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Análisis

Sistemas Electrónicos de Control

Álvaro Gutiérrez14 de febrero de 2018

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www.robolabo.etsit.upm.es

N

Índice

1 EstabilidadTabla RouthEjemplos

2 Análisis en el Dominio del TiempoSistemas de primer ordenSistemas de segundo ordenRégimen transitorioRégimen permanente

3 Análisis en el Dominio ComplejoLugar de RaícesEjemplosParámetros característicos

N




N

Polos dominantes y estabilidad

I Los polos en lazo cerrado con efectos dominantes sellaman polos dominantes en lazo cerrado

I Si algún polo se encuentra en el semiplano derecho delplano s, el sistema es inestable

I Si todos los polos se encuentran en el semiplanoizquierdo del plano s, el sistema es estable

I La estabilidad es una propiedad del sistema, nodepende de la entrada

I Si los polos dominantes complejos conjugados seencuentran cerca del eje jω, tendremos oscilacionesabundantes y una respuesta lenta

N

Estabilidad

I Lyapunov: Un sistema es estable en el sentido deLyapunov si al introducir una pequeña perturbación a laentrada, se produce un pequeño movimiento a la salida.

I BIBO:Un sistema es estable en el sentido BIBO si parauna entrada acotada su salida está acotada.

Sea P(s) = a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an

I Hurwitz: El polinomio P(s) es estable en el sentido deHurwitz si las raíces de la ecuación P(s) = 0 tienen partereal negativa distinta de cero.

Sea P(z) = a0zn + a1zn−1 + · · ·+ an−1z + an

I Schur: El polinomio P(z) es estable en el sentido de Schursi las raíces de la ecuación P(z) = 0 tienen módulo mejorque la unidad.

N




N

Criterio de estabilidad de RouthI Sea P(s) = a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + anI Condición necesaria de estabilidad: ai > 0,∀iI Tabla de Routh:

sn : a0 a2 a4 . . .sn−1 : a1 a3 a5 . . .sn−2 : b1 b2 b3 . . .sn−3 : c1 c2 c3 . . .sn−4 : d1 d2 d3 . . ....

......

...s2 :s1 :s0 :

bi =a1a2i − a0a2i+1

a1

ci =b1a2i+1 − a1bi+1

b1

di =c1bi+1 − b1ci+1

c1· · ·

I Condición necesaria y suficiente: ai > 0, ∀i y todos lostérminos de la primera columna del array con signopositivo (a0, a1, b1, c1, d1, ...)

N

Estabilidad Routh - Casos especiales

I Término de la primera columna es 0. Se aproxima por ε.I Sin cambio de signo: Raíces imaginariasI Cambio de signo: Raíces positivas

I Todos los términos de una fila son cero. Raices con lamisma magnitud y signo opuesto. Se cambia por suderivada

I Pares de raíces reales con signos opuestosI Pares de raíces complejas conjugadas en el eje imaginario

N




N

Estabilidad Routh - Ejemplos

I a0s3 + a1s2 + a2s + a3 = 0I s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 4 = 0I s3 + 2s2 + s + 2 = 0I s3 − 3s + 2 = 0I s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 − 25s− 50 = 0

+−

KP

K

s(s + p)

r(t) e(t) u(t) y(t)

H(s) =KpK

s2 + ps + KKp

s2 : 1 KKp

s1 : p 0s0 : KKp 0

s =−p±

√p2 − 4KKp

2

N




N

Respuesta al escalón

Vi Vo

R

C

i

I R(s) =1s

I Y(s) = G(s)R(s) =1s− 1

s + (1/RC)

I y(t) = 1− e−t

RC

I e(t) = r(t)− y(t) = e−t

RC

G(s) =1

1 + sRC

N

Respuesta a la rampa

Vi Vo

R

C

i

I R(s) =1s2

I Y(s) = G(s)R(s) =1s2 −

RCs

+RC

s + (1/RC)

I y(t) = t − RC + RCe−t

RC

I e(t) = r(t)−y(t) = RC(1−e−t

RC )

G(s) =1

1 + sRC

N

Respuesta al impulso

Vi Vo

R

C

i

I R(s) = 1

I Y(s) = G(s)R(s) =1/RC

s + 1/RC

I y(t) =1

RCe−

tRC

I e(t) =1

RCe−

tRC

G(s) =1

1 + sRC

N

Propiedades

I La respuesta a la derivada de una señal de entrada es laderivada de la señal de la salida

Señal entrada salida

Rampa r(t) = t y(t) = t − RC + RCe−t

RC

Escalon r(t) = 1 y(t) = 1− e−t

RC

Impulso r(t0) =∞, r(t 6= t0) = 0 y(t) =1

RCe−

tRC

N




N

Ecuación generalizada

iV Vo

R

C

L

iG(s) =

Vo(s)Vi(s)

=1

LCs2 + RCs + 1

I G(s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

I ζ coeficiente de amortiguamientoI ωn frecuencia natural no amortiguada

I En nuestro ejemplo:

I ω2n =

1LC

I ζ =R2

√CL

N

Ecuación generalizada

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160 ωnt

0.5

1

1.5

2

0

y(t)

