solución a los problemas propuestos en 4º eso b

5/12/2018 Solución a los problemas propuestos en 4º ESO B - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/solucion-a-los-problemas-propuestos-en-4o-eso-b 1/49

\c 33 \vkf= 79Peb `d|v`wb n` barpia`v n` gkgj`w gkfvb |kv näb y |kv hia÷d`~vk v`gkvvinkw Pegaiè~` |bc÷ 2?< ₡ |kv 7 näbw y ><< hd! y k~vk |bc÷ 230 ₡ |kv 0 näbw y 7<< hdB`vicpb gpâe~k gkfvbe |kv näb y |kv hia÷d`~vk

Nòieidkw abw iegkcei~bw b |bv~iv n` ab|v`cpe~b=z$ Ak rp` gkfvbe |kv näb n` barpia`v ₡y$ Ak rp` gkfvbe |kv hd v`gkvvink ₡N` ab ovbw` ‑Pe gaiè~` |bc÷ 2?< ₡ |kv 7näbw y ><< hd— w` n`npg` ab `g

7z ( ><<y 4 2?< *`g 2)N` ab ovbw` ‑y k~vk |bc÷ 230 ₡ |kv 0 näbwy 7<< hd— w` n`npg` ab `g0z ( 7<<y 4 230 *`g 6)Ap`ck à wiw~`db rp` ~è`dkw `w=

7z ( ><<y 42?<0z ( 7<<y 4 230 B|aigbdkw à dé~knk n` v`npggi÷e8dpa~i|aigbdkw ab |vid`vb `gpbgi÷e |kv 0y ab w`cpenb |kv *‗ 7 )

○ Ap`ck a wiw~ db rp` ~è`dkw `w=

20z ( 6<<<y 4 :<<‗ 20z ‗ 9<<y 4 ‗ 060

22<<y 4 630 … y 4 630 + 22<<… y 4 <’60

○ Wi wpw~i~pidkw à bakv n` y è ab|vid`vb `gpbgi÷e ekw rp`nb=

○ 7z ( ><< ³ <’60 42?< …7z ( 2<< 42?<… 7z 4 2?< ‗ 2<< … 7z 4 ?< … z4 ?< + 7

… z4 6<

○ Wkapgi÷e= Ab `d|v`wb gkfvb 6< ₡

|kv näb n` barpia`v y <’60 ₡ |kv hia÷d`~vk v`gkvvink%



\c= 33 \vkf= ><Pe ie`vwkv gkd|vb nkw gpbnvkw |kv 6?0< ₡ Ba gbfk n` nkw bòkw! akw èn` |kv 726> ₡ cbebenk è pek n` àakw pe 6<% y è à k~vk 20% »Gpâe~k a` gkw~÷gbnb gpbnvk;

Nòieidkw abw ieg÷cei~bw=

z$ ak rp` a` gkw~÷ à |vid`v gpbnvk ₡y$ ak rp` a` gkw~÷ à w`cpenk gpbnvk₡N` ab ovbw` ‑Pe ie`vwkv gkd|vb nkw gpbnvkw |kv 6?0< ₡ Ba gbfk n` nkw bòkw— è~èn`dkw rpàkw nkw gpbnvkw a` gkw~bvke 6?0< ₡ Kf~è`dkwbwä ab `gpbgi÷e= z ( y 4 6?0<N` ab ovbw` ‑ Ba gbfk n` nkw bòkw! akw èn` |kv

726> ₡ cbebenk è pek n` àakw pe 6<% y è à k~vk 20%— w` n`npg` rp` akw |v`gikw gbdfibvken`w|péw n` nkw bòkw jpfk pe bpdè~k n` pe|kvgè~bm` è akw |v`gikw `w~k w` jbg`dpa~i|aigbenk à be~icpk |v`gik |kv *2( <¾6<) ÷*2( <¾20)! v`w|`g~ibdè~`

○ Ap`ck ab w`cpenb `gpbgi÷e `w=○ *2(<’6<)³z ( *2(<’20)³y4 726> … 2’6z ( 2’20y

4726>○ Ap`ck a wiw~ db rp` ~è`dkw=z ( y 4 6?0<2’6z ( 2’20y4 726>

○ B|aigbdkw à dé~knk n` v`npggi÷e Widpa~i|aigbdkw ab |vid`vb `gpbgi÷e |kv ‗2’6

|kn`dkw wid|aioigbv ab bvibfa` ‑z— y ekw rp` nbab `gpbgi÷e= ‗<’<0y 4 ‗0? … <’<0y 4 0? … y 4 0? +<’<0 … y4 226<

○ Wpw~i~pidkw `w~` bakv è ab |vid`vb `gpbgi÷e yw` kf~iè` z4 6?0< ‗226< … z4 207<

○ WKAPGI×E= Pe gpbnvk gkw~÷ 2%07< ₡ yk~vk gpbnvk gkw~÷ 2%26< ₡%



\c 33 \vkf= >2Pe mky`vk ~iè` nkw aieck~`w n` kvk! pek gke pe :<% n` |pv`}b y k~vk gke pe 90%»Gpâe~k n`f` openiv n` gbnb pek |bvb kf~è`v pe aieck~` n` 0 hc gke pe :?% n`|pv`}b;

○ J`dkw n` ~è`v ègpè~b rp`! nòkvdb jbfi~pba! nàb |v`cpe~b wbgbdkwabw ieg÷cei~bw Wiab |v`cpe~b `w‑»Gpâe~k n`fòpeniv n` gbnbpek  — `w`rpibaè~` b rp`w` ekw |v`cpe~`gkdk ‑» Rpé gbe~inbn*hc) n`f` openiv n`gbnb pek ;— Bwä abwieg÷cei~bw wke=

z$ Gbe~inbn b openivnà |vid`v aieck~` Hc

y$ Gbe~inbn b openivnà w`cpenk aieck~`Hc

○ Ab |vid`vb`gpbgi÷e! y dâwie~pi~ib! ab~è`dkw è ab|v`cpe~b gpbenk w`

nig` ‑ |bvb kf~è`vpe aieck~` n` 0hc  — `w~k rpi`v`

○ z(y40 *`g 2)○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e b ègbdiebnb è akrp` wiceioigb ‑pe b% n` |pv`}b n` pe aieck~`n` kvk— `w~k rpi`v` n`giv rp` nà |`wk ~k~banà aieck~` w÷ak pe b% `w kvk |pvk

○ Ap`ck ab w`cpenb `gpbgi÷e ab kf~è`dkw nàb gbe~inbn n` kvk |pvk rp` kf~è`dkw n` abgbe~inbn openinb n` gbnb aieck~`! rp` jb n`

w`v icpba b ab gbe~inbn n` kvk |pvk nà aieck~`v`wpa~be~`

○ Nà |vid v aieck~` j`dkw openink peb gbe~inbnn` z hc y nà w`cpenk aieck~` y hc! ab gbe~inbnn` kvk |pvk kf~èinb ba openiv à |vid`v aieck~``w à :<% n` z y nà w`cpenk 90% n` y8 `w~k`w= <’:<z ( <’90y `w ab gbe~inbn n` kvk |pvk

nà aieck~` v`wpa~be~`○ \kv k~vk abnk w` ekw nig` nà aieck~` v`wpa~be~`rp` ‑  |bvb kf~è`v pe aieck~` n` 0 hc gkepe :?% n` |pv`}b; — ap`ck ab gbe~inbn n` kvk|pvk `w n` <’:?³0 Bwä ab w`cpenb `gpbgi÷e`w=

○ <’:<z ( <’90y 4 <’:?³0 … <’:z ( <’90y 4 >’7*`g)



\c 33 \vkf= >2Pe mky`vk ~iè` nkw aieck~`w n` kvk! pek gke pe :<% n` |pv`}b y k~vk gke pe 90%»Gpâe~k n`f` openiv n` gbnb pek |bvb kf~è`v pe aieck~` n` 0 hc gke pe :?% n`|pv`}b;

○ Ap`ck ~è`dkw àwiw~`db=

○ z(y40○ <’:z ( <’90y 4 >’7○ B|aigbdkw à dé~knkn` wpw~i~pgi÷e8n`w|`mbdkw abbvibfa` z è ab

|vid`vb `gpbgi÷e ykf~è`dkw z 4 0 ‗y Wpw~i~pidkw èab w`cpenb`gpbgi÷e=

○ <’:*0‗y) ( <’90y 4>’7 … > ‗<’:y (<’90y4 >’7 … ‗<’:y (<’

90y4 >’7 ‗> … <’20y4<’7 …

y4 <’7 + <’20 … y 4 6

○ \kv ~be~k z 4 0 ‗ 6… z 4 7

○ Wkapgi÷e= Jb nòpenivw` 7 hc nà

aieck~` gke :<% n`|pv`}b y 6 hc nàaie k~` n` 90% n`

○ z(y40 *`g 2)○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e b ègbdiebnb è akrp` wiceioigb ‑pe b% n` |pv`}b n` pe aieck~`n` kvk— `w~k rpi`v` n`giv rp` nà |`wk ~k~banà aieck~` w÷ak pe b% `w kvk |pvk

○ Ap`ck ab w`cpenb `gpbgi÷e ab kf~è`dkw nàb gbe~inbn n` kvk |pvk rp` kf~è`dkw n` abgbe~inbn openinb n` gbnb aieck~`! rp` jb n`

w`v icpba b ab gbe~inbn n` kvk |pvk nà aieck~`v`wpa~be~`

○ Nà |vid v aieck~` j`dkw openink peb gbe~inbnn` z hc y nà w`cpenk aieck~` y hc! ab gbe~inbnn` kvk |pvk kf~èinb ba openiv à |vid`v aieck~``w à :<% n` z y nà w`cpenk 90% n` y8 `w~k`w= <’:<z ( <’90y `w ab gbe~inbn n` kvvk |pvk

nà aieck~` v`wpa~be~`○ \kv k~vk abnk w` ekw nig` nà aieck~` v`wpa~be~`rp` ‑  |bvb kf~è`v pe aieck~` n` 0 hc gkepe :?% n` |pv`}b; — ap`ck ab gbe~inbn n` kvk|pvk `w n` <’:?³0 Bwä ab w`cpenb `gpbgi÷e`w=

○ <’:<z ( <’90y 4 <’:?³0 … <’:z ( <’90y 4 >’7*`g)



\c 33 \vkf= >7\kv ab d`}gab n` 0 hc n` |ie~pvb `vn` y 7 hc n` |ie~pvb fabegb j` |bcbnk ?9 ₡Gbagpab à |v`gik n` pe hiakcvbdk n` |ie~pvb fabegb y n` |ie~pvb `vn` wbfiènkrp` wi d`}gabw` pe hiakcvbdk n` gbnb peb à |v`gik n` ab d`}gab w`väb 20 ₡

○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw=

○ z$ \v`gik n` pehc n` |ie~pvb`vn` ₡ @w akdiwdk rp` win`gidkw rp` ~èckrp` |bcbv z ₡ |kvgbnb hc n` |ie~pvb`vn`

