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5/10/2018 simula3 - slidepdf.com

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INTRODUCCIÓN

La creciente capacidad de las computadoras y la inmensa investigación en el campo de laCiencia de la Computación otorgan nuevas herramientas para apoyar el proceso de la tomade decisiones en diversas disciplinas y áreas de diseño y manejo de la industria. LaSimulación es una de las herramientas más importantes y más interdisciplinarias. En pocaspalabras podemos decir, que la simulación realiza cuando la computadora finge ser unatienda, un avión o un mercado de abarrotes. El usuario define la estructura del sistema quequiere simular. Una corrida del programa de simulación correspondiente le dice cual seráel comportamiento dinámico de su empresa o de la maquina que esta diseñando. Así podemos ver los pronósticos para la demanda y utilidad de nuestro producto, o ver cuandoun mecanismo pueda fallar en las condiciones adversas del ambiente donde funcionará.

Las aplicaciones de la simulación parecen no tener limites. Actualmente se simulan los

comportamientos hasta las partes más pequeñas de un mecanismo, el desarrollo de lasepidemias, el sistema inmunológico humano, las plantas productivas, sucursales bancarias,el sistema de repartición de pizzas en la Ciudad de México, crecimiento de poblaciones deespecies de animales, partidos y torneos de fútbol, movimiento de los planetas y laevolución del universo, para mencionar unos pocos ejemplos de las aplicaciones de estaherramienta. Cabe mencionar la creciente importancia de la Simulación en laInvestigación de operaciones y en sus aplicaciones industriales. En los países altamentedesarrollados la simulación es una herramienta principal de en los procesos de toma dedecisiones, en el manejo de empresas y el planeación de la producción. Además, laSimulación es cada vez más “amigable” para el usuario, que no tiene que ser un especialistaen computación.

El Dr. Ralph Huntsinger, ex-presidente de la “Society for Computer Simulation” y actualPresidente del Instituto McLeod de las Ciencias de Simulación ha dicho en suspresentaciones en el Primer Simposio sobre la Simulación por Computadora y la IIIConferencia sobre Simulación por Computadora (Universidad Panamericana, Noviembre1992 y 1995):

!LA SIMULACIÓN ES ÚTIL Y DIVERTIDA¡¡DISFRUTE SUS VENTAJAS¡



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UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS DE SIMULACIÓN.

La simulación es una técnica muy poderosa y ampliamente usada en las cienciaspara analizar y estudiar sistemas complejos. En Investigaciones se formularon modelos quese resolvían en forma analítica. En casi todos estos modelos la meta era determinarsoluciones óptimas. Sin embargo, debido a la complejidad, las relaciones estocásticas, etc.,no todos los problemas del mundo real se pueden representar adecuadamente en forma demodelo. Cuando se intenta utilizar modelos analíticos para sistemas como éstos, en generalnecesitan de tantas hipótesis de simplificación que es probable que las soluciones no seanbuenas, o bien, sean inadecuadas para su realización. En eso caso, con frecuencia la únicaopción de modelado y análisis de que dispone quien toma decisiones es la simulación.Simular, es reproducir artificialmente un fenómeno o las relaciones entrada-salida de unsistema. Esto ocurre siempre cuando la operación de un sistema o la experimentación en élson imposibles, costosas, peligrosas o poco prácticas, como en el entrenamiento de personalde operación, pilotos de aviones, etc.

Si esta reproducción está basada en la ejecución de un programa en unacomputadora digital, entonces la simulación se llama digital y usualmente se conoce comosimulación por computadora, aunque esto incluye la simulación en las computadorasanalógicas. La simulación por computadora está relacionada con los simuladores. Porsimulador entendemos no sólo un programa de simulación y la computadora que lo realiza,sino también un aparato que muestra visualmente y a menudo físicamente las entradas ysalidas (resultados) de la simulación, como es el caso de los simuladores profesionales devuelo, aunque en este curso no se hablará sobre los simuladores ni sobre la simulaciónanalógica. A partir del advenimiento de las computadoras electrónicas, la simulación hasido una de las herramientas más importantes y útiles para analizar el diseño y operación decomplejos procesos o sistemas. Simular, según el Diccionario Universitario Webster, es“fingir, llegar a la esencia de algo, prescindiendo de la realidad”.

