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Sistemas de ecuaciones lineales: están formados por dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas:

Ejs: 1) 6x – 5y = - 9 2) 4x + 2y + 3z = 8

4x + 3y = 13 3x + 4y + 2z = - 14

2x – y + 5z = 3

Resolución de sistemas de ecuaciones

Denominaremos:

1. Sistema consistente o compatible a aquel que tiene una única solución.2. Sistema consistente dependiente o compatible dependiente a aquel que tiene más de una solución.

Generalmente tiene infinitas soluciones.3. Sistema inconsistente o incompatible a aquel que no tiene solución.

Para resolver un sistema de ecuaciones existen varios métodos:

1. Gráfico2. Eliminación por

Igualación Sustitución Reducción

3. Otros que se estudiaran más adelante.

Método gráfico: se construye una tabla de valores con cada ecuación, se ubican los pares ordenados en el Plano Cartesiano, se unen con una recta. El punto en que se intersecan las rectas es la solución del sistema.

También se puede usar un programa para graficar, como en el siguiente caso

Ej. x + y = 6

5x – 4y = 12

Desafío:

Resuelva, usando método gráfico, los siguientes sistemas de ecuaciones:

1. 4x + 5y = - 32

3x – 5y = 11

2. x – 2y = 62x – 4y = 5

3. x – 2y = 52x – 4y = 10

Método de eliminación por sustitución: consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación, así se obtiene una ecuación lineal con una sola incógnita, cual se puede calcular fácilmente.

Ej. x + 3y = 65x – 2y = 13

Despejando x en la primera ecuación x = 6 – 3ySe sustituye x por 6 -3y en la segunda ecuación 5 (6 -3y) – 2y = 13Resolviendo esta ecuación se obtiene y = -1 , por lo tanto, x = 6 – 3 . -1

X = 9

Método de eliminación por igualación: Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones, luego se igualan las expresiones resultantes, resultando así una ecuación lineal con una sola incógnita.

La solución de este sistema es única y es (4, 2), es decir,

x = 4

y = 2

Es un sistema consistente

2

Ej. 3x – 2y = - 25x + 8y = - 60

En la primera ecuación y = , en la segunda ecuación y =

Se igualan las expresiones = y se resuelve esta ecuación.

Para calcular el valor de la otra incógnita se sustituye en cualquiera de las “y”.

Método de eliminación por reducción: se multiplica cada ecuación por números tales que al sumar las ecuaciones se elimine una de las incógnitas.

Ej. 10x – 3y = 36 10x -3y = 362x + 5y = - 4 / . -5 -10x -25y = 20

-28y = 56, luego y = -2

El valor de “x” se calcula sustituyendo la “y” por -2 en cualquiera de las dos ecuaciones: x = 3

Ejercicios: Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y dos incógnitas, por el método que se indica, en cada caso.

1) 81yx9

2y8x7

sustitución 2) 18)1y(5)1x(6

7)3y(2)2x(3

igualación 3) )1y)(2x()2y)(5x(

)4y)(3x()7y)(4x(

reducción

Método de preferencia

4) 145y27

3x2

034y5x8

5) )

45

y(44x

)3y(56x

6) 7

25y

37x

82

5y3

7x

7) 0y

ax

baybx

8)

ab6aybx

0by

ax

9) 3x – (9x + y) = 5y – (2x + 9y)

4x – (3y + 7) =5y – 47

RESPUESTAS:

(1). (10, 9) (2). (3, 5) (3). (7, 5) (4). (3, 2) (5). (60, 5)

(6). (9, 31/3) (7). (ab, b) (8). (3a, 3b) (9)

Problemas:

1) En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó 40 cts. y cada niño 15 cts. por su entrada. La recaudación es de $180. ¿Cuántos adultos y niños hay en el cine?.

(Rp: 300 adultos y 400 niños).2) Un hombre tiene $404 en 91 monedas de a $5 y de a $4. ¿Cuántas monedas son de $5 y cuántas de a

$4?. (Rp: 40 de $5 y 51 de $4).

3) Una compañía trata de adquirir y almacenar dos tipos de artículos, X e Y. Cada artículo X cuesta 3 dólares y cada artículo Y cuesta 2,50 dólares. Cada artículo X ocupa 2 pies cuadrados del espacio del piso y cada artículo Y, ocupa un espacio de 1 pie cuadrado del piso. ¿Cuántas unidades de cada tipo pueden adquirirse y almacenarse, si se dispone de 400 dólares para adquisición y 240 pies cuadrados de espacio, para almacenar estos artículos?

(Rp.: 100 unidades de X y 40 unidades de Y).18) Cierta compañía emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21 son titulados de INACAP. Si

una tercera parte de las personas, que laboran en la primera sucursal y tres séptimos de los que se encuentran en la segunda sucursal son titulados de INACAP. ¿Cuántos empleados tiene cada oficina?

(Rp.: 18 y 35).