ζ = 0.0

ζ = 0.1

ζ = 0.3

ζ = 0.707

ζ = 1.0

ζ = 2.0

I ωd = ωn√

1− ζ2: frecuencia natural amortiguada

N

Ecuación generalizadaI Respuesta al escalón:

I Subamortiguado: 0 < ζ < 1I ωd = ωn

√1− ζ2: frecuencia natural amortiguada

I Amortiguamiento crítico: ζ = 1I Sobreamortiguado: ζ > 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160 ωnt

0.5

1

1.5

2

0

y(t)

ζ = 0.1

ζ = 1.0

ζ = 2.0

sub-amortiguado

crticamente-amortiguado

sobre-amortiguado

N




N

Régimen transitorio

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70 t

0.5

1

1.5

0

y(t)

(1.193,1.371)

Mp

tp

2ν(3.915,1.04)

ts

(0.725,1)

tr

I Tiempo de subida: tr =1ωd

tan−1(−ωd

σ) =

π − ϕ0

ωd

I Tiempo de pico: tp =π

ωd

I Sobreelongación máxima: Mp = e−(ζ/√

1−ζ2)π

I Tiempo de establecimiento: ts =4ζωn

(2 %) o3ζωn

(5 %)

N

Sistemas de orden superior

+−

Gc(s) G(s)r(t) e(t) u(t) y(t)

Y(s)R(s)

=Gc(s)G(s)

1 + Gc(s)G(s)

I Si G(s) =p(s)q(s)

y Gc(s) =n(s)d(s)

I entoncesY(s)R(s)

=p(s)n(s)

q(s)d(s) + p(s)n(s)

IY(s)R(s)

=b0sm + b1sm−1 + · · ·+ bm−1s + bm

a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an

IY(s)R(s)

=K(s + z1)(s + z2) · · · (s + zm)

(s + p1)(s + p2) · · · (s + pn)

N


I Para R(s) =1s

I Si los polos en lazo cerrado son reales y distintos

Y(s) =as+

n∑i=1

ai

s + pi

I Si los polos en lazo cerrado son reales y/o parescomplejos conjugados

Y(s) =as+

q∑j=1

aj

s + pj+

r∑k=1

bk(s + ζkωk) + ckωk

√1− ζ2

k

s2 + 2ζkωks + ω2k

I donde (q + 2r = n)

N


I Entonces

y(t) = a +

q∑j=1

aje−pjt +

r∑k=1

bke−ζkωktcosωk

√1− ζ2t +

+

r∑k=1

cke−ζkωktsinωk

√1− ζ2t, para t ≥ 0

N




N

Error en régimen permanente

+−


I Definimos el tipo del sistema en lazo abierto (Gc(s)G(s))como el número de polos en el origen

I Error en régimen permanente essI ess = lim

t→∞e(t) = lim

s→0sE(s)

ess ess ess

r(t) = 1 r(t) = t r(t) = 12 t2

Tipo 0 cte ∞ ∞Tipo 1 0 cte ∞Tipo 2 0 0 cte

N




N

Introducción

I Las características de la respuesta transitoria dependende la localización de los polos en lazo cerrado

I La localización de los polos en lazo cerrado depende dela ganancia de lazo

I Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuacióncaracterística. Esto puede ser muy laborioso

I El lugar de raíces es un método sencillo para encontrarlas raíces de la ecuación caracerística.

N

Introducción

I El lugar de raíces presenta las raíces de la ecuacióncaracterística para todos los valores de un parámetrodel sistema

I Normalmente el parámetro es la gananciaI Gracias al lugar de raíces podemos:

I Localizar los polos en lazo cerradoI Observar los efectos de la gananciaI Añadir polos y/o ceros en lazo abiertoI Modificar la ganancia del sistema

N

IntroducciónI Lugar de raíces de un vistazo:

I Los valores de s que hacen que la función de transferenciasea igual a −1 satisfacen la ecuación característica delsistema

I Se representan los valores en el plano complejo sI Se representan los polos en lazo cerrado cuando la

ganancia varía de 0 a ∞I Se muestra como cada polo y/o cero en lazo abierto

contribuye las posiciones de los polos en lazo cerrado

N

Condicion de ángulo y magnitud

+−


Y(s)R(s)

=Gc(s)G(s)

1 + Gc(s)G(s)

I Ecuación característicaI 1 + Gc(s)G(s) = 0I Gc(s)G(s) = −1

I Condición de magnitudI |Gc(s)G(s)| = 1

I Condición de ánguloI ∠Gc(s)G(s) = ±180◦(2k + 1) ; (k = 0, 1, 2, ...)

N




N

Ejemplos

I G(s)H(s) =K

s(s + 1)(s + 2)

I G(s)H(s) =K(s + 2)

s2 + 2s + 3

N

Ejemplos

I G(s)H(s) =K

s(s + 1)(s + 2) I G(s)H(s) =K(s + 2)

s2 + 2s + 3

N




N

Parámetros característicos

I Las líneas con ζ constante son radiales pasando por elorigen.

I ζ determina la localización angular de los polos en lazocerrado

I ωn determina la distancia del polo al origen

N

Gracias

GRACIAS!!

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