Se puede definir a la simulación como la técnica que imita el funcionamiento de unsistema del mundo real cuando evoluciona en el tiempo. Esto se hace por lo general alcrear un modelo de simulación. En síntesis, cada modelo o representación de una cosa esuna forma de simulación. La simulación es un tema muy amplio y mal definido que es muyimportante para los responsables del diseño de sistemas, así como para los responsables desu operación.

Shannon define la simulación como el proceso de diseñar un modeló de un sistema real yrealizar experimentos con él para entender el comportamiento del sistema o evaluar variasestrategias (dentro de los limites impuestos por un criterio o por un conjunto de criterios)para la operación del sistema. Por lo que se entiende que el proceso de simulación incluyetanto la construcción del modelo como su uso analítico para estudiar un problema. Unmodelo de simulación comúnmente toma la forma de un conjunto de hipótesis acerca delfuncionamiento del sistema, expresado con relaciones matemáticas o lógicas entre losobjetos de interés del sistema. En contraste con las soluciones matemáticas exactasdisponibles en la mayoría de los modelos analíticos, el proceso de simulación incluye laejecución del modelo a través del tiempo, en general en una computadora, para generarnuestras representativas de las mediciones del desempeño o funcionamiento. En esteaspecto, se puede considerar a la simulación como un experimento de muestreo acerca del



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sistema real, cuyos resultados son puntos de muestra. Por ejemplo, para obtener la mejorestimación del promedio de la medición del funcionamiento, calculamos el promedio de losresultados de muestra. Es claro que tanto más puntos de muestra generemos, mejor será

nuestra estimación. Sin embargo, hay otros factores que tienen influencia sobre la bondadde nuestra estimación final, como las condiciones iniciales de la simulación, la longitud delintervalo que simula y la exactitud del modelo mismo.

ALGUNOS USOS DE LA SIMULACIÓN

Las áreas de aplicación de la simulación son muy amplias, numerosas y diversas,basta mencionar sólo algunas de ellas: Análisis del impacto ambiental causado por diversas

fuentes Análisis y diseño de sistemas de manufactura Análisis y diseño de sistemas decomunicaciones. Evaluación del diseño de organismos prestadores de servicios públicos(por ejemplo: hospitales, oficinas de correos, telégrafos, casas de cambio, etc.).Análisis de sistemas de transporte terrestre, marítimo o por aire. Análisis de grandesequipos de cómputo. Análisis de un departamento dentro de una fábrica. Adiestramiento deoperadores (centrales carboeléctricas, termoeléctricas, nucleoeléctricas, aviones,etc.).Análisis de sistemas de acondicionamiento de aire. Planeación para la producción debienes. Análisis financiero de sistemas económicos.Evaluación de sistemas tácticos o dedefensa militar. La simulación se utiliza en la etapa de diseño para auxiliar en ellogro o mejoramiento de un proceso o diseño o bien a un sistema ya existente para exploraralgunas modificaciones. Se recomienda la aplicación de la simulación a sistemas ya

existentes cuando existe algún problema de operación o bien cuando se requiere llevar acabo una mejora en el comportamiento. El efecto que sobre el sistema ocurre cuando secambia alguno de sus componentes se puede examinar antes de que ocurra el cambio físicoen la planta para asegurar que el problema de operación se soluciona o bien para determinarel medio más económico para lograr la mejora deseada. Todos los modelos desimulación se llaman modelos de entrada-salida. Es decir, producen la salida del sistema sise les da la entrada a sus subsistemas interactuantes. Por tanto los modelos de simulaciónse “corren” en vez de “resolverse”, a fin de obtener la información o los resultadosdeseados. Son incapaces de generar una solución por si mismos en el sentido de losmodelos analíticos; solo pueden servir como herramienta para el análisis delcomportamiento de un sistema en condiciones especificadas por el experimentador. Por

tanto la simulación es una teoría, si no una metodología de resolución de problemas.Además la simulación es solo uno de varios planteamientos valiosos para resolverproblemas que están disponibles para el análisis de sistemas. Pero ¿Cuándo es útil utilizarla simulación? Cuando existan una o más de las siguientes condiciones:1.- No existe unacompleta formulación matemática del problema o los métodos analíticos para resolver elmodelo matemático no se han desarrollado aún. Muchos modelos de líneas de esperacorresponden a esta categoría.2.- Los métodos analíticos están disponibles, pero losprocedimientos matemáticos son tan complejos y difíciles, que la simulación proporcionaun método más simple de solución.3.- Las soluciones analíticas existen y son posibles, peroestán mas allá de la habilidad matemática del personal disponible El costo del diseño, laprueba y la corrida de una simulación debe entonces evaluarse contra el costo de obtener