○ y$ |v`gik n` pehc n` |ie~pvbfabegb ₡

○ Ab |vid`vb`gpbgi÷e w` n`npg`n` ab |vid`vb

ovbw`= 0z ( 7y 4?9 *2ª `g)

○ N` ab ovbw`‑wbfiènk rp` wid`}gabw` pehiakcvbdk n` gbnbpeb à |v`gik nàb d`}gab w`väb 20₡— kf~è`dkw abw`cpenb `gpbgi÷e=z ( y 4 20 *6ª

○ WKAPGI×E= @a |v`gik n` pe hiakn` |ie~pvb `vn` `w n` 26 ₡ y n`|ie~pvb fabegb 7 ₡



\c 33 \vkf= >>Jbaab abw nidèwike`w n` pe v`g~âecpak nà rp` gkekg`dkw wp |`väd`~vk! 7> d!y wp âv`b! ?< d6

○ J`dkw nifpmbnk pev`g~âecpak rp` ekwwivb n`

kviè~bgi÷e! |`vkw÷ak n`kviè~bgi÷e

○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab ovbw`‑Jbaab abwnidèwike`w n` pev`g~âecpak — ybrp` `w peb oicpvb|abeb=

○ z$ Akeci~pn n` abfbw` nàv`g~âecpak d

○ y$ akeci~pn n` abba~pvb nàv`g~âecpak d

○ N` ab ovbw` ‑pev`g~âecpak nà rp`

○ N` ab ovbw` ‑y wp âv`b! ?< d6 — n`npgidkw rp` ab w`cpenb `gpbgi÷e `w=z ³ y 4 ?<

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db n` `gpbgike`wek aie`ba=

○ 6z (6y 4 7> y 4 *7> ‗ 6z) + 6○ z ³ y 4 ?<

○ Wpw~i~pidkw à bakv n` y è ab w`cpenb`gpbgi÷e=

○ z ³ *7> ‗ 6z) + 6 4 ?< …

…*7>z ‗ 6z6) + 6 4 ?< …*7>z ‗ 6z6) + 6 4 26< + 6… 7>z ‗ 6z6 4 26< … ‗ 6z6 ( 7>z ‗ 26< 4 <

… 6z6 ‗ 7>z ( 26< 4 <

∏= 29? 5 < … nkw vbäg`w V y

≬8 Vbä} ∏= 2>○ z2 4 08 z6 4 26

○ Wi z 4 0 … y 4 *7> ‗ 6³0) + 6 … y 4 26○ Wi z 4 26 … y 4 *7> ‗ 6³26) + 6 … y 4 0

y

z



\c 33 \vkf= >>Jbaab abw nidèwike`w n` pe v`g~âecpak nà rp` gkekg`dkw wp |`väd`~vk! 7> d!y wp âv`b! ?< d6

○ J`dkw kf~èink nkwwkapgike`w|kwifa`w b ab

`gpbgi÷e `bdkwrp` ~ièè wè~inkè ab v`bainbn=

○ Ab |vid`vbwkapgi÷e! z4 268 y4 0! w`gkvv`w|ken` gke àv`g~âecpak gkcink

|bvb kviè~bvekw@w n`giv ab fbw``w dbykv rp` abba~pvb

○ Ab w`cpenbwkapgi÷e! z4 08 y4 26! ek w`gkvv`w|ken` gke àv`g~âecpak gkcink

|bvb kviè~bvekw\`vk wi gkc`dkw pe

○ N` ab ovbw` ‑y wp âv`b! ?< d6 — n`npgidkw rp` ab w`cpenb `gpbgi÷e `w=z ³ y 4 ?<

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db n` `gpbgike`wek aie`ba=

○ 6z (6y 4 7> y 4 *7> ‗ 6z) + 6○ z ³ y 4 ?<

○ Wpw~i~pidkw à bakv n` y è ab w`cpenb`gpbgi÷e=

○ z ³ *7> ‗ 6z) + 6 4 ?< …

…*7>z ‗ 6z6) + 6 4 ?< …*7>z ‗ 6z6) + 6 4 26< + 6… 7>z ‗ 6z6 4 26< … ‗ 6z6 ( 7>z ‗ 26< 4 <

… 6z6 ‗ 7>z ( 26< 4 <

∏ = 29? 5 < … nkw vbäg`w V y ≬8 Vbä}∏

= 2>

○ z2 4 268 z6 4 0○ Wi z 4 26 … y 4 *7> ‗ 6³26) + 6 … y 4 0○ Wi z 4 0 … y 4 *7> ‗ 6³0) + 6 … y 4 26

0 d

26 d

y

z

y

z

26 d

0 d



\c 33 \vkf= >0Pe ~viâecpak iw÷wgà`w din` 76 gd n` |`väd`~vk y ab ba~pvb gkvv`w|keniè~` baabnk n`wicpba din` : gd Gbagpab akw abnkw nà ~viâecpak

○ Jby nkw |kwifiainbn`w n` ~viâecpakwiw÷wgà`w! à dâw gkdýe à |vid`vk rp`j`dkw nifpmbnk

○ Ekw nb icpba à rp` gkmbdkw j`dkw n`~è`v wi`d|v` è gpè~b rp` aknifpmbdkw gkdk peb d`vb kviè~bgi÷e

○ Abw ieg÷cei~bw be b w`v ab akeci~pn nà

abnk n`wicpba y ab akeci~pn n` akw abnkwicpba`w

○ Ba ~vb~bv ab ba~pvb nà ~viâecpak ~è`dkwrp` `w pe ~viâecpak v`g~âecpak y j`dkwn` pwbv à ~`kv`db n` \i~âckvbw

○ \`vk wi gkc`dkw z gkdk ab akeci~pn n aabnk n`wicpba `w~b `gpbgi÷e w` gkd|aigb

è `zg`wk \kv àak n`wicebv`dkw z b abdi~bn n` nigjk abnk○ \kv ~be~k ab akeci~pn nà abnk n`wicpba `w

6z

z

6z

yy



\c 33 \vkf= >0Pe ~viâecpak iw÷wgà`w din` 76 gd n` |`väd`~vk y ab ba~pvb gkvv`w|keniè~` baabnk n`wicpba din` : gd Gbagpab akw abnkw nà ~viâecpak

○ Jby nkw |kwifiainbn`w n`~viâecpakw iw÷wgà`w! à dâwgkdýe à |vid`vk rp` j`dkwnifpmbnk

○ Ekw nb icpba a rp` gkmbdkwj`dkw n` ~è`v wi`d|v` ègpè~b rp` ak nifpmbdkw gkdkpeb d`vb kviè~bgi÷e

○ Abw ieg÷cei~bw be b w`v abakeci~pn nà abnk n`wicpba y abakeci~pn n` akw abnkw icpba`w

○ Ba ~vb~bv ab ba~pvb nà ~viâecpak~è`dkw rp` `w pe ~viâecpakv`g~âecpak y j`dkw n` pwbv à~`kv`db n` \i~âckvbw

○ \`vk wi gkc`dkw z gkdk abakeci~pn nà abnk n`wicpba `w~b`gpbgi÷e w` gkd|aigb è `zg`wk\kv àak n`wicebv`dkw z b abdi~bn n` nigjk abnk

○ \kv ~be~k ab akeci~pn nà abnkn`wicpba `w 6z

z

6z

yy

○ Abw ieg÷cei~bw w`vâe=○ z$ Di~bn n` ab akeci~pn nà abnk

n`wicpba gd○ y$ Akeci~pn n` akw abnkw icpba`w

gd○ \`väd`~vk= 6z( 6y4 76 … z( y4 2?○ Ba~pvb= y6 4 z6 ( :6 … y6 4 z6 ( ?>○ Ap`ck à wiw~`db `w=○ z ( y4 2? y 4 2? ‗ z○ y6 4 z6 ( ?>○ Wpw~i~pidkw y è ab w`cpenb

`gpbgi÷e○ *2? ‗ z)6 4 z6 ( :6 …

… 60? ‗ 76z ( z6 4 z6 ( ?> …… z6 ‗ z6 ‗ 76z ( 60? ‗ ?> 4 < …

… ‗ 76z ( 296 4 < … ‗ 76z 4 ‗ 296 …… 76z 4 296 … z 4 296 + 76 … z 4 ?

○ y 4 2? ‗ ? … y 4 2<○ WKAPGI×E= Akw abnkw icpba`w

dinè 2< gd y à n`wicpba 26gd

2<gd

2<gd

? gd

26 gd

@a nifpmk ekv`|v`wè~b b abwkapgi÷e! w`väb pe~viâecpak iw÷wgà`w

dâw bgjb~bnk



\c 33 \vkf= >?@a âv`b ~k~ba n` pe giaienvk `w 226ό gd6! y è~v` à vbnik y ab ba~pvb wpdbe 2>gd Jbaab wp kapdè

○ z$ vbnik

nà giaienvkgd

○ y$ ba~pvbnà giaienvkgd

○ _kapdè `w_4 όz 6 y

○ \vid`vb

`gpbgi÷e= @aâv`b nàgiaienvk `wà âv`b nàb fbw` y~b|bwp|`vikv*rp` wke nkwâv`bw

icpba`w)6 όz 6 ! dâw àâv`b ab~`vba6 όzy

○ 6 όzy ( 6 όz 6 4 226 ό … ~knkw wke|bv`w y gke

à ό ap`ck|kn`dkw

○ Wpw~i~pidkw è ab |vid`vb

`gpbgi÷e y kf~è`dkw=○ z³*2> ‗ z) ( z6 4 0? …

… 2>z ‗ z6 ( z6 4 0? …

… 2>z 4 0? … z 4 0? + 2> …… z 4 >

○ Wpw~i~pyènk ~è`dkw=○ y 4 2> ‗ > … y 4 2<○ Wkapgi÷e |bvgiba= @a vbnik

nà giaienvk `w n` > gd ywp ba~pvb `w n` 2< gd

○ Ap`ck à kapdè! rp` `wak rp` w` |in`! `w icpba b=

○ _ 4 ό³>6³2< … _ 4 2?<ό○ WKAPGI×E= @a

kapdè nà giaienvk`w icpba b 2?<ό gd7%

y

z

○ Abw ieg÷cei~bwbe b w`v àvbnik y ab ba~pvbnà giaienvk rp`wke akw nkwà`dè~kw nàgiaienvk rpèkdfvb à

èpegibnkBn`dâw à

2?<ό gd7

2< gd

> gd



\c= 33 \vkf >3Wi à abnk n` pe gpbnvbnk bpdè~b 0 gd! wp âv`b w` dpa~i|aigb |kv >»Gpâa `vb à abnk nà gpbnvbnk;

○ @a âv`b nàgpbnvbnk |`rp`òk`w B8 rp`wbf`dkw rp` `w=

○ B4z 6 *`g2)○ @a âv`b nà dbykgpbnvbnk `w >B yjby rp` ~è`v ègpè~b rp` àabnk n` `w~`gpbnvbnk `w*z(0)! gke akrp` rp`nb=

