¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN TRASCENDENTAL?

Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en donde una o masvariables se encuentran relacionadas mediante operacionesmatemáticas no algebraicas. Por ejemplo, existe algún terminoexponencial, logarítmico, trigonométrico, etc. por lo que su solución nopuede encontrarse aplicando métodos algebraicos. De ahí el términotrascendente, ya que trasciende del algebra.

Este tipo de ecuaciones tan particular se resuelven mediante métodosnuméricos.

MÉTODOS A UTILIZAR PARA LA SOLUCIÓN DEECUACIONES TRASCENDENTES

• Método de Bisección.

• Método de Newton Raphson.

• Método de la Secante.• Método de Newton (sistema de ecuaciones)

MÉTODO DE BISECCIÓN

Es un método que se basa en el teorema del punto medio ,de convergenciagarantizada pero lento en su convergencia en el cual se realizaniteraciones sistemáticamente.

Sea : , → una función continua en el intervalo [ , ] y supongamosque < . Entonces, para cada valor intermedio tal que< < , existe ∈ ( , ) tal que = . La mismaconclusión se obtiene para el caso que > .

MÉTODO DE BISECCIÓN

En particular, si y tienen signos opuestos, entonces = esprecisamente un valor intermedio y, por lo tanto, existe por lo menosuna raíz de en el intervalo ( , ) .

MÉTODO DE BISECCIÓN

Se debe escoger un y un tal que sea continua y cambie de signoen el intervalo, esto lo podemos verificar realizando la siguientemultiplicación:

∙ <Ya que por regla de los signos +∙ − = − − ∙ + = − por lo tanto el

resultado será menor que 0.

La primera aproximación a la raíz será:

= +

MÉTODO DE BISECCIÓN

Por lo que el nuevo intervalo se escoge a partir de una de los siguientescasos:

• ∙ < ; Por lo tanto tiene una raíz en el intervalo , ,ahora =

• ∙ > ; Por lo tanto tiene una raíz en el intervalo , ,ahora =

• ∙ = ; Por lo tanto = y finaliza el proceso.

Por Ejemplo: − +

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Se basa en usar la recta tangente a la grafica de y así aproximar estagrafica al punto donde esta se anula.

Supongamos que tenemos que es la aproximación a la raíz de ( ),se traza la recta tangente de la curva en el punto ( , )

A partir de la serie de Taylor de primer orden:= + ′( )( - )

La recta tangente corta al eje x en que será la siguiente aproximacióna la raíz y esta determinado por:

+ ( )( − ) =

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

El método de sucesiones para la aproximación a la raíz es el siguiente:

= − ; = , , …A partir de una aproximación inicial y siempre que ≠• La convergencia de este método depende de la primera aproximación

.

• En caso de converger , es a una gran velocidad, mucho mayor que, porejemplo, el método de bisección.

Por Ejemplo: − +

MÉTODO DE LA SECANTE

Este es una modificación del método de Newton-Raphson para cuando es difícil deevaluar, este consiste en reemplazar ( ) por:

− ( )−Por lo tanto:= − −− = − ∙ −− ; = , , …En donde y son dados

Al igual que en Newton-Raphson la convergencia no se garantiza pero cuandoconverge lo hace a gran velocidad.

MÉTODO DE NEWTON

Este es un método utilizado para la resolución de sistemas de ecuacionestrascendentes.

Dado un : → , encontrar = ( ,… , ) ∈ tal que = ,para el caso de un sistema de ecuaciones.

Supongamos que = ( ,… , ) ∈ es la solución del sistema deecuaciones, y que = ( ,… , ) es dos veces diferenciable.

Entonces, aplicando el desarrollo de Taylor de primer orden para funcionesde varias variables de en torno a una aproximación de la raíz( ) = ( ( ), … , ( )) , se tiene que:

MÉTODO DE NEWTON

Donde ( ( )) es la matriz Jacobiana de en ( ):

Si además la matriz jacobinana ( ( )) es invertible, entonces podemosaproximar la raíz despejándola en la ecuación anterior:

MÉTODO DE NEWTON

El método de newton consiste en que al tener una aproximación ( ), tomar la nuevaaproximación a partir de la anterior, en donde ( ) será la aproximación inicial.

No es conveniente invertir ( ( )) ya que resulta muy costos por lo que se resuelvecada iteración del sistema:

MÉTODO DE NEWTON

En donde : = ( ) −Ejemplo: = + −= − −

APLICACIONES EN INGENIERÍA

El factor unidimensional de fricción para flujos turbulentos en una tubería está dadopor la relación de Colebrook siguiente:

Donde es el número de Reynolds, coeficiente de rugosidad de superficie yel diámetro de la tubería.

Se desea conocer el factor de fricción para = × , = . y= ,

APLICACIONES EN INGENIERÍA

El Problema del Flujo de Potencia.

El problema consiste en determinar la magnitud y el ángulo del voltaje en cada barrade la red de potencia, que se muestra en la figura 1, bajo las condicionesespecificadas.

Datos:

APLICACIONES EN INGENIERÍA

Las ecuaciones del balance de potencia nodal están dadas por:

En donde:

APLICACIONES EN INGENIERÍA

Aplicando el algoritmo de Newton con:( ) = ( . , . , )Se obtiene en la quinta iteración la solución del problema

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Aplicación a un canal de descarga de flujo.

Para calcular la forma de un canal de descarga de flujo gravitacional que minimice eltiempo de tránsito de partículas granulares descargadas, C. Chiarella, W.Charlton, y A. W. Roberts resolvieron las siguientes ecuaciones por el método deNewton:

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Para cada n=1,2, …,N.

La constante v0 es la velocidad inicial del material granular, X es lacoordenada x del final del canal, µ es la fuerza de fricción, N es elnúmero de segmentos del canal y g es la constante gravitacional. Lavariable es el ángulo del i-ésimo segmento del canal a partir de lavertical como se muestra en la figura 2 y vi es la velocidad de laspartículas en el i-ésimo segmento del canal. Resuelva (i) y (ii) para θ=( , . . . , ) con µ=0, X = 2, ∆y = 0.2, N = 4, v0 = 0 y g = 32,2⁄ donde los valores para y pueden obtenersedirectamente de (a) y (b). Iterar hasta que || – ( )||∞ <

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