solucionario - mecanica de fluidos e hidraulica

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PESO ESI'ECIFICO

EI peso especifico de una sustancia se puede definir como la relacion entre el pesode la sustancia por su unidad de volumen.

En el sistema internacional de unidades la densidad del agua es de 1000 kg/m' a unatemperatura de 4°C.

La densidad relativa de un cuerpo es un numero adimensional establecido por larelaci6n entre el peso de un cuerpo y el peso de un volumen igual de una sustancia quese toma como referencia. Los solidos y liquidos toman como referencia al agua a unatemperatura de 20"C, mientras que los gases se refieren al aire a una temperatura deO°Cy una atmosfera de presion, como condiciones normales 0 estandar,

densidad(p) = masavolumen

La densidad de un cuerpo es la relacion que existe entre la masa del mismo divididapor su unidad de volumen.

DENSIDAD

La mecanica de los fluidos como una de las ciencias basicas en la ingenieria, es unarama de la mecanica que se aplica al estudio del comportamiento de los fluidos, ya seaque estes se encuentren en reposo 0 en movimiento. Para su debida cornprension, suestudio debe iniciarse con el conocimiento de las propiedades fisicas de los fluidos, entrelas cuales las mas destacadas son la densidad y la viscosidad, ya que estas se empleancomunmente en los calculos de los escurrimientos en distintos tipos de conductos.

PROPIEDADES DE LOS fLUIDOS

CAPITULO I

Malerial prolegido por derechos de autor10

ProblemaAquepresion tendri el aire unpeso especificode 18.7kN/ml si 1atemperatura es

de 49 "C?

P Iatmosfera l.033kglcm2xl04cm2/m2

r= R.T = 19.2m1°K(273.33°K+C) = 19.2x193.33

= 1.8352Skglm3

l.033kglcm2 X 104 cm2/m2'Y= 1.1630kglm330.3x293.33

ProblemaComprobar los valores de los pesos especificos del anhidrido carbonico y del nitro

geno dados en la Tabla l(A).

=~ = 10336kglm2 = 1.1642 kg/m!r TR 303°Kx29.3m1°K

'Y 1.1642 kg/m!p=- = = 0.1 I86kg.seg2/m3.m = O.1186UTMJm

g 9.81 m/s

ProblemaComprobar los valores de la densidad y del peso especifico del aire a 300c dados en

la Tabla 1(B).

'Y=pxg=835kglm3 x9.81m1s2 ::8.2kN

D.R. = 'YSUSllncia= 835 = 0.835'Y..... 1000

ProblemaSi la densidad de un Iiquido es de 835kg/m', detenninar su peso especffico y su

densidad relativa.

peso especifico(y) = pesovolumen

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II

ProblemaDeterminar la viscosidad absoluta del mercurio en kg-s/m' si en poises es igual a

0.01587

Laviscosidad de un fluido indica el movimientorelativo entre sus moleculas, debidoa la fricci6n 0 rozamiento entre las mismas y se puede definir como la propiedad quedetermina la cantidad de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes. Esta propiedad esla responsable por la resistencia a la deformaci6n de los fluidos. En los gases disueltos,esta propiedad es importante cuando se trabaja con grandes presiones.

Algunos liquidos presentan esta propiedad con mayor intensidad que otros, por ejemplociertos aceites pesados, las melazas y el alquitran fluyen mas lentamente que el agua yel alcohol.

Newton formul6 una ley que explica el comportamiento de la viscosidad en losfluidos que se que se mueven en trayectorias rectas 0 paralelas. Esta ley indica que elesfuerzo de corte de un fluido, es proporcional a la viscosidad para una rapidez dedeformaci6n angular dada.

Es importante destacar la influencia de la temperatura en la diferencia de comportamiento entre la viscosidad de un gas y un liquido. El aumento de temperatura incrementa la viscosidad de un gas y la disminuye en un liquido. Esto se debe a que en unliquido, predominan las fuerzas de cohesion que existen entre las rnoleculas, las cualesson mayores que en un gas y por tanto la cohesi6n parece ser la causa predominante dela viscosidad. Por el contrario en un gas el efecto dominante para determinar la resistencia al corte, corresponde a la transferencia en la cantidad de movimiento, la cual seincrementa directamente con la temperatura. Para presiones comunes, la viscosidad esindependiente de la presi6n. La viscosidad asi definida, se conoce como viscosidadabsoluta 0 dinamica.

Existe otra manera de expresar la viscosidad de una sustancia y es la Hamada viscosidad cinematica que relaciona la viscosidad absoluta con la densidad.

tr: 'd d ci ,. () viscosidad absoluta(p)"IS COSI a cinematica v = --------....::....:...densidad(p)

VISCOSIDAD

'V ~ 18.7_II =_1 => PI = l.033kglm2 x == 176kPa12 P2 1.09416

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ProblemaDos superficies planas de grandes dimensiones estan separadas 25 mm y el espacio

entre elias esta Ileno con un Iiquido cuya viscosidad absoluta es 0.10 kg. seg/m', Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, l.Que fuerza se requiere para arrastraruna placa de muy poco espesor y 40 dffil de area a la velocidad constante de 32 cmlssi la plaza dista 8 mm de una de las superficies?

Para 1> 100 =>v(stoke)=0.0022xI55-1,35155

v = 0.332 stokes =0.332 ml/s x 1m1/10· em"v =33.2 X 10.6m1 /s

ProblemaQue valores tiene la viscosidad absoluta y cinematica en el sistema tecnico de uni

dades (kg-m-s) de un aceite que tiene una viscosidad Saybolt de 155 segundos y unadensidad relativa de 0.932?

Para I > 100 =>.u(poises)=(0.0022t-1.35).0.932155

f.l = 0.309 Poises = 3.156 x 10.3 kg - slm2

f.laM1• = 510 poises

Poises 1 2f.la«'te =510 . x-kg-slm =5.210kg-slm2

1POISes 98.1

ProblemaSi la viscosidad absoluta de un aceite es de 51°poises. l.Cual es la viscosidad en el

sistema kg-m-s?

J..lHg = 0.0158 poises

IPoise=_I_ kg-slm298.l

J..l Hg = 16.l X 10-4kg- s / m2


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ProblemaDos metros cubicos de aire, inicialmente a la presion atmosferica, se comprimen

basta ocupar 0.500 m'. Para una comprension isotermica, lCual sera la presion final?

En el estudio del comportamiento de los fluidos, especialmente gases, en algunasocasiones se producen condiciones de trabajo en las cuales, se mantiene constante latemperatura (isotermica) y en otras no existe intercambio de calor entre el gas y suentomo (adiabaticas 0 isentrOpicas).

En el caso de condiciones isotermicas, la aplicacion de la ley de los gases ideales, esadecuada para explicar las relaciones que se producen entre volumen y presion. Paracondiciones adiabaticas, se introduce en la ecuacion de los gases una constante k, querelaciona los calores especificos de las sustancias a presi6n y volumen constante. Estaconstante se conoce con el nombre del exponente adiabatico,

ISOTERMIA I! ISENTROplA

FT = 0.75 + 1.6 = 2.35 kg

11=0.2 kg/m? x 0.0005m = 3.3x 10-) kg - s/m?0.03m1s

2 2 0.32 mlsF2 =O.lOkg-sfm xO.4m x = 1.6 kg0.OO8m

0.75 kgF -0 10k sf 2 04 2 0.32m1s1-' g-mx.mx0.017m

Por producirse dos esfuerzos cortantes, se necesitan dos fuerzas para mover laplaca.

FT=FI + F2

dv vr= 11-=11-

dy yF

't=-A


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Cuando se trabaja en medios porosos con diametros menores de 10 mm, es importante considerar una propiedad llamada capilaridad, que consiste en la capacidad quetiene una columna de un liquido para ascender y descender en un medio poroso. Lacapilaridad esta influenciada por la tension superficial y depende de las magnitudesrelativas entre las fuerzas de cohesion delliquido y las fuerzas de adhesi6n del liquido ylas paredes del medio.

CAPfLARIDAD

Perimetrodel aro::;:;2n r::;:;2n(0.045) =O.l4137m2

F ::;:;2·Tensionsupe1jicial· PerimetroF = 2·7.42 ·lO-3kglm·0.14137mF = 2.098.10-3 kg.9.81ml S2

F=0.0206N

Problemai,Que fuerza sera necesaria para separar de la superficie del agua a 20°C, un aro de

alambre fino de 45 mm de diametro? EI peso del alambre es despreciable.La tensi6n superficial (T) es de 7.42·10"3 kglm

Otra propiedad que se destaca en el estudio de los tluidos es la tensi6n superficial, queindica la cantidad de trabajo que debe realizarse para llevar una molecule del interior deun liquido basta la superficie. La propiedad se produce debido a la acci6n de las diferentesfuerzas a que se encuentra sometida unamolecule colocada en la superficie de un Iiquido.

TI!NSION SuNRFICIAL

PIV'~ ::;:;P2V'~K = 1.4de tabla 1(A) Mecanica - Hidraulica de Fluidos R. Giles

(V' )K ( 2 )1.4P2::;:;PI _I ::;:;1.033x -- =7.20kglcm2V'2 00.5

ProblemaEn el problema anterior, {,CuAIsera la presion final si no bay perdidas de calor

durante la compresion?


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ProblemaDeterrninar la variac ion de volumen de 0.28317 m' de agua a 26.7°C cuando se

somete a una presion de 35.0 kg/em'. EI modulo volumetrico de elasticidad a esa temperatura es igual, aproximadamente, a 22.750 kg/ern"

E=- dpdv/v

dv=- 35kglcm2*0.28317m3

22750kg/cm2

dv= _ 35kg/cm*104cm2 /m*0.28317m3

22750kg / cm2 *104em" / m2dv=0.436*1O-3m3

La compresibilidad en un fluido se encuentra expresada por un modulo, llamadode elasticidad volumetrica. Expresa la relacion entre la variacion de la presion conrespecto a la variaci6n de volumen por unidad de volumen.

MODULO DE ELASTICIDAD VOLUMnRlCA

r=1.65* 10-3md =2r=2* 1.65*10-3 m=33.1mm

r

2,COSlTr=---

,h2*0.00742*998*0.0009

Problema"Que diametro minimo tendra un tubo de vidrio para que el agua a 20°C no supere

0.9mm?

ParaT = 20·C => ,= 7.42*10-3kg/m

h = 2, cosO"r*r

r =998kg/m


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E=- dpdv! v

dvdp=-E-

vPresion inicial= 2.19GPa *1 = 2.19 GPaPresion final= 2.19GPa *(1-0.0125)=2.l626GPaPresion aplicada = Presion inicial- Presion finalPresion aplicada = 2.19 GPa - 2.1626 GPa = 0.0274 GPa

Problema"Que presion se ha de aplicar, aproxirnadarnente, al agua para reducir su volurnen

en un 1.25% si su modulo volumetrico de elasticidad es 2.19 Gpa?


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Los man6metros son dispositivos que se utilizan paramedir la presi6n. Existen diferentes dispositivos para medir la presi6n entre los cuales es conveniente mencionar elmedidor de Bourdon y losman6metros de columna de Jiquido.

EImedidor de Bourdon es un dispositive mecanico, de tipometalico, que en generalse encuentra comercialmente y que basa su principio de funcionarniento en la capacidad para medir la diferencia de presi6n entre el exterior y el interior de un tubo eJiptico,conectado a una aguja por medio de un resorte, encargandose la aguja de sefialar enuna caratula la presi6n registrada para cada situaci6n particular.

Los man6metros de columna liquida, rniden diferencias de presion mas pequeii.as,referidas a la presi6n atmosferica, al determinar la longitud de una columna de liquido.Generalmente el dispositivo mas sencillo para medir la presi6n atmosferica es el tuhopiezometrico, el cual debe tener por 10menos 10mrn de diametrocon el fin de disminuirlos efectos debidos a 1acapilaridad. En algunas ocasiones el tuho piezometrico adoptauna forma de U, con el objeto de facilitar la determinacion de la presi6n y en otras lainstalaci6n de un tubo piezometrico entre dos recipientes, permite determinar la diferencia de presi6n entre los fluidos que ocupan los recipientes. Cuando se requiere

MAN6METROS

De manera particular la presi6n puede expresarse como presi6n manometrica ypresi6n absoluta. Estos conceptos de la presi6n se encuentran referidos a un nivel depresi6n determinado(nivel de referencia de la presi6n), que en el caso de la presi6nabsoluta es cero, que es la minima presi6n alcanzable cuando se tiene el vaci6 absoluto.Las presiones manometricas se encuentran referidas a la presi6n atmosferica.

