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Sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas
1. Método de igualación
1) 𝑎 + 𝑏 = 9𝑎 − 𝑏 = 1
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Suele ser mejor utilizar la que tenga los coeficientes iguales, positivos o lo más pequeños posible. Por ejemplo, vamos a igualar por la a:
𝑎 = 9 − 𝑏𝑎 = 1 + 𝑏
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
9 − 𝑏 = 1 + 𝑏 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
9 − 𝑏 − 9 = 1 + 𝑏 − 9
−𝑏 = −8 + 𝑏
−𝑏 − 𝑏 = −8 + 𝑏 − 𝑏
−2𝑏 = −8
𝑏 = 4 Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑎 = 1 + 𝑏 Podemos cambiar la b por 4 que es su valor:
𝑎 = 1 + 4
𝑎 = 5 Con lo que la solución del sistema es (+5, +4)
2) 2𝑥 − 𝑦 = 9
3𝑥 − 7𝑦 = 19}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la x:
2𝑥 = 9 + 𝑦3𝑥 = 19 + 7𝑦
}
𝑥 =9 + 𝑦
2
𝑥 =19 + 7𝑦
3
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
9 + 𝑦
2=
19 + 7𝑦
3
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
3 · (9 + 𝑦) = 2 · (19 + 7𝑦)
27 + 3𝑦 = 38 + 14𝑦
−11𝑦 = 11
𝑦 = −1 Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑥 =9 + 𝑦
2
Podemos cambiar la 𝑦 por −1 que es su valor:
𝑥 =9 + (−1)
2
𝑥 = 4
Con lo que la solución del sistema es (+4, −1)
3) 5𝑥 + 𝑦 = 57𝑥 − 𝑦 = 13
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:
𝑦 = 5 − 5𝑥−𝑦 = 13 − 7𝑥
}
Multiplicamos la segunda ecuación por −1:
𝑦 = 5 − 5𝑥𝑦 = −13 + 7𝑥
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
5 − 5𝑥 = −13 + 7𝑥 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
−12𝑥 = −18
𝑥 =−18
−12
𝑥 = +3
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑦 = 5 − 5𝑥
Podemos cambiar la 𝑥 por 3
2 que es su valor:
𝑦 = 5 − 5 ⋅ (+3
2)
𝑦 = 5 −15
2
𝑦 =10
2−
15
2
𝑦 = −5
2
Con lo que la solución del sistema es (+3
2, −
5
2)
4) 11𝑥 + 13𝑦 = 2313𝑥 + 11𝑦 = 25
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:
13𝑦 = 23 − 11𝑥11𝑦 = 25 − 13𝑥
}
𝑦 =23 − 11𝑥
13
𝑦 =25 − 13𝑥
11
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
23 − 11𝑥
13=
25 − 13𝑥
11
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
11 · (23 − 11𝑥) = 13 · (25 − 13𝑥)
253 − 121𝑥 = 325 − 169𝑥
48𝑥 = 72
𝑥 =72
48
𝑥 =3
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑦 =23 − 11𝑥
13
Podemos cambiar la 𝑥 por 3
2 que es su valor:
𝑦 =23 − 11 (
32)
13
𝑦 =23 −
332
13
𝑦 =
462 −
332
13
𝑦 =
132
13
𝑦 =
132
131
𝑦 =1 · 13
2 · 13
𝑦 =1
2
Con lo que la solución del sistema es (+3
2, +
1
2)
5) 11𝑥 + 13𝑦 = 2313𝑥 + 11𝑦 = 25
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:
13𝑦 = 23 − 11𝑥11𝑦 = 25 − 13𝑥
}
𝑦 =23 − 11𝑥
13
𝑦 =25 − 13𝑥
11
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
23 − 11𝑥
13=
25 − 13𝑥
11
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
11 · (23 − 11𝑥) = 13 · (25 − 13𝑥)
253 − 121𝑥 = 325 − 169𝑥
48𝑥 = 72
𝑥 =72
48
𝑥 =3
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑦 =23 − 11𝑥
13
Podemos cambiar la 𝑥 por 3
2 que es su valor:
𝑦 =23 − 11 (
32)
13
𝑦 =23 −
332
13
𝑦 =
462
−332
13
𝑦 =
132
13
𝑦 =
132
131
𝑦 =1 · 13
2 · 13
𝑦 =1
2
Con lo que la solución del sistema es (+3
