Solucin examen de Clculo I. 1.- Representar el recinto limitado por la curva y =

x

xlog el eje OX y las rectas y = e 2 e

y = 1 / e. (0.5) - Calcular el rea del recinto anterior. (1) - Calcular el volumen generado por el recinto al girar alrededor del eje OX. (1).

rea = dxx

x

e 1

/1

log + dx

x

xe

2

1

log =

1

/1

2

2)(log

e

x

+

2

1

2

2)(log ex

= 5 / 2.

Solucin.

Volumen = dxx

xe

e

2

/1

2logpi = (hacemos la integral por partes)

u = (log x) 2 .. d u = 2 log x (1 / x). d v = x -2 dx, .v = - x -1.

V = pi (- x -1 (log x) 2 + dxx

xe

e

2

/1 2log2 ) = (aplicamos de nuevo la integral por partes)

u = 2 log x,..du = 2 / x d v = x -2 dx, v = - 1 / x. V = pi (- x -1 (log x) 2 2 (1 / x) log x - 2 / x). V = [ ] 2121 /2log)/1(2)(log exxxxx pi = pi (e 3 8) / e 2. 2.- Dada la funcin f(x) =

=

>

01

04

2

xsi

xsix

exsen x

se pide:

a) Analizar si se puede aplicar el teorema fundamental del clculo a esa funcin en el intervalo [0, 1]. (0.5) b) Sea F(x) =

2

0)(x dttf , obtener el polinomio de Taylor de orden 4 en x = 0 (1.5).

c) Aplicando el desarrollo anterior calcular dxx

exsen x

1

0

2

4 (0.5)

Solucin. Veamos si es continua la funcin f(x) en [0,1]. La funcin es continua para todo x > 0, tenemos que estudiarla en x = 0. f(0) = 1

)(lim0

xfx +

= 1 / 4.

Como son distintos esos valores la funcin es discontinua y por lo tanto no se puede aplicar el teorema fundamental en el intervalo [0,1] pero al tratarse de una discontinuidad evitable podemos redefinir la funcin de la siguiente forma:

=

>

04/1

04

2

xsi

xsix

exsen x

en cuyo caso se puede aplicar.

Tambin podemos aplicarle en el intervalo (0, 1]. F (0) =

0

0)( dttf = 0 (los limites de integracin son iguales y f(t) esta acotada).

F(0) = h

dttfdttfh

h

+

2

0

0

0

0

)()(lim = x

x

exsen x 24

)( 2 = )(

21 2 xsene x . F(0) = 0

F(x) = 21 (e 2x (2 sen x + cos x). F(0) =

21

F(x) = 21

e 2x ( 4 cos x + 3 sen x). F(0) = 2

F(x) =21

e 2x (11 cos x + 2 sen x). F(0) = 2

11

P4(x) = 41

x 2 + 31

x 3 + 4811

x 4.

c) dxx

exsen x

1

0

2

4 =

41

+ 31

+ 4811

=

4839

.

Cuestiones: 1.- Consideramos el polinomio: P(x) = x 3 - x 2 +3x - 10.

a) Probar que tiene una nica raz.(0.5 puntos) b) Aproximar el valor de la raz con una precisin de dos cifras decimales

utilizando el mtodo de Newton.(0.5 puntos) Enuncia los teoremas que utilizas.(0.25 puntos. Solucin. a) La funcin es continua en todo R adems f(0) = -10 < 0 y f(3) = 17 > 0 por el teorema de Bolzano existe un c perteneciente a (0, 3) tal que f (c) = 0. Por otra parte f(x) = 3x 2 -2 x +3 > 0 para todo x luego f tiene una nica raz. Es evidente que la raz es x = 2, pero nos pide encontrar la raz utilizando el mtodo de

Newton. Si tomamos x 0 = 1 x 1 = 1 )1(

)1(ff

=1 + 7/ 4 = 2.75

x 2 =2.181114, x 3 = 2.013625, x 4 = 2.000072.

Como x 3 x 4 < 0.01 podemos tomar como solucin x= 2.000072 2.

2.- Definicin de radio de convergencia de una serie de potencias.(0.25)

a) Encontrar el conjunto de valores de x para los que la serie

=

+

1 2)1(

nn

n

n

x es

convergente.(0.5) b) Calcular el limite de la sucesin a

n =

nn

n

n

n

n

n

n

n

++

+

++

+

++

+

+2222

2..........

