CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

CONCEPTOS ELEMENTALES DE SISTEMAS

ENFOQUE DE SISTEMAS

 

El enfoque de sistemas establece que "el mundo y cualquiera de sus partes puede visualizarse como un conjunto de sistemas en interacción dinámica". Es un punto de vista, una forma de pensar, que en la confrontación de una situación problemática, busca no ser reduccionista. Es decir visualizar la situación desde un punto en donde se consideren todos los elementos que intervienen en un problema.

CONCEPTO DE SISTEMAS

 

Por sistema; se entiende una colección de entidades relacionadas, cada una de las cuales se caracteriza por atributos o características que pueden estar relacionados entre sí. Los objetivos que se persiguen al estudiar uno o varios fenómenos en función de un sistema son aprender cómo cambian los estados, predecir el cambio y controlarlo.

Todo sistema consta de tres características. Tienen fronteras, existe dentro de un medio ambiente y tiene subsistemas. El medio ambiente es el conjunto de circunstancias dentro de las cuales está una situación problemática, mientras que las fronteras distinguen las entidades dentro de un sistema de las entidades que constituyen su medio ambiente. Por lo tanto podemos definir a un sistema como:

una estructura dinámica de personas, objetos y procedimientos organizados para el propósito de lograr ciertas funciones".

PROPIEDADESS

Las propiedades o el comportamiento de cada elemento del conjunto tienen un efecto en las propiedades o

el comportamiento del conjunto como un todo.

Las propiedades y comportamiento de cada elemento y la forma en que se afectan al todo, dependen de las propiedades y comportamiento al menos de otro elemento en el conjunto. En consecuencia, no hay parte alguna que tenga un efecto independiente en el todo y cada una está afectada al menos por alguna otra.

Cada subgrupo posible de elementos del conjunto tienen las dos primeras propiedades: cada uno tiene efecto no interdependiente en el total. En consecuencia no se puede descomponer el total en subconjuntos independientes. No se puede subdividir un sistemas en subsistemas independientes

CONCEPTOS BÁSICOS DE SISTEMAS

Entidad."Una entidad es algo que tiene realidad física u objetiva y distinción de ser o de carácter". Las entidades tienen ciertas propiedades que las distinguen a unas de otras. 

Relación."Relación es la manera en la cual dos o más entidades dependen entre sí". Relación es la unión que hay entre la propiedad es de una o más entidades; por consiguiente, el cambio en alguna propiedad de una entidad ocasiona un cambio en una propiedad de otra entidad. 

Estructura.Una estructura es un conjunto de relaciones entre las entidades en la que cada entidad tiene una posición, en relación a las otras, dentro del sistema como un todo

Estado."El estado de un sistema en un momento del tiempo es el conjunto de propiedades relevantes que el sistema tiene en este momento. Cuando se habla del estado de un sistema, se entiendes los valores de los atributos de sus entidades. Analizar un sistema supone estudiar sus cambiosde estado conforme transcurre el tiempo.

ENFOQUE DE SISTEMAS

Subsistemas.Un subsistema es "Un elemento o componente funcional de un sistema mayor que tiene las condiciones de un sistema en sí mismo, pero que también tiene un papel en la operación de un sistema mayor”

Suprasistema.El suprasistema es un sistema mayor a cuya función global el sistema está contribuyendo y del cual forma parte.

Frontera.La frontera de un sistema representa el límite de acción en donde tiene autoridad la persona que toma decisiones en ese sistema. La frontera delimita lo que es y lo que no es el sistema.

Ambiente.El ambiente de un sistema es todo lo está situado fuera de su frontera.

Sistema parcial.Un sistema parcial es una visión del sistema en la cual parte de las relaciones, aquellas que no son relevantes al aspecto del sistema que se está estudiando, son eliminadas.

