SISTEMAS DE REPRESENTACIN GENERALIDADES Todos los sistemas de representacin, tienen como objetivo representar sobreuna superficie bidimensional, como es una hoja de papel, los objetos que sontridimensionales en el espacio. Con este objetivo, se han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas derepresentacin. Pero todos ellos cumplen una condicin fundamental, la reversibilidad , es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, losdiferentes sistemas permiten una representacin bidimensional de dicho objeto, deigual forma, dada la representacin bidimensional, el sistema debe permitir obtener laposicin en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto.Todos los sistemas, se basan en la proyeccin de los objetos sobre un plano,que se denomina plano del cuadro o de proyeccin , mediante los denominados rayos proyectantes . El nmero de planos de proyeccin utilizados, la situacinrelativa de estos respecto al objeto, as como la direccin de los rayos proyectantes,son las caractersticas que diferencian a los distintos sistemas de representacin. SISTEMAS DE PROYECCIN En todos los sistemas de representacin, la proyeccin de los objetos sobre elplano del cuadro o de proyeccin, se realiza mediante los rayos proyectantes, estosson lneas imaginarias, que pasando por los vrtices o puntos del objeto, proporcionanen su interseccin con el plano del cuadro, la proyeccin de dicho vrtice o punto.Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, lo que sedenomina punto impropio, todos los rayos sern paralelos entre s, dando lugar a laque se denomina, proyeccin cilndrica . Si dichos rayos resultan perpendiculares alplano de proyeccin estaremos ante la proyeccin cilndrica ortogonal , en el casode resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyeccin cilndricaoblicua .Si el origen de los rayos es un punto propio, estaremos ante la proyeccincentral o cnica .. Proyeccin cilndrica ortogonal Proyeccin cilndricaoblicua Proyeccin centra l o cnica 1

Proyeccin cilndrica ortogonal Proyeccin cilndricaoblicua Proyeccin central o cnica

SISTEMA DE PROYECCIN Un sistema de proyeccin es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyeccin de un objeto sobre una superficie. Como puede observarse en la fig.1, en todo sistema de proyeccin intervienen cuatro elementos, denominados:

a)

Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, slido, etc; en fin cualquier elemento geomtrico objeto en s. b) Punto de observacin. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio. c) Superficie de proyeccin. Es la superficie sobre la cual se proyectar el objeto. Generalmente es un plano; aunque tambin puede ser una superficie esfrica, cilndrica, cnica, etc.

d)

Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observacin. fig.1.\ Sistema de proyeccin

La proyeccin (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyeccin. PROYECCIN CILNDRICA Se obtiene cuando el punto de observacin se encuentra a una distancia tan grande del objeto, que permita considerar que las proyectantes son paralelas al interceptarse con el plano de proyeccin (fig.2). Los principales tipos de proyeccin cilndrica son: fig.2.\ Proyeccin cilndrica

1) Proyeccin ortogonal. Tambin denominada proyeccin ortogrfica. Se obtiene cuando las proyectantes son perpendiculares al plano de proyeccin. La proyeccin ortogonal es muy utilizada en el diseo de piezas mecnicas y maquinarias\ fig.2a. Los principales tipos de proyeccin ortogonal son: i) Proyeccin en vistas mltiples. Cada vista es una proyeccin ortogrfica. Para obtener una vista se coloca el plano de proyeccin preferentemente paralelo a una de las caras principales del objeto\ fig.3.

fig.3.\ Vista ortogrfica

Los objetos se representan generalmente en tres vistas ortogrficas. Los mtodos utilizados para determinar estas vistas son: A) Proyeccin en el sptimo triedro (sptimo octante). Usado en los Estados Unidos y Canad.\ fig.4. fig.4.\ Proyeccin en vistas mltiples en el sptimo triedro

