-Sistema de coordenadas inercial -Sistema de coordenadas cartesianas globales

Alumno:

Vílchez Deza Lino Eduardo.

Profesor:

Ing. Villar Quiroz Josualdo C.

Ingeniería Civil - UNT

INDICE

N° de Página

I. Sistemas de Coordenadas Inercial……..………………………... …02

II. Sistemas de Coordenadas Cartesianas Globales…………………....04

1. Matrices de Rotación………………...……………………...05

2. Matrices de Rotación para ángulos pequeños……………….09

3. Matrices de Reflexión………………...……………………..10

III. Bibliografía…………………………………..……………….…....11

Sistema de coordenadas inercialSistema de coordenadas cartesianas globales

En cualquier espacio afín euclideo, definido un sistema de referencia, se puede recurrir a diferentes sistemas de coordenadas para parametrizar el espacio, para expresar la posición de cualquier punto.Un sistema de coordenadas es una creación artificial para permitir la definición analítica de un objeto o de un fenómeno. Existen múltiples opciones para definir analíticamente la situación geométrica de un elemento y por tanto, es posible elegir entre diferentes sistemas de coordenadas. Desde el punto de vista puramente matemático cualquier sistemas de coordenadas es admisible. Desde un punto de vista práctico la única razón para seleccionar un sistema de coordenadas en particular suele ser el hecho de que una determinada cuestión objeto de estudio aparezca en su forma más simple, geométricamente interpretable y susceptible de ser medida.A lo largo de éste capítulo se describen los sistemas de coordenadas más empleados en geodesia, entre los que se encuentran las coordenadas cartesianas, las coordenadas curvilíneas y las proyecciones cartográficas.

I. SISTEMA DE COORDENADAS INERCIAL

Se llaman “Sistemas Inerciales” en mecánica clásica a aquellos sistemas de referencia donde las leyes de newton tienen validez, es decir, que este sistema idealmente no se mueve ni rota respecto a nada. En la práctica resulta imposible encontrar un sistema realmente inercial que no se mueva, ya que las mismas estrellas se mueven… así que este sistema se utiliza como aproximación teórica y para visualizar otros marcos de referencia más fácilmente. En la práctica consiste en un conjunto de ejes perpendiculares entre sí (como todos los sistemas de referencia) que no rotan ni aceleran respecto al espacio inercial.

En estos sistemas el movimiento a través del espacio se realiza con velocidad de traslación constante pero sin rotación. La Teoría Especial de la Relatividad es un refinamiento de la mecánica clásica para el caso que tratemos con velocidades muy altas. La Teoría General de la Relatividad provee un refinamiento de la teoría Newtoniana de la gravitación, relevante para campos gravimétricos muy grandes tales como objetos masivos y en cosmología. Para el campo gravitacional terrestre y para movimientos de satélites y sistemas terrestres, es suficiente la mecánica clásica, siendo los efectos relativistas despreciables o influyendo solo en pequeñas correcciones del orden de 10-8 o 10-9 .

Para un espacio–tiempo curvado, tal como en las proximidades de un agujero negro, pueden realizarse aproximaciones geométricas de la superficie curvada por un plano tangente, pero no será posible aproximar la totalidad de la superficie. Entonces, en un

espacio-tiempo curvado será posible introducir coordenadas que corresponden a un sistema inercial en un entorno infinitesimal del punto; pero no es posible introducir un sistema inercial válido para la totalidad del espacio–tiempo. En este sentido, no hay sistemas inerciales en relatividad general. Todos los posibles sistemas de coordenadas son equivalentes, no hay privilegiados. No obstante, en el tratamiento relativístico de los sistemas de referencia pueden introducirse aproximaciones prácticas satisfactorias, que actúan como sistemas inerciales privilegiados a nivel local (Sistema Solar) e inclusive a nivel global (nuestra galaxia). En un sistema inercial local las superficies curvadas pueden aproximarse localmente por un plano tangente, el espacio–tiempo curvado puede aproximarse, en el entorno de un punto, por un plano espacio–tiempo en el cual se puede introducir un sistema inercial. Entonces, para una cierta pequeña región son posibles sistemas inerciales aún en relatividad general. Como nuestro espacio–tiempo es solo muy suavemente curvado, el campo gravitacional solar es muy débil, la pequeña región mencionada cubre el Sistema Solar y todavía se extiende más allá.

Útil para el estudio del movimiento de cuerpos orbitando la Tierra, por ejemplo los satélites GPS, y como sistema de referencia inercial absoluto.

El eje Oz coincide con el eje de rotación de la Tierra. El plano Oxy contiene al Ecuador y Ox apunta a Υ , el primer punto de Aries (una

dirección fija en las estrellas) No es realmente inercial (se está despreciando el movimiento de la Tierra en torno

al Sol, y el movimiento propio del Sol respecto a las estrellas).

Figura 1: Sistema de Coordenadas Inercial.

II. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANO GLOBAL

El sistema denominado ECEF es un sistema de coordenadas Cartesiano muy utilizado en GPS que, como su nombre lo indica, está centrado en la Tierra y rota fijado a su superficie. También es llamado CTS.

Las características principales del sistema ECEF son:

Utiliza coordenadas tridimensionales en los ejes X⃗ , Y⃗ , Z⃗, habitualmente expresadas en metros.

Su centro es el centro de masa de la Tierra. El eje Z⃗coincide con el eje de rotación de la Tierra convencional. Como se verá más

adelante, el eje de rotación terrestre tiene pequeñas variaciones a lo largo del tiempo con respecto a la superficie de la Tierra (el polo norte geográfico se mueve). Por esa razón, se definió el CIO como la definición estándar para el polo norte.

El eje X⃗viene dado por la intersección entre el Meridiano de Greenwich y el plano que pasa por el centro de masas de la Tierra y es ortogonal al eje Z⃗.

El eje Y⃗ está definido por la dirección que es perpendicular a los dos ejes anteriores y su sentido es tal que:

X⃗∗Y⃗=Z⃗

Es decir, Z⃗es el producto vectorial de X⃗eY⃗ , y el sistema está orientado a derechas. La figura 2 representa el sistema ECEF.

Usando este sistema de tres de ejes, se puede sin ambigüedad definir la localización de cualquier punto sobre la Tierra o fuera de ella si es preciso. Se dice que el sistema está definido por la regla de la mano derecha. El dedo índice simboliza la dirección positiva del eje x, el dedo medio doblado hacia adentro indica la dirección positiva del eje y, y el pulgar la dirección positiva del eje z.

Este sistema genera coordenadas x, y, z centradas y fijadas al centro de la tierra, y es muy útil para calcular localizaciones utilizando satélites ya que estos giran alrededor del geocentro. Sin embargo, a pesar de su utilidad no son el método más utilizado para expresar posiciones geodésicas. El CTS ha sido utilizado en aplicaciones militares, y es la base para el cálculo de posiciones utilizando tecnología GPS. Sin embargo, las unidades GPS actuales permiten convertir estas posiciones a muchos otros sistemas de coordenadas.

Figura 2: Sistema ECEF

1) Matrices de rotación

A menudo es necesario convertir de un sistema a otro mediante rotaciones alrededor de los ejes de coordenadas. Un ejemplo de esto es cuando en un momento dado representamos la posición de un satélite artificial en el sistema ECEF. Un tiempo después t ', la posición del satélite habrá variado debido al movimiento en su órbita, pero también la Tierra habrá rotado, de modo que tendremos un nuevo sistemaECEF ', que no es igual al sistema ECEF inicial (ver figura 3).

Figura 3: Rotación del sistema ECEF

Es por esto que debemos convertir las coordenadas del satélite a un sistema común para conocer cómo se movió en realidad. En este ejemplo, si tenemos el tiempo transcurrido y conocemos la velocidad angular de rotación de la Tierra, sabremos el ángulo con el cual difieren ambos sistemas (note que la rotación sólo sucede alrededor del eje Z⃗ ).

Figura 4: Rotación alrededor del eje Z⃗

La figura ilustra la rotación alrededor del eje Z⃗del sistema XY en X ' Y '. Note que la distancia desde el origen al punto P es igual en ambos sistemas, de modo que las respectivas coordenadas (x , y ) y (x ' y ' ) se pueden escribir:

x=r cos α

y=rsin α

x '=r cos (α−β)

y '=r sin(α−β)

Por otra parte, tomando en cuenta las expresiones para diferencias de ángulos:

x '=r cos (α−β)=¿ r ¿

x '=r cosα cos β+r sin α sin β

x '=xcos β+ y sin β (1)

y '=r sin(α−β)=¿ r (sin α cos β−cosα sin β )

y '=¿ r sin α cos β−r cosα sin β

y '=−x sin β+ ycos β (2)

Las ecuaciones (1) y (2) se pueden escribir de manera matricial así:

[ x 'y ' ]=( cos β sin β

−sin β cos β)[ xy ] (3)

La expresión (3) determina la rotación en dos dimensiones. Para obtener la expresión tridimensional basta saber que en este caso la rotación es exclusivamente alrededor del eje Z⃗y por tando las coordenadas se mantienen constantes. Entonces la rotación alrededor de Z⃗es:

[ x 'y 'z ' ]=( cos β sin β 0

−sin β cos β 00 0 1)[ x

yz ]

Siguiendo un procedimiento semejante se pueden deducir las expresiones de rotación alrededor de X⃗e Y⃗ . Como a los ejes coordenadosX⃗ , Y⃗ , Z⃗se les suele denotar como 1, 2 y 3, a las matrices de rotación correspondientes se les llamaR1, R2yR3:

R1 ( β )=(1 0 00 cos β sin β0 −sin β cos β)

R2 ( β )=(cos β 0 −sin β0 1 0

sin β 0 cos β )

R3 ( β )=( cos β sin β 0−sin β cos β 0

0 0 1)La convención para el signo de βes muy importante: El ángulo será positivo cuando la rotación alrededor del eje correctamente se realiza en el sentido de la regla de la mano derecha. Por ello en la figura 3 se consideraba la rotación como positiva.

En general, la rotación de un sistema de coordenadas p a otro sistema q se puede expresar como:

xq=R pq x p

Donde xq es el vector definido en el sistema q, x pes el vector definido en el sistema p, y Rpq

es la matriz de rotación que convierte de p a q.

Las matrices de rotación así definidas son ortogonales y tienen por tanto unas importantes propiedades:

Si Rpqconvierte de p en q, entonces Rp

qT

convierte de q en p (es decir,RpqT

=RqP ).

El determinante es 1 (det (R pq) = 1).

RpqT

Rpq=R p

q RpqT

=I , donde I es la matriz identidad.

Cualquier rotación de p en q se puede realizar mediante la composición de rotaciones sucesivas alrededor de los ejes 1, 2y 3(en ese orden):

Rpq =R3 ( β3 ) R2 ( β2 ) R1 ( β1 )

2) Matrices de rotación para ángulos pequeños

En ocasiones sucede que el ángulo de rotación a aplicar es pequeño (menor a 10^o). Si es ese el caso, es posible aprovechar las siguientes aproximaciones (válidas sólo para ángulos expresados en radianes):

En general para ángulos menores a 10° :

sin θ≃θ

cosθ≃1

Entonces, las matrices de rotación se podrán escribir así:

R1 ( β )=(1 0 00 1 β0 −β 1 )

R2 ( β )=(1 0 −β0 1 0β 0 1 )

R3 ( β )=( 1 β 0−β 1 00 0 1)

3) Matrices de reflexión

Es posible que para un sistema de coordenadas dado nos interese cambiar el sentido en que apunta alguno o varios de sus ejes. Esto se puede lograr utilizando las llamadas matrices de reflexión, que son variaciones de la matriz identidad pero que cambian de signo las coordenadas del eje de interés:

S1 ( β )=(−1 0 00 1 00 0 1)

S1 ( β )=(1 0 00 −1 00 0 1)

S3 ( β )=(1 0 00 1 00 0 −1)

III. BIBLIOGRAFIA

http://aero.us.es. s.f. http://aero.us.es/na/files1112/T1NA.pdf (último acceso: 30 de Septiembre de 2015).

http://www.sitopcar.es. s.f. http://www.sitopcar.es/modulos/descargas/manuales/Topografia_Sistemas_Referencia_y_Coordenadas.pdf (último acceso: 29 de Septiembre de 2015).

https://es.scribd.com. s.f. https://es.scribd.com/doc/66813351/Sistemas-de-Coordenadas-Terrestres#scribd (último acceso: 1 de Octubre de 2015).