CONCEPTOS ELEMENTALES DE SISTEMAS

DEFINICIÓN DE SISTEMA EN SIMULACIÓN

La planeación e implementación de proyectos complejos en los negocios, industrias y gobierno requieren

de grandes inversiones, razón por la que es indispensable realizar estudios preliminares para asegurar su conveniencia de acuerdo a su eficiencia y ejecución económica para proyectos de cualquier tamaño. Una técnica para ejecutar estudios piloto, con resultados rápidos y a un costo relativamente bajo, está basado en la modelación y se conoce como simulación. El proceso de elaboración del modelo involucra un grado de abstracción y no necesariamente es una réplica de la realidad; consiste en una descripción que puede ser física, verbal o abstracta en forma, junto con las reglas de operación. Más aún debido a que el modelo es dinámico, su respuesta a diferentes entradas puede ser usada para estudiar el comportamiento del sistema del cual fue desarrollado.

La simulación de sistemas ofrece un método para analizar el comportamiento de un sistema. Aunque los sistemas varían en sus características y complejidades, la síntesis de la formación de modelos, la ciencia de la computación, y las técnicas estadísticas que representa este tipode simulación constituye un conjunto útil de métodos para aprender sobre estas características y complejidades e imponerles una estructura. Para comprender las características técnicas de este enfoque y aplicarlas a un problema real, es necesario familiarizarse con los conceptos que describen un sistema y un modelo.

DEFINICIONES DE SIMULACIÓN

 

Colección de entradas que pasan a través de las fases de cierto proceso, produciendo respuestas. Por ejemplo:

¿Qué es la SIMULACIÓN? Existen innumerables definiciones de simulación, aquí se presentan algunas de las mas aceptadas:

 

Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.

 

Thomas h. Naylor

  Simulación es el desarrollo de un modelo lógico matemático de un sistema, de tal forma que se tiene una imitaciónde la operación de un proceso de lavida real o de un sistemaa través del

 

 

tiempo. La simulación involucra la generación de una historia artificial de un sistema, la observación de esta historia mediante la manipulación experimental, nos ayuda a inferir las característicasoperacionales de tal sistema.

JERRY BANKS

   simulación es una técnica numérica para realizar experimentos en una computadora digital. estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemáticos y lógicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios, económicos, sociales, biológicos, físicos o químicos a través de largos periodos de tiempo.

 

H. MAISEL Y G. GNUGNOLI  Para fines de nuestro curso definiremos a la simulación como:

 

Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real y conducir experimentos con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentro de límites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la operación del sistema.

 

Robert. Shannon Se describe comúnmente como un arte, o una ciencia sofisticada, debido a que la utilidad de los resultados dependerá de la destreza del grupo que realiza y analiza el modelo. actualmente no existe una teoría científica para garantizar la validez de un proceso de simulación antes de que el experimento sea realizado, en su lugar, la confiabilidad de un modelo es evaluada por la correspondencia de los resultados del modelo con los obtenidos por otros sistemas comparables con el que se está examinando.

 

VENTAJAS Y DESVENTAJAS

No es necesario interrumpir las operaciones de la compañía. Proporciona muchos tipos de alternativas posibles de explorar. La simulación proporciona un método más simple de solución cuando los procedimientos

matemáticos son complejos y difíciles. La simulación proporciona un control total sobre el tiempo, debido a que un fenómeno se puede

acelerar. Auxilia el proceso de innovación ya que permite al experimentador observar y jugar con el sistema. Una vez construido el modelo se puede modificar de una manera rápida con el fin de analizar

diferentes políticas o escenario. Permite análisis de sensibilidad Generalmente es más barato mejorar el sistema vía simulación que hacerlo en el sistema real. Es mucho más sencillo visualizar y comprender los métodos de simulación que los métodos

puramente analíticos. Da un entendimiento profundo del sistema Los métodos analíticos se desarrollan casi siempre relativamente sencillos donde suele hacerse un

gran número de suposiciones simplificaciones, mientras que en los métodos de simulación es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con menor detalle.