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ayuda externa.4.- Se desea observar el trayecto histórico simulado del proceso sobre unperíodo, además de estimar ciertos parámetros.5.- La simulación puede ser la únicaposibilidad, debido a la dificultad para realizar experimentos y observar fenómenos en su

entorno real, por ejemplo, estudios de vehículos espaciales en sus vuelosinterplanetarios.6.- Se requiere la aceleración del tiempo para sistemas o procesos querequieren de largo tiempo para realizarse. La simulación proporciona un control sobre eltiempo, debido a que un fenómeno se puede acelerar o retardar según se desee.

PROBLEMAS PARA LLEVAR A CABO LA SIMULACIÓN, CUANDO LOSSISTEMAS SON GRANDES Y COMPLEJOS:

El modelo matemático es demasiado grande y complejo, así que la escritura de losprogramas de cómputo resulta ser una tarea demasiado tediosa. En la actualidad se disponeya de algunos programas que genera de modo automático el código de un modelo para la

simulación. El tiempo de cómputo es alto y costoso. Sin embargo y gracias a losactuales desarrollos de poderosos equipos de computo, el tiempo de computo tiende a bajarrápidamente. Desafortunadamente existe en el mercado una marcada impresión deconsiderar a la simulación, como un simple ejercicio de programación de computadoras.Como consecuencia de ello, codificación y la corrida para obtener finalmente unarespuesta.

SISTEMAS, MODELOS Y SIMULACIÓN

Existen diversos enunciados para definir un sistema, por ejemplo: “ un sistema decolección de entidades ( personas, máquinas equipos, etc. ) los cuales actúan o interactuan

juntos, para lograr un propósito bien definido “ ( Schmidt & Taylor )o bien “ Un sistema es un conjunto de componentes cuyos parámetros de comportamientoestán interrelacionados. Simular un sistema significa observar un sistema equivalente queaproxima o imita el comportamiento del sistema real.

En la práctica, lo que se entiende por sistema depende sobre todo el objetivo que sequiera alcanzar en un estudio en particular.

La colección de entidades que componen un sistema puede ser tan sólo unsubconjunto de un sistema más amplio. Por ejemplo, si se quiere llevar a cabo un estudioen un banco, para poder determinar el número de cajeros que se quieren, para proporcionar

un adecuado servicio a los clientes que deseen cambiar cheques por dinero en efectivo obien para hacer un depósito en su cuenta de ahorros, el sistema puede ser definido comouna porción del banco que consiste en los cajeros y los clientes que esperaban en una filapara ser atendidos. Si por otro lado se incluyera la oficina de depósito de valores y cajaspersonales de seguridad, entonces la definición de sistema cambia de manera natural.

Entonces las Entidades de un sistema son los elementos que nos interesan en elsistema y los atributos son la descripción de las propiedades de las entidades. Actividad esel proceso que causa cambios en el sistema. Estas pueden ser: endógenas cuando se generandentro del mismo sistema y exógenas cuando provienen del medio exterior.



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El estado de un sistema queda definido como la colección de variables necesariaspara describir un sistema particular, congruente con los objetivos de estudio ( es unafotografía del sistema )

En el ejemplo del banco, algunas de las posibles variables de estado que puedendefinirse son: el número de cajeros, el número de clientes en el banco, la hora de llegada decada cliente al banco.

Los sistemas se clasifican en discreto es aquel en el que las variables de estadocambian instantáneamente en puntos distintos en el tiempo. Se rigen por ecuaciones lógicasque expresan condiciones para que un evento ocurra. La simulación discreta, consiste enseguir los cambios en el estado del sistema resultando de cada uno de los eventos que serealizan. Por regla general este tipo de la simulación se realiza siguiendo la secuencia deocurrencia de eventos, es decir avanzamos el tiempo de la simulación al tiempo de laocurrencia del siguiente evento.