2, +
1
2)
6) 5𝑥 − 4𝑦 =
49
6
2𝑥 + 3𝑦 = 14}
Quitamos denominadores de la primera ecuación multiplicándola por 6: 30𝑥 − 24𝑦 = 49
2𝑥 + 3𝑦 = 14}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:
30𝑥 = 49 + 24𝑦2𝑥 = 14 − 3𝑦
}
𝑥 =49 + 24𝑦
30
𝑥 =14 − 3𝑦
2
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
49 + 24𝑦
30=
14 − 3𝑦
2
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
2 · (49 + 24𝑦) = 30 · (14 − 3𝑦)
98 + 48𝑦 = 420 − 90𝑦
138𝑦 = 322
𝑦 =322
138
𝑦 =2 · 7 · 23
2 · 3 · 23
𝑦 =7
3
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑥 =14 − 3𝑦
2
Podemos cambiar la 𝑦 por 7
3 que es su valor:
𝑥 =14 − 3 · (
73)
2
𝑥 =14 − 7
2
𝑥 =7
2
Con lo que la solución del sistema es (+7
2, +
7
3)
7) 3𝑥 + 7𝑦 = 27𝑥 + 8𝑦 = −2
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:
3𝑥 = 2 − 7𝑦7𝑥 = −2 − 8𝑦
}
𝑥 =2 − 7𝑦
3
𝑥 =−2 − 8𝑦
7
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
2 − 7𝑦
3=
−2 − 8𝑦
7
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
7 · (2 − 7𝑦) = 3 · (−2 − 8𝑦)
14 − 49𝑦 = −6 − 24𝑦
−25𝑦 = −20
𝑦 =−20
−25
𝑦 =4
5
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑥 =2 − 7𝑦
3
Podemos cambiar la 𝑦 por 4
5 que es su valor:
𝑥 =2 − 7 · (
45
)
3
𝑥 =2 −
285
3
𝑥 =
105
−285
3
𝑥 =
−1853
𝑥 =
−18531
𝑥 = −18
15
𝑥 = −6
5
Con lo que la solución del sistema es (−6
5, +
4
5)
8) 4𝑥 + 6𝑦 = 11
17𝑥 − 5𝑦 = 1}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:
4𝑥 = 11 − 6𝑦
17𝑥 = 1 + 5𝑦}
𝑥 =11 − 6𝑦
4
𝑥 =1 + 5𝑦
17
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
11 − 6𝑦
4=
1 + 5𝑦
17
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
17 · (11 − 6𝑦) = 4 · (1 + 5𝑦)
187 − 102𝑦 = 4 + 20𝑦
−122𝑦 = −183
𝑦 =−183
−122
𝑦 =3 · 61
2 · 61
𝑦 =3
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑥 =11 − 6𝑦
4
Podemos cambiar la 𝑦 por 3
2 que es su valor:
𝑥 =11 − 6 · (
32)
4
𝑥 =11 − 9
4
𝑥 =2
4
𝑥 =1
2
Con lo que la solución del sistema es (+1
2, +
3
2)
9) 8𝑥 − 4𝑦 = 69𝑥 − 3𝑦 = 6
}
Podemos simplificar las ecuaciones dividiendo la primera entre 2 y la segunda entre 3:
4𝑥 − 2𝑦 = 33𝑥 − 𝑦 = 2
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:
−2𝑦 = 3 − 4𝑥−𝑦 = 2 − 3𝑥
}
Multiplicamos las dos ecuaciones por −1:
2𝑦 = −3 + 4𝑥𝑦 = −2 + 3𝑥
}
𝑦 =−3 + 4𝑥
2𝑦 = −2 + 3𝑥
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
−3 + 4𝑥
2= −2 + 3𝑥
Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
(−3 + 4𝑥) = 2 · (−2 + 3𝑥)
−3 + 4𝑥 = −4 + 6𝑥
−2𝑥 = −1
𝑥 =−1
−2
𝑥 =1
2
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑦 = −2 + 3𝑥
Podemos cambiar la 𝑥 por 1
2 que es su valor:
𝑦 = −2 + 3 (1
2)
𝑦 = −2 +3
2
𝑦 = −4
2+
3
2
𝑦 = −1
2
Con lo que la solución del sistema es (+1
2, −
1
2)
10) 37,43:.80
6Sol
ba
ba
𝑎 − 𝑏 = 6𝑎 + 𝑏 = 80
}
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑎:
𝑎 = 6 + 𝑏𝑎 = 80 − 𝑏
}
Igualamos las dos expresiones resultantes:
6 + 𝑏 = 80 − 𝑏 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:
2𝑏 = 74
𝑏 = 37
Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:
𝑎 = 6 + 𝑏 Podemos cambiar la 𝑏 por 37 que es su valor:
𝑎 = 6 + (37)
𝑎 = 43 Con lo que la solución del sistema es (+43, +37)