En algunos casos, la simulación es el único medio para lograr una solución. Da soluciones a problemas "sin" solución analítica

Aunque la simulación es un planteamiento muy valioso y útil para resolver problemas, no es una panacea para todos los problemas administrativos y presenta alguna desventajas como:

La simulación es imprecisa, y no se puede medir el grado de su imprecisión.Los resultados de simulación son numéricos; por tanto, surge el peligro de atribuir a los números un grado mayor de validez y precisión.Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren mucho tiempo para desarrollarse y validarse.Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrara

soluciones, lo cual representa altos costos.

Es difícil aceptar los modelos de simulación y difícil de vender Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas. La solución de un modelo de simulación puede dar al análisis un falso sentido de seguridad. Requiere "largos" periodos de desarrollo

METODOLOGÍA PARA DESARROLLAR SIMULACIONES

 

Definición del sistema. Cada estudio debe de comenzar con unas descripción del problema o del sistema. Debe determinarse los límites o fronteras, restricciones, y medidas de efectividad que se usarán.

Formulación del modelo. Reducción o abstracción del sistema real a un diagrama de flujo lógico.

Preparación de datos

.Identificación de los datos que el modelo requiere y reducción de estos a una forma adecuada.

Selección del lenguaje: De la selección del lenguaje dependerá el tiempo de desarrollo del modelo de simulación, es importante utilizar el lenguaje que mejor se adecué a las necesidades de simulación que se requieran. La selección puede ser desde usar un lenguaje general como lo es BASIC, PASCAL o FORTRAN hasta hacer uso de un paquete específicamente para simular sistemas de manufactura como el SIMFACTORY o el PROMODEL, o lenguajes de Simulación como: GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, etc.

TRANSLACIÓN del modelo. Consiste en generar las instrucciones o código computacional o necesario para lograr que el modelo pueda ser ejecutado en la computadora.

Validación del modelo. Es el proceso que tiene como objetivo determinar la habilidad que tiene un modelo para representar la realidad. La validación se lleva a cabo mediante la comparación estadística de los resultados del modelo y los resultados reales.

Planeación estratégica

. Diseño de un experimento que producirá la información deseada.

Planeación táctica

.Determinación de cómo se realizará cada una de las corridas de prueba

Experimentación. Corrida de la simulación para generar los datos deseados y efectuar análisis de sensibilidad.

INTERPRETACIÓN

.Obtención de inferencias con base en datos generados por la simulación

Implantación. Una vez seleccionada la mejor alternativa es importante llevarla a la práctica, en muchas ocasiones este último caso es el más difícil ya que se tiene que convencer a la alta dirección y al personal de las ventajas de esta puesta en marcha. Al implantar hay que tener cuidado con las diferencias que pueda haber con respecto a los resultados simulados, ya que estos últimos se obtienen, si bien de un modelo representativo, a partir de una suposiciones.

Monitoreo y control: No hay que olvidar que los sistemas son dinámicos y con el transcurso del tiempo es necesario modificar el modelo de simulación, ante los nuevos cambios del sistema real, con el fin de llevar a cabo actualizaciones periódicas que permitan que el modelo siga siendo una representación del sistema.

PELIGROS Y PROBLEMAS

Definir los límites y nivel de detalles del sistema. Subestimar el tiempo y costos involucrados en el proceso de modelación. Fallar en la selección del más simple y económico de los modelos para el fin establecido. Ausencia o pérdida de metodología estadística. Considerar como aproximados algunos atributos de un sistema que no existe. Entendimiento superficial del sistema a ser modelado. Poca destreza para comunicarse con administradores y staff que financiarán el proyecto.

ÁREAS DE APLICACIÓN

La simulación es una técnica que puede ser aplicada a una gran cantidad de áreas, debido a que los avances tecnológicos y la disponibilidad de software que existen actualmente, hacen de ella una herramienta muy útil. Los siguientes son algunos ejemplos de las aplicaciones de la simulación en algunas áreas de estudio:

Sistema de colas. Sistema de inventariosProyecto de inversión. Sistemas económicos Estados financieros.Problemas industriales.