CONCEPTO DE PRESI6N

ESTATICA DE FLUIDOS

CAPiTULO II

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ProblemaEl deposito de la figura contiene un aceite de densidad relativa 0.750. Determinar la

lectura del manometro A en kg/em',

r ·0.35= 1000·0.3DceUe

1000·0.3 =857k 1m3r acelte 0.35 g

Densidad relativa = 857 = 0.861000

P ..eite =P agw

P .gua = Pr esion por peso especifico de la columna de agua

P =r ·h= 1000·0.3magua aguo

P . = r •h = r •0.35lCC1te aceile ace/Ie

P aceite =Presion por peso especifico de la columna de aceite

ProblemaEn la figura se muestra un tubo de vidrio en U abierto a la atmosfera por los dos

extremos. Si el tubo contiene aceite y agua, tal como se muestra, determinar la densidad relativa del aceite.

medir presiones muy pequefias, se utilizan manometros de tubo inc1inado, el cual permite una escala amplia de lectura.

Material prolegido por derechos de autor19

P =P + 8 . + 5 . + 2·A B "( .c.i~ X pies Yagua X pies "(Hg X pies

P B = P A - ( Y.ceite) X 8 pies + Yagua X 5 pies + YHg X 2 pies

PB =23,5PSIPA =Presion abajo

PB = Presi6n arriba

ProblemaUn dep6sito eerrado contiene 60 em de mercurio, 150 em de agua y 240 em de un

aeeite de densidad relativa 0.750, eonteniendo aire el espaeio sobre el aeeite. Si lapresi6n manometrica en el fondo del deposito es de 3.00 kg/ern', i,cual sera Ia lecturamanornetrica en la parte superior del dep6sito?

P A(MlI1Omolrita) = Plin: +"(eceiteX 3 m

p.in: +"(,uslanei. X 0.23= 0

Plin: = - 3121.1 kg/m"

Tomando como nivel de refereneia la presi6n atmosferica

Plirt +"(suslanCiaX 0.23 = PallnOSfmcl

P =pl• •

P~ = p."nosreric.

Tomando en el piezometro un nivel de refereneia aa'

Pa = Pain: +"(sustaneiaX 0.23m


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ProblemaEn la figura, caleular el peso del piston si la leetura de presion manometrica es de 70

Kpa.

PA =p. + "I. x0.53mP~=P,I+ "IHI x 0.343

P10 = PlIlmOOferic:a = 0P~= P10 ~ P~= -46545 kg/m"P~=p.PA = - 46545 kg/m 2 + 662.5kg/m 2 == - 0.4 kg/em2

ProblemaCon refereneia a la figura, el punto A estli 53 em por debajo de la superfieie de un

liquido con densidad relativa 1.25en el recipiente.l,CuaI es la presion manometrica enA si el mercurio aseiende 34.30 em en el tuho?


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ProblemaLos reeipientes AyB que eontienen aeeite y glieerina de densidades relativas 0.780

y 1.250, respeetivamente, estan eoneetados mediante un manometro difereneial. Elmereurio del manometro esta a una elevacion de 50 em en el lado de A y a una eleva-

p.=PA+'Y.x90m

PA = 4Xl~~~OOkg = 565.8kglm2

p. = 565.8 kg/m" +50Akglm2 = 616.2 kg/m!

P~= PB 'Y... x 20 m => P, = P~PB = 612.2 kg/m? - 'Y... x2Om = 605 kg/m! = 0.605m (columna agua)

ProblemaDespreciando el rozamiento entre el pist6nAy el eilindro que contiene el gas, deter

Minar la presi6n manometrica en B, en em de agua, Suponer que el gas y el aire tienenpesos especificos eonstantes e iguales, respeetivamente, a 0560.

Presi6n piston = Presion aceite

Peso pist6n = 78.4 KN/m 2 *Jr (IY = 61.6 KN4

Presion pistonPeso piston

Jrd2/4Presion aceite = Presion manometro + Presion columnaPresion aceite= 70000 N/m2 + 860 kg Im3 *lm*9.8Im I S2

Presion aceite = 70000 N/m2 + 8437 N I m2 =78436.6 N I m'


ProblemaEI aire del recipiente de la izquierda de la figura est! a una presion de - 23 em de

mercuric. Determinar la cota delliquido manometrico en la parte derecha en A.

ProblemaUn dep6sito A, a una elevaci6n de 2.50 m contiene agua a una presi6n de 1.05 kg!

em'. 0 deposito B, a una elevaci6n de 3.70 m contiene un Iiquido a una presi6n de 0.70kg/seg", Si la lectura de un man6metro diferencial es de 30 em de mercuric, estando laparte mas baja en ellado de A y a una costa de 30 em, determinar la densidad relativadelliquido contenido en B.

~ =YapM (2,5m-0.3m)+10500kglm2 = 12700kglm2

P; = 7000 kg/m? + 13600 x 0.3 + Yliquido(3.7 - 0.6)m

Pa = P; => Yliquido= 522.58 kg/m!

D.R.=0.525

Esta es la altura de la superficie libre en el tanque A. Yla distancia h sera la superficie libre del aceite.

ci6n de 35 em en ellado de B. Si la cota de 1asuperficie libre de 1aglicerina en el dep6sitoB es de 6.40 m. l.A que cota est! la superficie libre del aceite en el recipiente A?

P, =P,.. + 'Y8(6.05m) = I0336kglm2 +1250kglm1x6.05m = 17898,5 kg/m?

P~= Pair<+ 'YAxh'+ 'YHgxO.l5m= 10336 kg/m? + 780h' +13590 kg/nr'xfl.l Sm

P~= 123745 kglm 2 + 780h

Po =P~ ~h=7.08m

hlola• =h' +0.5m=7.58m


Se toman dos niveles de refereneia. EI primero (I-I') en el piezometro exterior y elsegundo (3-3 ') en el piezometro interior.

ProblemaLos eompartimentos B y C de la siguiente figura estan eerrados y lIenos de aire. La

lectura barometrica en 1.020Kg/ern'. Cuando los man6metros A y D marcan las leeturas indieadas, l.Que valor tendra X en el man6metro E de mereurio?

Cota del punto a = 32 m - 5.71 m = 26.3 m

Igualando (I) = (2)

2000 kg/m? + 'YH,Ox 1.5m + 'YH,oh= 3128kg/m2 + 'Yaceite4 + 'Yliquidomanometricoh2000 + 1500 + 3128 - 3200 = (1600 -1000)hh=S.7Im

(2)~ =-3128kglnr +Yair)36-32)+YUqUidananon>etJtt

EI aire del recipiente de la izquierda esta a -23 em de mercurio.76 em de mereurio equivalen a 10336 kg/m'- 23 em de mereurio equivalen a -3128 kg/m!

(1)

Para un nivel de refereneia AA' en el tuba piezometrico

PA =0.20kglem2 +YH,O (33.5-32)+YH,O =h


24

p =p'a a

Peso (piston +W) = 1364051b

P; = PA +r auile 6piesP = Peso(pist6n +w)• A cililJdro

ProblemaEl eilindro y el tubo mostrados en la figura eontienen aeeite de densidad relativa

0,902. Para una lectura manometrica de 2.20 kg/em', l.CuaIes el peso total del pist6ny la plaea W?

PI = PiP, = PI - "YHSX 0.25P, = -"YHS X 0.25

Pj = -"YHg X 0.25 + 'YH8X2.1 kg/ern 2 = -"YHgxO.25 + "YHIXX = 1.80 m

PJ = 2.1 kg/ern 2

Pj = Pc + "YHgXPJ = Pj

PI = Patmoof<:ric a

Pi = P, + "YHgX 0.25


25

P,",OO del .in: • 35 Id'u

ProblemaEn la figura se muestra un dep6sito cerrado que contiene aceite bajo presi6n de un

colch6n de aire. Determinar la elevaci6n de la superficie libre del aceite en el piezometro conectado.

P -P. =-r *1.0+r ·0.9ASH, .....

PA - Ps=-13600·1.0+ 10000.9PA- Ps= -13600kg Im2 +900 kg Im2

PA -Ps =-12400kglm2*9.8Imlseg=124.6kPa

P =P. -r *1.3+r ·O.5+r *1.2-r ·1.5+r *1.0AS ..... Hg ..... H, .,..

ProblemaDeterminar la presion diferencial entre las tuberias Ay B para la lectura del man6-

metro diferencial que se muestra en la figura.


26

~ = P£ = (90-3.6)xI250kglmJ = 6750kglm2

Po = ~ - (Yoed .. x h) = 6750 - (75 - 3.6)x832 kglm2 = 3505.2 kg/m! = 0.35kg I em'

ProblemaCon referencia a la siguiente figura, i.que presi6n manometrica de A hara que la

glicerina suba basta el nivel B? Los pesos especificos del aceite y glicerina son 832 y1250kg/m', respectivamente.

X 51284.6Nlm2 :6.30m830·9.81N 1m

r acdle

51284.6= r .• Xacelle

X=51284.6

Presion columna de aceite =Presion aire

PI =35kPa+ rocdl.· 2P.=35kPa +830· 2·9.81PI=51284.6Pa

p.r=r ·XI acdle

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27

Problemai.CuAIes el valor de Iapresion interior en una gota de lluvia de 1,50romde diametro

si la temperatura es de 21°C?

EI resultado negativo indica que se presenta una succionEn una gota de agua, acnia la tension superficial, dando lugar a una presion en el

interior de la gota, superior a la presion del exterior. Para el analisis de esta situacion serea1izaun balance de las fuerzas que estan actuando sobre la superficie de una gota deagua, descomponiendo las fuerzas en los componentes en los tres ejes, 10cual permiterelacionar la fuerza que acnia sobre la gota de agua, considerando una proyecciensobre una superficie plana, con la fuerza de tension superficial que actua sobre elperimetro de la gota

Presion =yH

Presion = 1260kg Im3(- 0.22m) = -277.2 kg 1m2

ProblemaSi el peso especifico de la glicerina es 1260kg/m', que presion de succion se reque

rir8 para elevar la glicerina 22 em en un tubo de 12,50 rom de diametro?

Despejando el diametroD=32.57cm

12 kg/em? = 10000 kg;d)2

4

P _ pesopiSlOO - area

ProblemaPara levantar una plataforma de 10 toneladas se utiliza un gato hidraulico. Si en el

piston actua una presion de 12 kg/em' y es transmitida por un aceite de densidadrelativa 0.810, que diametro se requiere?

Malerial prolegido por derechos de aulor28

T a20 0.00738021 0.00737425 0.007350

Interpolando para T = 21 °c

1u=-pd4

P = 19.6664kg/m2


29

La acci6n de una fuerza ejercida sobre una superficie plana, da como resultado unapresion, que en el caso de un liquido, deterrnina la existencia de numerosas fuerzasdistribuidas norrnalmente sobre la superficie que se encuentra en contacto con elliquido. Sin embargo desde el punto de vista de analisis estatico, es conveniente reemplazarestas fuerzas, por una fuerza resultante unica equivalente.

En el caso de una superficie horizontal, esta se encuentra expuesta a una presionconstante. Cuando la superficie es inclinada con relacion a la superficie del fluido enreposo, la linea de acci6n de la fuerza resultante, se localizara no en el centro degravedad de la superficie, sino en punto Ilamadoel centro depresion, el cual se encuentra localizado en la superficie, a una distancia mayor desde la superficie libre, que ladistancia al centro de gravedad de la placa.

La determinacion del centro de presion de una superficie sumergida puede ser deterrninada, apJicandoel teorema de loas momentos, en el cual el momento de la fuerzaresultante con relaci6n a un punto de referencia, debe ser igual a los momentos de lasfuerzas elementales que ejercen su acci6n sobre la superficie.

Cuando un Iiquido en reposo acnia sobre una superficie curva, la fuerza resultanteproducida por el efecto delliquido sobre la placa, esta conformada por dos componentes. Una componente de tipo horizontal que se calcula como la fuerza ejercida sobre laproyecci6n vertical de la superficie, actuando esta componente sobre el centro de presi6n de la proyecci6n vertical y otra componente de tipo vertical, que corresponde a lafuerza hidrostarica 0 peso delliquido ejercida por el cuerpo, que acnia sobre el centrode gravedad del volumen.

En las presas, las fuerzas hidrostaticas tienden a producir deslizamientos horizontales y volcamientos que en las presas de gravedad deben ser contrarrestados por unaadecuada distribuci6n de cargas volumetricas. En estos casos es conveniente conside-

FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES

CAPITULO III


30

- -x:EA=:ExA

:ExAx = = 0.36m:EA

X A{m3)

0.240.21

0.45

Area (m2) x{m}0.54 0.450.70 0.301.24

Componente de pesoRectangulo 1Triangulo l:E

:EM.x= y :EA = :Ey A :EMy = x :EA = :Ex A

- - --:EMx = y:EW = :EyW :EM.x = x:EW = :EyW

WI = (1000) (0.6) (0.9) (2.5) = 1350kilogramosW2 =(1000) (0.5) (0.9)· (1.56) (2.5) = 1753.7kilogramos

Solucion al problema por lametodologia formulada en el estudio de la estatica:La fuerza total ejereida por el agua sobre la compuerta AB se puede apliear en un

solo punto. Ese punto es Uamadoel centro de gravedad del sistema.