B) Proyeccin en el primer triedro (primer octante). Usado en todo el mundo, excepto en los Estados Unidos y Canad.\ fig.5. fig.5.\ Proyeccin en vistas mltiples en el primer triedro

ii) Proyeccin acotada. Es una proyeccin ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, lnea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyeccin\ fig.6. La proyeccin acotada es muy prctica cuando es necesario representar grficamente objetos irregulares; razn por la cual se usa frecuentemente para el diseo de techos de viviendas; construccin de puentes, represas, acueductos, gasoductos, carreteras, determinacin de reas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos topogrficos de plantas y perfiles de terrenos, entre otros. fig.6.\ Proyeccin acotada

iii) Proyeccin axonomtrica. Se obtiene cuando el plano de proyeccin no es paralelo a ninguno de los tres ejes principales del objeto\ fig.7. fig.7.\ Proyeccin axonomtrica

La proyeccin axonomtrica, dependiendo de los ngulos que forman entre s los ejes axonomtricos (proyecciones de los ejes principales del objeto), se denomina: A) Proyeccin isomtrica. Se obtiene cuando los tres ngulos que forman los ejes axonomtricos son iguales. Al representar objetos en proyeccin isomtrica se mide en una misma escala sobre los tres ejes isomtricos.\ fig.8 fig.8.\ Proyeccin isomtrica

B) Proyeccin dimtrica. Se obtiene cuando solo dos de los tres ngulos que forman los ejes axonomtricos son iguales. Al representar un objeto en proyeccin dimtrica debe medirse en dos de los ejes axonomtricos con una misma escala y con una escala diferente en el tercer eje axonomtrico. La forma grfica de determinar la relacin entre las escalas sobre los tres ejes axonomtricos para cualquier distribucin de los mismos, se muestra en la fig.10. No obstante, en la fig.9, se muestran tres distribuciones muy usadas de ejes dimtricos con sus respectivas escalas, estas proporciones difieren muy poco de los valores tericos reales, los cuales de ser usados difucultarin grandemente la ejecucin de la dimetra. fig.9.\ Proyecciones dimtricas

C) Proyeccin trimtrica. Se obtiene cuando los tres ngulos que forman los ejes axonomtricos son diferentes. En la proyeccin trimtrica cada eje axonomtrico posee su propia escala diferente a la de los otros dos.\ fig.10 fig.10.\ Proyeccin trimtrica

2) Proyeccin oblicua. Se obtiene cuando las proyectantes no son perpendiculares al plano de proyeccin (fig.2b). Preferentemente al dibujar en proyeccin oblicua se coloca el plano de proyeccin paralelo a una de las caras principales del objeto; ya que de esta forma dicha cara se proyectar en verdadero tamao\ fig.11. fig.11.\ Proyeccin oblicua

Al definir una proyeccin oblicua el eje recedente (eje de profundidad del objeto) se puede proyectar formando cualquier ngulo ( o) con respecto a los otros dos; e independientemente de este ngulo ( o), la profundidad del objeto se puede proyectar tambin en cualquier longitud (tericamente hasta una longitud infinita). Por lo tanto, al dibujar en proyeccin oblicua, se traza el eje recedente a cualquier ngulo, y se miden las profundidades sobre el en cualquier escala\ fig.12. fig.12.\ Proyeccin oblicua

Sin embargo, la escala a utilizar para el eje recedente debe elegirse en forma intuitiva, en funcin del ngulo en que se dibuje, de modo que la representacin del objeto muestre una apreciacin real de su forma y proporciones. Entre las proyecciones oblicuas mas utilizadas se pueden mencionar: i) Proyeccin caballera\ Se origin en el dibujo de las fortificaciones medievales.\ fig.13 fig.13.\ Proyeccin caballera

ii) Proyeccin de gabinete\ Recibe este nombre debido a que se us grandemente en la industria del mueble.\ fig.14 fig.14.\ Proyeccin de gabinete

iii) Proyeccin oblicua area. Es una proyeccin oblicua realizada sobre un dibujo en planta de una edificacin, urbanismo, etc. con la finalidad de apreciar su forma tridimensional\ fig.15. fig.15.\ Proyeccin oblicua area

PROYECCIN CNICA Denominada tambin perspectiva. Se obtiene cuando el punto de observacin y el objeto se encuentran relativamente cercanos\ fig.16. fig.16.\ Proyeccin cnica

