼ (s∧ ∼ r), t ∨ s ` q ∨ n

60. ∼ p ∧ q, m→ (p∨ ∼ q),` m→ q

61. p→ (s ∧ t),∼ s∧ ∼ r, q→ (r∧ ∼ s) ` p ↓ q

62. m→∼ p, n→ p `∼ (m ∧ n)

63. m→∼ (p ∨ q),∼ r ∧m, t→ r ` p↔ t

64. (p ∨ q) ∨ r, r → p, q→ p ∨ r ` p

65. (p ∨ q) ∨ r, p→ q ∨ r,∼ r ` q

66. p→ q,∼ (q ∨ r) `∼ p

67. p→ (q→ r), r ∧ s→ t, (s→ t)→ w ` p→ (q→ w)

68. p→ (q→ r), r ∧ s→ t,∼ w→ s∧ ∼ t ` p→ (q→ w)

69. p→ (r → q),∼ s ∨ p, r ` s→ q

70. q→ (r → p), r∧ ∼ p ` q→ s

Lógica de clases

1. Definir por extensión A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A, siendo A =

(a, b, c, d) y B = (m, s, n, a, b).

2. Demostrar que (A ∩ B) ⊂ A y que A ⊂ (A ∪ B).

3. Demostrar que A ⊂ B si y solo si A ∩ B = A.

4. Demostrar que (A\B) ∩ B = ∅.

5. Demostrar la propiedad distributiva de la unión y de la intersec-ción por medio de tablas de pertenencia.

6. Dado A = {(a), b, (c, d), H} , ¿es correcto decir?:

1) (a) ∈ A 2) c ∈ A 3) (a) ⊂ A 4) {(a)} ⊂ A5) (c, d) ⊂ A 6) H ⊂ A 7) {b, (c, d)} ⊂ A 8) (H) ⊂ A

7. Decir si son clases idénticas:

1. A = (los catalanes), B = (los catalanes y los gerundenses), C =

(los catalanes o los gerundenses).


2. A = (números pares menores que 7), R = (2, 4, 6), C = (1, 2, 4, 6).

8. Enunciar los conjuntos que aparecen sombreados en los siguientesdiagramas de Euler:

DIAGRAMA9. Emplear la lógica de clases para, sin recurrir a diagramas, pro-

bar la validez del siguiente razonamiento que tomamos de LewisCarroll:

p1 los bebes son gentes ilógicasp2 quienes puedan manejar cocodrilos no sufren despreciosp3 las gentes ilógicas sufren despreciosc los bebes no pueden manejar cocodrilos

10. Mediante los diagramas de Venn, determinar la validez de lossiguientes silogismos:

10,1 Barbara Todo M es PTodo S es MTodo S es P

10,2 Ferio Ningún M es PAlgunos S son MAlgunos S no son P

10,3 Freison Ningún P es MAlgunos M son SAlgunos S no son P

10,4 Datisi Todos los M son PAlgunos M son SAlgunos S no son P

10,5 Cesare Ningún P es MTodos los S son MNingún S es P

10,6 Baroco Todos los P son MAlgunos S no son MAlgunos S no son P


11. Establecer las relaciones pertinentes entre los siguientes con-juntos de números, N = {N. Naturales}, Z = {N. Enteros},Q = {Racionales}, Q′ = {N. Irracionales}, R = {N. Reales}.

12. Dada la clave universal V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y los conjuntosA = {Pares menores que S}, B = {Pares menores que ocho}, C =

{Números menores que 7}, D = {Números mayores que 5}, E =

{Impares}, F = {Números menores que 7 y mayores que dos}.Hallar

1) A ∪ B 2) B ∩ A 3) C\B 4) B ∪ F 5) A\B6) C ∩ D 7) D ∩ B 8) (E ∩ F) 9) E ∩ D 10) E ∩ A11) E ∪ D 12) D ∩ A 13) C ∩ F 14) F ∪ E 15) F\C16) A4B 17) C4F 18) A4C 19) A\F 20) F4D

13. Encontrar la equivalencia de A ∪ B en función de la intersección ylos conjuntos complementarios.

14. Demostrar que si A ⊂ B entonces A ∪ (B\A) = B.

15. Señalar en los diagranas de Venn1.

U

A B

A ∪ B

A ∩ B

A\B

A

B ∩ (A\B)

2.