Problemas económicosProblemas conductuales y socialesSistemas biomédicosSistemas Justo a tiempoSistemas de Logística

CONCLUSIONES

La simulación es un proceso iterativo

Un experimento de simulación da el valor de los parámetros durante y al final de la simulación. el análisis de los resultados sugiere modificaciones a la estrategia, cambios tales como prioridades o reglas de secuencia. así, paso a paso, ganamos conocimiento sobre el sistema y su comportamiento hasta que se tiene suficiente información para hacer recomendaciones finales sobre el sistema a ser implementado.

 La simulación no se usa normalmente para encontrar solución óptima del problema.

En contraste con simulación, una técnica de programación matemática, tal como programación lineal, proporciona una solución óptima, sí existe. (la desventaja de tal técnica, sin embargo, es que permanece estática para cada conjunto de datos). Puede parecer que la simulación es menos poderosa que la programación matemática u otro método matemático. Sin embargo, la simulación es una excelente técnica cuando otros métodos fallan.

POR OTRA PARTE NO SIMULE CUANDO SE TENGA LAS SIGUIENTES CONDICIONES:

1. El problema puede resolverse usando “análisis de sentido común”.2. El problema puede resolverse analíticamente (usando una forma cerrada).3. Es más fácil cambiar o ejecutar experimentos directamente en el sistema real.4. El costo de la simulación excede el posible ahorro.5. No hay recursos disponibles para el proyecto.6. No hay tiempo suficiente para los resultados del modelo para usarse.7. No hay información o ni siquiera datos estimados.8. El modelo no puede ser verificado o validado9. Las expectativas del modelo no pueden ser alcanzadas.10. El comportamiento del sistema es demasiado complejo o no puede ser definido.

MODELADO DE SISTEMAS

MODELADO DE SISTEMAS: INTRODUCCIÓN

El primer paso a dar para estudiar un sistema es elaborar un modelo, el cual puede ser una representación formal de la teoría o una explicación formal de la observación empírica. Sin embargo, a menudo es una combinación de ambas .Los propósitos de usar un modelo son los siguientes:

1. Hace posible que un investigador organice sus conocimientos teóricos y sus observaciones empíricas sobre un sistema y deduzca las consecuencias lógicas de esta organización.

2. Favorece una mejor comprensión del sistema.3. Acelera análisis.4. Constituye un sistema de referencia para probar la aceptación de las modificaciones del sistema.5. Es más fácil de manipular que el sistema mismo.6. Hace posible controlar más fuentes de variación que lo que permitiría el estudio directo de un

sistema.7. Suele ser menos costoso.

Al analizar un sistema podemos observar, que al cambiar un aspecto del mismo, se producen cambios o alteraciones en otros. Es en estos casos en los que la simulación, representa una buena alternativa para analizar el diseño y operación de complejos procesos o sistemas.

La modelación de sistemas es una metodología aplicada y experimental que pretende:

1. Describir el comportamiento de sistemas.2. Hipótesis que expliquen el comportamiento de situaciones problemática.3. Predecir un comportamiento futuro, es decir, los efectos que se producirán mediante cambios en

el sistema o en su método de operación.

DEFINICIÓN DE MODELO

Un modelo es una representación de un objeto, sistema o idea, de forma diferente al de la entidad misma. El propósito de los modelos es ayudarnos a explicar, entender o mejorar un sistema. Un modelo de un objeto puede ser una réplica exacta de éste o una abstracción de las propiedades dominantes del objeto.