Geomtricamente, una fotografa es una perspectiva; razn por la cual la proyeccin cnica sobrepasa en excelencia a los dems sistemas de proyeccin por ser la que mas se acerca a la vista real obtenida por el observador. El dibujo en perspectiva es muy utilizado en el diseo arquitectnico, civil, industrial, publicitario, etc. Las perspectivas pueden ser: 1) Perspectiva de un punto de fuga. Se obtiene cuando el plano de proyeccin es paralelo a una de las caras principales del objeto (el plano de proyeccin es paralelo a dos de los tres ejes principales del objeto)\ fig.17.

fig.17.\ Perspectiva de un punto fuga

2) Perspectiva de dos puntos de fuga. Se obtiene cuando el plano de proyeccin es paralelo a solamente uno de los tres ejes principales del objeto\ fig.18. fig.18.\ Perspectiva de dos puntos de fuga

3) Perspectiva de tres puntos de fuga. Se obtiene cuando ninguno de los tres ejes principales del objeto es paralelo al plano de proyeccin\ fig.19. fig.19.\ Perspectiva de tres puntos de fuga

Las perspectivas de uno, dos, y tres puntos de fuga, pueden dibujarse en forma sencilla a partir de las proyecciones en vistas mltiples, como se muestra en las fig.20; fig.21; y fig.22, respectivamente. fig.20.\ Dibujo de una perspectiva de un punto de fuga

fig.21.\ Dibujo de una perspectiva de dos puntos de fuga

fig.22.\ Dibujo de una perspectiva de tres puntos de fuga

SISTEMASDEPROYECCION PRACTICA N 10 INTRODUCCION: Un sistema de proyeccin permite la representacin de una superficie curva sobre un plano. En cartografa un sistema de proyeccin es aquel que permite la representacin de toda o una parte de la superficie terrestre sobre una figura geomtrica que puede ser llevada a dos dimensiones (plano) .Estas figuras geomtricas son el cilindro, el cono y el plano. Entonces, dependiendo de la figura sobre la cual se realiza la proyeccin se tienen:y

Proyecciones Cilndricas

y y

Proyecciones Cnicas Proyecciones Azimutales (sobre un plano).

La proyeccin de una superficie curva altera en mayor o menor grado, las distancias ngulos y reas. Sin embargo hay proyecciones que conservan alguna de estas caractersticas.y y y

Proyecciones equidistantes conservan las distancias. Proyecciones conformes conservan los ngulos Proyecciones equireas conservan las reas.

Segn como estn representadas los paralelos y meridianos se puede establecer de qu proyeccin se trata. En algunos mapas dentro de la informacin marginal que poseen, aparece indicado el sistema de proyeccin utilizado como tambin si conserva alguna caracterstica especial, adems de la superficie bsica de referencia (elipsoide) y el origen de coordenadas. OBJETIVOS: Conocer mapas de diferentes pases e identificar el sistema de proyeccin. Analizar y discutir l por qu de los diferentes sistemas de proyeccin, utilizados por algunos pases. INTRUCCIONES: Observe el material cartogrfico entregado, analice como estn representados los paralelos y meridianos, adems qu tipo de coordenadas encuentra usted: geogrficas (latitud y longitud) o planas (x,y). Observe detenidamente el mapa y detalle si en la informacin marginal hay alguna indicacin sobre el elipsoide, sistemas de proyeccin y origen de coordenadas. CUESTIONARIO: Cules considera usted que sean las razones para utilizar determinado sistema de proyeccin? Considera que la figura geomtrica sobre la que se realiza la proyeccin puede ser secante al elipsoide terrestre? En que casos considera usted que la superficie terrestre se puede asumir como una esfera?