○ *z(0) 6 4 >B ↖

z 6 (2<z(60 4 >B*`g6)

z

0 gd

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db=

B4z6

z6(2<z(60 4 >B○ Wpw~i~pidkw à bakv n` B è

`g 6○ z6(2<z(60 4 >z6 ○ ‗ 7z6(2<z(604<

○ 7z6 ‗ 2<z ‗ 604<

∏= ><< 5 < … nkw vbäg`w V y ≬8 Vbä}∏= 6<

○ z24 ‗ 2!?3 ek ~iè` wè~inkè ab v`bainbn 8

○ z64 0

WKAPGI×E=@a abnk nàgpbnvbnk `w n`0 gd

0 gd

0 gd

0 gd

0 gd



\c 33 \vkf= >:Pek n` akw gb~`~kw n` pe ~viâecpak v`g~âecpak din` 6: gd y ab ji|k~èpwb `w 2>gd dèkv rp` ab wpdb n` akw nkw gb~`~kw Gbagpab à gb~`~k n`wgkekgink

○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw Gkdkwbf`dkw akw abnkwn` pe ~viâecpakv`g~âecpak v`gifèà ekdfv` n`ji|k~èpwb ygb~`~kw Gkdk pekn` akw gb~`~kwwbf`dkw gpbe~k

din`! abwieg÷cei~bw wkeoâgia`w n`n`npgiv=

○ z$ akeci~pn nàgb~`~kn`wgkekgink gd

○ y$ akeci~pn n` abji|k~èpwb gd

○ N` ab ovbw` ‑abji|k~èpwb `w 2>

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db ek aie`ba=○ y 4 z ( 2>○ y6 4 z6 ( 3:> ○ Gkdk è ab |vid`vb `gpbgi÷e yb

`w~â n`w|`mbnb ab ieg÷cei~b y! fbw~bwpw~i~piv è ab w`cpenb `gpbgi÷e=

○ *z ( 2>)6 4 z6 ( 3:> …… z6 (6:z ( 29? 4 z6 ( 3:> … 6:z 4 3:> ‗29?

… 6:z 4 0:: … z4 0:: + 6: … z 4 62

○ Ap`ck y 4 62 ( 2> … y 4 70○ WKAPGI×E= @a gb~`~k n`wgkekgink

din` 62 gd%○ Bperp` ek ak |in`! ~bdfiée j`dkw

kf~èink ab akeci~pn n` ab ji|k~èpwb rp``w n` 70 gd

6: gd

zy

62 gd



\c 33 \vkf= >9@a |`väd`~vk n` pe ~viâecpak v`g~âecpak `w 7? gd y pe gb~`~k din` 7 gd dèkwrp` à k~vk Jbaab akw abnkw nà ~viâecpak

○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw Gkdkwbf`dkw akw abnkw n`pe ~viâecpakv`g~âecpak v`gifèà ekdfv` n`ji|k~èpwb ygb~`~kw Gkdk pek nàkw gb~`~kw wbf`dkwrp` din` 7 gd dèkw

rp` à k~vk! abwieg÷cei~bw wkeoâgia`w n` n`npgiv=

○ z$ akeci~pn nàgb~`~k *Dbykv)n`wgkekgink gd

○ y$ akeci~pn n` abji|k~èpwb gd

○ N` ab ovbw` ‑@a|`väd`~vk n` pe~viâecpak v`g~âecpak

○ y6 4 z6 ( *z ‗ 7)6 … y6 4 z6 ( z6 ‗ ?z ( 9 …… y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9 *6ª `g)

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db ek aie`ba=○ 6z ( y 4 79 y 4 79 ‗ 6z○ y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ N`w|`mbnb ab ieg÷cei~b ‑y— è ab |vid`vb

`gpbgi÷e! fbw~b wpw~i~piv è ab w`cpenb

`gpbgi÷e=○ *79 ‗ 6z)6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9○ 2062 ‗ 20?z ( >z6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9 … …

2062 ‗ 20?z ( >z6 ‗ 6 z6 ( ?z ‗ 9 4 < …… 6z6 ‗ 20<z ( 2026 4 < …

○ niiniènk e~v` nkw … z6 ‗ 30z ( 30? 4 <○ Ξ 4 6?<25 <8 ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} Ξ 4 02○ z2 4 ?78 z6 4 26○ Wi z 4 ?7 ~è`dkw rp` y 4 79 ‗ 6 ³ ?7 …○ y 4 79 ‗ 2:? … y 4 ‗ 2>3

z ‗ 7

z

y



\c 33 \vkf= >9@a |`väd`~vk n` pe ~viâecpak v`g~âecpak `w 7? gd y pe gb~`~k din` 7 gd dèkwrp` à k~vk Jbaab akw abnkw nà ~viâecpak

○ @w~â gabvk rp` j`dkwn` n`wgbv~bv `w~bwkapgi÷e! yb rp` ek~iè` wè~ink è abv`bainbn rp` abji|k~èpwb ~ècb pebakeci~pn e`cb~ib

○ Wi z 4 26 ~è`dkwrp` y 4 79 ‗ 6 ³ 26…

○ y 4 79 ‗ 6> … y 4 20○ WKAPGI×E= @a gb~`~kDbykv din` 26 gd!

○ à gb~`~k dèkv din`9 gd

○ y ab ji|k~èpwb din`20 gd

○ Ek~b= ab wkapgi÷e z4

○ y6 4 z6 ( *z ‗ 7)6 … y6 4 z6 ( z6 ‗ ?z ( 9 …… y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9 *6ª `g)

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db ek aie`ba=○ 6z ( y 4 79 y 4 79 ‗ 6z○ y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ N`w|`mbnb ab ieg÷cei~b ‑y— è ab |vid`vb

`gpbgi÷e! fbw~b wpw~i~piv è ab w`cpenb

`gpbgi÷e=○ *79 ‗ 6z)6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9○ 2062 ‗ 20?z ( >z6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9 …○ … 2062 ‗ 20?z ( >z6 ‗ 6 z6 ( ?z ‗ 9 4 <

… … 6z6 ‗ 20<z ( 2026 4 < …○ niiniènk e~v` nkw … z6 ‗ 30z ( 30? 4 <○ Ξ 4 6?<25 <8 ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} Ξ 4 02○ z2 4 ?78 z6 4 26○ Wi z 4 ?7 ~è`dkw rp` y 4 79 ‗ 6 ³ ?7 …○ y 4 79 ‗ 2:? … y 4 ‗ 2>3

z ‗ 7

z

y

9 gd

26 gd%

20 gd%



\c 33 \vkf= >9@a |`väd`~vk n` pe ~viâecpak v`g~âecpak `w 7? d y pe gb~`~k din` 7 gd dèkwrp` à k~vk Jbaab akw abnkw nà ~viâecpak

○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw Gkdkwbf`dkw akw abnkw n`pe ~viâecpakv`g~âecpak v`gifèà ekdfv` n`ji|k~èpwb ygb~`~kw Gkdk pek nàkw gb~`~kw wbf`dkwrp` din` 7 gd dèkw

rp` à k~vk! abwieg÷cei~bw wkeoâgia`w n` n`npgiv=


○ y$ akeci~pn n` abji|k~èpwb g d

○ _bdkw b ~vbfbmbv è~knk dkdè~k gke gd○ N` ab ovbw` ‑@a

○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e iè` b |bv~iv nà

~`kv`db n` \i~âckvbw rp` nig`=○ *ji|k~ epwb)6 4*gb~`~k D)6 (*gb~`~k d)6

○ y6 4 z6 ( *z ‗ 7)6 … y6 4 z6 ( z6 ‗ ?z ( 9 …… y6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9 *6ª `g)

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db ek aie`ba=○ 6z ( y 4 7093 y 4 *7093 ‗ 6z)○ y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ N`w|`mbnb ab ieg÷cei~b ‑y— è ab

|vid`vb `gpbgi÷e fbw~b wpw~i~piv è abw`cpenb gpbgi÷e=

○ *7093 ‗ 6z)6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ @w peb `gpbgi÷e n` w`cpenk cvbnk!

v`wka`dkw ab inè~inbn ek~bfa` y~vbw|ke`dkw ~évdiekw y aa`cbdkw b=

○ 6z6 ‗ 2>7:6z ( 26:7<>9< 4 <

○ Niiniènk |kv 6 rp`nb=○ z6 ‗ 3292z ( ?>206>0 4 <○ Ξ 4 6?<>90<25 <8 ~iè` nkw wkapgike`w

V y ≬ … Vbä} Ξ 4 02<7¾:322○ z2 4 ?2>3¾>700:98 z6 4 2<>7¾0?>>2

z ‗ 7

z

y



\c 33 \vkf= >9@a |`väd`~vk n` pe ~viâecpak v`g~âecpak `w 7? d y pe gb~`~k din` 7 gd dèkwrp` à k~vk Jbaab akw abnkw nà ~viâecpak


○ y$ akeci~pn n` abji|k~èpwb g d

○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e iè` b |bv~iv nà

~`kv`db n` \i~âckvbw rp` nig`=○ *ji|k~ epwb)6 4*gb~`~k D)6 (*gb~`~k d)6

○ y6 4 z6 ( *z ‗ 7)6 … y6 4 z6 ( z6 ‗ ?z ( 9 …… y6 4 6 z6 ‗ ?z ( 9 *6ª `g)

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db ek aie`ba=○ 6z ( y 4 7093 y 4 *7093 ‗ 6z)○ y6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ N`w|`mbnb ab ieg÷cei~b ‑y— è ab |vid`vb

`gpbgi÷e fbw~b wpw~i~piv è ab w`cpenb`gpbgi÷e=

○ *7093 ‗ 6z)6 4 6z6 ‗ ?z ( 9○ @w peb `gpbgi÷e n` w`cpenk cvbnk!

v`wka`dkw ab inè~inbn ek~bfa` y~vbw|ke`dkw ~évdiekw y aa`cbdkw b=

○ 6z6 ‗ 2>7:6z ( 26:7<>9< 4 <

○ Niiniènk |kv 6 rp`nb=○ z6 ‗ 3292z ( ?>206>0 4 <○ Ξ 4 6?<>90<25 <8 ~iè` nkw wkapgike`w

V y ≬ … Vbä} Ξ 4 02<7¾:322○ z2 4 ?2>3¾>700:98 z6 4 2<>7¾0?>>2

z ‗ 7

z

y

○ Gkdk abw wkapgike`w ièè è gdn`w|v`gibv`dkw ab |bv~` n`gidba! bwä=

○ z2≊ ?2>38 z6 ≊ 2<>7○ Wi z4 ?2>3 gd … z 4 ?2¾>3 d8 `w~k ek ~iè`

wè~ink yb rp` à |`väd`~vk nà ~viâecpak `w

n` 7? d○ Wi z ≊ 2<>7 gd … z ≊ 2<¾>7 d8 `w~k wi~iè` wè~ink

○ z ‗ 7 ≊ 2<><○ y ≊ 7093 ‗ 6³2<>7 … y ≊ 2022○ WKAPGI×E= @a gb~ ~k dbykv din` 2<>7

gd gb~`~k dèkv din` 2<>< gd y abji|k~èpwb din` 2022 gd

*b|vkzidbnkw)

≊ 2022gd

≊ 2<>7gd

≊ 2<><gd



\c 33 \vkf= 0<Peb |`vwkeb ~bvnb 7 jkvbw dâw rp` k~vb è jbg`v à diwdk ~vbfbmk Wi ak jbgèè~v` abw nkw! ~bvnbe 6 jkvbw »Gpâe~k ~bvnb gbnb peb |kv w`|bvbnk;Ek~b= Wi peb ~bvnb z jkvbw è jbg`v ~knk à ~vbfbmk! è peb jkvb jbvâ 2 + z n`

`w~`○ Ak |vid`vk rp`bdkw b jbg`v `w`z|aigbv ab ek~bJbf`v wi abè~ènéiw

○ Wp|kecbdkw rp` pe

|ie~kv |ie~b abwicpiè~` |bv`ngpbnvbnb è >jkvbw

○ @a |ie~kv |ie~bgke abw diwdbwcbebw ~knk à~i`d|k y jkvb ~vbwjkvb! `w~k rpi`v`

n`giv rp` wi`d|v`~iè` à diwdkvi~dk Y rp` ab|ie~pvb ek a``wgbw`b è eiecýedkdè~k! ei ~ièìd|vìw~kw \kvwp|p`w~k ek |`cbpe fvkgjb}k è peb`wrpieb y ap`ck w`b ba d`nik y |`cb




`w~`○ Ak |vid`vk rp`bdkw b jbg`v `w`z|aigbv ab ek~bJbf`v wi abè~ènéiw

○ Wp|kecbdkw rp` pe

|ie~kv |ie~b abwicpiè~` |bv`ngpbnvbnb è >jkvbw!

