solucionario de problemas mecanica de fluidos ii

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ Facultad De Ingeniería Civil

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS MECANICA DE FLUIDOS II

Alumno: HUAMAN MADRID, Edison

CAPITULO IIDISEÑO DE CANALES

1. Se tiene un canal rectangular de 10 m de ancho y 3 m de tirante que conduce agua. La superficie es de concreto, bien acabado, pero con varios años de uso. La pendiente es 0,0008. Calcular el gasto utilizando las fórmulas de Kutter, Bazin y Manning.Comparar los resultados. (T= 20°C)

Determinamos: R=1.875m

Kutter

S¿0 .0005→m=0 .25 ¿∴

C=100√1.8750 .25+√1.875

=85m1/2/s

V=C √RS=3 .29m / sQ=V . A=98.7m3 /s

Bazin

De la descripción del contorno corrsponde a G=0.16

C=87

1+0 .16

√1.875

=78m1/2/ s

V=C √RS=3 .02m / sQ=V . A=90.6m3 /s

Maning (n=0.014)

V=R2/3S1/2

n=3 .07m /s

Q=V . A=92.1m3 /s

MECANICA DE FLUIDOS II


2. Por un canal semicuadrado circula un caudal de 2.20 m3/s. El canal tiene 1200 m de largo y un desnivel de 0.6 m en esa longitud. Aplicando la fórmula de Manning y n = 0.012, determinar las dimensiones.

A=b .b2

=b2

2

P=b2

+b+b2

=2b

R=A /P=b4

∴

Q=A .R2/3S1/2

n(2 .2 ).(0 .012)=b8/3

b=1 .952m∧ y=b /2=0 .976m

3. Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, taludde 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,030. La capacidad del canal es de 10m3/s.Calcular¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes, para aumentar su capacidad en 50 %?

T=5

Q=10m3/sb=3 n=0.030

z=1 /tanθ→ z=0 .58y=1 .72A=by+zy2=6 .88T=b+2 zy=5

Q=A . R2/3 S1 /2

n=227 .2×S1/2

Profundizando y=1.72+x

1 .5×227 .2×S1/2=

(b .(1.72+x )+z (1.72+x )2 ).( b .(1 .72+x )+z (1 .72+x )2

b+2 z (1.72+x )√1+z2 )2/3

.S1/2

n



x=0 .417m

4. un cauce cuya sección es un triángulo rectangular en C, debe ensancharse de modo que el caudal sea el doble.Hallar el ángulo correspondiente al nuevo talud.

R=Zy

2√1+Z2

A1= y2

R1= y2√2

Para el canal ampliado

A2=Zy2

R2=Zy

2√1+Z2

Maning

Q= A .R2/3S1/2

n

Luego por condición del problema Q 1=2×Q 2

y2 .( y2√2 )2/3

S1/2

n=2×

Zy2 .(Zy2√1+Z2 )2/3

S1/2

nZ=1.745ctg θ=1 .745θ=29° 48´ 56´´



CAPITULO IIIENERGIA ESPECÍFICA Y FLUJO CRITICO

5. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y el tirante critico yc la siguiente relación

2 y12 y2

2

y1+ y2= yc

3

Por ecuación de la energía especifica

y1+V 12

2 g= y1+

V 22

2 g→ y1+

q12

2 gy12= y1+

q22

2gy 22

q1=q2

yc=3√q2g

y1+yc3

2 y12= y1+

yc3

2 y22

Efectuando

2 y12 y2

2

y1+ y2= yc

3

6. En un canal rectangular se tiene, que el tirante critico es 0.7103m. averiguar cuál será la energía especifica que producirán dos tirantes alternos, que tengan por número de Froude 0.4738 y 1.9027, respectivamente.