ProblemaEneontrar para la compuerta, AB de 2.5 m de longitud, la fuerza de cornprension

sobre el apoyo CD, por la presion del agua. (B, C y D son puntos artieulados)

rar la estabilidad de la presa, para 10 eual deben determinarse eoefieientes de seguridadcontra el voleamiento y el deslizamiento y la presion sobre la base de la presa

Material protegido por derechos de aulor31

hes =YCg Sen 60° = 0.9 Sen 60° =0.78m

hcg,otal =0.60+0.78=1.38m_ hcglOCal _

YC8total - ° -1.59 mSen 60

Soluci6n al problema por metodos planteados en mecanicade fluidos:

Sen 600 = hC8

v,

7.037kg

Realizando sirnetria de momentos con respecto al punto B

+tL: Ms = 0- Wr (0.36) - ET(0.63) + R (0.64) =0

R = (3103.7)(0.36)+ (5375.8)(0.63)0.64

El empuje (E) se encuentra aplicado a 0.63 m del punto BE,=EI +E2= 5375.8kg

- -y"J:.A='f.yA- 1.36y =- =0.63m

2.16

Area (m2) y(m} y a (m3)

0.94 0.78 0.731.22 0.52 0.632.16 1.36

Wr=WI +W2 =3103.7 Kilogramos fuerza.

Componente EmpujeRectanguloTriangulol:

El peso (w), se encuentra aplicado a 0.36 m del punto B


32

F. =r [(6-3.6)+1.8].(3.6.1.5)F. = 22680 Kg

3.6 2Ycg =2.4+-=4. m2

Yep = 1.5~.6Y 112)+ 4.2 = 4.46 m4.2 3.6.1.5

ProblemaUna compuerta rectangular AB de 3.6 m de alto y 1.S m de ancho, esta colocada

verticalmente y puesta a 0.15 m abajo del centro de gravedad de la compuerta. Laprofundidad total es de 6 m.l,CUlil es la fuerza F horizontal que debe ser aplicada en labase de la compuerta para encontrar el equilibrio?

Tomando momentos con respecto del punto BF ,0.73 = FI Cos 45° ,0.9PI =7140kg

longitud Total OB' = 0.69 + 1.8 = 2.49 m

Longitud brazo B'B = O·B - YegT = 2.49 -1.76 = 0.73 m

Cos 45° =!._F.

Fx = FI Cos 45°

F=y hegtoeal A=I000*1.38*{1.8*2.5)=6210kg

I = bh3 = 2.5 {1.8)3= 1.215 rn"eg 12 12

Y = Y + leg = 1 59 + 1.215 = 1 76ep cgtoeal • ( ). mYegr A 1.59 1.8· 2.5

Longitud total 00·

Sen 600 = heg

v,Y = 0.6 0.69m

og Sen 600


33

ProblemaEncontrar la dimension Z para que la tension en la barra BD, no supere por 8000 kg,

cuando el ancho de la compuerta es de 1.2my considerando que los puntos BYD estanarticulados.

b) =1.65 m

+t 1:M eje giro = 0-EI = b, +E2 *b2 -F*b) =0F = 1473 kg

b2=0.45m

b, =0.15 m

Tomando momentos con respecto al eje de giroFIX = F*1.65

F = 22680 x 0.11 = 1473 k1.65 g

Segundo rnetodoEI = 2.4 r *3.6 *1.5 = 12960 kg ,

E = 3.6 r *3.6 * 1.5 = 9720 k2 2 g ,

y = YT - Yep= 6 - 4.46 = 1.54m

x + y= 1.65mx = 1.65 - 1.54 = 0.11 m

Material proteqido por derechos de autor

34

hCos 45° =~v,hcs = Y.1Cos 45°

Cos 45° = hTYT

h, =YT Cos 45°YT=2YcsF= r = bcg eAF = r YcaCos 45° (1.2YT)

YT = Yep+YbruoIY =_ca_+y

ep AY cscs

Soluci6n al problema por metodos planteados en mecanica de tluidos

Z=1.84m

bw=(2+Z)3

b = (2+Z)E 3

Peso(W)=y .Area.h=y =Area eLbase =2+Zaltura=2+Z

Peso(W)=y • (2+Z).1.2=0.6 r (2+ZY ,2

h2 (2+ZYEmpuje(E)=y -.L=y .1.2=0.6(2+ZY,2 2

+t~MA=OF • brazo - Peso • brazo - Empuje * brazo = 08000. 2 -0.6y (2+Zy.(2+Z)_0.6y (2+Zy.(2+Z)=0

Sen 45° 3 322627-0.4r (2+Z)3 =0

Soluci6n al problema por metodos planteados en estatica:


35

F = ( 2.7 *SOO+ 2;4 *1000 ) (3.6 *2.4)= 29030.4 kg

Fuerza Total ~ 6998.4+29030.4 = 36028.8 kg

F=800*(~* 2.7)( 2.7 ;3.6) = 699S.4kg

Fuerza sobre el aguaF=PA

F=& aceile*hCg +r ag.a *hcg)A

ProblemaUn aceite de densidad relativa 0.3 actua sobre un area triangular cuyo vertice esta en

la superficie del aceite. EI area del triangulo es de 3. m de base por 2.7 m de altura Unarea rectangular de 3.6 m de base y 2.4 m de altura se une al area triangular y estasumergida en agua. Encontrarelm6duloy posicion de la fuerza resultantepara elarea entera.

Fuerza sobre el aceite

3_ O.IYr Yr-067Yy - +--

ep 12 Yr 2 . T

. YT 2

Ybnzo=YT - Yep=Y, -0.67Yr =0.33Yr

Cos 45° = 2h

h = 2Cos 45° = 2.S3m

+t~MA=O-F*ybnzo +Fh=O

Yr _L *Cos 45° *1.2Yr *0.33Yr = Sooo*2.S32

v, =5.45mh, =3.S5mZs= h, - 2=1.85m

30.1v,I = bh3 = 1.2(YTYcg 12 12


36

ProblemaLa compuerta AB esta fija en B y tiene 1.2 m de ancho. i.Que fuerza vertical,

aplicada en su centro de gravedad, sera necesaria para mantener la compuerta enequilibrio,si pesa 200 kg?

Por suma de momentos6998.4 • 2.025 + 29030.4 • 4.04 = 36028.8 • yy=3.63m

E1pun'Ode ap'OCaci)n de B fuerza Y cp' se torna con respecto del originalYep= 3.5 m + 0.54 m =4.04 m

Realizandouna diferencia entre la superficie original del aceite y la columna equivalente del agua:

2.7 m - 2.16m=0.54 m

(3.6)(2.4)3/12 +3.36=3.5m3.36(2.4X3.6)

Yep

Tomandoun nivel irnaginariodel aceite y convirtiendo este a un nivel equivalente deagua.

heg =2.16+ 2.4 =3.36m2

Punto de aplicaci6n del empuje ejercido por el agua

Punto de aplicaci6n del empuje ejercido por el aceite

Iy =~+yep y og08

Pero Yes =hog

I = bh3 = 3.6(2.7)3 = 1.9683m"og 36 36

Yep= 1.9683 + 1.8= 2.025 m1.8(2.7;3.6)

'II1ateral pro do po37

ProblemaEn un tanque de 6 m de longitud y una secei6n

transversal, el agua esta en el nivel AE, encuentre:a) La fuerza total que acnia en el lado BC b) lafuerza total que acnia sobre el area ABCDE enmagnitudy posiei6n.

que es la fuerza aplicada para mantener la compuerta cerradatomando momentos alrededor del punto B

+tl:Mb=O5400.0.75+2700-0.5 = 2000-0.75 + F.0.75F=5200kg

be = h =!2=0.75mI 2 2

be = h =!2=O.50m233

b 1.5 0w=-= .75m2

Peso = 2000 kg ,

Empuje, = 1.5r (1.5-1.2)= 2700 kg,

Empuje, = 3r (1.5-1.2)= 5400 kg,

Rectangulo

Empuje = Presion - Area

Material protegido por derechos de autor

38

ProblemaEn la figura por eneima de la eompuerta en semieirculo de 1.2 m de diametro, hay

una altura de agua de 90 em. La profundidad del eilindro es de 1.0 m. Si el eoefieientede frieci6n entre la eompuerta y las guias es de 0.1 determine la fuerza P requeridapara elevar la compuerta que pesa 500 kg.

Fuerza total sobre la superfieie ABCDEF = 1000 • (3.6 + 1.2) • (3.6) = 86400 kg

Tomando momentos con respecto a1 punto 023328 * 2.4 + 19008 * 4.47 =42336 *Ycp

Yep = 3.33 m

FlOcal = FI + F2= 42.336 kg

F2 =1000.(3.6+ 2~4)*(3.6;2.4)=19008kg

Yep = 3.6· (2.4)3/36 +(3.6 + 2.4) =4.47m, (3.6.2.4)*(3.6+ 2~4) 3

FI =1000· 3.6• (3.6· 3.6)=23328kg2

Y =~+Y =3.6*(3 ..6)3/12+1.8=2.4 m<PI AYeg eg (3.6 *3.6) *1.8


39

E. =Presion *Area = r h * (base * altura) rectanguloE. =5.25r * (0.250.5)=656.25kg

E2 =0.25 r * (0.25* 0.5) = 15.6llcg2

E) =5.5y * (0.25*0.5)=687.5kg

E4=0.25rhg * (0.25* 0.5) =212.5kg2

ET=E. + E2 + E) + E4 = 1572kg

Yes,=5.25+ 0;5 =5.375m

Yeg,=5.5+ 0.~5 =5.625m

Haciendosumatoriade momentos-r LM=O1572*Yeg=671.875*5.375+900*5.625Yeg=5.52m

ProblemaUn dep6sito de paredes lateraIes contiene un I m de Mercurio y 5.5 m de agua.

Determinar la fuerza total sobre una porci6n cuadrada de 0.5 m por 0.5 rn, la mitad dela cual se encuentra sumergida en el Mercurio: Los lados del cuadrado estan situadosvertical y horizontales respectivamente.

Fv = r 7r (0.6)2 *1 = 565.5 kg2

+t E Fy=OFv + P -W -Fr = 0P =500 + 252 - 565.5 = 186.5kg

Fr= ,uNN=Fh=r *heB*A=1000*(1.5+0.6)*(1.2*1)=2520kg

Fr=O.1 *2520= 252 kgn r2

Fv= Peso Volumen desalojado =r V =r AL = r -- L2


leB _-- + Yel - 0.25 +YeaA Yea

Y = leI = 2·(2)3/12 =1.33es 0.25A 0.25 (2· 2)

ProblemaQue tan abajo de la superficie del agua puede ser sumergido un cubo de 4 mde lado,

para que el centro de presion este 0.25m por debajo del centro de gravedad "Cdlsera la fuerza total sobre el cuadrado?

Y - Y = 0.25m'" osY'"= 0.25+Yca(I)

Y =~+Y (2)cP Y A esea

Igualandot l) y(2)

F=y hel A=800.(1.3+ 6;0) .(S;6)=82560kg

L=.J32 +82 =8.54m8Cos() =-

8.54() =20.44°

S e _1.3en --h

h=3.72m=Yel

Y = bh3/36 +Y = 6(Si/36 +3.72=4.6SmcP AYea el 24.3.72

ProblemaUn triangulo isosceles que tiene 6 m de base y 8m de altura esta sumergidovertical

mente en un aceite de D.R. = 0.8, con su eje de simetria horizontal. Si la altura delaceite sobre el eje horizontal es de 4.3 m, determine la fuerza total sobre una de lascaras del triangulo y localice verticalmente el centro de presion.