○ @a |ie~kv |ie~bgke abw diwdbwcbebw ~knk à~i`d|k y jkvb ~vbwjkvb! `w~k rpi`v`

n`giv rp` wi`d|v`~iè` à diwdkvi~dk Y rp` ab|ie~pvb ek a``wgbw`b è eiecýedkdè~k! ei ~ièìd|vìw~kw \kvwp|p`w~k ek |`cbpe fvkgjb}k è peb`wrpieb y ap`ck w`b ba d`nik y |`cb

○ K ak rp` `w ak diwdk »Rpé |bv~` n a~k~ba nà ~vbfbmk v`|v`wè~b `wb âv`brp` `w ak rp` jbg` è peb jkvb; Abgpbv~b |bv~` nà ~vbfbmk k ak rp` `w akdiwdk 2 + > nà ~vbfbmk

± nà~vbfbmk




`w~`○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab|v`cpe~b=

○ z$ î`d|k rp`~bvnb ab |vid`vb

|`vwkeb èv`bai}bv à~vbfbmk n` okvdbieniinpba j

○ y$ î`d|k rp`~bvnb ab w`cpenb|`vwkeb èv`bai}bv à~vbfbmk n` okvdbieniinpba j

○ N` ab ovbw` ‑Peb|`vwkeb ~bvnb 7jkvbw dâw rp` k~vbè jbg`v à diwdk~vbfbmk— w` n`npgàb |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w=

○ z 4 y ( 7 *2ª `g)○ N` ab ovbw` ‑Wi ak

○ Wi ab |vid vb |`vwkeb è jbg v à ~vbfbmk*~k~ba) n` okvdb ieniinpba ~bvnb z! è pebjkvb jbg` 2 + z nà ~vbfbmk *~k~ba)

○ Wi ab w`cpenb |`vwkeb è jbg`v à~vbfbmk *~k~ba) n` okvdb ieniinpba ~bvnb y!è peb jkvb jbg` 2 + y nà ~vbfbmk *~k~ba)

○ Bwä kf~è`dkw rp` è peb jkvb è~v` akwnkw jbgè *2 + z ( 2 + y)

○ Ap`ck ab w`cpenb `gpbgi÷e `w=○ 2 + z ( 2 + y 4 2 + 6 *6ª `g)○ Ap`ck kf~è`dkw à wiw~`db ek aie`ba=○ z 4 y ( 7○ 2 + z ( 2 + y 4 2 + 6○ Kfw vbv rp` ab w`cpenb `gpbgi÷e `w

vbgikeba *b|bv`g` ieg÷cei~b+bw èbacýe+kw nèkdiebnkv+`w) ap`ck j`dkwn` gkd|vkfbv abw wkapgike`w kf~èinbw



\c 33 \vkf= 0<Peb |`vwkeb ~bvnb 7 jkvbw dâw rp` k~vb è jbg`v à diwdk ~vbfbmk Wi ak jbgèè~v` abw nkw! ~bvnbe 6 jkvbw »Gpâe~k ~bvnb gbnb peb |kv w`|bvbnk;Ek~b= Wi peb ~bvnb z jkvbw è jbg`v ~knk à ~vbfbmk! è peb jkvb jbvâ 2 + z n``w~`

○ z 4 y ( 7○ 2 + z ( 2 + y 4 2+ 6

○ Gkdk ab ieg÷cei~bz `w~â n`w|`mbnbè ab |vid`vb`gpbgi÷e! |bvbv`wka`vwpw~i~pidkw wpbakv è abw`cpenb `gpbgi÷e=

○ 2 + *y ( 7) ( 2 +y 4 2 + 6

○ Rp` `w peb`gpbgi÷e vbgikeba\keiènk gkdýe

nèkdiebnkv!rpi~âenkak n`w|péwy ~vbw|keiènk~évdiekwkf~è`dkw=

○ y 6 ‗ y ‗ ? 4 <○ Ξ 4 60 5 < ~iè`nkw wkapgike`w V y

≬○ y 2 4 78 y 6 4 ‗ 6○ @w~â gabvk p`

○ Gkd|vkfbdkw è abw `gpbgike`w nàwiw~`db *wkfv` ~knk è ab `gpbgi÷evbgikeba) rp` wä `w âainb ab wkapgi÷ekf~èinb! b |bv~` n` ~è`v wè~ink è abv`bainbn

○ WKAPGI×E= Ab |vid`vb |`vwkeb ~bvnb? j è v`bai}bv à ~vbfbmk n` okvdb

ieniinpba y ab w`cpenb |`vwkeb ~bvnb7 j è v`bai}bv à ~vbfbmk n` okvdbieniinpba%

○ Kmk rp` è ab |vid`vb `gpbgi÷e j`dkw|p`w~k rp` ab |vid`vb |`vwkeb ~bvnb 7jkvbw dâw rp` ab w`cpenb è v`bai}bv à~vbfbmk Y `wk n`f` gkegkvnbv gke abwkapgi÷e nbnb Pe `m`d|ak pwpba `w èakw |vkfa`dbw n` `nbn`w yb rp` pe|bnv` ek `w dbykv rp` wpw jimkw



\c 33 \vkf= 02Pe cviok ~bvnb à nkfa` n` ~i`d|k rp` k~vk è aaèbv pe gpfk n` bcpb Wi bfvidkwakw nkw! à gpfk w` aaèb è 7 diep~kw »Gpâe~k ~bvnb gbnb pek |kv w`|bvbnk;

○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab|v`cpe~b=

○ z$ î`d|k rp`~bvnb à |vid`vcviok è aaèbv àgpfk n` okvdb

ieniinpbaDiep~kw’

○ y$ î`d|k rp`~bvnb à w`cpenkcviok è aaèbv àgpfk n` okvdbieniinpbaDiep~kw’

○ N` ab ovbw` ‑Pecviok ~bvnb ànkfa` n` ~i`d|krp` k~vk è aaèbvpe gpfk n` bcpb—

kf~è`dkw ab|vid`vb gpbgi÷erp` `w=

○ z 4 6y *2ª `g)

○ N` ab ovbw` ‑Wibfvidkw akw nkw!

○ Kfw vbv rp` ab w`cpenb `gpbgi÷e `wvbgikeba ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv abwwkapgike`w kf~èinbw

○ Gkdk ab z w~b n`w|`mbnb ab z n` ab|vid`v `gpbgi÷e y wpw~i~pyéenkab è abw`cpenb gpbgi÷e kf~è`dkw=

○ 2 + 6y ( 2 + y 4 2 + 7

○ Rp` `w peb `gpbgi÷e vbgikeba è y\keiènk gkdýe nèkdiebnkv!rpi~âenkak n`w|péw y ~vbw|keiènk~évdiekw kf~è`dkw=

○ 6y 4 9 … y 4 9 + 6 … y 4 >’0 *ak `z|v`wkn` okvdb n`gidba |kv rp` w` ~vb~b n`~i`d|k)

○ Ap`ck wi y 4 >’0 w` n`npg` rp` z 4 9○ Gkd|vkfbdkw è abw `gpbgike`w nà

wiw~`db rp` wä `w âainb ab wkapgi÷ekf~èinb! b |bv~` n` ~è`v wè~ink è abv`bainbn

○ WKAPGI×E= @a |vid`v cviok ~bvnb 9 jè aaèbv à gpfk n` okvdb ieniinpba yà w`cpenk cviok >’0 j 4 > j y 7<’%



\c 33 \vkf= 06Pe cvp|k n` bdickw barpiab peb opvcke`~b |kv >9< ₡ |bvb jbg`v pe ibm` Býa~idb jkvb w` b|pe~be nkw dâw y bwä w` n`pàè 6: ₡ b gbnb pek n` akwk~vkw »Gpâe~kw op`vke n` `zgpvwi÷e y gpâe~k |bc÷ gbnb pek;


○ z$ Eýd`vk n``zgpvwikeiw~b rpòp`vke

○ y$ \v`gik rp`

|bc÷ gbnb`zgpvwikeiw~b rpòp` è abopvcke`~b ₡

○ N` ab ovbw`‑barpiab pebopvcke`~b |kv >9<₡ |bvb jbg`v pe

ibm`— kf~è`dkwab gab` n` `w~`|vkfa`db yb rp` ègpbarpi`v gbwk à|v`gik nàbarpia`v n` abopvcke`~b `wgkew~be~` >9< ₡

○ N` ab ovbw` ‑B

ýa~idb jkvb — kf~è`dkw k~vb

○ V`gkvnbenk rp` à barpia v `w wi`d|v >9<₡

○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z ‗ 6)³*y ( 6:) 4 >9< …

… zy ( 6:z ‗ 6y ‗ 0? 4 >9< …

… zy ( 6:z ‗ 6y 4 0>? *2ª `g)

○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³y 4 >9< *6ª `g)○ Ap`ck v`wpa~b à wiw~`db ek aie`ba=○ zy ( 6:z ‗ 6y 4 0>?○ zy 4 >9<○ N`w|`mbdkw z è ab w`cpenb `gpbgi÷e!

z4>9<+y *--_`v ek~b ba oieba)! y w` wpw~i~py`

è ab |vid`vb `gpbgi÷e rp`nbenk=

E½ n``zgpvwikeiw~bw

\v`gikrp`|bcbgbnb

`zgpvwikeiw~

b

Ba|viegi

|ikB

ýa~idbjkvb

*z‗ 6) *y ( 6:)

yz

\c 33 \vkf= 06Pe cvp|k n` bdickw barpiab peb opvcke`~b |kv >9< ₡ |bvb jbg`v pe ibm` Býa~idb jkvb w` b|pe~be nkw dâw y bwä w` n`pàè 6: ₡ b gbnb pek n` akwk~vkw »Gpâe~kw jbe ink n` `zgpvwi÷e y gpâe~k jb |bcbnk gbnb pek n` akw rp`jbe ink oiebadè~` n` `zgpvwi÷e;



\c 33 \vkf= 06Pe cvp|k n` bdickw barpiab peb opvcke`~b |kv >9< ₡ |bvb jbg`v pe ibm` Býa~idb jkvb w` b|pe~be nkw dâw y bwä w` n`pàè 6: ₡ b gbnb pek n` akwk~vkw »Gpâe~kw jbe ink n` `zgpvwi÷e y gpâe~k jb |bcbnk gbnb pek n` akw rp`jbe ink oiebadè~` n` `zgpvwi÷e;

○ >9< ( 6: ³ *>9<+y)‗ 6y 4 0>?