El uso de modelos no es algo nuevo. El hombre siempre ha tratado de representar y expresar ideas y objetos para tratar de entender y manipular su medio. Un requerimiento básico para cualquier modelo, es que debe describir al sistema con suficiente detalle para hacer predicciones válidas sobre el comportamiento del sistema. Más generalmente, las características del modelo deben corresponder a algunas características del sistema modelado. La figura siguiente muestra el concepto de un modelo de simulación:

Un modelo se utiliza como ayuda para el pensamiento al organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistentes. Al realizar un análisis de sistemas, se crea un modelo del sistema que muestre las entidades, las interrelaciones, etc. La adecuada construcción de un modelo ayuda a organizar, evaluar y

examinar la validez de pensamientos.

Al explicar ideas o conceptos complejos, los lenguajes verbales a menudo presentan ambigüedades e imprecisiones. Un modelo es la representación concisa de una situación; por eso representa un medio de comunicación mas eficiente y efectivo.

ESTRUCTURA DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN.

Los componentes son las partes constituyentes del sistema. También se les denomina elementos o subsistemas.

Las variables son aquellos valores que cambian dentro de la simulación y forman parte de funciones del modelo o de una función objetivo.

Los parámetros son cantidades a las cuales se les asignar valores, una vez establecidos los parámetros, son constantes y no varían dentro de la simulación.

"Las relaciones funcionales muestran el comportamiento de las variables y parámetros dentro de un componente o entre componentes de un sistema. Estas características operativas pueden ser de naturaleza determinística o estocástica. Las relaciones determinísticas son identidades o definiciones que relacionan ciertas variables o parámetros, donde una salida de proceso es singularmente determinada por una entrada dada. Las relaciones estocásticas son aquellas en las que el proceso tiene de manera característica una salida indefinida para una entrada determinada.

Las restricciones son limitaciones impuestas a los valores de las variables o la manera en la cual los recursos pueden asignarse o consumirse. En las funciones de objetivos se definen explícitamente los objetivos del sistema y cómo se evaluarán, es una medida de la eficiencia del sistema.

LOS MODELOS SE DEBEN A LAS SIGUIENTES CONDICIONES

Complejidad de la interrelación entre factores que definen un sistema. Preparación del tomador de decisiones. Incapacidad de clasificar los hechos relevantes e irrelevantes y cómo pueden afectarse al

implementar decisiones. Diseño o modificación de sistemas evaluando diferentes alternativas. Menor costo que en sistemas reales la toma de decisiones. La inexistencia del sistema real. Implementar sistemas para tomar decisiones genera grandes atrasos y se incurre en la

posibilidad que el sistema implementado sea insatisfactorio.

CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE SIMULACIÓN

1. Que sea completo2. Adaptabilidad3. Credibilidad4. Simplicidad (menor número de parámetros)5. Factible tanto en Información como en recursos6. Económico

(EL COSTO MÁXIMO DEL MODELO DEBE SER EL MÍNIMO BENEFICIO QUE SE OBTIENE)

CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS

os modelos pueden clasificarse de diversas maneras. Existen muchos modelos físicos tales como el modelo de un avión o, más generalmente, una réplica a escala de un sistema. Existen modelos esquemáticos que abarcan dibujos, mapas y diagramas. Existen modelos simbólicos, de los cuales los que están basados en las matemáticas o en un código de computadora son simbólicos desempeñan funciones importantes en el diseño de los estudios de simulación de sistemas por medio de computadora.

Algunos modelos son estáticos; otros, dinámicos. Un modelo estático omite ya sea un reconocimiento del tiempo o describe un instante del estado de un sistema en determinado momento. En contraste, un modelo dinámico reconoce explícitamente el transcurso del tiempo. Además de proporcionar una secuencia de instantes del sistema en el transcurso del tiempo, algunos modelos dinámicos especifican relaciones entre los estados de un sistema en diferentes momentos.

Otra distinción es la referente a los modelos deterministas contra modelos estocásticos. En los primeros, todas las entidades establecen relaciones matemáticas o lógicas constantes. Como consecuencia, estas relaciones determinan soluciones. En un modelo estocástico, por lo menos una parte de la variación tienen una naturaleza casual. Por tanto, un investigador puede, a lo sumo, obtener soluciones promedio mediante modelos estocásticos para resolver los problemas. El presente libro se concentra exclusivamente en modelos estocásticos.