41

I: F. (Agua)

+tI:Fy=O-W+N+W ..... +W ..... =ON=W ciJiodro -W ..... -W_.N = 6000 - 3142 - 2513 = 345 kg

1( r2W=r V=r .A.L=r ·--·L

2kg 1( (I) 2

Empuje del agua = 1000 -. • (m 2). 2m = 3142 kgm ' 2

Empuje del aceite = 800 kg • 1( (1)' • (m 2). 2m = 2513 kgm1 2

a) Fuerza normal (N) en el punto BPeso delvolumen delliquido desalojado

ProblemaEn la figura el cilindro de radio = I my 2 m de longitud esta sumergido en agua a la

izquierda y a la derecha en un aceite de densidad relativa 0.8. Calcular: a) la fuerzanormal en el punto B si el cilindro pesa 6000 kg. b) la fuerza horizontal debida al aceitey al agua si el nivel del aceite desciende O.5m

YOgtotal =1.33 +4=5.33 m

Y = h + lado08 2

h = 5.33 - 2 = 3.33 mF = 1000 *5.33 *16 = 85333 kg


42

OB 2Y = - + I = - + I = 2 m del punto C2 2

Y =1m del punto 0X =distancia horizontal a la que actua la fuerza vertical

4r 4*3X=-=-=1.27m3n 3n

FH =r heg Acb

FH = 1000*1.5 *(3 *4) = 18000kg

Y=distancia vertical a la cual acnia la fuerza horizontal

ProblemaPara una longitud de 3 m de la compuerta, determine el momento no balanceado

para la bisagra 0 debido a la posicion del agua en el nivel A

L Fx (aceite)

F2 =r heg A=800*C;5)*(1.5*2)=1800kg

Fnela Horizonla' = 8000 - 1800= 6200 kg

Material protegido por derechos de autor43

FAI= Y *0.75 * (1.5*2) = 2250 kgFH2= P *A =1500*1.5* 2.0= 4500 kgFIfT= 6750 kg

Sen 600 = x1

x=l* Sen 600 =0.87mFVI=PA=1500*(0.87 *2) = 2610 kgFV2=Y V=y * Area*Profundidad=1500*1047*2=2094kg, tr r2 1 n r2Area =--+---=1047 m2

434FTOTALVERTICAL=2610 + 2094 = 4704 kg

ProblemaUn tanque cuya seccion transversal se muestra en la figura tiene 2 m de longitud y se

encuentra en un tanque lIeno de agua sometido a presion. Encuentre los componentes dela fuerza requerida para mantener el cilindro en posicion despreciando el peso del cilindro.

r, =1000*( tr :32)*4=28274.3kg

+tLMo =0Mo -18000 *1+ 28274.3 *1.27 = 0

+.1-Mo = 17908Kg-m

tr r2F =y *--* L= [} VV 4


44

ProblemaDeterminar la fuerza vertical que acttia sobre la b6veda semicilindrica, cuando la

presion manometrica leida en A es de 0.6 kg/ern'. La boveda tiene 2 m de longitud

Fy = 1000.1.63 *1 = 1630kg

Area Neta =9.43-7.80= 1.63m2

Area Triangulo

FH = 1000-1.5 - 3= 4500 kg

Fy = r V = r -A - LArea Neta = Area sector circular -Area triangular

tr r2(tr~)=tr (6)2 (tr/6)=9.43m2Area Sector Circular = tr r2 B /6 /'62tr 2tr

Cos 300 =~~x=6Cos300 =5.20m6

ProblemaDeterminar por metro de longitud, los componentes horizontales y verticales del

agua a presion que aetna sobre la compuerta tipo Tainter.


45

ProblemaDeterminar la fuerza ejercida por el agua sobre la seccion AB de 0.6 m de diametro

y la fuerza total en el plano C.

ProblemaSi la b6veda del problema anterior es ahora hemisferica y el diametro es de 1.2m

l,Cual es el valor de la fuerza vertical sobre la misma?

r,=r vVolumen neto (Yo) =Volumen cilindro circular -Volumen media esfera

2 1 4 3V =h*7r r ---7r ro 23

v. =(3.75*7r (0.36)-(~*1Z" *0.216)=3.79m3

F = 1600*3.79 = 6064 kg

3.75m

P=y h

h = P = 6000 kg/m2

y 1600kglm3

Fuerza Vertical (Fy) = Empuje - Peso

Fy = (presi6n • Area) - Peso semicilindror tt r2 L

Fy= (y h. D. L)-"'---2--

r, =(1600.3.75.1.2.2)- (y 7r .0.6.2)2

Fy =12590kg

A


46

ProblemaEl cilindro mostrado en la figura es de 3 m de longitud. Asurniendo UDacondici6n

herrnetica en el punto A y que el cilindro no rota, cual sera el peso requerido del cilindro,para impedir el movimiento ascendente?

'Ii r2 1000*5* 'Ii *0.36Fuerzasobre AB=1000*5*--= 1414kg4 4

[

'Ii r2 h 'Ii r2 h ]Fuerza total sobre C=r 4 I + 4 2

F total sobre C= 21.21kg

Material protegido por derechos de autor47

ProblemaPara un dique de contencion de seccion parab6lica, que momento en el punto A por

m de longitud del mismo se origina por la exclusiva aeci6n de los 3 metros de pro fundidad del agua?

(kg cm2) kg em"2 0.lm*0.013m*1200-*104 -- =12-*104 -*lm*(y)(m)em? m2 em" m2

y=0.36m

ProblemaUn tubo de madera de I m de diametro interior es sujetado por bandas de aeero de

10 em de aneho y 1.5 em de espesor. Para una tension permitida de 1200 kg/em' delaeero y presion intern a de 1.2 kg/em'. Determinar el espaeiamiento de las bandas.

Dos veees la tension total - sumatoria de todas las eomponentes horizontales de lasfuerzas = 0

2 (AreaAcero. Tension delAcero)= p'. ProyeccionZ del semicilindo

+ i:EFy=OPeso +Fuerza Friccion - Empuje = 0Peso = Empuje - Fuerza friccionFuerza horizontal = 1000*1.2 *2.4 *3= 8640 kgFuerza Friccion = f.l *Fuerza horizontal = 0.15 *8640 = 1296kg

" d1Empuje= r V= 1000* --*3= 6786 kg8

Peso = 6786 -1296 = 5490 kg


ProblemaEl tanque de la figura tiene 3 metros de longitud y el fonda indicado tiene 2.5m de

ancho. l.Cual es la profundidad de mercurio que causa el momenta resultante en elpunto C debido al liquido de 14000kg-m en el sentido contrario a las manecillas delreloj?

MA =16200kg

-MA - 5125 *4.06 +2306.25 *2 = 0

x = 3a = 3*2.5 =0.94mcg 8 8

X = 5 - 0.94 = 4.06mala izquierda del punto A

+tLMA=O

FH =r hegA=1025 ~~ *1.5m*(3;1)=2306.25kg

2 2Y =-h=-*3=2m

cp 3 3. 2Area parabola = - *(2.5) (3) = 5m 2

3

Pesoagua(WA)=Y *V=y *A*L=1025 kg *5m2 *lm=5125kgm2

El peso especificodel agua del mar es 1025kg/m',


49

ProblemaLa compuerta de la figura tiene 6 m de longitud l.Quevalores tienen las reacciones

en el eje 0 debidas a la accion del agua? Comprobar que el par respecto de 0 es nulo.

h=0.63m

hbrazo=-

3+t:EMc=O

11691*1.09 + 4069.0.72 - 20400 h 2 * h = 140003

b 2.17brazo=-=--=O.72m3 3

Empuje = Presion *Area = r h* altura * longitud

Empuje=13600 k~*h(m)*.!:(m)*3m=20400h2 kgm 2

b 2.17 09razo=--=1. m2

Peso triangulo = 1000 k~ * 2.17 *1.25 m 2 *3m = 4069 kgm 2

a = 2.5 Sen 30° = 1.25 m

Cos 30° =~2.5

b = 2.5 Cos 30° = 2.17 m. kgArea rectangulo (WI) = 1000-3 * 2.17 m * 1.8m *3 m = 11691 kg

m

os de au or

so

Y =4,7 Sen 300=2,35mX =4,7 Cos 300= 4,07 m

ProblemaUna placa plana con un eje de giro en C tiene una forma exterior dada por la

siguiente ecuaci6n x2 +O,5y= 1~Cuales la fuerza del aceite sobre la placa y cual es elmomento respecto a C debido a la acci6n del agua?

, a tr 2Area del sector circular = - * - * (3) = 5.55m 2

2 180Fv =y V=a *A*L=I000kg*5,55m1 *6m=33300kg

Cosa = (~)=70032'

a/2=35° 16'

b=.J32 _12 =2,83m

Area = h *L=2*6 =12m2

F. =yhc, A=IOOO!~*(%)m*12m1 = 12000kg


ProblemaLa compuerta ABC de forma parab61ica puede girar alrededor deA y esta sometida

ala accion de un aceite de peso especifico 800 kg/m'. Si el centro de gravedad de lacompuerta esta en B l.Que peso debe tener la compuerta por metro de longitud (perpendicular al dibujo) para que este en equilibrio? EI vertice de la parabola esA.

Me=5735 kg -m

- 4700 *0.22 - 4782.25*0.983+Me =0

EmpujeAceite=y v =r hA=800 k~ *2.35m*(2*I)m2=3760kgm

EmpujeAgua = 1000 k~ *2.35 m * (2 * I) m2 = 4700 kgm

PesoAgua = 1000 :~ *( 4.07 ;2.35) m2 * lrn = 4782.25kg

Brazo del empuje = ~ = 2.35 = 0.78 m3

brazo., =1.0m - 0.78m =0.22m- 4.07brazo del peso =y =-- =1.36m

3brazo., = 2.34 -1.36 = 0.983m

+trMe=O


S2

ProblemaLa compuerta autornatica ABC pesa 3300 kg/m de longitud y su centro de grave

dad esta situado a 180 em a la dereeha del eje de giro A /.,seabrira la eompuerta conla profundidad que se muestra en la figura?

WB = 576kglm

-0.45WB +960*0.36-192*0.45=0

- - -x*WB +y*EH -Ey *x=O

Ernpuje., =800 k~ = 0.6*1.2 *1(m3)=192kgm 2

+t:EMa=O

a 4- 3a 3x = - = - *0.6 = 0.45 m

4 4- 3h 3y = - = - *1.2 = 0.36m

10 10

Empuje., = 800 kg *1.2 m *1*1 (m") = 960 kgm

x 3.

53

+tl.:Ma=OMa -W .1.8+3240.0.6=0Ma =3240.0.6+ W .1.8=-1944 kg- m + 5940kg- m

Ma = 3996 kg - 'im de longitud

La compuerta si se abre.

Empujedel agua = 1.8r .1.8.1 = 3240 kg

brazo del empuje = ~ = 0.6 m a partir de 1abase3

Peso Compuerta = 3300 kgm

Malerial prolegido por derechos de aulorss

Empuje =Peso liquido desplazado11 kg. = 1000 kg/m' x VVolumen = 1.1 X 10.2m'

PV= II kg.

Dr = 30 kg.llkg

Dr= 2.73

19- 30 + PV= 0

Dr= P_es_o_o_b~~e_to_Peso de un volumen agua1:fy=O

ProblemaUn objeto pesa 30 kg. en el aire y 19 kg. en eI agua; determinar su volumen y su

densidad relativa,

Para que un cuerpo sumergido tenga estabilidad. EI centro de gravedad del mismodebe estardirectamente debajo del centro del empuje 0centro de gravedad delliquido desplazado. Cuando los dos puntos coinciden, el cuerpo se encuentra en un equihbrio neutro.

En la estabilidad de cilindros y esferas flotantes el centro de gravedad del cuerpodebe estar por debajo del centro de empuje.

En otros cuerpos flotantes como en el caso de embarcaciones la estabilidad depende de la capacidad de la nave para mantener alineado el centro de gravedad y el centrodeempuje.

EsTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTE8

EMPUJE Y FLOTACION

CAPITuLO IV

Material proteqido por derechos de autorS6

55 Kg-9.11 kg+PV=OP. V= 3.61 kgLFy=OT-9.11 kg.+4.21 kg= OT=4.89kg

ProblemaUn eubo de aluminio de 15 em. De arista pesa 5.5 kg sumergido en agua.l,Qu6 peso

aparente tendril al sumergirlo en un liquido de densidad relative = 1.2S?I: Fy =0W=(O.ISm») x 2700 kg/m'W=9.11kgP. V =V x rP. V=3.37 x 10-3x 1,25P. V = 4.21 kg

I:Fy=O10.60 kg. - 38.17 kg. + T=OT(AC)= 27.57 kg.

PV(lI2O)=14.14 kg. PV(AC)=10.60 kg.PV=750· 0.01PV=I000· 0.01V=4/3 x 1t x rl

V=O.OI m!

W(ESF)=2700 kg/m' x 0.01 m)W = 38.17 kgI:Fy=O14.14 kg. - 38.17 kg. +T=OT(HlO)= 24.03 kg.

ProblemaSi el peso especifico del aluminio es 2700 kg/m', l,Cuanto pesara una esfera de 30

em de diametro sumergida en agua? Cuanto si esta sumergido en un aceite de densidadrelativa (Or = 0.750)?

ProblemaUn euerpo pesa 30 kg en el aire y 19 kg sumergido en un aeeite con una densidad

relativa (Dr) igual 0.750, determinar su volumen y densidad relativa.Lfy=O-30 + 19 + PV = 0PV= 11 kg.II kg=750kgim3xVV =0.0147 m'

Dr= 30kg11.025 kg

Or = 2.72

.- - -----_._--------------


60

ProblemaUn globo vacio y su equipo pesa 50 kg, al intlarlo con un gas de peso especifico

0.553 kg/m', el globo adopta esfera de 6m de diametro.l,Cual es la maxima carga quepuede elevar el globo si el W = 1.230 kg/m' del aire?

ProblemaUn iceberg de peso especifico 912 kg/m' tlota en el oceano (1025kg/m') emergien-

do del agua unvolumen de 600m).lCuaJ es el volumen total del iceberg?W=VxyW = 600m3 x 912 kglm'W=547200kgP * V = 1025 kg/m' x VLFy=OPV - W + 547200 kg = 0PV = V x 912 + 5472001025xV = V x 912 + 547200V(1025 - 912) = 547000V(ll3)= 547200V=4842.5 mlVT = 600 ml+ 4842.5 m'VT = 5442.5 mJ

ProblemaUna esfera de 120cm de diametro flota en agua salada (W =1025 kg/m'), la mitad

de ella sumergida.lQue peso minimo de cemento (W = 2400 kg/m'), utilizado comoanclaje, sera necesario para sumergir completamente la esfera?