○ Rp` `w peb`gpbgi÷e vbgikebaè y \keiènkgkdýe nèkdiebnkv!rpi~âenkak n`w|péwy ~vbw|keiènk

~évdiekwkf~è`dkw=

○ 6y 6 ( 0?y ‗ 2736<4 <

○ Ξ 4 226:9? 5 <~iè` nkwwkapgike`w V y ≬

○ Vbä} n` Ξ `w 77?

○ y 2 4 3<8 y 6 4 ‗ 9:○ @w~â gabvk rp`j`dkw n` n`wgbv~bvab w`cpenbwkapgi÷e! yb rpèk ~iè` wè~inkè ab v`bainbn pe|bck e`cb~ik

○Ap`ck wi y 4 3< w`n`npg` rp` z 4>9<+3<

○ V`gkvnbenk rp` à barpia v `w wi`d|v >9<₡

○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z ‗ 6)³*y ( 6:) 4 >9< …

… zy ( 6:z ‗ 6y ‗ 0? 4 >9< …

… zy ( 6:z ‗ 6y 4 0>? *2ª `g)

○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³y 4 >9< *6ª `g)○ Ap`ck v`wpa~b à wiw~`db ek aie`ba=○ zy ( 6:z ‗ 6y 4 0>?○ zy 4 >9<○ N`w|`mbdkw z è ab w`cpenb `gpbgi÷e!

z4>9<+y *--_`v ek~b ba oieba)! y w` wpw~i~py`

è ab |vid`vb `gpbgi÷e rp`nbenk=

E½ n``zgpvwikeiw~bw

\v`gikrp`|bcbgbnb

`zgpvwikeiw~

b

Ba|viegi

|ik

*z ‗ 6) *y (6:)

B

ýa~idbjkvb

z y



\c 33 \vkf= 07Pe gkd`vgibe~` rpi`v` èn`v |kv ?< <<< ₡ akw kvnèbnkv`w rp` ~iè` è wpbadbgée \`vk w` a` `w~vk|`be nkw y ~iè` rp` èn`v akw k~vkw 0< ₡ dâw gbvkw|bvb v`gbpnbv ak diwdk »Gpâe~kw kvnèbnkv`w ~èäb y b rpé |v`gik akw èni÷;


○ z$ Eýd`vk n`kvnèbnkv`w rp`~èäb

○ y$ \v`gik ba rp`

èni÷ gbnbkvnèbnkv *rp`|pnk èn`v) ₡

○ N` ab ovbw` ‑Pegkd`vgibe~` rpi`v`èn`v |kv ?< <<<₡   |bvb v`gbpnbvak diwdk—

kf~è`dkw ab gab`n` `w~` |vkfa`dbyb rp` ègpbarpi`v gbwk abcbebegib nàgkd`vgibe~` b bw`v ?< <<< ₡

○ N` ab ovbw` ‑\`vkw` a` `w~vk|`be

nkw y ~iè` rp`èn`v akw k~vkw  —

○ V`gkvnbenk rp` è gpbarpi v gbwk abcbebegib nà gkd`vgibe~` b b w`v ?< <<<₡

○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z ‗ 6)³y 4 ?< <<< …

… zy ‗ 6y 4 ?< <<< *2ª `g)

○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³*y ‗ 0<) 4 ?<<<< … zy ‗ 0<z 4 ?<<<< *6ª

`g)○ Ap`ck v`wpa~b à wiw~`db ek aie`ba=○ zy ‗ 6y 4 ?< <<<○ zy ‗ 0<z 4 ?<<<<

E½ n`kvnèbnkv`

w

\v`gik|kv à

rp` èn`gbnb

kvnèbnkv

Ba|viegi|ik

Baoieba

z *y ‗ 0<)

y*z ‗ 6)




○ D` biw b |`vdi~ivrp` `w~` wiw~`dbak v`wkabdkw gkeback n` bw~pgibdb~`dâ~igbOimbvkw rp` è abwnkw `gpbgike`wb|bv`gè ‑zy— y

‑?<<<<—! ap`ckbdkw b b|aigbvv`npggi÷e |bvbrpi~bv à zy \bvbàak dpa~i|aigbdkwab w`cpenb`gpbgi÷e |kv *‗2)

○ zy ‗ 6y 4 ?<<<<

○ ‗ zy ( 0<z 4 ‗?<<<<

○ 0<z ‗ 6y 4 <

N`w|`mbdkw n` brpä abieg÷cei~b y

○ … ‗ 6y 4 ‗ 0<z …

… 6y 4 0<z … y 4 0<z +

6 … y 4 60z○ Y wpw~i~pidkw è

○ V`gkvnbenk rp` è gpbarpi v gbwk abcbebegib nà gkd`vgibe~` b b w`v ?< <<<₡

○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z ‗ 6)³y 4 ?< <<< …

… zy ‗ 6y 4 ?< <<< *2ª `g)

○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³*y ‗ 0<) 4 ?<<<< … zy ‗ 0<z 4 ?<<<< *6ª

`g)○ Ap`ck v`wpa~b à wiw~`db ek aie`ba=○ zy ‗ 6y 4 ?< <<<○ zy ‗ 0<z 4 ?<<<<

E½ n`kvnèbnkv`

w

\v`gik|kv àrp` èn`

gbnbkvnèbnkv

Ba|viegi|ik

z *y ‗ 0<)

Ba

oieba

*z ‗ 6)

y




○ D` biw b |`vdi~ivrp` `w~` wiw~`dbak v`wkabdkw gkeback n` bw~pgibdb~`dâ~igbOimbvkw rp` è abwnkw `gpbgike`wb|bv`gè ‑zy— y

‑?<<<<—! ap`ckbdkw b b|aigbvv`npggi÷e |bvbrpi~bv à zy \bvbàak dpa~i|aigbdkwab w`cpenb`gpbgi÷e |kv *‗2)

○ zy ‗ 6y 4 ?<<<<

○ ‗ zy ( 0<z 4 ‗?<<<<

○ 0<z ‗ 6y 4 <

N`w|`mbdkw n` brpä abieg÷cei~b y

○ … ‗ 6y 4 ‗ 0<z …

… 6y 4 0<z … y 4 0<z +

6 … y 4 60z○ Y wpw~i~pidkw è

○ Ξ 4 9?<> 5 < ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 9:○ z2 4 0<8 z6 4 ‗ >:○ @w~â gabvk rp` j`dkw n` n`wgbv~bv ab

w`cpenb wkapgi÷e! yb rp` ek ~iè` wè~ink

è ab v`bainbn pe |v`gik e`cb~ik○ Ap`ck wi z 4 0< w` n`npg` rp` y 4 60 ³ 0<… … z 4 260<

○ WKAPGI×E= @a gkd`vgibe~` ~èäb 0<kvnèbnkv`w% Akw kvnèbnkv`w rp`èni÷! akw èni÷ b 260< ₡ gbnb pek%

E½ n`kvnèbnkv`

w

\v`gik|kv àrp` èn`

gbnbkvnèbnkv

Ba|viegi|ik

z *y ‗ 0<)

Ba

oieba

*z ‗ 6)

y



\c 33 \vkf= 0>Pe ~vbew|kv~iw~b b b peb gipnbn rp` `w~â b 7<< hd n` niw~begib Ba ka`v! wpàkginbn d`nib jb wink wp|`vikv è 2< hd+j b ab àkginbn n` inb! y jb ~bvnbnkpeb jkvb dèkw Gbagpab abw àkginbn`w y akw ~i`d|kw `d|a`bnkw b ab inb y b ab

pà~b○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv nàèpegibnk=

○ z$ _àkginbn nìnb Hd+j

○y$ î`d|k nìnb j

○ N` ab ovbw` ‑Pe~vbew|kv~iw~b bb peb gipnbn rp``w~â b 7<< hd n`niw~begib Baka`v—

kf~è`dkw abgab` n` `w~`|vkfa`db yb rp`è gpbarpi`vgbwk abniw~begib è~vàbw nkwgipnbn`w! à

`w|bgikv`gkvvink! `w

○ V`gkvnbenk rp` à `w|bgik v`gkvvink `wgkew~be~`! 7<< hd Y rp` ³~ 4 `

○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³y 4 7<< *2ª `g)○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z(2<)³*y ‗ 2) 4 7<< …

… zy ( 2<y ‗ z ‗ 2< 4 7<< …

… zy ‗ z ( 2<y 4 72< *6ª `g)○ Ap`ck v`wpa~b à wiw~`db ek aie`ba=

○ zy 47<< ‗ zy 4 ‗ 7<<○ zy ‗ z (2<y 4 72< zy ‗ z (2<y 4 72<○ ‗ z (2<y 4 2<○ N`w|`mbdkw n` brpä ab bvibfa` ‑z—=○ ‗ z4 2< ‗ 2<y … z4 ‗ 2< (2<y … z4 2<y ‗

2<○ Wpw~i~pidkw è ab |vid vb `gpbgi÷e y

rp`nb=

àkginbn

~i`d|k

Inb

pà~b *z ( 2<) *y ‗ 2)

yz



\c 33 \vkf= 0>Pe ~vbew|kv~iw~b b b peb gipnbn rp` `w~â b 7<< hd n` niw~begib Ba ka`v! wpàkginbn d`nib jb wink wp|`vikv è 2< hd+j b ab àkginbn n` inb! y jb ~bvnbnkpeb jkvb dèkw Gbagpab abw àkginbn`w y akw ~i`d|kw `d|a`bnkw b ab inb y b ab

pà~b○ z$ _àkginbn nìnb Hd+j

○ y$ î`d|k nìnb j

○ V`gkvnbenk rp` à `w|bgik v`gkvvink `wgkew~be~`! 7<< hd Y rp` ³~ 4 `

○ Ab |vid`vb `gpbgi÷e rp` `w=○ z³y 4 7<< *2ª `g)○ Ab w`cpenb `gpbgi÷e rp` `w=○ *z(2<)³*y ‗ 2) 4 7<< …

… zy ( 2<y ‗ z ‗ 2< 4 7<< …

… zy ‗ z ( 2<y 4 72< *6ª `g)○ Ap`ck v`wpa~b à wiw~`db ek aie`ba=

○ zy 47<< ‗ zy 4 ‗ 7<<○ zy ‗ z (2<y 4 72< zy ‗ z (2<y 4 72<○ ‗ z (2<y 4 2<○ N`w|`mbdkw n` brpä ab bvibfa` ‑z—=○ ‗ z4 2< ‗ 2<y … z4 ‗ 2< (2<y … z4 2<y ‗

2<○ Wpw~i~pidkw è ab |vid vb `gpbgi÷e y

rp`nb=

àkginbn

~i`d|k

Inb

pà~b *z ( 2<) *y ‗ 2)

yz

○ *2<y ‗ 2<)³y 4 7<< … 2< y 6 ‗ 2<y 4 7<< …

○ … 2< y 6 ‗ 2<y ‗ 7<<

4 < … niinidkw |kv2< y ekw rp`nb … y 6 ‗ y ‗ 7< 4 <

○ Ξ 4 2625 <8 ab `g~iè` nkwwkapgike`w V y ≬8Vbä} Ξ 4 22

○ y 2 4 ‗ 08 y 6 4 ?

