sistemas de primer orden
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Sistemas de primer orden
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden auna ecuación diferencial de primer orden
)()()(
00 trbtcadttdc =+
La función de transferencia es:
0
0
)()(
asb
sRsC
+=
reacomodando términos también se puede escribir como:
1)()(
+=sK
sRsC
τdonde
0
0
ab
K = , es la ganancia en estado estable,
0
1a
=τ , es la constante de tiempo del sistema.
el valor τ1
0 −=−= as se denomina polo.
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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada impulso
)()(0
0 sRasb
sC+
= 1)( =sR
+= −
0
10
1)(
asbtc L
taebtc 00)( −=
La salida en Laplace es
Utilizando transformada inversa de Laplace
Se obtiene la salida en función del tiempo
se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de τ
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
)(tct0
τ0367879.0 b
0135335.0 b
0b
τ2τ3τ4
0049787.0 b
0018315.0 b
respuesta al impulso
0b
t
0367879.0 b
τ
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada escalón demagnitud A
)()(0
0 sRasb
sC+
=sA
sR =)(
+= −
)(1
)(0
10 ass
Abtc L
)1()( 0taeAKtc −−=
Utilizando transformada inversa de Laplace
La salida en Laplace es
Se obtiene la salida en función del tiempo
Ahora se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de τ
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
respuesta al escalón
AK
t
AK632120.0
τ
AK981684.0
τ4
)(tct
0
τ AK632120.0
0
τ2τ3τ4
AK864664.0
AK950212.0
AK981684.0
Comentarios:•La constante de tiempo ( τ ) es igual al tiempo que tarda la salida enalcanza un 63.212% del valor final.
•Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos seconsidera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentajedel valor final. Se usan dos criterios: el del 98%( ) y el del 99,3% ( )τ4 τ5
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Respuesta de un sistemas de primer orden ante una entrada rampa demagnitud A
Utilizando transformada inversa de Laplace
La salida en Laplace es
)()(0
0 sRasb
sC+
= 2)(s
AsR =
+= −
)(
1)(
02
10
assAbtc L
taeAKtAKtc 0)()( −+−= ττ
Se obtiene la salida en función del tiempo
Attr =)(
respuesta a la rampa
AKt
tτ
Sistemas de primer orden 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
taeAKtAKtc 0)()(
−+−= ττ
τAK
τerror en estado estable
Nota:Es importante aclarar que la entrada es de pendiente A, mientras que la salida presentapendiente AK desfasada seg.
En otras palabras siempre que laganancia en estado estable (K) delsistema no sea igual a uno, existirá un error en estado estableinfinito.
τ
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Ejercicio:
Con lo visto anteriormente se observa que es posible lo siguiente:1. De la función de transferencia y conociendo la entrada, obtener la salida.2. De una gráfica (o datos) de respuesta de salida obtener la función de transferencia.
Un circuito RL tiene la siguiente función de transferencia.
LRsL
sVsI
+=
1
)()(
Desarrollo:No se necesita usar fracciones parciales o transformada inversa, basta normalizar la función de transferencia para visualizar la respuesta:
cuando se aplica una entrada escalón de )(ti volt1Determinar la corriente
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entonces directamente se obtiene la ecuación:
)1(1
)(tLR
eR
ti−
−=
t
RL
R1
RL2
RL3
RL4
1
1
)()(
+=
sRLR
sVsI KR =1 Ganancia en estado
estable
τ=RL Constante de tiempo
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Ejercicio:
Una cautín se conecta a una alimentación de voltaje monofásica 127 volts. Debe alcanzar una temperatura estable de 325°C y tarda 130 segundos en alcanzar un 98% de ese valor. Determine la función de transferencia de primer orden que represente mejor esta respuesta.
Desarrollo:Se define la ganancia en estado estable:
559.2127325 ===
entradadeVoltajeestableestadoenaTemperatur
K
Se determina la constante de tiempo:Usando el criterio del 2% de error, se determina el tiempo que tarda la salida en alcanzar un 98% de su valor, se divide entre 4 y se obtiene la constante de tiempo.
5.324130 ==τ
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por último se sustituye en la forma:
1)(
+=sK
sGτ
15.32559.2
)()(
+=
ssVsT
La función de transferencia que relaciona la temperatura con el voltaje es
30769.0078738.0
)()(
+=ssV
sT