P * V = 1025 Kg/m' x 0.45P * V = 462,7 kgP * V =W (.. fen)LFy=O927.4 + 025V = 463.7 + 2400 V1375V=463.7V = 0.337 m)W=VxyW = 0.337 mlx 2400 kg/m'W=810kg


ProblemaUn recipiente parcialmente lJenode agua esta sometido horizontalmente a una ace

leraci6n constante. La inclinacion de la superficie libre es de 300.i.,Aque aceleracionesta sometido el recipiente?

En algunas situaciones un fluido puede estar sometido a una aceleraci6n constante,es decir sin movimiento relativo entre sus partlculas, como en algunos casos cuandoesta expuesto a movimientos de traslacion y rotaci6n.

Cuando esto sucede especificamente en el caso de movimientos horizontales, lasuperficie !ibredelliquido adopta una posicion inclinaday en este caso lapendiente dela superficie libre se determina con la relacion entre la aceleraci6n lineal del recipientey la aceleracion de la gravedad.

Cuando el movimiento es vertical, se producen variaciones dentro del volumen delliquido,de tal formaque lapresi6n en cualquier puntodelmismo, se determinaconsiderando el producto de la presion hidrostatica por la relaci6n entre la aceleracion delrecipiente y la aceleracion de la gravedad, incrementada 0 disminuida en una unidad,dependiendo si la aceleracion se produce en sentido ascendente 0 descendente.

Cuando una masa de un fluido rota en un recipiente abierto, la forma de la superficie !ibre del liquido, que gira con el recipiente que 10contiene, adopta la forma de unparalelepipedo de revolucion,de tal manera que cualquier planovertical que pasa por eleje de revoluci6n corta a la superficie libre segun una parabola.

En los recipientes cerrados como lasbombas y las turbinas, 1arotaci6n de una masade un fluido, genera un incremento en la presion entre un punto situado en el eje y otroa una distancia x del eje, en el plano horizontal.

TRASLACION Y ROTACION DE MASAS LfQUIDAS

CAPITULO V


66

ProblemaUn deposito abierto de 9 m de longitud, 1.20m de ancbo y 1.20m de profundidad

esta lIeno con 1.00m de aceite de densidad relativa de 0.822, se acelera en la direcci6nde su longitud uniformemente desde el reposo basta una velocidad de 14mls.loCUliIesel intervalo de tiempominima para acelerar el deposito basta dicha velocidad sin que sederrame elliquido?

~v va). a=-=

~t t

Tan. 8=~ = ~ = 0.2:. t = v(4.5) = (14)(45)g gt 4.5 g(0.2) (9.8)(0.2)

t=32.1 s

d = 0.9 - Y = 0.9 - 0.9 Tan 17.18° = 0.62ma). 1.8 - 0.62 = 1.18 m.

b). PAD = rhcgA = lOOOC·~8}1.18X1.8)=1253kg

ProblemaUn dep6sito abierto de seccion euadrada de 1.80m de lado, pesa 350 kg y contiene

90 em de agua. Esta sometido a la accion de una fuerza no equilibrada de 1060 kg,paralela a uno de los lados. i.Cual debe ser la altura de las paredes del dep6sito paraque no se derrame el agua? loQu6valor tiene la fuerza que aetna sobre la pared dondela profundidad es mayor?

F=m.a

a = F = 1060 = 3.03~m 350 S2

3.03m12Tan() = Is ()=17.18°

m9.8-2s

Despejando la formula:

Tangente 30° x 9.81 mls 2 = 5.66 mls 2

'T' () Aceleraci6n lineal del recipiente, m/ s 2t.angente. =----------=---_.:_--'-::--

Aceleracion de la gravedad, m/ S2


67

ProblemaUn deposito abierto que contiene agua, esta sometido a una aceleracion de 4.90 mI

S2 bacia abajo sobre un plano incJinado 15'. "Cual es el angulo de inclinaci6n de lasuperficie libre?

a = 5.88 mJg2

Problemai.,A que aceleracion debe someterse el deposito del problema anterior para que sea

nula la profundidad en la arista anterior?

TaniJ =~ = !!..3 g

a= ~g =~(9.8)3 3

1..5[~(3)(1.5-1.2)] = O.675m3

es:Como la profundidad aumenta en 1.95 - 1.8= 0.15 entonces el volumen derramado

La diferencia de niveles entre los extremos de la superficie =3 Tan.B,es decir que3(0.5)=1.5 m.

Por 10 tanto Y =~ =O.75m2

d = 1.2 - Y= 1.2- 0.75 = 0.45 m.

ProblemaUn deposito rectangular abierto de 1.50m de ancho, 3.0 m de longitud y 1.80m de

profundidad, que contiene 1.20 m de agua, se acelera horizontalmente, paralelo a sulongitud a 4.90 rn/s2• "Que volumen de agua se derrama?

Tan.(J=~= 4.9 =0.5g 9.8


68

ProblemaUna fuerza vertical no equilibrada y dirigida bacia arriba demodulo 30 kg, acelera

un volumen de 45 litros de agua. Si el agua ocupa una profundidad de 90 em en undeposito cilindrieo, cual es la fuerza que acnia sobre el fondo del deposito?

EI peso del agua es W =V g = (4.5 x JO.3m3)IOOOkg/m'W =45 kg

ProblemaSi en el problema 7 la aeeleraci6n es de -2.45 mls1. l,Cual es la presi6n a una

profundidad de 180em?

P = r h(I-!:); P = 762kg/m3x1.8-(1- 2.45ml S2) = 1029kgl m2g "\ 9.8ml S2

p= r h(l± ;)p =762 k~ XI.8m(l+ 2.45m/s2) = 1715kg/m2

m 9.8m SS

ProblemaUn recipiente que contiene aceite de densidad relativa 0.762 semueve verticalmen

te hacia arriba con una aceleraci6n de+2.45 mlsl. l,Quepresion existe en una profundidad de 180 em?

8=29.019°

Cot. e=-Tan. a + g hacia abajoax Cos.a

e = 23.15°e=Arc. Tan. 0.427624

Cot.e = tan.a + g hacia arribaax cosa

cot.e = Tan 15° + 9.8 = 0.2679 + 2.07 =2.33854.9 Cos.15°

_I _ = 2.3385; Tan.e = I =0.42762Tan.e 2.3385


69

A = 1r(~)2

A=~D24

W =60 rpm

W = 60 21rrad = 21rrad60seg s2 2

Y = ~x2 = (21r) (6.0x10 -2)2 = 0.725 m29 2(9.8)

ProblemaUn deposito abierto cilindrico de 120 em de diametro y 180em de profundidad se

llena de agua y se Ie haee girar a 60 rpm. l.Que volumen de liquido se derrama y cuales la profundidad en el eje?

Area del fondo del cilindro =A = ruJ

F' = 75 kg

La fuerza es F' = PA

F' =Wh (1+ ;)AF' = lOOO(90xl0-Z)(1 + 6.53)co.05ml)

9.8

WF=-a

g

30Kg = 45kg a9.8ml S2

a=6.53ml SlV=Ah45 x to·3m3=A (90 x lO-2m)A=0.05 m2

Para el movimiento vertiealla presion en el fondo es:


70

D 60cm.X = - = -- = 30cm = 0.3m2 2

P=WW2 X22g

P = 1000 (40n y (0.3)2 = 7.25 k / cm2104 2(9.8) g

ProblemaUn recipiente cerrado, de 60 em de diametro esta totalmente Ileno de agua. Si el

recipiente esta girando a 1200 rpm, l,que incremento sufrinlla presion en la eircunferencia de la parte superior del deposito?

2nrad radW = 1200rpm= 1200-- = 40n-60s s

W =9.899rads

W = 9.90 rads

y= 1.8= W2 X22g

1.8=~(0.6)22(9.8)

Problemai.A que velocidad debe girar el deposito del problema 10 para que en el centro del

fondo del deposito la profundidad del agua sea nula? EI origen S ahora coincide con elpunto C, entonces:

Por 10tanto, S esta a 1.8 m - 0.725m = 1.0748 mEI volumen delliquido derramado es:

~[: D2Y] =~l:(1.2Y(0.725)J = 0.4100m3


71

ProblemaUn tubo de 2m de longitud y 5 em de diametro tiene sus extremos eerrados y esta

lleno de agua a una presion de 0.88 kg/ern', Situado en posicion horizontal se Ie haeegirar alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos a una velocidad de3 rad/s. l,Cual sera la presion en el extremo mas alejado del eje de giro?

2x9.8xO.48 = 15.65rad/s(0.4Y'(O.08)2

ProblemaUn tubo en U con codos en angulo recto tiene 32 cm. de anchura y contiene mercu

rio que asciende 24 em. en cada rama cuando el tubo esta en reposo. iA que velocidaddebe girar el tubo alrededor de un eje vertical que dista 8 em de uno de los brazos, paraque el tubo del brazo mas proximo al eje quede sin mercurio?

9.8Tan.400 = 9.068 rad0.1 s

Dividiendo (I) por (2)

XW2Tan0=--

g

W=~~Tan.o =

W =9.07rads

ProblemaUn recipiente abierto de 46 em de diametro y lIeno de agua esta girando alrededor

de su eje vertical a tal velocidad Que la superior del agua a 10 em del eje forma unangulo de 400con la horizontal. Calcular la veloeidad de rotacion.

De la segunda Ley de Newton F =m.aW

(I). Psen(J=gXW2

(2). Pcos(J= W


72

W =1500 rpm = 1500 28 rad SOn-rad60s s

y= (SO'l"Y x2 = (;01))(0.75)2 =708.1m29 2\9.8

p=~+WW1/2gXl

P =8800kg/ml + lOOO_QL_(2)2 = 10634.9kg/m12(9.8)

-----2m.

W=3rads'+'

I IIL..- --' 5 em.


73

EI estudio de la teoria adimensional permite aplicar resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas a situaciones de diferentes condiciones geometricas yen muchos casos con propiedades diferentes de los fluidos a las que se tuvieron en lascondiciones iniciales. De esta manera se pueden generalizar resultados experimentales, permitiendo describir y verificar fenomenos que de otra manera seria imposiblepredecir. Un ejemplo destacado de las muchas aplicaciones que perrnite la teoria, sonlos modelos fisicos que se pueden desarrollar sobre presas de almacenarniento deagua, para analizar las consecuencias geodinamicas, hidraulicas y estructurales queconlleva la construccion de una obra de ingenieria como esta. De esta manera sepueden conocer y predecir los posibles problemas que pueden generarse, adoptar oportunamente los correctivos necesarios, disminuyendo asi los riesgos de la construccion yminimizar los costos.

El estudio de la teoria adimensional, relaciona matematicamente las dimensiones demagnitudes fisicas fundamentales, de tal forma que se puedan establecer relacionespara la construccion de modelos fisicos que intenten representar fielmente el comportamiento de un prototipo, reproduciendo a escala, las caracteristicas geometricas y lasrestricciones de semejanza cinematica y dinamica.

De esta forma la teoria del analisis dimensional, establece semejanzas geometrieas,cinematicas y dinamicas entre dimensiones correspondientes, que reflejen adecuadamente los distintas variables en cada situacion en particular.

Igualmente permite establecer relaciones entre las fuerzas de inercia debidas a lapresion, las fuerzas viscosas, las gravitatorias, las elasticas y las de tension superficial,deterrninando una serie de parametres adimensionales que describen el comportamientode los fluidos, como los numeros de Euler, Reynolds, Weber, Match y Froude.

ANAuSIS DIMENSIONAL Y SEME.JANZA HIDRAuLICA

CAP'TULO VI


74

IguaIando las ecuaeiones:a=1I=2b+c- 2 = - 2bb=11 =2+ce =-1

MLT·2= KMaV2br:MLl~K.m' (L1"'f'LcMLT2 = Kma Llb+cF ·211

ProblemaMediante los metodos del analisis dimensional probar que la fuerza centrifuga viene

dada por K.M.V2/r.Fe = ftMVlr) ::::)La fuerza eentrifuga (Fe) viene dada por ML1"2

Sustituyendo los valoresEe=KM(V1"2)Be =K M (L1"1)Be= KMV2

Igualando los exponentes de M, L, T,:a=1b= 2 Y-b = -2 donde b = 2

M' (LT··1)2= K M'V b

M' L 1"2,=K MaL b T ·b

ProblemaDemostrar mediante los metodos del analisis dimensional que la energia cinetica

(Be) de un euerpo es igual a K.M.V.Be a F(M.Y.)MV2=KMVdonde K es coefieiente adimensional, determinado general mente por experimentos,

o por experimentos fisieos.


