soluciónes localizadas de la ecuación de schrödinger ...mclerc/pdf/talks/pdnls.pdf ·...
TRANSCRIPT
OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO
Pendulo simple con forzaje vertical
γ
Ω
2ω0ω0
Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold
OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO
Pendulo simple con forzaje verticalEcuación de Mathieu:
θ = −(g
l+ γ sin(Ωt)
)sin θ − µθ (1)
γ
Ω
2ω0ω0
Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold
OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO
Pendulo simple con forzaje verticalEcuación de Mathieu:
θ = −(g
l+ γ sin(Ωt)
)sin θ − µθ (1)
γ
Ω
2ω0ω0
Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold
Parametrically driven damped pendula chain
In the continuos limit this system is decribe by
where ωο is the natural frequency, γ and ω are the amplitude and frequency of forcing, µ is the damped and k is coupled constant.
Amplitude equationThe above model can be simplified if we restrict ourselves to the small amplitude solutions, whose main harmonic frequency is close toωo. Intoducing the ansatz
where and . The amplitude satisfies the parametrically driven and damped non-linear Schrodigerequation
Nonlinear Schrodinger equation
Bifurcation diagram of the amplitude equation close to subharmonic instability
ν
γ
1
5 3
FaradayInstabilitySoliton
spatiotemporal
chaos
OscilatorySoliton Pattern
Bloch-Wall
vertical solution
Stability of uniform steady states inside Arnold's Tongue
The parametrically driven damped Non-linear Schrodingerequation,
has the uniform solution
which is unstable and marginal only for zero detuning.
ESTABILITADAD DE LA SOLUCIÓN ESTATIONARIA HOMOGÉNIA DE LA PDNLS
Variacion del espectro
Diagrama de bifurcación de la PDNLS
3©
5©
γ
ν
γ = 2µ
1©
Entonces segun la ecuación de shcrödinger paremetrica no lineale lasolución estacionaria homogénia es inestable dentro de la lengua de Arnold.
PDNLS ENMENDADO
Derivando la ecuación de amplitude con los nuevos terminos pertinantes dela expansión de Taylor, encontramos la nueva ecuación amplitud:
PDNLS Enmendado
∂τ A = −iνA− i |A|2 A− i∂2x A− µA + γA
+ia |A|4 A + γ(
b |A|2 A + cA3)
(8)
LS de la PDNLS Enmendado(b)(a)
(d)(c)
!(A
)
!(A
)
!(A
)
!(A
)
! !
-20
0
1
0xy 0
20
-1-140
-40
!(A
)
-20
40
-40-40
20
ba
40
-40
-20y x
0
1
0
!(A
)
0
20
40
20
-20
Entonces recuperamos el comportamiento del sistema inicial.
CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modelo
Hamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =
NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modelo
Hamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
~~Si = −~Si ×∂H∂~Si
(10)
CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modelo
Hamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
∂H∂~Si
= −J~Si+1 + 2J~Si − J~Si−1 + 4DSzi~ez − gµHx~ex − 2J~Si (10)
ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)
límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)
=⇒ Jdx~
(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1
dx
)→ lex∂
2x~S(x, t)
lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)
Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√
1− (M2y + M2
z ) ≈ 1− M2y +M2
z
2 + · · ·
ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)
límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)
=⇒ Jdx~
(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1
dx
)→ lex∂
2x~S(x, t)
lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)
Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√
1− (M2y + M2
z ) ≈ 1− M2y +M2
z
2 + · · ·
ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)
límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)
=⇒ Jdx~
(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1
dx
)→ lex∂
2x~S(x, t)
lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)
Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√
1− (M2y + M2
z ) ≈ 1− M2y +M2
z
2 + · · ·
CADENA DE SPINES COMO OSCILADOR NO LINEAL
Después de largos cálculos obtenemos:
Mz = −H0 (β + H0) Mz +βH0
2M3
z + (β + 2H0) ∂2x Mz
−α (β + 2H0) Mz − β2 sin(Ωt)Mz (12a)
My ≈ α
H(t)(β + H(t)) Mz (12b)
Entonces si introducimos el mismo ansatz que en la cadena de péndulollegamos a la misma ecuación de amplitud enmendado con:
ω0 =√
H0(β + H0) (13a)
µ =α
2(β + 2H0) (13b)
γ =h2(β + 2H0)
4ω0(13c)
ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS
Simulaciones numericas
Solución homogénea
My(z)
z
My(z)
z
(b)
(a)
ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS
Simulaciones numericas
KinkMy(z)
z
My(z)
z
(b)
(a)
ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS
Simulaciones numericas
Estructura Localizadade tipo horne
My(z)
z
My(z)
z
(b)
(a)
ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS
Simulaciones numericas
Estructura LocalizadaMy(z)
z
My(z)
z
(b)
(a)