Energia especifica

E= y+ v2

2 gEc. De Froude

F= v

√gy ……………(a)Luego

E= y+ y .F2

2 g ………….(b)Por continuidad

v=QA

= Qby

= qy …………….(1)

Tirante critico



yc=3√ q2

g ……………….(2)Reemplazando (2) en (1)

v2

g=

gyc3

y2

Reemplazando en (a)

y=yc3√F2

Reemplazando en (b)

E= y3√F2 (1+

.F2

2 )Para F=0.4736

E= y3√F2 (1+

.F2

2 )=1.2999Para F=1.9027

E= y3√F2 (1+

.F2

2 )=1.2999

7. Un canal rectangular revestido, de 5 m de anchura, transporta un caudal de 11.50 m3/s con una profundidad de 0.8S m. Hallar n si la pendiente del canal es de 1.0 m sobre 500 m (aplicar la fórmula de Manning)

A=(5 )(0.85 )=4 .25m2P=5+0 .85×2=6 .7mR=A /P=0 .634m∴

Q=A . R2/3 S1 /2

n→n=A . R2/3 S1 /2

Q

n=. 012

yc=3√ q2

g=3√ (Qb )

2

g=0 .83m

Como “y” es mayor que” yc”, se considera flujo subcrítico.



8. En un canal rectangular de 3 m de ancho el caudal es de 7.16 m3/s cuando la velocidad es de 2.4 m/s. Determinar la naturaleza del flujo, q = 2.386 m2/s

yc=3√q2g =0 .834m

Emin=32

(0 .834m)=1 .25m

luego

E= y+V2

2g

1 .25= y+(2 .4 )2

2gy=0.957m

Como “y” es mayor que” yc”, se considera flujo subcrítico.



CAPITULO IV FLUJO RAPIDAMENTE VARIADO

9. En un canal rectangular de 1.5 m de ancho el caudal es de 5 m3/s en un cierto tramo de este se produce un resalto hidráulico. Si el número de Froude para el tirante menor es 5 veces el tirante conjugado mayor. Determinar la longitud del resalto usando la fórmula de Sieñchin

De la general para el número de froude, se tiene

F= v

√g AT

= v

√ gy

Luego

v=QA

= Qby

= qy

⇒F= q

√ g× y3 /2

Por condición del problema ⇒F1=5F2q

√ g× y13/2

=5q

√g× y23 /2

y1=52/3 y1

De la ecuación general del resalto hidráulico

y12

+ y1 y2−2q2

g . y1=0

Reemplazando y resolviendo tenemos

y1=0 .5823y2=1.7027

De la ecuación de Sieñchin para un canal rectagular se tiene L=5 . ( y2− y1)L=5 .6020

10. En cierto tramo de un canal de sección rectangular se tiene una compuerta. El canal tiene un ancho de solera de 1.20m pendiente de 0.5 o/oo y coeficiente de rugosidad 0.014.Indicar cuál es el caudal en el canal

Si se produce resalto hidráulico se tendrá un flujo uniforme subcritico por lo cual



y2= yn

De la ecuación de Maning

A=1.20 y2P=1 .20+2 . y2

Q=A5/3 .S1/2

n. P2/3

Sustietuyendo

Q=(1 .20. y2 )5/3 . 0 .00051/2

0 .014 . (1.20+2 . y2)2 /3

Q=(1 .20. y2 )5/3 . 0 .00051/2

0 .014 . (1.20+2 . y2)2 /3……………….(1)

De la ecuación de SieñchinL=5 . ( y2− y1)y1= y2−0 .8De la ecuación del resalto

y12

+ y1 y2−2q2

g . y1=0

q2=g . y1 . y2( y1+ y2 )2

Q /b=q=√9 .81× y2 ( y1−0 .8 ) ( y1−0 .4 )Q=b√9.81× y2 ( y1−0 .8 )( y1−0 .4 ) ……………………..(2)

Operando (1) y (2)

y1=0 .9192m

∴Q=0 .8965m 3/ s

11. Un canal rectangular de 0.75m de ancho de solera, hay una compuerta que descarga pro el fondo.La abertura de la compuerta es tal que produce una vena liquida contraída con tirante de 0.25m y que luego forma un resalto.Si inmediatamente aguas arriba de la compuerta el tirante es de 1.10m hallar la longitud del resalto hidráulico aplicando la fórmula de Sienñchin (despreciar perdidas en la compuerta)



Aplicando la ecuación de la Energía

E= y+ v2

2 gDonde

v=QA

= Qby

= qy

Luego

y02 y1

2

y0+ y1=(q22 g )

q=√2. g . y02 y12y0+ y1

q=√2×9.81×1 .102×0 .2521.10+0 .25q=1 .0484m3 /s /m

Luego de la Ecuacion del resalto

y12

+ y1 y2−2q2

g . y1=0

y2=0 .83mDe la ecacion de SieñchinL=5 . ( y2− y1)L=2 .90m

12. En un canal trapezoidal de ancho de solera de 0.50m y talud Z=0.5, circula un caudal de 0.8m3/s. en un tamo del canal se produce un resalto hidráulico. Si el número de Froude en le punto aguas abajo del resalto es 0.4767. indicar la velocidad del punto donde se inicia el resalto.

De la general para el número de froude, se tiene

F= v

√g AT

Luego

v=QA

Reemplazando



F2=Q2TgA3

A3

T=Q2

gF2…………(1)

Ademas

A=0 .5 ( y2+ y22)

T=0 .5+ y2

Sustituyendo en (1)

A3

T= Q2

gF2

Resolviendo tenemos:

y2=0 .8m∴A=0 .72m2

v2=QA2

=1 .1111m /s



CAPITULO VFLUJO GRADUALMENTE VARIADO

13. demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente la ecuación del movimiento gradualente variado es:

dxdy

=S0−SE+

αQ2 ygA3

dbdx

1−αQ2bgA3

A partir de la ecuación de la introducción al coeficiente de Coriolis obtenemos

−SE=−S0+dydx

+αd (V 22 g )dx

Pero:

d (V 22g )dx

=

d ( Q2

2 gA2 )dx

=− Q2

gA3 (b dydx

+ ydbdx )

Donde

dxdy

=S0−SE+

αQ2 ygA3

dbdx

1−αQ2b

gA3

14. el tirante normal de un canal trapezoidal para las siguientes características: b=1m, Z=2, S0=0.0005, n=0.025, es 1m.Existe una presa que produce una curva de remanso de altura 0.5m como se muestra en la figura.Se quiere determinar la altura de remanso en la sección (1) situado a una distancia aguas arriba de la presa sabiendo que está a 500m aguas arriba de la sección (2), la cual tiene una altura de remanso de 0.35m.


? 0.350.50

yn=1

(1) (2)


A=by+zy2=3P=b+2 y √1+z2=5.7421De la Ecuacion de Maning

Q= A5 /3 .S1/2

n .P2 /3 =1.7974

LuegoA1=by1+ zy

12= y1+2 y

12m 2

P1=b+2 y1√1+ z2=1+2 y1√5m

A2=by 2+zy22=4 .9950m2

P2=b+2 y2√1+z2=7 .0374m

De las ecuaciones

C=So Δx+ y1+Q2

2gA12−Δ xQ2 n2

2 (P12

A15 )2/3

C= y2+Q2

2gA22+Δ xQ2 n2

2 (P22A25 )2/3

= f ( y2 )

Reemplazando en (2)C=1 .3886 ….(a)

Reemplazando en (1)

C=0 .0005×500+ y1+1 .79742

19 .62 ( y1+2 y12)2−500×1.7974

2×0.0252

2 ( (1+2 y1√5)2

( y1+2 y12)5 )2/3

…(b)

Igualando (a) y (b) y resolviendo

y1=1.1862mLa altura de Remanso en el punto (1) es:

Δy= y1−1=0 .1862m


………………..(1)

………………….(2)


15. Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Se coloca un vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficiente C de Chezy es 40 m1/2/s calcular las características de la curva de remanso originada por el vertedero.¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12?.