En los sistemas discretos, el flujo es tratado como un cierto número de enteros. Porejemplo en el análisis de flujo de personas en el supermercado, involucra el tiempo quetarda una persona en las distancias aéreas del supermercado y el contador de salida de unsistema discreto, otros sistemas discretos son: el análisis de como el de tráfico de autobusesen una central camionera, e control de tráfico de: trenes en una estación ferroviaria,aviones en el aeropuerto, vehículos en una autopista, buques en el puerto. Otro ejemplopuede ser un banco, dado que las variables de estado como pueden ser: el número declientes dentro del banco, cambia solamente cuando llega un nuevo cliente o bien cuandoun cliente termina de ser atendido por un cajero y abandona el banco.

Un sistema continuo es aquel en el que las variables de estado cambian de maneracontinua en el tiempo. Por ejemplo si consideramos un aeroplano que se mueve por losaires, sus variables de estado como velocidad, posición, consumo de combustible, etc.,cambian de manera continua en el tiempo.

En los sistemas continuos el flujo a través del sistema es, el de un medio continuo,por ejemplo el flujo de las partículas sólidas, moviéndose a velocidades relativas al tamañode las partículas presentes en la corriente.

En la práctica, pocos sistemas continuos puros o como sistemas discretos puros, sinembargo predomina uno de los dos, con lo cual es posible identificarlos.

En la Figura 1 se ilustra las diferentes maneras de cómo se estudian los sistemas engeneral.

Otra manera de clasificar a los sistemas es determinísticos y estocásticos. En unanálisis determinístico, las variables de entrada se especifican de una manera precisa; encambio en un análisis estocástico, las condiciones de entrada al sistema son inciertas, soncompletamente aleatorias, es decir obedecen a una ley de distribución de probabilidad.



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Figura No. 1 FORMAS DE ESTUDIAR LOS SISTEMAS

EXPERIMENTO CON EL SISTEMA REAL VS. EXPERIMENTO CON ELMODELO DEL SISTEMA.

Cuando es posible (y el costo lo permite) modificar físicamente el sistema yoperarlo en las nuevas condiciones es probable lo más adecuado sin embargo no existenmuchas preguntas acerca de la relevancia del estudio.

Esta situación raramente es factible dado el alto costo asociado con experimento obien porque interrumpe por demasiado tiempo la operación del equipo.

Puede darse el caso que el sistema no exista, sin embargo se requiere saber sucomportamiento para diferentes configuraciones, para observar cual es la que ofrece mayorventaja, tal como se da en los modernos centros de maquinado flexible de diversos tipos decomponentes, o en los sistemas tácticos de defensa de un país. Por esta razón se hacenecesario construir un modelo que aproxime de la mejor manera posible el sistema real.

Siempre que se usa un modelo, existe la pregunta de que tan precisamente refleja elcomportamiento del sistema real para propósitos de la toma de decisiones, esto tiene quever con la validez del modelo.

Independientemente de como y con qué hagamos nuestro modelo, en cualquier casoinvolucra un proceso de abstracción, que consiste básicamente en:

SISTEMA

EXPERIMENTO CON

SOLUCIÓN

SIMULACIÓN

ANALÍTICA

EXPERIMENTO CON EL

SISTEMA REAL

UN MODELO DEL

SISTEMA REAL

MODELO

FÍSICO

MATEMÁTICO



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a) Selección de la realidad, los elementos más importantes que intervienen en el problema ydesechar aquellos que consideramos no juegan un papel determinante en el mismo.

b) Establecer con precisión las distintas relaciones que guarden entre si dichos elementos.

Una vez realizado este proceso de abstracción estamos en condiciones de elaborarun modelo, dependiendo de cómo y con qué lo hagamos tomará distintas características.Construido el modelo, podemos manipular elementos y sobre todo buscar posiblessoluciones. Resolver el problema en el modelo significa haber contestado las siguientespreguntas:

a) ¿Existe solución? Si la respuesta es negativa habremos terminado, el modelo construidono tiene solución podemos replantearnos la pregunta y/o replantear el modelo. Si la

respuesta es afirmativa la siguiente pregunta es:

b) ¿La solución es única? Si la respuesta es afirmativa habremos acabado, si resultanegativa, significa que existe más de una solución, y tendríamos que formularnos la tercerapregunta:

c) ¿Cual de todas es la que más nos conviene? Para contestar esta última, muchas vecestenemos que volver a reflexionar sobre la realidad y/o sobre nuestro modelo, paraestablecer los criterios que nos permitan decir cual es mejor.

