Ecuación de SchrödingerPotenciales unidimensionales

Física 3 -2011 / Daniel MirabellaFacultad de Ingeniería UNMDP

)(2

2

xVm

PE

Energía de una partícula en 1D

Ecuación de Schödinger dependiente del tiempo

)(2

22

xVm

k

)(exp),( tkxitx ti 2

22

x

Solución

)(2 2

22

xVxmti

Ecuación de Schrödinger en 1D

EPlanck

khp De Broglie

),( tx Función de onda compleja de variable real que representa el estado de la ondícula

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación

Si el potencial es independiente del tiempo

El lado izquierdo de la ecuación sólo involucra la variación Ψ con t.

El lado derecho sólo involucra la variación de Ψ con x.

Proponemos asi una solución donde x y t son independientes Ψ(x,t) = (x)T(t)

Sustituyendo:

V x,t( ) =V(x)

−

h2

2m∂2

∂x2 (x)T(t)⎡⎣ ⎤⎦+V(x) (x)T(t) =ih

∂∂t

(x)T(t)⎡⎣ ⎤⎦

∂2

∂x2 (x)T(t)⎡⎣ ⎤⎦T(t)

d2dx2

−h2

2mT

d2dx2

V(x)T ih dTdt

Esta ecuación esa derivadas totales

Note que: entonces,

−

h2

2m1

d2dx2

+V(x) =ih1T

dTdt

Dividiendo ambos miembros por ψT

Note que el lado izquierdo de la Ec(3) depende sólo de x, mientras que el derecho sólo depende de t.

Dado que esto es cierto para todo x y t ambos miembros debe ser iguales a una constante A. Así,

−

h2

2mT

d2dx2

+V(x)T =ih dTdt

ih

1

T

dT

dt=A

(3)

Esta ecuación depende sólo del tiempo y da

cuenta de la evolución temporal.

Esta ecuación depende sólo de x y

determina la dependencia

espacial.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoContinuación

T (t) =ae−iEt/h

ih

1

T

dT

dt=A

dT

dt=

−iAh

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟T

T (t) =ae−iAt/h

ih

1

T

dT

dt=A

• Esto nos dice que la energía controla la evolución temporal del sistema.• Note que T(t) no depende explícitamente de V(x). Sí depende implícitamente dado que el potencial, como muestra (3), determina los valores posible de E.

(4) (5)

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoEvolución temporal

Usando que A = E en la Ec(5):

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT)

Note que la densidad de probabilidad no depende

del tiempo

P x,t( ) = x,t( )2= * (x)e+iEt/h (x)e−iEt/h

= * (x) (x) = (x)2

La solución de la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como:

Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

ExVm

P

)(

2

2

EH ExVm

P

)(

2

2

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoSoluciones de la ESIT en potenciales constantes por partes

'' + k2ψ = 0 k

2mh

[E −V(x)]

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Puede ser reescrita como

(6) donde

Notemos que (6)es una ecuación diferencial de 2do orden. Para el caso en que V(x) sea constante podemos usar la función de

prueba Ψ=exp(-ax) y así hallar su polinomio característico

a2 + k2 =0siendo las raices características ika Encontramos que (6) tiene dos posibles soluciones según

sus raices caracteristicas sean reales o imaginarias

(x) = Aexp(ikx) + Bexp(−ikx)(7)

(6)

(x) = C exp(α x) + D exp(−α x) k =

2mh

[E −V];E >V

α =

2m

h[V − E];V > E

Note que estas soluciones son la prolongación analítica una de la otra para k=+/- iα

V(x)

X

Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0

Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)

E

X1 X2 X3 X4 X5 X6

E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)

Movimiento de una partícula clásica en un potencial 1DZonas clásicamente permitidas y prohibidas en un potencial de forma arbitraria

Notemos que una partícula clásica en este caso se encuentra confinada a moverse entre los puntos de retorno xi sólo en la regiones donde E>=V(x), esto es donde tiene Ec>=0. No existen soluciones para las regiones donde V(x) >E, por lo tanto son inaccesiblesNote que para que la partícula pase de la región [x1,x2] a la [x3,x4] debe ganar una energía extra mayor a Vmax[x2,x3] - E

V(x)

x

E

Ondícula en un potencial 1D Escribimos las soluciones de la ESIT para un potencial constante por partes