○\kn`dkw n`wgbv~bvy 2 yb rp` ek ~iè`wè~ink pe ~i`d|ke`cb~ik8 bn`dâwnbväb peb àkginbnn` ‗ ?< hd+ j rp`~bd|kgk ~iè`wè~ink

○ Wi y 4 ? … z 4 7<<+?

… z 4 0<○ WKAPGI×E= Ab

\ 33 \ f 00



\c 33 \vkf= 00^è`dkw peb |bvgàb v`g~becpabv Wi wp fbw` niwdiepy` è :< d y wp ba~pvbbpdè~b è ><d! w` gkei`v~` è pe gpbnvbnk Wi niwdiepy` è ?< d wp fbw` ywp ba~pvb bpdè~b è 6< d! è~keg`w wp âv`b niwdiepy` è ><< d6 »Gpâa`wwke abw nidèwike`w n` ab |bvgàb;

○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw b|bv~iv n` ab|v`cpe~b! bwä=

○ z$ Fbw` n` ab|bvgàb d

○ y$ Ba~pvb n` ab|bvgàb d

○ N` ab ovbw`‑^è`dkw peb|bvgàbv`g~âecpabv Wi wp

fbw` niwdiepy`Wi niwdiepy` è wp fbw` —

○ N` ab |vid`vb ovbw` gkenigikeba w` ‑Wi wp fbw` niwdiepy` è :< d y wp ba~pvbbpdè~b è ><d! w` gkei`v~` è pegpbnvbnk— y oimâenkekw rp` ab |babfvbgab` `w gpbnvbnk kf~è`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e=

○ J`dkw n` |èwbv è peb |vk|i`nbn n` akw

abnkw n` pe gpbnvbnk○ Gi`v~k rp` wke icpba w! ap`ck ~è`dkw=○ * z ‗ :<) 4 *y ( ><) … z ‗ :< 4 y ( >< … … z‗ y 4 26< *2ª `g)

○ N` ab w`cpenb ovbw` gkenigikeba w` ‑Wi niwdiepy` è ?< d wp fbw` y wp ba~pvbbpdè~b è 6<d! è~keg`w wp âv`bniwdiepy` è ><<d6 — y oimâenkekw rp` ab

|babfvb gab` `w âv`b kf~è`dkw abw`cpenb gpbgi÷e

○ J`dkw n` ~è`v è gpè~b rp` à âv`b nàb |bvgàb `w zy! ap`ck=

○ * z ‗ ?<)³*y ( 6<) 4 zy ‗ ><< …○ … zy ( 6<z ‗ ?<y ‗ 26<< 4 zy ‗ ><< …○ … zy ( 6<z ‗ ?<y ‗ zy 4 ‗ ><< ( 26<< …○ … 6<z ‗ ?<y 4 :<< … niiniènk |kv 6< …

y(><

z ‗ :<

z

y

\ 33 \ f 00



\c 33 \vkf= 00^è`dkw peb |bvgàb v`g~becpabv Wi wp fbw` niwdiepy` è :< d y wp ba~pvbbpdè~b è ><d! w` gkei`v~` è pe gpbnvbnk Wi niwdiepy` è ?< d wp fbw` ywp ba~pvb bpdè~b è 6< d! è~keg`w wp âv`b niwdiepy` è ><< d6 »Gpâa`wwke abw nidèwike`w n` ab |bvgàb;

○ z$ Fbw` n` ab|bvgàb d

○ y$ Ba~pvb n` ab|bvgàb d

○ z ‗ 7y 4 >< *6ª`g)

○ Ap`ck kf~è`dkw àwiw~`db=

○ z ‗ y 4 26< z ‗ y4 26<

○ z ‗ 7y 4 >< ‗ z (7y 4 ‗ ><

○ 6y 4 :<○ Ap`ck y 4 :<+6 … y

○ N` ab |vid`vb ovbw` gkenigikeba w` ‑Wi wp fbw` niwdiepy` è :< d y wp ba~pvbbpdè~b è ><d! w` gkei`v~` è pegpbnvbnk— y oimâenkekw rp` ab |babfvbgab` `w gpbnvbnk kf~è`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e=

○ J`dkw n` |èwbv è peb |vk|i`nbn n` akw

abnkw n` pe gpbnvbnk○ Gi`v~k rp` wke icpba w! ap`ck ~è`dkw=○ * z ‗ :<) 4 *y ( ><) … z ‗ :< 4 y ( >< … … z‗ y 4 26< *2ª `g)

○ N` ab |vid`vb ovbw` gkenigikeba w` ‑Wi niwdiepy` è ?< d wp fbw` y wp ba~pvbbpdè~b è 6<d! è~keg`w wp âv`bniwdiepy` è ><<d6 — y oimâenkekw rp` ab

|babfvb gab` `w âv`b kf~è`dkw abw`cpenb gpbgi÷e

○ J`dkw n` ~è`v è gpè~b rp` à âv`b nàb |bvgàb `w zy! ap`ck=

○ * z ‗ ?<)³*y ( 6<) 4 zy ‗ ><< …○ … zy ( 6<z ‗ ?<y ‗ 26<< 4 zy ‗ ><< …○ … zy ( 6<z ‗ ?<y ‗ zy 4 ‗ ><< ( 26<< …○ … 6<z ‗ ?<y 4 :<< … niiniènk |kv 6< …

y(><

z ‗ :<

z

y

2?< d

>< d



\c 33 \vkf= 0?Jbaab abw nidèwike`w n` pe v`g~âecpak gpyb nibckeba din` 27 d! y wp âv`b!?< d6

○ Nòieidkw abwieg÷cei~bw b |bv~ivnà èpegibnk! bwä=

○ z$ Fbw` nàv`g~âecpak d○ y$ Ba~pvb nàv`g~âecpak d

○ N` ab ovbw` ‑ pev`g~âecpak gpybnibckeba din` 27d — kf~è`dkw ab|vid`vb gpbgi÷eb|aigbenk à~`kv`db n`\i~âckvbw=*ji|k~èpwb) 6 4*gb~`~k D) 6 (*gb~`~k d) 6

○ z 6 ( y 6 4 27 6 … z 6 (y 6 4 2?9 *2ª `g)

○ N` ab ovbw` ‑ pev`g~âecpak ! y wp

—

○ N`w|`mbdkw ab ieg÷cei~b ‑y— è abw`cpenb `gpbgi÷e y rp`nb y 4 ?<+z*kfw`vbv rp` |bvb jbg`v `w~` n`w|`m`j`dkw rpi~bnk ab |kwifa` wkapgi÷e z 4 <! ybrp` |bvb |bwbv ‑z— ba nèkdiebnkv j`dkw n` wp|ke`v rp` z ≬ < \`vk ekrpi~bdkw eiecpeb |kwifa` wkapgi÷e yb rp`z 4 < ek |p`n` w`v wkapgi÷e)

○ Wpw~i~pidkw è ab |vid vb `gpbgi÷e ykf~è`dkw=

○ * ?< + z)6 ( z6 4 2?9…○ `g Vbgikeba *ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv

wkapgike`w rp` kf~ècbdkw b |bv~iv n`àab)

○ @g Figpbnvbnb8 jbg`dkw à gbdfik } 4 z6 …

○ }6 ‗ 2?9} (7?<< 4 < `g 6½ cvbnk○ Ξ 4 2>2?2 5 < ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 229

○ }2 4 608 }6 4 2>>

z

y27 d?< d6




○ z$ Fbw` nàv`g~âecpak d

○ y$ Ba~pvb nà

v`g~âecpak d

○ Gkd|vkfbv`dkw è ab`gpbgi÷e vbgikebabrpàabw wkapgike`wrp` è |viegi|ik~ièè wè~ink è

ab v`bainbn @w~âgabvk rp` j`dkw n`n`w v`gibv abw

○ `g Vbgikeba *ap`ck j`dkw n`gkd|vkfbv wkapgike`w rp`kf~ècbdkw)

○ @g Figpbnvbnb8 jbg`dkw àgbdfik } 4 z6 …

○ }6 ‗ 2?9} (7?<< 4 < `g 6½ cvbnk

○ Ξ 4 2>2?2 5 <○ ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 229○ }2 4 608 }6 4 2>>

z

y27 d?< d6




○ z$ Fbw` nàv`g~âecpak d

○ y$ Ba~pvb nà

v`g~âecpak d

○ Gkd|vkfbv`dkw è ab`gpbgi÷e vbgikebabrpàabw wkapgike`wrp` è |viegi|ik~ièè wè~ink è

ab v`bainbn @w~âgabvk rp` j`dkw n`n`w v`gibv abw

○ Ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv abwwkapgike`w *z2!y2) y *z7!y7) è ab`gpbgi÷e vbgikeba=

○ _`dkw rp` bdfbw! z2

○ y z7! wke wkapgike`w○ âainbw |kv ~be~k ~è`dkw=○ WKAPGI×E= Ab fbw`○ nà v`g~âecpak din`○ 0 d y ab ba~pvb 26 d

○ K ab fbw` din` 26 d y wp ba~pvb 0d

z

y27 d?< d6

0 d

26 d

0 d

26 d



\c 33 \vkf= 03@a abnk n` pe vkdfk din` 0 gd! y wp âv`b! 6> gd6 Gbagpab ab akeci~pn n` wpwnibckeba`w

○ Gkdk |kn`dkw v`|v`wè~bv pe vkdfk y`v ak rp` ekw |inè! j`dkw n` jbg`vakbe~`w n` nòieiv abw ieg÷cei~bw

○ _`dkw rp` w` ekw jbfab è à èpegibnknà abnk! y n` abw nibckeba`w nà vkdfk

○ Ab vàbgi÷e è~v àakw `w rp` okvdbe pe~vibecpak v`g~âecpak

○ ap`ck b|bv`g vâ à ~`kv`db n` \i~âckvbwvàbgikeâenkakw! gkdk yb j`dkw j`gjk è

k~vkw `m`vgigikw bdkw b nòieiv z ` y nòkvdb gkeèiè~` |bvb rp` ekw b|bv`}gbpebw `gpbgike`w wie nèkdiebnkv`w yoâgia`w n` pwbv