Qu superficie de referencia (elipsoide) adopt Colombia para todos los trabajos cartogrficos, Geodsicos etc...? por qu? Qu proyeccin utiliza Colombia para su cartografa, que caractersticas tiene? Se podra cambiar de sistemas de proyeccin? De acuerdo a un trabajo especfico que requiera una condicin especial, usted recomendara algn sistema de proyeccin? Ejemplo: para una carta de navegacin lo importante son las direcciones, por lo tanto se requiere una proyeccin que conserve esta condicin. 7. Explique que son los smbolos convencionales y como los clasificara. La GEOMETRIA dESCRIPTIVA se vale de varios sistemas de proyeccin. Los principales sistemas son Sistema de Representacin cnica o Central y Sistema de Representacin Cilndrica o paralelo.

Para el Sistema de Representacin Cnica en Prepectiva, las formas se suponen apoyadas sobre un plano-horizontal-que es la tierra.El observador se sita frente a la forma y al plano del cuadro. La interseccin del plano de tierra y el plano del cuadro se llama lnea de tierra o traza.

Sistema de Representacin Cilndrico o paralelo.La imgen se obtiene por proyeccin cilndrica sobre un plano. Si el centro de proyeccin o punto de vista se sita sobre una lnea perpendicular al plano de proyeccin , se llama proyeccin cil+ndrica ortogonal y es la ms utilizada.

Sistema de proyeccines acotadas. No recuerdo bin pero se anotan las cotas o distancias en cierta escala.

Sistema de Proyeccin Didrica o Monge Aqui la distancia de cada punto llamado objetivo queda identificada por las proyecciones sobre dos planos refereenciales, llamados tambin diedro recto de referencia.

Sistema Axonomtrico. Consiste en hallar las proyecciones ortogonales del cuerpo sobre los tres planos coordenados x,y,z, espaciales. Sirve para notar las tres dimensiones mediante tres proyecciones.

Sistema de Perspectiva caballera: Tambin la recuerdo como sistema. GEOMETRA DESCRIPTIVA La Geometra Descriptiva es la ciencia de representacin grfica, sobre superficies bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, lneas y planos. La Geometra Descriptiva es para el dibujo como la gramtica es para el lenguaje. El matemtico francs Gaspar Monge (1746-1818) organiz y desarrollo la ciencia de la Geometra Descriptiva a finales del siglo XVII. Con posterioridad a su muerte, en su homenaje por los aportes que brind en este campo, la

Geometra Descriptiva tambin se conoce como Mtodo Monge. Cumple dos objetivos principales: el primero facilitar el mtodo para representar sobre un papel que posee dos dimensiones longitud y latitud; todos los cuerpos de la naturaleza, que tienen tres dimensiones, longitud, latitud y profundidad. El segundo objetivo es dar a conocer por medio de una exacta descripcin la forma de los cuerpos, y deducir todas las verdades que resultan, bien sean de sus formas, bien de sus posiciones respectivas. SISTEMAS DE PROYECCIN Un sistema de proyeccin es aquel conjunto de mtodos grficos bidimensionales que permiten presentar un objeto tridimensional. Uno de estos sistemas es la Proyeccin Didrica y que consiste en la utilizacin de dos planos de proyeccin que reflejan dos vistas diferentes de un objeto tridimensional. Estos dos planos de proyeccin son perpendiculares entre s, es decir ortogonales, y por lo general son suficientes para representar las dimensiones de un objeto en el espacio. Los elementos que intervienen en el sistema son los siguientes:

Planos de proyeccin: Son planos ortogonales entre s (vertical o PV y horizontal o PH) sobre los cuales se realizan las proyecciones. Su interseccin se llama Lnea de Tierra (LT). Se usan dos planos como mnimo para determinar una forma.

Proyecciones: nos referimos a la sombra de los elementos sobre los planos de proyeccin. Por ejemplo, el punto p se proyecta en p1 y p2, tambin llamados p y p (Figura 1). Lneas de referencia: Las lneas pp1 y pp2 determinan un plano que se corta con los de proyeccin en p2 p0 y p1p0 (Figura 2). Estas rectas son perpendiculares a la lnea de tierra. Trazas: llamamos de esta manera, a la interseccin de cualquier entidad (punto, recta, plano, cuerpo) con los planos de proyeccin. Figura 1 Figura