Se conoce:

Q=CAR1/ 2 S1/2=40× yn1/2×0 .121/2=40×3 .201/2×0 .121/2

Q=24 .79m 3/s

Calculamos “yc”Por condición

Q2

g=A3

T

24 .792

9 .81=

(by c )3

b

16. Un río de fondo ancho, casi rectangular, con ancho de solera 10 m pendiente 0,0004, coeficiente de rugosidad 0,030, conduce un caudal de 10 m/s. Determinar la curva de remanso producida por una presa que origina una profundidad de 3,0 m.

b = 10 m, S0 = 0,0004, n = 0,030, Q = 10 m3/s

Cálculo de yn

Con el nomograma para Q = 10 m3/s, b = 10 m, Z = 0, n = 0,030,S0 = 0,0004 se obtiene yn = 1,409 m

Cálculo de yc

Para una sección rectangular se cumple que:


S=0.0004 n=0.030


yc=3√q2g

q=Qb

=1010

=1

∴ y c=0 .467mIdentificando el tipo de curva

y ¿ yc ¿ yn¿Se trata de una curva M1



CAPITULO VI MEDICION DE CAUDALES

17. Un vertedor rectangular de pared gruesa cuyo espesor e = 0.45 m y longitud b = 2.5 m, trabaja con una carga h = 0.30 m y una profundidad w = 0.60 m. Determinar el gasto vertido.

Las relaciones e/h y w/h valen:

eh

=0 .450 .30

=1.5¿0 .67 ¿wh

=0 .600 .30

=2 ¿¿

De la tabla determinamos E1=0.82

Q=0.82×23×(0 .6035+0 .0813×0 .3010 .60 )(1+0 .00110 .30 )

3/2

√2g×2.5× (0.30 )3 /2

Q=0.625m 3/s

18. Calcular el gasto en un vertedor rectangular de pared delgada en un canal del mismo ancho de la cresta b= 2.5 m, que trabaja con una carga h = 0.42 m, cuya cresta se encuentra a w= 1.00 m del piso del canal.

De la fórmula de Hegly para b = B, tenemos:

μ=[0 .6075+0 .00410 .42 ][1+0 .55(0 .420 .42+1.00 )2]=0 .647

C=2 .952×0 .647=1 .910

Reemplazando en la ecuación:

Q=Cbh3/2=1 .910×2.5×(0 .42)3/2=1.3m3 /s

19. Calcular la carga necesaria en el vertedor del problema anterior, si se desea un gasto de 2 m3/seg en las mismas condiciones de descarga libre.

Del problema anterior tanteamos con h=0.555mDe la formula de Hegly obtenemos C=1 .944



Reemplazando en la Ecuación

Q=Cbh3/2=1 .944×2 .5×(0 .555)3/2=2 .009m 3/ s≈2m3/ s

20. ¿Cuál sería el gasto en el problema 18 si el vertedor tuviera una inclinación θ = 45°?

De la Ecuación

Cθ=1.1951−0 .3902×θ180 °

=1 .1951−0 .3902×45 °180 °

=1 .0976

Q=1 .0976×1.299=1 .426m3 /s


θw

h


ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

21. demostrar mediante métodos de análisis dimensional que la energía cinética de un cuerpo (Ec) de un cuerpo es igual a K.M.V.

M1 (LT-1)2 = K M a V b

M1 LT-2 = KMaLbT-b

Igualando los exponentes de M, L, T,:a = 1

b = 2 Y-b = -2 donde b = 2

Sustituyendo los valoresEc = K M (L2 T2)Ec = KM(LT-1)Ec = KMV2

22. Suponiendo que el caudal Q sobre un vertedero rectangular varía directamente con la longitud L, y es función de la altura de carga total H y de la aceleración de la gravedad g, establecer la fórmula del vertedero.Q = LF(Ha,gb)L3T-1 = (L) (La)(Lbt-2b)ParaT: -1 =-2b

b=1/2Para L: 3 = 1 + a + b

3-1-1/2=a

a=3/2

Q=KLH3/2g1/2

23. El modelo de un aliviadero se construye a una escala 1:36. Si en el modelo la velocidad y caudal desaguado son respectivamente 0.40 m/seg. y 62 1/seg. Cuáles son los valores correspondientes en el prototipo?

30 L

1 .488×10−5 =VL

1.142×10−6

1 .142×10−6 (30 L1.488×10−5 )=V

V=230m /s



24. Un navio de superficie de 155 m de longitud ha de moverse a 7 m/s. A qué velocidad ha de ensayarse un modelo geométricamente semejante de 2.50 m de longitud?

(V√ gL )NAVIO

=(V√gL )MODELO

7√155 g

=V√2.5g

v=0.89m /s


solucionario de problemas mecanica de fluidos ii

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