ProblemaEstablecer la formula que da la distancia recorrida S por un cuerpo que cae libre

mente, suponiendo que dicha distancia depende de la velocidad inicialV,el tiempo T yla aceleracion de la gravedad g.

S = F (V.T.g) = K (V0, 1"', g")S = K (LI T"") (T") (LC T·2c)FOV r- = (L"1"") (T") (L< 1'20)l=a+co = - a + b -2c => 1 - c = a-I+c+b-2c = 0-1-c+b=Oc = b-II-(b-I)=a2 - b = a

a= 3/2

Q=KL H~g~

13-l--=a

2

ProblemaSuponiendo que el caudalQ sobre un vertedero rectangular varia directamente con

la longitud L, y es funcion de la altura de carga total Hyde la aceleracion de lagravedad g, establecer la formula del vertedero.

Q = LF (H", gb)L-r- = (L) (L')(Lb t .2b)

Para T: -I = - 2b

b=!2

Para L: 3 = 1+ a + b

1Se puede Ilamar a -como constante.

21rF=_!:_

21r

F=K~


81

ProblemaEImodelo de un aliviadero se construye a una escala 1:36.Si en el modelo la vela

cidad y caudal desaguado son respectivamente 0.40 m/seg, y 62 l/seg, Cuales son losvalores correspondientes en el prototipo?

Dividiendo por T,":

Tr2 'YrLr2 Lr2 P Er /F--2 = 2 =>comoVr2 =--2 entonces-' V; =>Vr2 =-:::> Vr= _'Tr ErTr - Tr Er 'Y t p ,

T = L,'n

Igualando las fuerzas obtenidas

T2 = 'Y,L~=>T = ~'Y,L/'E r Er r

ProblemaDemostrar que las relaciones de tiempos y velocidades cuando los efectospredomi

nantes son los elasticos, vienen dadas por:

V = ~ (J, respectivamente, L,p,T=~L~XP'

, (J,


Problemal.Que fuerza por metro de longitud se ejercera sobre un muro de contenci6n del

agua demar, si un modelo a escala I :36 de una longitud de 1m experimenta una fuerzade las olas de 12kg?

Fm 3-=WrLrFpdondeFm =Fuerza modeloFp = Fuerza prototipo

W =Peso especifico(k%3 )

V=7~2.5 =0.89 mlISS 75

ProblemaUn navio de superficie de ISS mde longitud ha demoverse a 7 mls.A que velocidad

ha de ensayarse un modelo geometricamente semejante de 2.50 m de longitud?

(k) NAVIO =(k)MODELO

7 o/s' V

.J9.8 x 155m .J9.8 x 2.5 m

Vi = 230rrs

30,0 rrs' x L Vits ~1.142X 10-6mX - 1.142xlO·6 m%

1.142XI0-6m2/[ 30,Ot% ]=VIIs 1488xlO's m21. Is


89

La hidrodinamica es el componente de la mecanica de los fluidos encargado delestudio de los fluidos en movimiento. El estudio del escurrimiento de los fluidos escomplejo y debido a que su descripcion no puede realizarse totalmente desde el puntode vista te6rico basado en el analisis matematico, hay necesidad de recurrir a la experirnentaci6n con el fin de poder describir de manera mas precisa su comportamiento.

El movimiento de un fluido puede ser descrito totalmente, cuando se conoce lavelocidad en el espacio de cada una de sus particulas en todo momento. Te6ricamentedesde el punto de vista matematico se han ideado dos procedimientos para explicar elcomportamiento de la velocidad de las particulas de un fluido en cada instante. Losmetodos usados se conocen con los nombres de Lagrange y de Euler, este ultimoconocido tambien con el nombre del Teorema del Transporte. EImetodo de Lagrange,intenta explicar el movimiento de una particula de fluido, estudiando las variaciones ensu trayectoria a 10 largo de una linea de corriente. Por el contrario el metodo de Euler,pretende conocerel comportamientodeuna region del flujode un fluidodescribiendoelcomportamiento de una parte de este a traves del tiempo, cuando atraviesa una zonapredeterminada conocida como un volumen de control.

Ambos metodos permiten formular una serie de expresiones matematicas, que explican el comportamiento de un fluido y las cuales para casos particulares pueden serapoyadas experimentalmente con factores de correccion, a tal punto que las aplicaciones de la mecanica de los fluidos en la hidraulica han llevado a esta Ultimaa ser conocida como la ciencia de los coeficientes.

Las ecuaciones deducidas a partir de los metodos expuestos son: la ecuaci6n de lacontinuidad, 1aecuacion de la energia, la ecuaci6n de la cantidad demovimiento linealy la ecuaci6n de la cantidad demovimiento angular.

FUNDAMENTOS DEL FLU.JO DE FLUIDOS

CAPITuLO VII


ProblemaCuantos kgls de anhidrido carbonico fluyen a traves de una tuberia de 15 em de

diametro si la presion manometrica es de 1,75 kg/em', la temperatura de 27°C y lavelocidad media de 2.50 mls?

ReempJazando 4x - 3x =x ~ 0EJ flujo no satisface Ja condicion de permanente e incomprensible.

b). U=3X2+2y2v=-3xydu-=3xdxdv-=-3xdy

du + du =0dx dy

Reemplazando 3y2+ 2 - 2 - 3y2= 0EI flujo es permanente e incompresibJe.

Flujo pennanente e incomprensible

a). u =3xy2 +2x+y2v=x2 _2y_yl

du 2dx =3y +2

dv 2- =-23-3ydy

du+du=odx dy


ProblemaSi 10 que fluye en el problema 13) es tetracloruro de carbono (densidad relativa

1.594).Determinar Q.

V2 =27t%Q = V2A2 = 119.3Ys

2x9.81 x(1.4-4.2}104 2

v.2 = 752 = 729.5~2 (0.075)4 82-- -1

0.75

ProblemaSi en el problema anterior fluye un aceite de densidad relativa 0.752,calcular el

caudal.

V2 = 24.21mlsQ=AV

Q = 7r (0.075)2m2x24.21 ml4 /s

Q=107Ys

19.627s2 (-2.8x10 kg/em2 )

V22 = S 1000 kg/ cm3

(0.075)4-10.75

2x9 .81_1._4_.:kg=::,/_c_m_2_-_4~.2_k~~/,-c_m_2_xl 04 em2/ m2

v: = 2g(P2 -p.) => v.2 = 1000 kg/em

, (~:)'-1' (~i/~"J-1


ProblemaUn chorro de agua, de 7.5 em de diarnetro, descarga en la atmosfera a una veloci

dad de 24 mls. Calcular la potencia del chorro, en caballos de vapor, utilizando comoplano de referencia el horizontal que pasa por el eje del chorro.

h f = -33m - 36.50m+ 30m + 45.62m

b f = 75.62m-69.50m

hf=6.12m

P = 370kg/ x(IOOcm)2 = 3700kg/A 7cm lmt? 7m

ProblemaUna tuberia de 30 em de diametro transporta aceite de densidad relativa 0.811 a una

velocidad de 24 mls. En los puntos A y B las medidas de la presion y elevacion fueronrespectivamente, 3.70 kg/em' y 2.96 kg/em' y 30m y 33m Para un flujo permanente,determinar la perdida de carga entre A y B.

PA = _1.72 +52.5+ 6.792 = 54.7mr 2g 2g

kg/PA =54700 7m2

h = 54.700 - 52.500 = 0.I75m(13.570-1000)


lOS

ProblemaUn deposito cerrado de grandes dimensiones esta parcialmente lleno de agua y el

espacio superior con aire y presi6n. Una manguera de 5 em de diametro conectada aldeposito, desagua sobre la azotea de un edificio un caudal de 12Us.

Bernoulli entre (1) Y(2)

V2 V2VI = V2 ~ _I_ = _2_ (seccion constante)

2g 2g

P2 = PIJlJIIOSfirlcD = 023.5 = 1.8+hf ~ h, = 23.5-1.8 = 21.7 m

p. v? P V2ZI +_1 +_I_=Z +_2 +_2_+hr 2g 2 r 2g t

21 = o (N.R)

ProblemaCalcular la perdida de carga en una tuberia de 15 cm de diametro si es necesario

mantener una presion de kg/em' en un punto aguas arriba y situado 1.80m por debajode 1aseccion de 1atuberia por la que desagua la atmosfera 55 Us de agua.

V2;_3 =0.2m2g

P V2 P V22 +....L+_I =2 +_3 +_3 +h ,

I 'Y 2g 3 'Y 2g

V3=....9_= 0.035 = 1.98rrsA3 11" (O.l5Y s

40= 2.2m-3.2m +0.2m + h, ~ h, =0.80m


109

X=50600mLas bombas deben colocarse a 50600 m cada una.

296.9m+6.7m= 6X = 303.6mx1000 =X1000 6

5600kg/7m2 6m= - -g-2-5-k':""%-"m:O-3- + -100-0

hf~ X

245000k%2825k%3

h = 6mf 1000m

6m~IOOOm

PA = 24.50kg/ 2 ~P" =24.50kg/ 2 x ( Icm2y = 24.50 kg/ 21m 1m O.OIm 1m

P8 =-5600k_%22 2

PA VA P8 V8 ( )Z" +-+-=Z8 +-+-+hj A-Br 2g r 2gZ,,=Z8=0

VA = VB por tanto se cancelan

ProblemaUna tuberia horizontal de 60 em de diametro transporta 440 Us de un aceite de

densidad relativa 0.825. Las cuatrobombas instaladas a 10 largo de la linea son iguales,es decir, las presiones a la entrada y a la salida son respectivamente - 0.56 kg/cm2 y24.50 kg/cor. Si la perdida de carga, en las condiciones en que se desagua, es 6.00 mcada 1000 m de tuberia, iCon que separacion deben colocarse las bombas?

r . =825kg/_Ie 1m3

0= 1.5+ P + V2 + 1.5.!::Lr 2g 2g

P =-0.45kg/ 2r 7cm

( P V2) (P V2)Z +-+- = Z +-+- +hfr 2g 0;"'/ agua r 2go/to sifon


ProblemaSe esta ensayando una tuberia de 30 cm para evaluar las perdidas de carga. Cuando

el caudal de agua es 180Us, la presi6n en el punto A de la tuberia es de 2.80 kg/ern'.Entre el punto A y el punto B. aguas abajo y 3.0 m mas elevado queA, se conecta unmanometro diferencial. La lectura rnanometricaes de 1.0m, siendo elliquido mercurioe indicando mayor presion en A icual es la perdida de carga entre A y B?

Hs = IOS.17mP t = r aim x Q X HBo 7Sx 68

1.2kg/ 1 x19m,%' x 105.17mPt = 1m so 7Sx68Pot=48C.V

Q = 1140 ml x 1minmin 60s

Q=19m!sPo4=rb, =1000 k~ x(-0.05m)

m

PA =-SOk%2

PB=rb, =lOOOkYm2xO.07Sm

PB =7S%2

P V2 P. V2Zo4 +~+-A-+HB = Zs +_!!.+_s_

r 2g r 2g

Matenal proieqido por derechos de autor

117

Ps = hs + P, pero hs = h+1.2mr rPs =h+1.2+ P, =6.74+1.2+2.4r rP, = P- = 10.34m = 10336k,Ym,x ~,Ym = 10.336m de agua e 10.34romr r m lOoog)

m

; =O.24k%m2xl04cmlcm2x XOoo kYrnz =2.4m

h= Ps -1.2m- P, =I0.34m-1.2m-2.4m=6.74mr r

Aplicando Bernoulli entre B y 8 se tiene:

p. r: P V2hB +....!.+....L = h +_!_+_J_+hr 2g S r 2g f

hf = 0 (perdidas despreciables)hB = o (N.R)VB = V. (seccion constante)

I~.

rrobl~mlCon referencia a la figura siguiente la presion absoluta en el interior de la tuberia en

8 no debe ser inferior a 0.24 kg/em', Despreciando las perdidas. l,Hasta que alturasobre 1asuperficie libreA del agua puede elevarse 8?


121

a = 2(k+lY(k+2Y (,2 1 - I ),.2 • (3k+ I) (3k+4)

a=2(k+lY(k+2Y{( 1 )_( 1 ))3k+l 3k +46(k +1)3(k+2Ya = -,-'----'-:-'------''-,-(3k + ly(Sk + 4)

(k \) (k \) 3k+1 3kM2 +IJ +2J (3M)'. I,.a= , -------,2 • 3k + I ,lk 3k+4• •

ProblemaEncontrar el coeficiente de correcci6n de la energia cinetica (l para el problema

anterior.

k+2Jr. r r -k k: __ 1 Yk+2 lr. ~ Jr., hi k __ 1 s__000 y 'okk+2.1o 00 y 'o*k+2

-(i-I) (k+l)(-hi) JT r d ro'. 1~, • y Y~ ~--•• k+l k+l

(1 ,2)-- _ -. - remplazando

k+l k+2

V = 2VI'f8X (_1 1_) ~ V = 2V ((k +2)- (k +1))k+l k+2 I'f8X (k+lXk+2)

V =2V ( 1 )max (k+1Xk+2)


126

Problemal.Cual sera la caida de la altura de presion en 100 m de una tuberia nueva de fundi

cion, horizontal, de 10 cm de diametro que transporta un fuel-oil medio a 1()<>C,si lavelocidad es de 7.5 em/5?