○ Nòieidkw bwä abw ieg÷cei~bw gkdk=○ z$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckeba

dbykv nà vkdfk gd○ y$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckeba

dèkv nà vkdfk gd○ Kfw vb rp` à èpegibnk `d|i`}b |kv ‑à abnk n` pe vkdfk  — à j`gjk n`rp` ‑à— w`b pe n`~`vdiebe~` bv~igpakn`~`vdiebnk ekw rpi`v` n`giv rp` abakeci~pn n` ~knkw akw abnkw nà vkdfk `w abdiwdb \kv ak ~be~k nb icpba rp` ~viâecpak

w`òba`dkw

abnk

z

y




○ z$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebadbykv nà vkdfk gd

○ y$ DI^BN n` ab akeci~pn n` ab nibckebadèkv nà vkdfk gd

○ Ab wkapgi÷e n a |vkfa`db w`vâ 6z y 6y○ N` ab ovbw`= ‑à abnk n` pe vkdfk din` 0

gd — kf~è`dkw ab |vid`vb `gpbgi÷e|kv à ~`kv`db n` \i~âckvbw=

○ z6 ( y6 4 06 … z6 ( y6 4 60 *2ª `g)

○ N` ab ovbw`= ‑  y wp âv`b! 6> gd6 — w`n`npg` ab w`cpenb `gpbgi÷e○ Wi ek ~` bgp vnbw n` ab o÷vdpab n a âv`b n`

pe vkdfk oämb~` è à nifpmk=○ Ap`ck kf~è`dkw rp` à âv`b `w=

○ Bwä ab w`cpenb gpbgi÷e `w=

abnk

z

y

6y

6z






○ Kf~è`dkw a wiw~`db ek aie`ba=○ z6 ( y6 4 60○ zy 4 26○ Wi n`w| mbdkw è ab w`cpenb `gpbgi÷e ab

bvibfa` y! rp`nb y 4 26 + z *Kfw`vbv rp`

|bvb jbg`v `w~` n`w|`m` j`dkw rpi~bnk ab|kwifa` wkapgi÷e z 4 <! yb rp` |bvb |bwbv ‑z— ba nèkdiebnkv j`dkw n` wp|ke`v rp` z ≬ < \`vk ek rpi~bdkw eiecpeb|kwifa` wkapgi÷e yb rp` z 4 < ek |p`n` w`v wkapgi÷e)


○ z6 ( *26 + z)6 4 60…

○ `g Vbgikeba *ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv wkapgike`w rp` kf~ècbdkw b |bv~iv n`àab)

○ @g figpbnvbnb jbg`dkw à gbdfik } 4z6

○ Rp`nbenk= }6 ‗ 60} (2>> 4 < `g 6½ cvbnk○ Ξ 4 >9 5 < ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 3○ }2 4 2?8 }6 4 9

○ Gkd|vkfbv`dkw è ab `gpbgi÷e vbgikebabrpàabw wkapgike`w rp` è |viegi|ik ~ièèwè~ink è ab v`bainbn @w~â gabvk rp` j`dkw n`n`w|v`gibv abw wkapgike`w *z6!y6) y *z>!y>) |kv rp`wp|kenväb peb akeci~pn e`cb~ib






○ Ap`ck j`dkw n` gkd|vkfbv abw wkapgike`w*z2!y2) y *z7!y7) è ab `gpbgi÷e vbgikeba=

○ _`dkw rp` bdfbw! z2 y z7! wke wkapgike`wâainbw \bvb ab `gpbgi÷e vbgikeba

○ \`vk j`dkw n` n`w|v`gibv ab wkapgi÷e *z7!y7)

○ \p`w j`dkw wp|p`w~k rp` z 5 y y è `w~b

wkapgi÷e ek kgpvv`○ \kv ~be~k ab ýeigb wkapgi÷e |kwifa` `w *z2!y2)

○ z24> 8 y247

○ @g figpbnvbnb jbg`dkw à gbdfik } 4z6

○ Rp`nbenk= }6 ‗ 60} (2>> 4 < `g 6½ cvbnk○ Ξ 4 >9 5 < ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 3○ }2 4 2?8 }6 4 9

○ Gkd|vkfbv`dkw è ab `gpbgi÷e vbgikebabrpàabw wkapgike`w rp` è |viegi|ik ~ièèwè~ink è ab v`bainbn @w~â gabvk rp` j`dkw n`n`w|v`gibv abw wkapgike`w *z6!y6) y *z>!y>) |kv rp`wp|kenväb peb akeci~pn e`cb~ib






○ z24> 8 y247○ WKAPGI×E=○ Ab nibckeba dbykv din`○ 6z 46 ³ > 4: gd○ y ab nibckeba d`ekv din`○ 6y 4 6 ³ 7 4 ? gd

abnk

z

y

6y

6z

>gd

7gd :gd

?gd



\c 33 \vkf= 0:Ab wpdb n` abw nkw giovbw n` pe eýd`vk `w : Wi ba eýd`vk w` a` bòbnè 2:peinbn`w! à eýd`vk v`wpa~be~` `w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw è kvnèie`vwk »Gpâa `w `w` eýd`vk;

○ Oimbvkw rp` à|vkfa`db `d|i`}bjbfabenk n` abw giovbwn` pe eýd`vk y ab|v`cpe~b ekw |in`gbagpabv `w` eýd`vkJby nkw ~i|kw n`|vkfa`dbw n` eýd`vkw!è pek w÷ak jbgèdègi÷e b nkw eýd`vkw‑z— ` ‑y— rp` wke akwrp` jby rp` gbagpabv8è akw k~vkw w÷ak jbg`dègi÷e b pe eýd`vk yjbfab n` wpw giovbw!`w à eýd`vk à rp`jby rp` gbagpabv |`vkb |bv~iv nà gâagpakn` wpw giovbw! `wn`giv abw ieg÷cei~bwwke abw giovbw rpòkvdbe à eýd`vk @w~`|vkfa`db `w pe `m`d|akgabvk nà w`cpenk~i|k Bn`v~iv rp` è`w~` w`cpenk ~i|k n`|vkfa`db `w dpy pwbnkrp` wi pe eýd`vk ~iè`giegk giovbw! |kv`m`d|ak à 0?7>7! `wkè peinbn`w `w`rpibaè~` b=

○ Ekw gè~vbdkw è à |vkfa db y oimbvkw rpèkw |inè pe eýd`vk n` nkw giovbw w`b e àeýd`vk fpwgbnk8 e 4 zy8 wiènk=

○ z$ ab giovb n` abw n`gèbw nà eýd`vk e○ y$ ab giovb n` abw peinbn`w n a eýd`vk e○ N` ab ovbw` ‑Ab wpdb n` abw nkw giovbw n` pe

eýd`vk `w : — kf~è`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w= z(y 4 : *2ª `g)

○ N` ab ovbw` ‑Wi ba eýd`vk w` a` bòbnè 2: peinbn`w! à eýd`vk v`wpa~be~` `w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw è kvnè ie`vwk— kf~è`dkw ab w`cpenb `gpbgi÷e \vid`vk»g÷dk wpdbdkw 2: peinbn`w ba eýd`vkfpwgbnk e;! |p`w |keiènk à eýd`vk èokvdb n` peinbn`w gkdk idkw be~`w=

○ e 4 zy 4 z ³ 2< ( y 4 2<z ( y○ e (2: 4 zy (2: 4 z ³ 2< ( y ( 2: 4 2<z ( y(2:

○ W` ekw nig` rp` — à eýd`vk v`wpa~be~``w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw è kvnèie`vwk— ap`ck wi `w~` eýd`vk `w d! wpwgiovbw wke ‑z— ` ‑y—! |`vk d 4 yz Gkdkj`dkw z|v`wbnk e è peinbn`w! j`dkw n`jbg`v ak diwdk gke d! `w~k `w= d 4 yz 4 y ³2< ( z 4 2< ( z



\c 33 \vkf= 0:Ab wpdb n` abw nkw giovbw n` pe eýd`vk `w : Wi ba eýd`vk w` a` bòbnè 2:peinbn`w! à eýd`vk v`wpa~be~` `w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw è kvnèie`vwk »Gpâa `w `w` eýd`vk;

○ Ap`ck ab w`cpenb`gpbgi÷e rp`nb=

○ e ( 2: 4 d`z|v`wbnk èpeinbn`w=

○ 2<z (y (2: 4 2<y(z …

…2<z (y ‗ 2<y ‗ z 4

‗2: …9z ‗ 9y 4 ‗2: … niiniènk |kv 9 … z‗ y 4 ‗6 *6ª `g)

○ Ap`ck ~è`dkw àwiw~`db aie`ba=

○ z ( y 4 :○ z ‗ y 4 ‗6

○ 6z 4 ? … z 4 ? + 6… z 4 7○ y 4 : ‗ 7 … y 4 0○ Wkapgi÷e= àeýd`vk fpwgbnk `we 4 70

○ \bvb akw bdbe~`wnà n`~baa`!

○ Ekw gè~vbdkw è à |vkfa db y oimbvkw rpèkw |inè pe eýd`vk n` nkw giovbw w`b e àeýd`vk fpwgbnk8 e 4 zy8 wiènk=

○ z$ ab giovb n` abw n`gèbw nà eýd`vk e○ y$ ab giovb n` abw peinbn`w n a eýd`vk e○ N` ab ovbw` ‑Ab wpdb n` abw nkw giovbw n` pe

eýd`vk `w : — kf~è`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w= z(y 4 : *2ª `g)

○ N` ab ovbw` ‑Wi ba eýd`vk w` a` bòbnè 2: peinbn`w! à eýd`vk v`wpa~be~` `w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw è kvnè ie`vwk— kf~è`dkw ab w`cpenb `gpbgi÷e \vid`vkg÷dk wpdbdkw 2: peinbn`w ba eýd`vkfpwgbnk e! |p`w |keiènk à eýd`vk èokvdb n` peinbn`w gkdk idkw be~`w=

○ e 4 zy 4 z ³ 2< ( y 4 2<z ( y○ e (2: 4 zy (2: 4 z ³ 2< ( y ( 2: 4 2<z ( y(2:

○ W` ekw nig` rp` — à eýd`vk v`wpa~be~``w~â okvdbnk |kv abw diwdbw giovbw è kvnèie`vwk— ap`ck wi `w~` eýd`vk `w d! wpwgiovbw wke ‑z— ` ‑y—! |`vk d 4 yz Gkdkj`dkw z|v`wbnk e è peinbn`w! j`dkw n`jbg`v ak diwdk gke d! `w~k `w= d 4 yz 4 y ³2< ( z 4 2< ( z



\c 33 \vkf= 09Abw nkw giovbw n` pe eýd`vk w` nio`vègibe è peb peinbn Wi niinidkw nigjkeýd`vk è~v` à v`wpa~bnk n` ie`v~iv wpw giovbw! à gkgiè~` `w 2¾6 »Gpâa `w `wèýd`vk;