Después de resolver el problema en el modelo, podemos trasladar la solución

encontrada a la realidad, este proceso recibe el nombre de aplicación.

En el análisis de sistemas los tipos de modelos de interés son los modelosmatemáticos, el cual representa al sistema en términos de variables (enteras, reales, lógicas,etc.) y sus relaciones mutuas, las cuales se manipulan y modifican a placer para poderdeterminar la forma como responde el sistema modelado o bien como debe de comportarse,siempre y cuando el modelo sea valido.

SOLUCIÓN ANALÍTICA CONTRA SIMULACIÓN.

Una vez que se ha construido un modelo matemático, este debe ser analizado parasaber la manera como debe ser utilizado para que de respuesta a las preguntas de interés,acerca del sistema que supuestamente representa.

Si el modelo es lo suficiente sencillo, es posible trabajar con cantidades y relacionesque tiendan a la exactitud, obteniéndose entonces una solución exacta. Sin embargo, aúnlas soluciones analíticas pueden ser extraordinariamente complejas, requiriéndose de unconsiderable tiempo de cómputo.



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Pero cuando el modelo es demasiado complejo, el modelo matemático asociado esde las mismas características y la opción de utilizar una solución analítica se desvanece,dando paso al estudio del sistema mediante simulación.

TIPOS DE MODELOS DE SIMULACIÓN.

MODELOS DE SIMULACIÓN ESTÁTICA VS. DINÁMICA Un modelo de simulación estática, se entiende como la representación de un sistema

para un instante (en el tiempo) en particular o bien para representar un sistema en el que eltiempo no es importante, por ejemplo la simulación Montecarlo; en cambio un modelo desimulación dinámica representa a un sistema en el que el tiempo es una variable de interés,como por ejemplo en el sistema de transporte de materiales dentro de una fabrica, una torre

de enfriamiento de una central termoeléctrica, etc..

MODELOS DE SIMULACIÓN DETERMINISTA VS ESTOCASTICA

Si un modelo de simulación no considera ninguna variable importante,comportándose de acuerdo con una ley probabilística, se le llama un modelo de simulacióndeterminista. En estos modelos la salida queda determinada una vez que se especifican losdatos y relaciones de entrada al modelo, tomando una cierta cantidad de tiempo de cómputopara su evaluación. Sin embargo, muchos sistemas se modelan tomando en cuenta algúncomponente aleatorio de entrada, lo que da la característica de modelo estocástico de

simulación.Un ejemplo sería un sistema de inventarios de una fábrica, o bien el sistema de

líneas de espera de una fabrica, etc. Estos modelos producen una salida que es en si mismade carácter aleatorio y ésta debe ser tratada únicamente para estimar las característicasreales del modelo, esta es una de las principales desventajas de este tipo de simulación.

MODELOS DE SIMULACIÓN CONTINUOS VS DISCRETOS

Los modelos de simulación discretos y continuos, se definen de manera análogo alos sistemas discretos y continuos respectivamente. Pero debe entenderse que un modelodiscreto de simulación no siempre se usa para modelar un sistema discreto. La decisión deutilizar un modelo discreto o continuo para simular un sistema en particular, depende de losobjetivos específicos de estudio. Por ejemplo: un modelo de flujo de tráfico en unasupercarretera, puede ser discreto si las características y movimientos de los vehículos enforma individual es importante. En cambio si los vehículos pueden considerarse como unagregado en el flujo de tráfico entonces se puede usar un modelo basado en ecuacionesdiferenciales presentes en un modelo continuo.

Otro ejemplo: Un fabricante de comida para perros, requiere el auxilio de unacompañía consultora con el objeto de construir un modelo de simulación para su línea defabricación, la cual produce medio millón de latas al día a una velocidad casi constante.