NECESIDAD Y COSTO DEL DETALLE

Cuando se construye un modelo, un investigador se enfrenta constantemente al problema de equilibrar la necesidad del detalle estructural con la de hacer manejable el problema para las técnicas de solución aplicables al problema. Siendo un formalismo, un modelo es necesariamente una abstracción. Sin embargo, cuanto más detallado sea un modelo en forma explícita, mejor será la semejanza del modelo con la realidad. Otra razón para incluir el detalle es que se ofrecen mayores oportunidades para estudiar la respuesta del sistema cuando una relación estructural dentro del modelo altera con el propósito de investigación. Primero, puede considerarse un mayor número de combinaciones de los cambios estructurales y, segundo, puede estudiarse un mayor número de aspectos de la respuesta.

Por otra parte, el detalle por lo general dificulta la solución de los problemas. A menudo los detalles agregados cambian el método para resolver un problema de un método analítico a otro numérico, de manera que se pierde la generalidad de una solución analítica. El detalle también puede aumentar el costo de la solución. Sin embargo, el factor que sirve de límite en la utilización del detalle, es que a menudo no se tiene suficiente información sobre el sistema que se estudia, como para poder especificar otras características que no sean las obvias.

Todo modelo debe limitar el detalle en algún aspecto. Al hacer la descripción de un sistema en lugar del detalle, se hacen suposiciones sobre el comportamiento del sistema. Como se desea que estas suposiciones no contradigan el comportamiento observable del sistema, siempre que se pueda, se deben probar comparándolas con la observación.

CRITERIOS PARA REALIZAR UN BUEN MODELO

Se ha definido a la simulación como el proceso del diseño de un modelo de un sistema real y la realización de experimentos con el mismo, con el propósito de entender ya sea el comportamiento del sistema o la evaluación de varias estrategias que se consideran para la operación del sistema. Esto implica el establecer ciertos criterios que debe cumplir todo buen modelo de simulación:

Fácil de entender por parte del usuario. Dirigido a metas u objetivos. No dé respuestas absurdas. Fácil de controlar y manipular por parte del usuario. Completo, en lo referente a asuntos importantes. Evolutivo, es decir, que debe ser sencillo al principio y volverse más complejo, de acuerdo con el

usuario.

RIESGOS DE LA ELABORACIÓN DE MODELOS

Primero, no existe garantía alguna de que el tiempo y el trabajo dedicados a establecer el modelo tendrá como resultado algo útil así como beneficios satisfactorios. El fracaso suele ocurrir porque el nivel de recursos es demasiado bajo. Sin embargo, a menudo el investigador se ha basado más en el método y no suficientemente en el ingenio cuando el balance apropiado entre conducirá a la mayor probabilidad de éxito.

La segunda advertencia se refiere a la tendencia del investigador de defender su representación particular de un problema como la mejor que existe de la realidad. Esta situación ocurre a menudo después de que ha invertido mucho tiempo y trabajo esperando resultados útiles.

La tercera advertencia es la referente a la utilización del modelo para predecir más allá del intervalo de aplicación sin la debida especificación. Por ejemplo, puede diseñarse un modelo para pronosticar el comportamiento del sistema para un periodo futuro. Si se toma el mismo modelo para predecir en dos periodos futuros, debe especificarse de manera explícita a quienes lo utilizan en el sentido de que en estas predicciones el periodo futuro de predicción no es tan exacto como en el caso de la predicción para determinado periodo. Omitir una especificación apropiada con respecto a un modelo de extrapolación da como resultado quizás la única y mayor causa de la mala aplicación práctica.

CAPITULO II

SIMULACIÓN DETERMINISTA Y ALEATORIA

SIMULACIÓN DETERMINÍSTICA

a) Ej: Animal que sube 3m en el día y en la noche baja 2m. Si el pozo es de 10m, en cuántos días sale?

 

Día

 

Parte del día

 

Posición Inicial

 

Posición final

1 d -10 7

1 n -7 9

2 d -9 6

2 n -6 8

3 d -8 5

3 n -5 7

4 d -7 4

4 n -4 6

5 d -6 3

5 n -3 5

6 d -5 2

6 n -2 4

7 d -4 1

7 n -1 3

8 d -3 08 díasNo hay metodologíaUna forma: Elaborar una tabla, describiendo paso a paso los resultados

b) Tiempo de viaje entre A y B = 2h, de B y A = 2.5h.Se desea un servicio entre cada ciudad, el conductor del vehículo debe descansar ½ h cuando termina un viaje.

Obtenga a través de la simulación la mínima cantidad de vehículos necesarios para cumplir este plan.

 

Vehículo #

 

Hora salida

 

Hora llegada

 

Hora salida

 

Hora llegada

 

Sitio

 

Hora

  A B B A Disponible Disponible

1 6 8     B 8:30

2     6 8:30 A 9:00

3 7 9     B 9:30

4     7 9:30 A 10:00

5 8 10     B 10:30

6     8 10:30 A 11:00

2 9 11     B 11:30

1     9 11:30 A 12:00

4 10 12     B 12:30

3     10 12:30 A 1:00

6 11 1     B 1:30

5     11 1:30 A 2:00Respuesta: 6 vehículos

SIMULACIÓN ALEATORIA DISCRETA

 

Variables aleatorias 1, 2, 3 con probabilidad 0.2, 0.3, y 0.5

  1 2 3                         

0                 1 

SIMULACIÓN DE EVENTOS EQUIPARABLES

Cuando las N operaciones de un evento aleatorio son equiparables

n = [r * N] + 1r : Número aleatorion : Resultados de la simulación[r * N] : mayor entero ≤ r * N

Ejemplo: Baraja de 52 cartas

               Corazones, picas, diamantes y tréboles               r = 0.41n = [0.41 * 52] +1 : 22 à 9 picas

Ejemplo de simulación Aleatoria

Dado      3 caras color amarillo      2 caras color azul       $ 400      1 cara color rojo         $ 600      Apuesta = $ 200

Construya las tablas de un proceso de simulación con base en las cuales se establezca el tiempo de ventaja que le toma un ciclista desde un punto A a otro B en una etapa con las siguientes características.

 

Tramo

 

Clase de terreno

 

Velocidad A

 

Velocidad B

0 – 10 Plano 42 45

10 – 25 Subida 25 15

25 – 30 Bajada 10 100 

 

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

1. Bernoulli

Se presenta o no el evento, para una probabilidad P, la probabilidad de que no ocurra es (1-p)

 

2. Binomial

k = 0, 1, 2,. . . n

p(k) = pk (1 – p)n-k

→ n números aleatorios, cuantos son menores o iguales a p

 

  Corresponden a la simulación de k 

3. Poisson

Probabilidad de k sucesos en un tiempo T es:

Se simula tiempo entre llegadas (método de la inversa) y se acumula el tiempo hasta que supere a T.

k = Nro de exponenciales simuladassi tiempos = T

k = Nro de cap. simuladas – 1si tiempo > T

Nro de veces que se realiza una simulación

V=

3,84 * (desviacion estandar)2__________________________

error tolerable Error tolerable

0,1 % del promedio à si consecuencias son graves 20% del promedio à si consecuencias son graves

MÉTODO DE LA INVERSA PARA SIMULAR VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

r = F(x) =∫f(x)dx

a) Distribución uniforme

f(t) =

1____

b - a

t = r (b – a) + a

Ejemplo:12 a 1 PMr = 0.43

t = 0.43 (13 – 12) + 12 = 12.43                        12:25:48

b) Distribución exponencial

 

 

 

 

 

 

 t → 0    f(t) = µ * ℮-µt

  F(t) = ∫f(t) = ∫ µ * ℮-µt dt

F(t) = 1 - ℮-µt = r

 

 

c) Distribución empírica

 

f(x) = x si 0 ≤ x ≤ 1

½ si 1 < x ≤ 2

 

 

 

MÉTODO DE RECHAZO

 

1. Generar números R1 y R22. x = a + (b – a)R13. Hallar f(x) = f(a + (b – a)R1)4. Si R2 ≤f(x) / M → x es un valor simulado de la variable aleatoria, M → moda

f(x) = 2x 0 ≤ x ≤ 1 x = 0 + (1 – 0)R1   R2 = R1    x = R1  

 

 

MÉTODO DEL HISTOGRAMA

a) Construir un histograma

 

b) Selección de una aletoriedad

0.35 → 3 intervalo

c) Nueva generación aleatoria

0.69Número simulado = 10 + 0.69 * (12 – 10) = 11.38

 

 

Distribución normal

 

 

Distribución Evlang

 

 

Ejercicios

1. Generar por el método de la transformación inversa números al azar que sigan las siguientes distribuciones de probabilidad

a. f(x) = (x – 3)2 / 18                             si 0 ≤ x ≤ 16

b.

2. Generar por el método de rechazo, números al azar que sigan las siguientes distribuciones de probabilidad.

 

GERERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

TABLAS DE NÚMEROS ALEATORIOS

(Pseudo aleatorios) → son hechos en forma determinística

a) Congruencial Mixto

Xn+1 = (αXn + C) mod mX0 = Semilla (X0 > 0)α = Multiplicador (a>0)C = Constante de aditiva (C>0)m = módulo (m>X0, m>α, m>c)

Posibles valores de Xn+1 son 0,1, 2…, m – 1α = 5, C = 7, X0 = 4, m = 8

 

n

 

Xn

 

(5Xn+7) mod 8

 

Xn+1

 

Números Uniformes

0 4 3.375 3 3/8

1 3 - 6 6/8

2 6 - 5 5/8

3 5 - 0 0

4 0 - 7 7/8

5 7 - 2 2/8

6 2 - 1 1/8

7 1 - 4 4/8  

Ejemplo:

a = X0 = C = 7            m = 10

 

n

 

Xn

 

(7Xn + 7) mod 100

 

Xn+1

 

Número Uniforme

0 7 - 6 6/10

1 6 - 9 9/10

2 9 - 0 0

3 0 - 7 7/10Reglas de selección para un periodo completo

a) Selección de m    m : número primo lo mas grande posible

b) Selección de a    a : Entero impar no divisible entre 3 o 5    a = 22+1 → binario          102+1 → decimal

c) Selección de C    Cualquier constante entero impar y relativamente primo a m    C mod 8 = 5 → binario    C mod 200 = 21 → decimal

 b) Congruencial Multiplicativo

Xn+1 = aXn mod ma = 3        X0 = 7         m = 16

 

n

 

Xn

 

3X n mod m

 

Xn+1

 

Número Uniforme

0 7 - 5 5/16

1 5 - 15 15/16

2 15 - 13 13/16

3 13 - 7 7/16 

Reglas de selección

a) Semilla: Entero impar no divisible entre 2 o 5, relativamente primo a m

b) a = 200t ± p    t: entero    p: 3, 11, 13, 19, 21, 27, 29, 37, 53, 59, 61, 69, 77, 83, 91.

c) m = 10d

Ejercicio: Hallar periodo de

 

 

 

 

Xn+1 = 3Xn mod 100      X0 = 7

Xn+1= (8Xn + 16) mod 100    X0 = 15Xn+1= (50Xn + 17) mod 64  X0 = 13Xn+1 = 203Xn mod 105  X0 = 17Xn+1 = 211Xn mod 108 X0 = 19