○ Fpwgbdkw pe eýd`vk n` nkw giovbw! w`b e àeýd`vk fpwgbnk8 e 4 zy8 wiènk=

○ z$ ab giovb n` abw n`gèbw nà eýd`vk e○ y$ ab giovb n` abw peinbn`w nà eýd`vk e○ _bdkw b n`w~bgbv pe n`~baa 8 n` ab ovbw` ‑Wi

niinidkw nigjk eýd`vk è~v` à v`wpa~bnk nìe`v~iv wpw giovbw! à gkgiè~` `w 2¾6—

○ W` ekw nig` rp` —  à v`wpa~bnk n` ie`v~iv wpw giovbw— ap`ck wi `w~` eýd`vk `w d! wpwgiovbw wke ‑z— ` ‑y—! |`vk d 4 yz

○ \vid`vk! gkdè~bv rp` e y d wke eýd`vkweb~pvba`w! |kv ~be~k |kwi~ikw

○ W`cpenk! wi ~è`dkw e + d 4 2¾6 … e + d 52 … e 5 d … zy 5 yz

○ @w~k ýa~idk `w ab gkd|bvbgi÷e è~v nkw

eýd`vkw eb~pvba`w n` nkw giovbw Wbf`dkwrp` à eýd`vk zy `w dbykv rp` yz wi z 5 y *kfw`vb rp` z≬y) \ke`vkw `m`d|akw= ?0 50?8 :> 5 >: 

○ N` ab ovbw` ‑Abw nkw giovbw n` pe eýd`vk w`nio`vègibe è peb peinbn— y nà n`~baa`be~`w gkdè~bnk kf~è`dkw ab |vid`vb`gpbgi÷e rp` `w= z 4 y ( 2 *2ª `g)

○ _bdkw b n`w~bgbv pe n`~baa`8 n` ab ovbw` ‑Wi niinidkw nigjk eýd`vk è~v` à v`wpa~bnk nìe`v~iv wpw giovbw! à gkgiè~` `w 2¾6— kf~è`dkw ab w`cpenb gpbgi÷e e + d 4 2¾6 …… zy + yz 4 2¾6

○ \bvb wbgbv |bv~ink b `w~b `z|v`wi÷e |ke`dkwakw eýd`vkw è okvdb n` peinbn`w gkdk

idkw be~`w=○ e 4 zy 4 z ³ 2< ( y 4 2<z ( y○ d 4 yz 4 y ³ 2< ( z 4 2<y ( z

○ @gpbgi÷e vbgikeba ap`ck abw wkapgike`w

kf~èinbw b |bv~iv n` àab jbfvâe n` w`v gkd|vkfbnbw Wid|aioigbdkw ab `z|v`wi÷e=

○ 2<z ( y 4 2¾6 ³ *2<y ( z) … 2<z ( y 4 26y (2¾6z … 2<z ( y ‗ 26y ‗ 2¾6z 4 < … :¾:z ‗ 22y4 < *6ª `g)

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db aie`ba=○ z 4 y ( 2○ :¾:z ‗ 22y 4 <



\c 33 \vkf= 09Abw nkw giovbw n` pe eýd`vk w` nio`vègibe è peb peinbn Wi niinidkw nigjkeýd`vk è~v` à v`wpa~bnk n` ie`v~iv wpw giovbw! à gkgiè~` `w 2¾6 »Gpâa `w `wèýd`vk;

○ Fpwgbdkw pe eýd`vk n` nkw giovbw! w`b e àeýd`vk fpwgbnk8 e 4 zy8 wiènk=

○ z$ ab giovb n` abw n`gèbw nà eýd`vk e○ y$ ab giovb n` abw peinbn`w nà eýd`vk e○ Gkdk ab ieg÷cei~b ‑z— `w~â n`w|`mbnb è ab

|vid`vb `gpbgi÷e fbw~b gke wpw~i~pivab è abw`cpenb=

○ :¾: ³ *y (2) ‗ 22y 4 < … :¾:y ( :¾: ‗ 22y 4 <… … :¾:y ‗ 22y 4 ‗ :¾: … ‗ 6¾6y 4 ‗ :¾: … …6¾6y 4 :¾: … y 4 :¾: + 6¾6 … y 4 >

○ Ap`ck z4 > ( 2 … z 4 0○ Wi jbg`dkw ab gkd|vkfbgi÷e è ab `gpbgi÷e

vbgikeba=

○ gkvv`g~k

○ Wkapgi÷e= @a eýd`vk fpwgbnk `w 0>%

○ _bdkw b n`w~bgbv pe n`~baa`8 n` ab ovbw` ‑Wi niinidkw nigjk eýd`vk è~v` à v`wpa~bnk nìe`v~iv wpw giovbw! à gkgiè~` `w 2¾6— kf~è`dkw ab w`cpenb gpbgi÷e e + d 4 2¾6 …… zy + yz 4 2¾6

○ \bvb wbgbv |bv~ink b `w~b `z|v`wi÷e |ke`dkwakw eýd`vkw è okvdb n` peinbn`w gkdk

idkw be~`w=○ e 4 zy 4 z ³ 2< ( y 4 2<z ( y○ d 4 yz 4 y ³ 2< ( z 4 2<y ( z

○ @gpbgi÷e vbgikeba ap`ck abw wkapgike`w

kf~èinbw b |bv~iv n` àab jbfvâe n` w`v gkd|vkfbnbw Wid|aioigbdkw ab `z|v`wi÷e=

○ 2<z ( y 4 2¾6 ³ *2<y ( z) … 2<z ( y 4 26y (2¾6z … 2<z ( y ‗ 26y ‗ 2¾6z 4 < … :¾:z ‗ 22y4 < *6ª `g)

○ Ap`ck ~è`dkw à wiw~`db aie`ba=○ z 4 y ( 2○ :¾:z ‗ 22y 4 <



\c 33 \vkf= ?<Jbaab à vbnik y ab cè`vb~vi} n` pe gkek rp` ~iè` 20 gd n` ba~pvb y gpyb âv`bab~`vba `w n` 27?ό gd6

○ Nòieidkw abw ieg÷cei~bw b |bv~iv nàèpegibnk=

○ v$ Vbnik nà gkek gd○ c$ cè`vb~vi} n a gkek gd○ @a âv`b ab~ vba n` pe gkek `w à âv`b n` peb

w`ggi÷e n` pe gävgpak |kv ~be~k

○ _iènk ab w`cpenb idbcè ~è`dkw rp` `w=

○ Ap`ck Âv`b ab~`vba nà gkek ≢ ό³c³v ○ \kv k~vk abnk j`dkw n` ~vbfbmbv gke ab ba~pvb

rp` wi a` |`cbdkw pe gkv~` ba w`cdè~kn`wn` wp év~ig` y n` okvdb |`v|ènigpabv bawp fbw` v`wpa~b à ~viâecpak nifpmbnk

○ Pe ~viâecpak v`g~âecpak Ap`ck b|bv`g` à~`kv`db n` \i~âckvbw

20 gd

c

v

\ 33 \ f ?<





○ v$ Vbnik nà gkek gd○ c$ cè`vb~vi} n a gkek gd○ N` ab ovbw` ‑pe gkek rp` ~iè` 20 gd n`

ba~pvb — y b|aigbenk à ~`kv`db n` \i~âckvbw~è`dkw=

○ c6 4 v 6 ( 206 … c6 ‗ v 6 4 660 *2ª `g)○ N` ab ovbw` ‑pe gkek rp` ~iè`   y gpyb

âv`b ab~`vba `w n` 27? ό — y wbfiènk rp` àÂv`b ab~`vba nà gkek ≢ ό³c³v ○ Kf~è`dkw ab w`cpenb `gpbgi÷e=○ ό³c³v 4 27? ό … Niiniènk |kv ό … cv 4 27?○ ^è`dkw à wiw~`db ek aie`ba=○ c6 ‗ v 6 4 660○ cv 4 27?○ N`w|`mbdkw ‑c— è ab w`cpenb `gpbgi÷e!

yb wbf`dkw rp` v ≬<! yb rp` cv 4 27?! gke akgpba ba jbg`v à n`w|`m` ek niinidkw |kv g`vkei rpi~bdkw eiecpeb |kwifa` wkapgi÷e nà|vkfa`db

○ c 4 27? + v … wpw~i~pidkw è ab w`cpenb `g20 gd

c

v

\ 33 \ f ?<





○ v$ Vbnik nà gkek gd○ c$ cè`vb~vi} nà gkek gd○ N` ab ovbw` ‑pe gkek rp` ~iè` 20 gd n`

ba~pvb — y b|aigbenk à ~`kv`db n` \i~âckvbw~è`dkw=

○ c6 4 v 6 ( 206 …c6 ‗ v 6 4 660 *2ª `g)○ N` ab ovbw` ‑pe gkek rp` ~iè`   y gpyb

âv`b ab~`vba `w n` 27? ό — y wbfiènk rp` àÂv`b ab~`vba nà gkek ≢ ό³c³v ○ Kf~è`dkw ab w`cpenb `gpbgi÷e=○ ό³c³v 4 27? ό … Niiniènk |kv ό … cv 4 27?○ ^è`dkw à wiw~`db ek aie`ba=○ c6 ‗ v 6 4 660○ cv 4 27?○ N`w|`mbdkw ‑c— è ab w`cpenb `gpbgi÷e! y

b wbf`dkw rp` v ≬<! yb rp` cv 4 27?! gke akgpba ba jbg`v à n`w|`m` ek niinidkw |kv g`vkei rpi~bdkw eiecpeb |kwifa` wkapgi÷e nà|vkfa`db

○ c 4 27? + v … wpw~i~pidkw è ab w`cpenb `g

○ ^è`dkw peb gpbgi÷e figpbnvbnb! jbg`dkwà gbdfik= v 6 4 }

○ Rp`nbenk= }6 (660} ‗ 2:>9? 4 < `g 6½cvbnk○ Ξ 4 26>?<9 5 < ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 707○ }2 4 ‗ 6:98 }6 4 ?>

○ Ab wkapgi÷e *v 6! c6) j`dkw n` n`w|v`gibvab ybrp` è ab v`bainbn ek ~iè` wè~ink pebakeci~pn e`cb~ib Gkd|vkfbdkw ab wkapgi÷e*v 2! c2) è ab `gpbgi÷e vbgikeba=

\ 33 \ f ?<





○ v$ Vbnik nà gkek gd○ c$ cè`vb~vi} nà gkek gd○ Wpw~i~pidkw a bakv n` v 4 :

○ Gkvv`g~k○ WKAPGI×E= à vbnik nà gkek din` : gd y

wp cè`vb~vi} din` 23 gd%

○ ^è`dkw peb gpbgi÷e figpbnvbnb! jbg`dkwà gbdfik= v 6 4 }

○ Rp`nbenk= }6 (660} ‗ 2:>9? 4 < `g 6½cvbnk○ Ξ 4 26>?<9 5 < ~iè` nkw wkapgike`w V y ≬○ Vbä} n` Ξ `w 707○ }2 4 ‗ 6:98 }6 4 ?>

○ Ab wkapgi÷e *v 6! c6) j`dkw n` n`w|v`gibvab ybrp` è ab v`bainbn ek ~iè` wè~ink pebakeci~pn e`cb~ib Gkd|vkfbdkw ab wkapgi÷e*v 2! c2) è ab `gpbgi÷e vbgikeba=

: gd

23 gd

solución a los problemas propuestos en 4º eso b

Documents