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Debido a que cada una de las latas se representó como una entidad separada en el modelo,éste resulto ser demasiado detallado y por ende caro para correrlo, haciéndolo poco útil.Unos meses más tarde, se hizo una reformulación del modelo, tratando al proceso como un

flujo continuo. Este nuevo modelo produjo resultados precisos y se ejecuto en una fraccióndel tiempo necesario por el modelo original.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL USO DE LA SIMULACIÓN

Aunque la técnica de simulación generalmente se ve como un método de últimorecurso, recientes avances en las metodología de simulación y la gran disponibilidad desoftware que actualmente existe en el mercado, han hecho que la técnica de simulación seauna de las herramientas más ampliamente usadas en el análisis de sistemas. Además de lasrazones antes mencionadas, Thomas H. Naylor ha sugerido que un estudio de simulación esmuy recomendable porque presenta las siguientes ventajas:

A través de un estudio de simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos yexternos del sistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistema y observando losefectos de esas alteraciones en el comportamiento del sistema.

Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejorentendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren laoperación y eficiencia del sistema.

La técnica de simulación puede ser utilizada como un instrumento pedagógico paraenseñar a estudiantes habilidades básicas en análisis estadísticos, análisis teórico, etc.

La simulación de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor la operación delsistema, a detectar las variables más importantes que interactuan en el sistema y aentender mejor las interrelaciones entre estas variables.

La técnica de simulación puede ser utilizada para experimentar con nuevas situaciones,sobre las cuales tiene poca o ninguna información. A través de esta experimentación sepuede anticipar mejor a posibles resultados no previstos.

La técnica de simulación se puede utilizar también para entrenamiento de personal. En

algunas ocasiones se puede tener una buena representación de un sistema (como porejemplo los juegos de negocios), y entonces a través de el es posible entrenar y darexperiencia a cierto tipo de personal.

Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puede ser usadapara anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puede surgir en elcomportamiento del sistema.

Los sistemas los cuales son sujetos de investigación de su comportamiento no necesitanexistir actualmente para ser sujetos de experimentación basados en la simulación. Solonecesitan existir en la mente del diseñador.



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El tiempo puede ser compresado en los modelos de simulación. El equivalente de días,semanas y meses de un sistema real en operación frecuente pueden ser simulados en solosegundos, minutos u horas en una computadora. Esto significa que un largo número dealternativas de solución pueden ser simuladas y los resultados pueden estar disponiblesde forma breve y pueden ser suficientes para influir en la elección de un diseño para unsistema.

En simulación cada variable puede sostenerse constante excepto algunas cuya influenciaestá siendo estudiada. Como resultado el posible efecto de descontrol de las variables enel comportamiento del sistema necesitan no ser tomados en cuenta. Comofrecuentemente debe ser hecho cuando el experimento está desarrollado sobre un sistemareal.

Es posible reproducir eventos aleatorios idénticos mediante una secuencia de númerosaleatorios. Esto hace posible usar las técnicas de reproducción de varianza para mejorarla precisión con la cual las características del sistema pueden ser estimadas para dar unvalor que refleje el esfuerzo de la simulación.

A diferencia de las ventajas mencionadas, la técnica de simulación presentaimportantes desventajas, éstas son:

Falla al producir resultados exactos. S supone que un sistema ésta compuesto de uno omas elementos que están sujetos a un comportamiento al azar. Cuando una simulaciónes desarrollada con un modelo del sistema, los valores de cada variable son registrados ylos promedios de estos valores son dados en una postsimulación. Pero el promedio enuna muestra de observación solo a veces provee un estimado de lo esperado, es decir,una simulación solo provee estimados, no resultados exactos.

Fallas al optimizar. La simulación es usada para contestar preguntas del tipo “Qué pasasi?”, “pero no de”, “¿que es lo mejor?”. En este sentido, la simulación no es una técnicade optimización. La simulación no generará soluciones, solo evalúa esas que han sidopropuestas.

Largo tiempo de conducción. Un estudio de simulación no puede ser conducido ollevado a cabo en solo un fin de semana. Meses de esfuerzo pueden ser requeridos parareunir información, construir, verificar y validar modelos, diseñar experimentos yevaluar e interpretar los resultados.

Costos para proveer capacidad de simulación. El establecimiento y mantenimiento decapacidad de simulación, envuelve tener mejor personal, software, hardware,entrenamiento y otro tipo de costos.

Abuso de simulación. Hay muchas facetas para un balanceo y comprensivo estudio dela simulación. Ya que una persona debe tener conocimiento de una gran variedad de



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áreas antes de llegar a ser un practicante de la simulación. Este hecho es algunas vecesignorado, sin embargo como resultado, cada estudio puede incorrectamente serdesarrollado, o podría estar incompleto, o podría caer en otro tipo de caminos, quizá

resultado de una falla del esfuerzo de la simulación.