Notemos que la solución de la ESIT(6) para las ZCP (k >=0), se escriben como una combinación lineal de exponenciales imaginarias

SORPRESA!! Existe solución de la ESIT(6) para las ZCX. Estas presentan valores de k imaginarios y se escriben como una combinación lineal de exponenciales reales

)exp()exp()( xikBxikAx jjjjj )exp()exp()( xDxCx lllll αα

][2

2EV

mll

α

ZCP ZCP

ZCX ZCX ZCX

Solución general para cada ZCXSolución general para cada ZCP

dónde][2

2 jj VEm

k

dónde

Debemos escribir la ESIT para cada zona

( ) 1221

2 2 EV

m

dx

dj

( ) jjj EV

m

dx

d

22

22

V(x)

x

E

Interpretando las soluciones de la ESIT para las ZCPFlujos

j (x) = A j exp(ik j x) + B j exp(−ik j x)

ZCP ZCP

ZCX ZCX ZCX

Solución general para cada ZCP

k j

2mh2 [E −Vj ]dónde

Recordemos que de la ESDT pudimos derivar la conservación del flujo de probabilidad.

tJ 2|),(| tx

J =−

ih2m

* ∂∂x

−∂ *

∂x⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟dónde y

Dado que trabajamos con soluciones de estado estacionario tenemos que

)exp()(),( Eti

xtx

Por lo tanto

22 |)(||),(| xtx 0 Jy

Esto es, el flujo de partículas se conserva para todo x.

jl =

hkl

m|Al |

2 −|Bl |2( ) =

hkl

m|Al |

2 −hkl

m|Bl |

2= jlder − jl

izq

Así podemos calcular le expresión para el flujo para la ZCPl y obtenemos

Condiciones de continuidad de la función de onda en las discontinuidades de potencial

'' + k2ψ = 0 '' =

2m

h2(E − V )ψ

Note que el comportamiento de la derivada 2da queda determinado por la diferencia (E-V) . De modo que en las discontinuidades del potencial pueden presentarse los siguientes casos:

'' '

Ψ’’ discontinua de 1er orden

)('' 0x

)('' 0x

)(' 0x)(' 0

x

Ψ’ continua

Ψ continua

''(x0+ )

)('' 0x )(' 0

x)(' 0x

Ψ continuaΨ’’ discontinua de 2do orden

Ψ’ discontinua de 1er orden

''(x0+ )

)('' 0x

V(x)

X=0

E

Escalón de PotencialAplicaciones de la ESIT

ZCP ZCP

x

Procedimiento metodológico para encontrar la/s solucione/s de la ESIT

1Determinar los puntos de discontinuidad del potencialUbicar los puntos de discontinuidad. Enumerar las zonas. Tenemos así tantas Zonas como discontinuidades +1. Tendremos así tantas ESIT y soluciones como zonas hayamos contado.

2Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaVemos como es la energia E respecto al potencial para cada zona, determinando si se trata de una ZCP(E>V) [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos)] o una ZCX [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales reales].3Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Evaluamos el cambio que experimenta la energía respecto del potencial en cada punto de discontinuidad y según corresponda aplicamos las condiciones de continuidad correspondiente.

V=V0

Modelo

V(x)

X=0

E

Escalón de PotencialCálculo para E>V0

ZCP ZCP

x

1Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.

V=V0

P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?R:Que las partículas experimenten un cambio en la Ec (y por lo tanto en su velocidad). Disminuye en caso que las partículas viajen de izquierda a derecha o aumente en caso que lo hagan en sentido contrario.

Veamos ahora que ocurre con las ondículasSiguimos el procedimiento que propusimos anteriormente

2Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaComo E es mayor que V para todo x, entonces las zonas 1 y 2 son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas en la zona 1 y 2 son distintas mkmPEc ii 22 222

)(2

,0 022 VEm

kx

)exp()exp()( 222 xikDxikCx donde

)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em

kx21

2,0

donde

El análisis efectuado hasta el momento ha sido suficientemente general al punto que aún no hemos definido desde donde inciden las ondículas. Nótese que si inciden de la izquierda en esta caso representa en flujo de incidente. En este caso no tiene sentido físico el flujo . Por lo tanto podemos reescribir las CC.

Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación)

V(x)

X=0

EZCP ZCP

x

V=V0

3Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua.