U

A B


A ∪ B

A ∩ B

A\B

A ∩ B

B ∪ (B\A)

3.

U

A B

C

(A ∪ B) ∩ C

(A ∩ B) ∪ C

A ∩ B ∩ C

A ∩ C

(A ∪ B) ∩ C

16. Nombrar las siguientes zonasa)

A B

C

b)c)


A B

C

Análisis del lenguaje y argumentos falaces

A continuación, enumeramos una serie de afirmaciones que debe-rían llamarnos la atención por razones lógicas. Dígase el motivo.

Una noticia de la prensa: .el25 % de los divorcios y separaciones se

producen en verano".

Una afirmación muy común: .El pacto ha sido alcanzado de mutuoacuerdo entre las partes".

Otra no menos frecuente: "Los datos hablan por sí mismos".

Una propuesta no muy original: .Establezcamos unas reglas quepermitan llegar a un acuerdo".

Una declaración sorprendente: "No sé si hubo un rumor o si sólohe oído que lo hubo".

Una manera extraña de empezar a hablar: .Antes de decir cualquiercosa, me gustaría hacer una precisión".

Una declaración ministerial: "Vamos a hacer una subida de im-puestos limitada y temporal".

Un descubrimiento llamativo: "Los bebés en el seno materno tie-nen pensamientos abstractos".

Una de paleontólogos: "Los perros llevan viviendo con nosotros16.000 años, y aprendieron a ladrar en contacto con los humanos,antes aullaban como los lobos".

Otra de los mismos: "Si se fijan en esta imagen del "Homo Ante-cessor"verán cómo sonríe, una prueba evidente de su inteligencia".

Una paradoja andante: .Esta es una afirmación que no puede hacer-se".


¿Falla el criterio de bivalencia en el caso siguiente?: La proposi-ción que afirma .Este texto consta de seis palabras.es, obviamente,verdadera, de forma que su negación .Este texto no consta de seispalabras"habría de ser falsa.¿Qué es lo que sucede?

Sobre la importancia de evitar los equívocos y, en particular, decolocar bien las comas y los signos de puntuación: trate de modi-ficar el sentido de las siguientes frases, con solo una coma, o decorregirlas para que recuperen cierto buen sentido:

a. Una decisión del emperador Carlos V: "Perdón imposible, queel enjuiciado cumpla su condena".

b. Sabiduría popular de significado reversible: "Si el hombre su-piera realmente el valor que tiene la mujer, andaría a cuatropatas en su búsqueda".

c. Un informe equívoco: "No lo hizo como se le ordenó".

d. Un aviso parroquial: ?"Tenemos un espacio preparado paraniños, para los que tienen hijos y no lo saben".

e. Un aviso infumable: "Prohibido fumar gas inflamable".

f. Publicidad: Çrema para píes de uso diario".


Lista de siglas y abreviaturas empleadas

ABS Reducción al absurdoAC Antecedente de la conclusiónBD Bifurcación a partir de una disyunciónCC Consecuente de la conclusión∼CC Negar consecuente de la conclusiónCONTR ContradicciónCQD Como queríamos demostrarDM De MorganDN Doble negaciónEC Equivalencia del condicionalEG Eliminación del cuantificador universalEP Eliminación del cuantificador existencialF FALSOIC Introducción de la conjunciónIG Introducción del cuantificador universalIP Introducción del cuantificador existencialIQ Intercambio de cuantificadoresLC Lógica de clasesLP Lógica de proposicionesLT Lógica de términosMP Modus PonensMT Modus TollensNC Negar la conclusiónP PremisaPA Premisa adicionalRA Regla de adiciónRB Regla del bicondicionalRC Regla conmutativaRI Regla de inferenciaRS Regla de simplificaciónSD Silogismo disyuntivoTC Transitividad del condicionalTD Teorema de la deducciónV VERDADERO

soluciones a los ejercicios propuestos en introducción a ...jlgonzalezquiros.es/soluciones.pdf ·...

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