Función exponencial

Profesor: Víctor Pino Bórquez

Función exponencial

Observa las siguientes gráficas para determinar las características de esta función.

• Caso I. Función exponencial f(x) = ax, con a > 1.

• En el mismo sistema de coordenadas graficaremos las siguientes funciones:

Antecedentes a considerar

a) La curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, para los valores de a: 2, 4, 9 y 100, intersecta al eje de las ordenadas (Y) en el punto (0,1). No hay intersección con el eje X.

b) El dominio de la función son todos los números reales.

c) Su recorrido son los números reales positivos.

d) La función es creciente para todo valor de x.

e) Es asintótica al eje X.

• Caso II. Función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1.

Graficaremos en el mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones:

Antecedentes a considerar

a) La curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, con

0 < a < 1, intersecta al eje Y en el punto (0, 1). No hay intersección con el eje X.

b) La función es decreciente para todo valor real de x.

c) Los números reales son el dominio de la función; y el recorrido, los reales positivos.

d) Es asintótica al eje X.

Caso particular

Si la base de la función es el número real 1, la función es

f(x) = 1x.

Se observa que para todo valor real de x se tiene que f(x) = 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje de las abscisas X, es decir, se trata de una función constante, por lo que no se habla de una función exponencial.

• En resumen:

Aproximándonos al número e

El número e surge del estudio de la función definida por

, donde x es un número positivo.

Estudiaremos los valores de la función a medida que x aumenta.

A considerar Como observas, a medida que los valores de x aumentan, el valor de la función f(x) se aproxima al valor 2,71828… O dicho de otra forma, a medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes, la función f(x) se aproxima al número e.

El gráfico de la función muestra que f(x) tiende a estabilizarse en la medida en que x aumenta.

Función exponencial naturalUna función exponencial especialmente importante es f(x) = ex, cuya base es el número irracional e, y x perteneciente a los números reales. Para estudiar f(x) = ex graficaremos las siguientes funciones:

xexf )( xexg )(

En resumen:

Función exponencial y función logarítmica

Dada y = bx, determinemos la función inversa de y, para b > 0, b = 1, para esto debemos despejar x en función de y.

Para realizar un mejor análisis graficaremos ambas funciones. Caso I: Si b > 1 Caso II: Si 0 < b < 1

En síntesis:• Ambas funciones son simétricas con respecto a la recta y = x.• El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales

positivos, lo cual corresponde al recorrido de la función exponencial.• El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los números

reales y corresponde al dominio de la función exponencial.

Caso particular:

• La función inversa de y = ln x• Si y = ln x y = log⇒ e x, luego, por definición de logaritmo se

tiene que ey = x.• Por lo tanto, y-1 está dada por la función y = ex.

Ecuaciones exponenciales

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: