Control Moderno - Ing. Electronica

Trabajo de simulacion 2: Modelos de estados-Transformaciones

Transformaciones

Considere el siguiente circuito

C

R1

R2

Lv vL

iL

vC

iC

A partir de las suma de las corrientes,

iL =vCR1

+CvC , (1)

y de la suma de tensiones,v = vC + iLR2 + LiL, (2)

es posible escribir dos ecuaciones diferenciales de primer orden

iL = R2LiL 1

LvC +

1

Lv,

vC =1

CiL 1

R1CvC .

Luego, una eleccion natural de variables de estados es

x1 = iL,

x2 = vC ,

con lo cual se tiene el siguiente modelo de estados

x =

[R2

L 1

L1

C 1

R1C

]x+

[1

L

0

]v, (3)

vL = y =[R2 1

]x+

[1

]v,

1. Halle la transformaciones correspondientes a las siguientes redefiniciones de estados

a.

{x1 = vC/R1x2 = vC +R2iL

b.

{x1 = iLx2 = R2iL

1

2. Determine la transformacion que exprese el modelo anterior en variables de fase.

3. Simule cada modelo con los siguientes valores de parametros L = 0,01 H, C = 10 F ,R1 = 10 , R2 = 0,1 y condicion inicial [0,001 2]

T . Compare la respuesta del modelo fsico(3) y de los modelos transformados. Compare la salida y los estados.

4. Calcule la transferencias de cada modelo Como son las transferencias? Como son los auto-valores y la matriz D?

Autovalores y autovectores

Una matriz representa un operador linear que aplicado a un vector da como resultado otro vectorque puede tener un modulo y un angulo distinto al original. Para entender este concepto, considereuna matriz cualquiera

A =

[3 2

1 4

]

y un vector v1 = [1 0]T . El vector resultante de aplicar el operador lineal representado por A se

obtiene de hacerv1 = Av1,

en este ejemplo resulta

v1 =[3 1

],

cuyo modulo es 3,16 y su angulo es 18,43o. Si, en cambio, se aplica la transformacion al vectorv2 = [0 1]

T , el resultado es

v2 =[2 4

].

En resumen, el vector resultante esta rotado y su modulo ha cambiado, como se muestra en lasiguiente figura.

x1

x2

Av1

v1

v2

Av2

Puede observarse que el cambio sobre el vector depende de la direccion del propio vector. Estoinduce a buscar un vector que se verifique

Av = v, (4)

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es decir, un vector tal que al aplicar el operador representado por A de como resultado un vectorcon el modulo ampliado o reducido de acuerdo al escalar pero con la misma direccion1. El escalar se denomina autovalor o valor propio y v autovector o vector propio asociado a .

Los autovalores de A se obtienen de resolver la ecuacion

|A I22| = 0, (5)

lo cual es un polinomio en denominado polinomio caracterstico de A. En el ejemplo presentado,los autovalores son 1 = 2 y 2 = 5.

Una vez obtenido los autovalores, es posible hallar los autovectores asociados reemplazando cadai en (4). Para el autovalor 1

(A 1I22)v1 =[1 21 2

] [v11v12

]=

[00

]. (6)

Esto es, se debe resolver dos ecuaciones lineales

v11 2v12 = 0v11 + 2v12 = 0

Claramente estas ecuaciones no son independientes. Esto no es casualidad sino que surge del calculode los i para satisfacer (5), es decir, i es valor que hace singular a la matriz (AiI22). Luego,la (6) se reduce a

v11 = 2v12,

con la adopcion de v11 = 1/5 se tiene que v1 = [1/

5 2/

5]T . Note que con distintas elecciones

de v11 se tiene otro autovector, pero siempre tiene la misma direccion, en este ejemplo se adoptouno de norma unitaria. Con el mismo procedimiento se puede obtiene el autovector asociado a2 = 5, el cual resulta v2 = [1/

2 1/2]T .

1. Use la funcion [V,U]=eig(A) para determinar los autovalores y sus autovectores asociados.Aplique la matriz A a vectores en las direcciones de los autovectores y verifique los conceptosexplicados previamente (Puede utilizar el archivo .m adjunto a esta practica para graficar losvectores).

Observe que si cada vector dado por (4) se concatena horizontalmente, es decir,

[Av1 Av2

]=

[1v1 2v2

]=

[v1 v2

] [ 1 00 2

],

es posible definir

P =[

v1 v2

],

el cual verifica

AP = P

[1 00 2

]. (7)

Por tanto, P es la transformacion que diagonaliza la matriz A.

Retomando el ejemplo del circuito electrico, con la salida

y =[1 1

]x

1Note que no cualquier vector v y escalar verifican la condicion (4)

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2. Halle los autovalores y diagonalice el modelo fsico.

3. Simule con condiciones iniciales ubicada sobre la direccion de los autovectores y compare laevolucion de los estados del modelo original x y del diagonal z. Como son las constante detiempo de las respuestas en cada caso? Compare la respuesta de sistemas de primer ordencon los mismo autovalores del sistema.

4. Dibuje las trayectorias de los estados originales en plano x1-x2 y los estados diagonal en elplano z1-z2. Como evolucionan las trayectorias en cada caso? Relacione con los conceptosexplicados previamente.

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