33

22

11

.

(0.5) Solucin.

a) El radio de convergencia es R =

n

n

n a

a 1lim

1+

= 2.

n

n

n a

a 1lim +

= )2/(1)2)1/((1lim

1

n

n

n n

n+

+ = 1 / 2.

La serie converge si 21

En x = - 3 nos queda la serie

=

1 2)2(

nn

n

n =

=

1

)1(n

n

n que es una serie alterna

convergente (es montona decreciente y el limite del trmino general es 0). En x = 1 nos queda

=1 2)2(

nn

n

n =

=1

1n n

que es divergente ( es la serie armnica)

La serie converge si x pedrtenece a [ - 3, 1). Construimos las sucesiones:

b n =

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

++

+

++

+

++

+

+2222

2..........

321 =

nn

nn

+

+2

2/)13( = )(2

32

2

nn

nn

+

+ y

c n =

12

..........

13

12

11

2222 ++

+

++

+

++

+

+

n

n

n

n

n

n

n

n=

12/)13(

2 +

+

n

nn = )1(2

32

2

+

+

n

nn

Se puede comprobar que se verifica que b n < a n < cn. y que n

nb

lim = n

nc

lim = 3 / 2.

Aplicando el criterio de emparedado tenemos que nn

a

lim = 3 / 2.

3.-Definicin de integral impropia Convergencia de las integrales impropias. Calcular las siguientes integrales. (0.25) a)

+++

+0 22 )23()1

13 dxxxx

x (0.5)

b) dxexsen xsen )()2( . (0.5) Solucin:

+++

+0 22 )23()1

13 dxxxx

x es una integral racional (impropia).

+++

+0 22 )23()1

13 dxxxx

x =

++

++

+

+0 2 )2()1()1( dxx

Dx

Cx

BAx.

Calculamos los coeficientes y nos queda A = 0, B = 1, C = - 1 y D = 1.

+++

+0 22 )23()1

13 dxxxx

x = [ ]+++ 01log2log xxxarctag =

12loglim

+

++

x

xxarctag

x - log (2) =

2pi

- log (2).

I = dxexsenxsen )()2( = dxexsenx xsen )(cos2 , aplicamos la integracin por partes

y nos queda: u = 2 sen x.. du = 2 cos x dv = cos x e sen x...............................v = e sen x. I = 2 sen x e sen x - dxex

xsencos2 = 2 sen x e sen x 2 e sen x. 4.- Teorema del valor medio del clculo integral.(0.25) Sea f una funcin continua y dos veces derivable en (a, b) que verifica que f (x) > 0 y f (x) > 0 para todo x de (a, b). Probar que (b-a) f(a) <

b

adxxf )( < (b-a)

2)()( afbf +

.

Solucin. Como f es continua en (a, b) es integrable en (a, b) y aplicando el teorema del valor medio existe un c (a, b) tal que

b

adxxf )( = (b-a) f (c ).

Como f es creciente f(a) < f (c ) < 2

)()( afbf + lo que implica que f(a) (b a) < f (c )

(b a ) < 2

)()( afbf + (b a ).

Cuestiones 3 y 4 del examen del segundo parcial.

3.- Explica brevemente como se calculan las longitudes de un arco de curva utilizando integrales. (0.5) Como aplicacin calcula la longitud de una circunferencia de radio 1 (utiliza la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 1) (0.5).

Solucin. Calculamos la longitud de un cuadrante de la circunferencia x 2 + y 2 =1. Despejamos y = 21 x . Hacemos la derivada de la funcin en el primer cuadrante y nos queda: y=

21 xx

.

L = dxx

x

+1

0

2

211 = dx

x

1

0 211

= [ ] 10)(xarcsen = 2pi

como son cuatro

cuadrantes la longitud de la circunferencia es pi2 .

4.- Explica brevemente como se calcula la superficie de revolucin generado por un recinto al girar alrededor del eje OX. (0.5) Como aplicacin calcula la superficie de una esfera de radio 1 (suponer que giramos la semicircunferencia de centro (0, 0) y radio 1 alrededor del eje OX. (0.5). Solucin.

La superficie que nos piden es 2

+1

1

2

2

2

111 dx

x

xxpi = 2 [ ] 11xpi = 4pi