0.892 ms

m2.D 44.6 x 10-6-x2000

V=~= sD O.1m

ProblemaCalcular 18 velocidad crftica (inferior) para una tuberia de 10 em que transporta un

fuel-oil pesado a 43 OC.

R. = VDlv

2000 x 0.8598 x 10.6 m2/V = R. x v = /s = 0.0172 m/ = 1.72 x 10.2 m/

D O.1m /s Is

x = V = 0.89598 x 10.6 mls

30 0.804

Por interpolacion

ProblemaCalcular la velocidad critica (inferior) para una tuberia de 10 em que transporta

agua a 27OC.Para que el f1ujo sea laminar, el maximo nlimero de Reynolds es (2000) de la tabla

2 del apendice de viscosidad cinematica a 27"Croc v.25 0.89727 X

ProblemaQue radio ha de tener una tuberia para que la tension cortante en la pared sea de

3.12 kg/m', cuando al filtrar agua a 10 largo de 100m de tuberia produce una perdida decarga de 6m?

rhL rT =-o 2L

r = To 2L = 3.12kg/m2 X 2 X 100m = O.I04m = 1O.40cmr hi 1000kg/ m3x6m


130

AplicandoBernoulli

PA VA2 IL V2 r. V/-+-+ZA - --=-+-+Zsr 2g d 2g r 2gL V2

(Z"-Zs)=IdIgL V2

0.16m=f--D 2g

ProblemaUn aceite de densidad relativa 0.802y viscosidad cinematica 1.86x 1~ m2/s fluye

desde el deposito B a traves de 300 m de tuberia nueva, siendo el caudal de 88Us.Laaltura disponible es de 16em, que tamafio de tuberia debera utilizarse?

o 08Sm3 /Q=V.A~V= Q =' Is = 0.1!2

A 1Z' (Dz) D4

Tuberia corriente de la tabla A-5V2

1000- (m) perdida de carga enm.2g

Z = 100(1.692)+0.06l256XI69)Z = 0.15 + 16.49= 16.63m2g '\015 2g

0+2+0-lOj1.69)-0.068 250 (1.69) =O+~+Ov\ 2g 0.15 2g 2g


134

ProblemaDesdeun depositoA, cuya superficie libre esta a una cota de 25 m, fluye agua bacia

otro deposito B, cuya superficie est! a una cota de 18m. Los dep6sitos estin conectados por una tuberia de 30 em de diametro y 30 m de longitud (f= 0.020) seguida porotros 30m de tuberia de 15em (f=0.015). Existen dos codos de 900en cada tuberla (K=0.50 para cada uno de ellos), K para la contracci6n es igual a 0,75 y la tuberla de 30em es entrante en el deposito A. Si la cota de la contracci6n brusca es de 16 m,determinar la altura de presion en la tuberia de 30 y 15 em en el cambio de secci6n.

Diagrama A _I ~ f = 0.02 V = 1059x 0.6x 19.62= V = 2.28'is0.02x1.200 s

E =0.0008D

Q = VxA = 2.28 x 7r X (0.6)2 = 0.65m) /4 Is

Re = 2.61x lOs

E = 0.048 = 0.0008D 60

DV 06mxl.44~Re = - = ~ = z.sieio'

U 3.3IxI0-6 ~S

V=l.44~/=0.05


138

Luego

1 1PA VA PB VB h ( )

Z A +r + 2g = ZB +r + 2g + I A - B

Z" = 0 se encuentra en el nivel de referencia (N.R.).V" =VB permanecer constantes el caudal y el diametro de la tuberia

ProblemaCuando circulan 40Usde un fuel-oil medio a 15"CentreA y B a traves de 1000m

de una tuberia nueva de fundici6n de 15cm de diametro, la perdida de carga es de 40em Las secciones A y B tienen cotas de 0,0m y 18,0Ill. respectivamente, siendo 1apresi6n en B de 3.50kglcm2.l.Que presiondebe mantenerse enApara que tenga lugarel caudal establecido?

De tablas se obtiene la densidad relativa del Fuel-oil medio a 15"C.Es de 0.857,luego r=857kglrol

27.74m = 27.80m

En el grafico f=0.042L V2 L V

hi = f d 2g = f 4R 2g

h = 0.042x 100mx (3.6m/ s )2I O.lm 19.62m/s2

o 01Sm3/V =' /s =o.oisw' /

0.05mxO.lm IsVDRe=-=u

R = A = 0.05 x 0.10 0.025m.P 2(0.05)+0.104V 4 x 3.6mls xO.025 m

Re=--R = 7s =3.18xl05U 1.132X 10-6MIs = 318021.20

E = 0,025cm = 0.025D 4(7.5)m


142

ProblemaSi la bomba B de la figura transfiere aI fluido 70 CV cuando el caudal de agua es de

220 Us. ;,A que elevaci6n puede situarse el dep6sito D1

E = 0.00&-4 f calculado= 0.020SdiferenteaI f supuestoD7.5 = (S43.66XO.02S)V; + (10.19)(0.205) V; + 1.30Vi + 0.03V; + O.ISV;

7.5= 11.l4Vi +0.20V; + 1.30Vi +0.03vi +O.ISV; = 12.S2V; -4 V, = 0.77m1s

E = O.OOS-4f calculado= 0.020SsemejanteaI fsupuestoD

Q=V2Al :::>Q=<O.77{ 1Er(0~IS)')=0.0136mls

V =D:V = (0.J5y zO.77=3.0Sm/, D, ' (0.075)2 7s

Q" ViA, = (3.0S{ RX(0.~75)2) =0.0136 mX =0.0136 mX x IO:~ts. - Q = 13.6Ys

Reemplazando

7.S = (S43.66)(0.021)Vi + (10.19)(0.021)Vi +1.30Vi +0.03vi +O.1svi7.S =11.41Vi +0.21Vi +1.30Vi +0.03Vi +O.1svi = 13.1vi => VI= 0.76m1s

Re =VIDz = Re = (0.76)(0.1S) = 16S842.3 == 1.7xlO$V 0.6874xl0-6

7.5 = 16~ .!:..L V/ + f .!:.L V2' + 32K V12+ K V11, D, 2g , D, 2g 1 2g 3 2g

SO V2 30 V' V2 V2 .J27.5 = 16/,--x-'-+ 12--x-l-+32x(0.&0)-2-+0.6-'-+3--

0.075 19.63 0.15 19.62 19.62 19.62 19.627.5 = 643.66 f,V,' + 10.19 X f,V,' + 1.30 V,' + 0.03 r: + 0.15 V1'-4 f. ~I, ~I -4 suponiendo un f = 0.020Reemplazo : -4 V = 0.597 mls

Re = V,D = (0.597). (0.15) = 130333 .&-4 Re ~ 1.3xI0-5V 0.6S74xl0-6

E 0.012- = -- = O.OOOSen Moody -4 f_ = 0.021 diferente aI supuestoD IScm


147

ProblemaA traves de una tuberia de 5 em de diametro circulan 68 kg/s de aire a la tempera

tura eonstante de 2O"C.La tuberia es usada y el material de fundiei6n. En la secci6n Ala presion absoluta es de 3.80 kg/em', ~CuMsera la presion absoluta 150m aguas abajode A si la tuberia es horizontal? Utilizar e = 0.0249 em.

Nivel del tanque F = 99 - 9 = 90m

La cota de la superfieie libre mantenida en el dep6sito F.

L V2 600 (2.97YhF = / -- = 0.020x-x = 4.0m

D 2g 0.6 19.62

V = ~9DX2g = 9xO.6xI9.62 = 2.97m/jL 0.02x600 / s

Q = VA= 2.97 x JT(0.6Y= 0.840 m3 /4 /s

PbomlxJ = QxyxH = 952Cv75

PTIIrbIna = Q x y x B = 67.7 Cu75

L V229 + 85 - f - - - 6 = 99m

D 2gL V2

9=/--D2g

h£ + P£ = 9.9m.r

p.hs +zs. = 29 m.r

Ps V/ L V2 P£ V/hs +- +- +85 - / - - - 6 = h£+- +-Y 2g D 2g Y 2g


ProblemaDeterminar el caudal en una tuberia de 30 em de diametro si la ecuacion de la

distribuei6n de velocidades es v2::70(y-y2), con el origen de distancias en la pared de latuberia.

Q = 1r J70 J~{Sr3 _16r4,-s dr.

En esta ecuaci6n despejando la velocidad media se obtiene la expresi6n en funei6nde las perdidas de carga.

h = 32 VL v ::::> V = h L D2 g"'1. D2g 32vL

32uLYD2g

64vLy2h =_:_..:..::::.._L VD D2g

64 Ly2 VhL = RE D2g SabiendoqueRE = V.D porlacualsereemplazaestevalor

Reemplazando en esta ecuaci6n el valor de f :h =f Ly2L D2g

ProblemaPara el tlujo laminar en tuberias f = 64~. Mediante esta informacion desarroUar

una expresi6n de la velocidad media en funcion de la perdida de carga, diametro y otrasmagnitudes oportunas.

En tuberias y conduetos, las perdidas de carga en longitud de tuberia se obtienenmediante la ecuacion de Darcy - Weisbach.


Suponer un f =0.02

0.02 (VI' 600 + (VI (0.4)' /(0.3)2 f3000 + (v,(O.4y /(0.2Y)SOO 2 = 602 x 9.81 0.4 0.3 0.2

ProblemaLa tuberia eompuesta (sistema de tuberias en serie) ABCD estA eonstituida por

6000 m de tuberia de 40 em, 3000 m de 30 em y 1500 m de 20 em (C,=I00): a).Caleular el caudal euando la perdida de earga entre A y B es de 60 m. b). Que diametroha de tener una tuberia de 1500 m de longitud, eolocada en paralelo eon la existente de20 em. y con nudes en C y D, para que la nueva secei6n C-D sea equivalente a laseccionABC (utilizarC, =1(0), e). Si entre los puntos C Y D sepone en paralelo con latuberia de 20 em otra de 30 em. y 2400 m de longitud. Cual sera la perdida de eargatotal entre A y Dpara Q=80 Us?

fa (v;b..+ V.dI2)2 L2+(VldI2 Id:)2 =6029 d. d2 d)

De la tabla 6 del Apendice: CI = 130

Q = AV = ±1r(0,5)2 [0.8494 -130(0.125) 0.63(O.OOI)O'S. ]= 0.14033 mis = 140.33 YsPor la formula de Hazen - Williams: V = 0.8494 CI RO.63 SOS4

Para la tuberia de 40 em. = 0.14033= ±1r(0.4)2 ~.8494 xl30 (0.~)0.63 So.s. ]

0.$4 = 0,14033 S = 2.96x10 .) x 1000 = 2 96 m/S 3.2523 1000 ' /1000 mPerdida de earga = 2.96 mllOOO m.

R = 50cm~ = 12.5 em. =0.125 mR=Y.

ProblemaQue ptrdida de carga producira en una tuberia nueva de fundici6n de 40 em un

caudal que, en una tuberia de fundici6n de 50 em, tambien nueva, da lugar a una caidade la linea de alturas piezometricas de 1.0 mil 000 m?

S=~ S=I.0o/.000m

Matenal proieqido por derechos de autor163

Son las perdidas producidas en el tramo BCSe suponen unas perdidas para las tuberias en paralelo de 20 m,

S =~=>S = 13.3IS 1500 IS 1000

Del diagrama B (QIS)IOO =18.0Ys

S =~=> S =_!!:!_=> (Q ) = 34L/20 1800 20 1000 20 100 7 s

Como la tuberia en paralelo elQT= QI + Q2QT= 18.0+34.0=52.0Us.

S2 ~100%=>18~34.62%y34~65.38%

De la tabla B, se obtiene una perdida en funci6n del caudal y del diametro:S= 13.2mil000m

~=> h = 13.2 *1200S=L r 1000

h, = 15.84m

H =90m-3m=87mB

p = rHQs =>Q= 75*100 =>Q=0.0862m31(CY) 7.5 1000*87 IsQ=86.21Ys

Matenal proieqroo por derecnos de autor169

del diagrama BS=7.3m/ - 6.57/

/IOOOm - /900m

del diagrama Bs= 18m/ =21,6/

71000m /1200m

L =900m

D = 60cm

C1 = 100hf(2-3)=?

L= 1200m

D=50cm

C, =100

Suponiendo Q=500 LIs.

hr(i- 2) =21.6m

I). QI-2 =Q2-3 =Q3-42). Q2.3 = Q e-c +Q owe3). br(i-4)=9m4). br(i- 4) = br(i- 2) + hr{2 - 3) + hr{3 - 4)

hfTOTAL =31.0-21.0m=9mlhfC1-4)Jentre los tramos 2 - 3 del sistema en paralelohr(2-3) = hf(B- C) = hfCBWC)

Asu vezhrCBWC) = hf(BW) fhfCW - C) [porser BW y W-C tuberiasen serie]

Q8WC = QBW = Qwe (por ser tuberias en serie]

£1)0.0 ..