21 ||)( Amk

CkkAk )(2 211

)0()0( 21 )0(')0(' 21 y

DCBA )()( 21 DCikBAik y

Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene

BkkAkk )()( 2121

22 ||)( Dmk

Donde R se conoce con el nombre de coeficiente de reflexión y T se conoce como coeficiente de transmision. R+T=1 expresa la conservación del flujo de probabilidad.

Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación 2)

V(x)

X=0

E

A C

x

V=V0

oTransmitidreflejadoincidente JJJ

TRAk

Ck

A

B

J

J

J

J

incidente

trasmitido

incidente

reflejado 1;||

||

||

||1;1

21

22

2

2

Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que

)0()0( 21 JJ 2

22

12

1 ||)(||)(||)( CmkBmkAmk B

Ondículas incidentes

Ondículas Transmitid

as

Ondículas reflejadas

Sorpresa!!. No teniamos esto en el caso clásico

Dado que se conoce el flujo incidente dividiendo miembro a miembro por este se obtiene

Piense acerca de este razonamiento y trate de sacar conclusiones.

Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de reflexión y transmisión

V(x)

X=0

E

A C

x

V=V0

Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión

B

MUY INTERESANTE: Note que tanto R(E) como T(E) no dependen ni de m (la masa de la partícula) ni de h la constante de Planck. Es decir que este resultado debería ser aplicable a un electrón, un protón, un mosquito, un tren... Y por supuesto también Ud!!

20

20

212

212

2

2

)(

)(

)(

)(

||

||

EVE

EVE

kk

kk

A

BR

T k2 | C |2

k1 | A |2

4k1k2

(k2 k1)2

4 E(E V0)

( E V0 E )2

Note que a diferencia de lo que se espera clásicamente T=1 solo si E>>V0

CURIOSIDAD: Note que tanto R(E) como T(E) son simétricos frente ante un cambio de x -> -x, esto es, permutar k1 con k2. Por lo tanto las ondículas experimentan el mismo cambio tanto al subir como al bajar el escalón.

V(x)

X=0

E

Escalón de PotencialCálculo para E<V0

ZCP ZCX

x

1Determinar los puntos de discontinuidad del potencialEn este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.

V=V0

P:Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?R:Que las partículas reboten todas en x=0 y regresen hacia la izquierda.x=0 es un punto de retorno clásicoVeamos ahora que ocurre con las ondículasSiguimos el procedimiento que efectuado anteriormente

2Determinamos la naturaleza de la solución para cada zonaE es mayor que V para x<0 entonces la zona 1 corresponde a una ZCP. La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). En el caso de la zona 2 E<V (ZCX) La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales reales.

)(2

,0 02EV

mx

α)exp()exp()(2 xDxCx αα donde

)exp()exp()( 111 xikBxikAx Em

kx21

2,0

donde

En este caso no cabe duda que que las ondículas deben incidir desde la izquierda. Nótese que si inciden de la izquierda, nuevamente que representa el flujo incidente.

Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación)

V(x)

X=0

E

ZCP ZCX

x

V=V0

3Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto la derivada 1era es continua y la función

)0()0( 21 )0(')0(' 21 y

DBA DBAik α )(1y

Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene

)exp()exp()(2 xDxCx αα Notemos que | 2 (x) |2 representa la probabilidad de encontrar a la partícula para x>0 y se debe cumplir que

0

22 |)(| dxx )exp()exp()(2 xDxCx αα debe ser finita,

entonces

C=0

21 ||)( Amk

Escalón de Potencial (E<V)Cálculando el coeficiente de reflexión y transmisión

V(x)

X=0

E

A

x

V=V0

Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión

B

1||

||

||

||2

1

21

2

2

αα

ik

ik

A

BR

T J2

J1

0

Note que obtenemos lo que se espera clásicamente R=1 y T=0

Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que

)0()0( 21 JJ 21

211 ||)(||)( BmkAmkJ

xxm

iJ

*2

22*

22 2

Dado que 2 es real J2=0

Longitud de penetración

De las desigualdades de Heisenberg

⇒ E + ΔE ; Vo

Escalón de Potencial (E<V)Interpretando la solución en la ZCX

2***22 ))1(exp()2exp(),(),( DDxDDtxtx α

para Δx ≈ 1 / α = h /

2m

h2(V0 − E)

Una ondícula en el Escalón de Potencial (E<V)Reflexión de la ondícula.