Situaciones y la funcin exponencial asociada

Ejemplo 1:

Una poblacin de canguros, cuenta inicialmente con 200 individuos y se duplica cada 3 aos. Si x representa la cantidad de aos transcurridos y P(x) la poblacin de canguros despus de x aos. Cul es la frmula asociada a la funcin P(x)?

Solucin:

La siguiente tabla muestra los valores de P(x) para algunos valores de x:

x

0

3

6

9

P(x)

200

400

800

1600

Notando que, cuando x aumenta por 3, la poblacin se multiplica por 2, la tabla anterior se puede expresar como:

x

0

3

6

9

P(x)

200=20020

400=20021

800=20022

1600=20023

Observando la tabla anterior, podemos ver que la frmula para la poblacin es:

P (x) = 200 2x

Ejemplo 2:

Una poblacin de aves, cuenta inicialmente con 10 individuos y se triplica cada 5 aos. Si x representa la cantidad de aos transcurridos y P(x) la poblacin de aves despus de x aos. Cul es la frmula asociada a la funcin P(x)?

Solucin:

La siguiente tabla muestra los valores de P(x) para algunos valores de x:

x

0

5

10

15

P(x)

10

30

90

270

Notando que, cuando x aumenta por 5, la poblacin se multiplica por 3, la tabla anterior se puede expresar como:

x

0

5

10

15

P(x)

10=1030

30=1031

90=1032

270=1033

Observando la tabla anterior, podemos ver que la frmula para la poblacin es:

P (x) = 10 3x

Ejemplo 3:

Una mquina industrial cuyo precio de compra fue de $10000 se deprecia 1/10 cada 6 aos. Si x representa la cantidad de aos transcurridos y P(x) el valor de la mquina despus de x aos. Cul es la frmula asociada a la funcin P(x)?

Solucin:

La siguiente tabla muestra los valores de P(x) para algunos valores de x:

x

0

6

12

18

P(x)

10000

1000

100

10

Notando que, cuando x aumenta por 6, el valor de la mquina se multiplica por 9/10, la tabla anterior se puede expresar como:

x

0

6

12

18

P(x)

10000 = 10000 ( 1 10 ) 0

1000 = 10000 ( 1 10 ) 1

100 = 10000 ( 1 10 ) 2

10 = 10000 ( 1 10 ) 3

Observando la tabla anterior, podemos ver que la frmula para la poblacin es:

P x = 10000 1 10x

Ejemplo 4:

La vida media del carbono 14 es de 5 668 aos. Es decir para una determinada cantidad de carbono 14, quedar la mitad de la cantidad original despus de 5 668 aos. Se tiene una muestra de 25gr. Si x representa la cantidad de aos transcurridos y P(x) la masa en gramos de carbono 14 despus de x aos. Cul es la frmula asociada a la funcin P(x)?

Solucin:

La siguiente tabla muestra los valores de P(x) para algunos valores de x:

x

0

5 668

11336

17004

P(x)

25

12.5

6.25

3.125

Notando que, cuando x aumenta por 5668, la masa del carbono 14 se multiplica por 1/2, la tabla anterior se puede expresar como:

x

0

5 668

11336

17004

P(x)

25 = 25 ( 1 2 ) 0

12.5 = 25 ( 1 2 ) 1

6.25 = 25 ( 1 2 ) 2

3.125 = 25 ( 1 2 ) 3

Observando la tabla anterior, podemos ver que la frmula para la poblacin es:

P(x )= 25 ( 1 2 )x 5668

Nota que en los ejemplos 1 y 2 la funcin es creciente, es decir el valor de la funcin crece a medida que crece x. En los ejemplos 3 y 4 la funcin es decreciente, es decir el valor de la funcin decrece a medida que crece x.

x

0

1

2

3

f(x)

4

16

64

256

Si la tabla de arriba representa una funcin exponencial, escriba una frmula que represente esa misma funcin. La respuesta correcta es: f(x) = 4*4^(x)

Solucin

Necesitamos una frmula que represente la funcin exponencial de la tabla. Como f es exponencial, tiene la forma f(x)=abx con b>0 y b0 De la tabla,

f(0)=4.

Pero,

f(0)=ab0=a.

As que,

a=4 y f(x)=4bx.

De la tabla,

f(1)=16 16=4b1 b=4.

As que,

f(x)=4*4x.

x

0

1

2

3

f(x)

-3

-15

-75

-375

Si la tabla de arriba representa una funcin exponencial, escriba una frmula que represente esa misma funcin.

Solucin

Necesitamos una frmula que represente la funcin exponencial de la tabla. Como f es exponencial, tiene la forma f(x)=abx con b>0 y b0 De la tabla,

f(0)=-3.

Pero,

f(0)=ab0=a.

As que,

a=-3 y f(x)=-3bx.

De la tabla,

f(1)=-15 -15=-3b1 b=5.

As que,

f(x)=-3*5x.

x

0

1

2

3

f(x)

3

6

12

24

Si la tabla de arriba representa una funcin exponencial, escriba una frmula que represente esa misma funcin.

x

0

1

2

3

f(x)

-4

-20

-100

-500

Si la tabla de arriba representa una funcin exponencial, escriba una frmula que represente esa misma funcin.

Solucin

Necesitamos una frmula que represente la funcin exponencial de la tabla. Como f es exponencial, tiene la forma f(x)=abx con b>0 y b0 De la tabla,

f(0)=-4.

Pero,

f(0)=ab0=a.

As que,

a=-4 y f(x)=-4bx.

De la tabla,

f(1)=-20 -20=-4b1 b=5.

As que,

f(x)=-4*5x.

x

0

1

2

3

f(x)

-3

-15

-75

-375

Si la tabla de arriba representa una funcin exponencial, escriba una frmula que represente esa misma funcin.

x

0

1

2

3

f(x)

-2

-4

-8

-16

Si la tabla de arriba representa una funcin exponencial, escriba una frmula que represente esa misma funcin.

Solucin

Necesitamos una frmula que represente la funcin exponencial de la tabla. Como f es exponencial, tiene la forma f(x)=abx con b>0 y b0 De la tabla,

f(0)=-2.

Pero,

f(0)=ab0=a.

As que,

a=-2 y f(x)=-2bx.

De la tabla,

f(1)=-4 -4=-2b1 b=2.

As que,

f(x)=-2*2x.