ProblemaDetenninar el caudal que circula a traves de cada una de las tuberias del sistema

mostrado en la siguiente figura.

Matenal protegldo par der echos de autor

178

Con este calculo la altura piezometrica del punto C es de 34 metros.Ahora:

EI caudal que pasa por C es igual al caudal total que sale de A. for ello:

QD = Qc -Qs Qs = 295Ys

QD = 85Yseg Qc = 380Ys

QDe.= 100 = 85 xC~~)= 106.37{ ~ s = 6'YtOOOm~ HL = 27m

ProblemaEI caudal total que sale de A, es de 380 Us. Y el caudal que Uegaa B es de 295 U

s. Determinar: a). la elevaci6n de B y b). la longitud de la tuberia de 60 em,

Con la tabla BQ =54L/ spero para C.=IOO, para C.=120, QRS=64.8 LIsEntre los puntos T y S ademas de la perdida de carga normal hay otra de 3m por

efecto de la valvula Z. Hay que anotar 10siguiente, con las alturas piezometricas obtenidas se puede deducir que el tanque T abastece de agua tanto a la bomba como aldepositoR,por ello haciendo un balance en S, el caudal que sale por el tramo TS es QTs= 360+64.8 = 424.8 LIs.

EI dato de caudal obtenido es con C.=120, se pasa a C.=lOO.QTS=354LI $, coneste dato y el diametro se lee en la tabla B y S60=4.5m11000m, y la caida es:

4,5 (::) +30 = 13.8m. entonces la altura a la que se encuentra el tanque T es

By = 13.4m + 27.2 m.


30858

600.00

231.42

QOado

HL(m)1.350.972.32

5143

100%

38.57

%Q

Smll000m1.310.54

184

Altura piezometrica en A = 30 +XHL= 30 + X-51 m. -~ X =H, + 2L

HL=por el tramo (I):

28000k%zAltura piezometrica en D = 23 + k%m = 51m

1000 g 3m .

420

258

Q (diag. B)

162S~ = 3:00 = 1.67 o/toOOmS$(, = 2:31 = 2.12 o/toOOm

Q=600UsSuponiendo H =6 m

D(cm)5160

Caudal150150

TrarnoACCD

L(m)1031.251800.002831.25

S = 2.32 = 0.82 m/l000m => Diagrama B D = 55 em2831.25 /11

Suponiendo un caudal Q = 150 Us en el total de longitud de la tuberia.

D =5Icm.

C DAJ 03 J 25m - 5 I em • J 800 m - 60 em ••

Suponiendo H= 8m

S = 1Ji'500 = 5.33'YI'000~5cm Q, = 234 Us

Q=379.20Us

S = [%300 = 2,42'YI'000j44cm Q = 145.2 Us

s, = ~ 031,25 = 7.73 'YI'OOOm => Diagrama B

Q = 379.20 Lis


Q=CA~2gH

0.025 = c( Jr(0.~75)2 )~2g x 4.31 ~ C = 0.61

C=CvxCc0.61 = 0.987 x Co ~ Cc = 0.618

Aplieando ecuacion de Bernoulli

7.35_[_1 __ 1](9.592)= (9.59)2 + 2040CV2 2g 2g 800

-4.68CV2 = -4.8 = 4.68 +2.55 - 7.35

- 4.628= 4.68 ~ C; 2 = 0.975 ~ C, = 0.987CV

Vch = 0.025 9 59 mlJr(O.0576)2 =. Is

4

ProblemaA traves de un orifieio de 7.5 em de diametro circula, desde un dep6sito eerrado,

aceite de densidad relativa 0.800 a razon de 0.025 mJ/s. EI diametro del ehorro es 5.76em. EInivel del aceite es 7.35 m por eneima del orifieio y la presion de aire es equivalente a -IS em de mercurio. Deterrninar los tres coefieientes del orificio.

H = 33.35 =1.7m2g

Q = CA~2gH = 0.6(4.9xl0·4 )J2g(1.7) = 0.0017mX

(5.66)2 = 2 H0.98 g

C =0.60C=CvxCcA = 7rl)2 = 4.9 X 10.4 m4

Velocidad Real = Cv~2gH

X2 = 2V2 y V2 = (2.457Y x 9.81 V 0:: 5.66 mlsg 2(0.924) / s


200

f3 = 7.5 = 0.515

del diagrama D de boquilla de aforo se eneuentra el valor de C = 0.988

A, - mi2 _ 1Z'(0.15)2 -1 767 10.2rea--- -.. m4 4

Q 0.045misVelocidad= - = s = 2.5467 m/A 1.767.10·2m 7s

Reynolds = V.O = 2.5467s• (0.15m)P 0.859.10.0 %

Re « 444.709 Flujo totalmente turbulento

Q = A.C·

ProblemaCircula agua por una tuberla de IS em en la que se ha instalado una boquilla de aforo

a 27°C a raz6n de 0.045 ml/s. l.CuAlsera la difereneia de lecturas en el man6metrodifereneial? (Emplear Diagrama 0).

PtJ.-Pa

PtJ.-PB = h YI+~ -h YI-~ _~I +h IY2

P -P, =hy _pItJ. B I C

P:= h I Y 2+~ ::::)PI= P~- hI Y 2

P.3=hYI +~+~I-hIY2

PtJ.=hy,+~

PB=h Y +~+~'-hyI 2,


ProblemaUn vertedero con contracciones de 1.2 m de largo esta situado en un canal rectan

gular de 2.7 m de ancho. La altura de la cresta del vertedero es 1.10 m y la altura de lacarga 37.5 em, Detenninar el caudal, empleando m = 1.87.

Q=CHn

Q =m (b-~H)H75 = 1.87(1.2 m -~0.275)*0.375.% = 0.483m3 1s10 10

La formula para Q empleada es para vertederos con contraccionesLv.= 1.2mAe = 2.7 m; he = 1.10 m

H = (12.20 ~egf +0.60 = 8.19m.2x9.8 nV 2

/ seg~---

YT =~2 * s:H = ~2 *9.81*8.19 = 12.68m/s

12.20mlcy= Is =0.96

12.68,%

Q 0035misVreal =--!!!!L= 3 2 =12.2mls

Acltono 2.87 x 10' m

_ 71"(0075)2Acltono = Cc X Aorificio - 0.65 x = 2.87 X 10') m.'

4

m de largo y 0.80 m de alto, se instala en un canal rectangular. La perdida de carga atraves del orificio es de 0.60 myel Cc = 0.65.

Determinar:La altura de carga a la cual asciende el agua en el dep6sito.El coeficiente de velocidad para el orificio.

Q=mbH_%

Q = 1.84 x 0.60 m x (OJO)~ = 0.035 mX

Cc = AChom>

Aoriftcio


ProblemaUn orificio de 15cm de diametro evacua 0.34ml/s de agua bajo una altura de carga

de 44m. Este caudal pasa a un canal rectangular de 3.6 m de ancho alcanzando unaaltura de 0.9 my de ahi a un vertedero con contracciones. La altura de carga sobre elvertedero es 0.3 m.l.Cual es la longitud del vertedero y el coeficiente del orificio?

F6nnula simplificadade Francis.Velocidad es despreciable

EI espacio es funci6n de V. y t. Luego

~

p 2Jh1X = 2Ag + 2g ...!>.. + V}.. r;;::-'Y c.._,2g

X = 1r-~-7.-066-S-+-2-g-::P,-"-. 2.JhV 'Y c.J19.62Ir-------p,,- h 0,5 /

X = 2,,47.066S + 2g -:y. /4.429C

Qdt= -Ardh

C Ao~2gh dt = ATdh1(T2

C1(T2 J2'idt= -.;-dh(h)72

c../2i dt=h-~dhc../2i Jdt = Jh-~dh

c../2i t =2h~

2h~t=--

c.{ii

Puesto ~ue la altura de caria varia con el tiempo se calcula el tiempo de vaci~~9:


215

La variaci6n de la velocidad en el flujo se debe a cambios bruscos en la secci6ngeometrica del canal.

Fw.lO RAPlDAMENTE VARIADO

La variaci6n de la velocidad se debe unicamente a la fricci6n provocada por lasparedes del canal.

FLWO GRADUALMENTE VARIADO

Sera aquel en el cual existira una variaci6n de la velocidad con respecto al espacio.

Fw.lo PERMANENTE Y VARIADO

Cumple con la condicion de flujo permanente y ademas tiene en cuenta que lavariacion de la velocidad con respecto al espacio es igual a cero.

FLWO PERMANENTE Y UNIFORME

La velocidad en un punto cualquiera de la seccion es constante; es decir, que lavariacion de la velocidad con respecto al tiempo es cero.

FLWO PERMANENTE

Los diferentes tipos de flujo que se presentan en un canal son:

FLWO EN CANALES ABIERTOS

CAPITULO XI

~I I PI219

Yn' aE. (I)16

Para la solucien del problema I

Yn' 3v V (2)gS

ProblemaEI factor de friccion de Darcy / se asocia generalmente a tuberias, Sin embargo.

para el problema precedente evaluar el factor de Darcy l,empleando la soluci6n dadapara dicho problema

Para una tuberla lIena Y0 ~ D4

V ~ ~ (Ynl

Despejando3vVyol ~gS

Para flujo laminar en canales abiertos amplios de ancho unitario, la distribuci6n develocidades se expresa como:

ProblemaDesignando por YN la profundidad en la figura, deducir una expresi6n para el flujo

laminar a 10largo de una placa plana de anchura infinita, considerando el volumen Iibre,con achura unidad.

I de22J

b=1.952 m

1.952y=--2

y=0.976m

~.(~)% (0.OOO5)Yz2.2 2 4

0.012

5.95= b' • bY,

nby=-2

bY,=5.95

Pm= b +b+~=2b2 2

AR%S~Q

RhY.C=--

nManning

Problem.Por un canal semicuadrado circula un caudal de 2.20m'/s.El canal tiene 1200m de

largo y un desnivel de 0.6m en esa longitud. Aplicando la formula de Manning y n =0.012,determiner las dimensiones.

n n

[

1r d'j%( 6.1.2+1.2+1.2)( 7.92 )%S~_21rd' 4 (0.002S)Yz

2 1.2+6 + 1.697 4 tt d

7.92·(0.89)% (0.OOOJ6)~= 1r d' .(~)% .4.1660.020 2 4

1.7848=d' ·dY, =dXd=(I.7848)Y. = 1.24m

reemplazando

Q..... =Q ...A R 21) S"2 2A R'" S'n

S=0.00016~ 2 tuberiasde hormigon(n = 0.012) S=12_=0.00251000


Rh = 4.25 = 0.634 m6.7

A RX S~ 4.25(0.634 )X(O.002)~n= = = 0.012

Q 11.50

A =4.25 m2

1Q=A-n

ProblemaUn canal rectangular revestido, de 5 m de anchura, transporta un caudal de 11.50

rolls con una profundidad de 0.85 m. Hallar n si la pendiente del canal es de 1.0 msobre 500m (aplicar la formula de Manning)

y=O.77mb =1.556m

6y=-2

b% =3.245

b=2y

ARX =0.644

(b )Xby " _y_ = 0.644

b+2y

[

b2]Xb:.; =0.644

ARX S~Q=---n

~ =ARX = 1.2.0.0!: 0.644SI'2 (0.00051'2

b=2y

Rh=I.2

s= 0.5 = 0.00051000

ProblemaUna acequia desagua 1.20ml/s con una pendiente de 0.50 m. La secci6n es rectan

gular y el factor de rugosidad n = 0.012. Determinar las dimensiones 6ptimas, 0 sea, lasdimensiones que dan el Menorperfmetro mojado.

Md!~ra prOlOg"'"po de CC 00 or237

ProblemaPara una profundidad critica de 0.966 m en un canal rectangular de 3 m de ancho,

~Calcular el caudal?

yc' =q'/g

q =~Yc' g = ~(O.966)' (0.18)= 2.972 mis

ProblemaEn un canal rectangular de 3 m de ancho el caudal es de 7.16 m'ls cuando la

velocidad es de 2.4 mls. Determinar la naturaleza del flujo.q = 2.386 m'ls

Yc =V(2.3:6)' =0.834m

3E... ='2(O.834m)= 1.25m

V,E=y+-

2g

1.25= y + (2.4 mls)'2g

Y = 1.25 - 0.294 =0.957 mLuegosi Yc (y0.834m( 0.957 m entonces el flujoessubcritico

Y ( Yc:::) flujo es subcritico

Yc

1 2.3867' -08343Yc -. m9.81

Como 0.6(yc:::) el //,90 es supercrilico

Para y=1.2m A=3.6m'

q= 1.2(7.16) = 2.3867m' Islm3.6

2.3867' =0.8343m9.81

solucionario - mecanica de fluidos e hidraulica

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