En conclusión la simulación ofrece poderosas ventajas pero sufre de mayoresdesventajas también. Afortunadamente muchas de estas desventajas están disminuyendo enimportancia en el tiempo, gracias a las herramientas que emplean simulación.metodologias, desarrollo de computadoras y de software y decrementos en los costos de losmismos.

Como nosotros hemos visto la simulación tiene una categoría extremadamentebuena, aun ahora en medio de tantas alternativas y su méritos podrían continuar a travésdel tiempo.



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METODOLOGIA DEL PROCESO DE SIMULACIÓN.

PLANIFICAR UN PROCESO DE SIMULACIÓN REQUIERE DE LOSSIGUIENTES PASOS:

A) FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.

B) RECOLLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN REQUERIDA.

C) FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMATICO.

D) EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LA INFORMACIÓNPROCESADA.

E) FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA DE COMPUTADORA.

F) VALIDACIÓN DEL PROGRAMA DE COMPUTADORA.

G) DISEÑO DE EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN.

H) ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN.A continuación se resumen las principales características asociadas a cada paso.



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FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Generalmente un problema se presenta por síntomas, no por el diagnostico. Por loque antes de generar soluciones en un sistema, se deben buscar el mayor numero desíntomas.

Según Acoff y Sasieni, las condiciones para que exista el mas simple de losproblemas son:

1. Debe existir por lo menos un individuo que se encuentra dentro de un marco dereferencia, el cual se puede atribuir el problema del sistema.

2. El individuo debe tener por lo menos un par de alternativas para resolver su problema,

en caso contrario no existe tal problema.

3. Deben de existir por lo menos, un par de soluciones, una de las cuales debe tener mayoraceptación que la otra en el individuo. En caso contrario, no existe el problema. Estapreferencia esta asociada a un cierto objetivo dentro del marco de referencia en donde seencuentra el individuo del sistema.

4. La selección de cualquiera de las soluciones debe repercutir de manera diferente en losobjetivos del sistema, es decir existe una eficiencia y/o efectividad asociada con cadasolución. Estas eficiencias y/o efectividades deben ser diferentes, puesto que de locontrario no existe problema.

5. Por ultimo le individuo que toma las decisiones ignora las soluciones y/o eficiencia y/oefectividades asociadas con las soluciones del problema.

Si las cinco condiciones anteriores existen, entonces se tiene un problema. Estasituación puede complicarse en los siguientes casos:

a) El problema recae en un grupo, no en un individuo.

b) El marco de referencia donde se encuentra el grupo, cambia en forma dinámica.

c) El numero de alternativas que el grupo puede escoger es bastante grande, pero finito.

d) El grupo dentro del sistema puede tener objetivos múltiples. Peor aun, nonecesariamente estos objetivos son consistentes entre si.

e) Las alternativas que selecciona el grupo son ejecutadas por otro grupo ajeno, al cual nose le puede considerar como elemento independiente del sistema.

f) Los efectos de la decisión del grupo pueden sentirse por elementos que aun siendoajenos al sistema considerando, influyen directa o indirectamente, favorable odesfavorablemente hacia el (político, consumidor, etc.).



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Para formular un problema se necesita la siguiente información:

a) ¿Existe un problema?.

b) ¿De quien es el problema?.

c) ¿Cual es el marco de referencia del sistema donde se encuentra el problema?

d) ¿Quien o quienes toman las decisiones?

e) ¿Cuales son sus objetivos?.

f) Cuales son los componentes controlables del sistema y cuales no lo son?.

g) ¿Cuales son las interrelaciones más importantes del sistema?.

h) ¿Como se emplearan los resultados del proyecto? ¿Por quien? ¿que efectos tendrá?

i) ¿Las soluciones tendrán efecto a corto o largo plazo?

j) ¿Podrán los efectos de las soluciones modificarse o cambiarse fácilmente?

k) ¿Cuantos elementos del sistema se afectaran por las soluciones del proyecto? ¿En quégrado?

FORMULAR UN PROBLEMA REQUIERE:

a) Identificar las componentes controlables de un sistema.

b) Identificar posibles rutas de acción dadas por las componentes, controlables.

c) Definir el marco de referencia, dado por las componentes no controlables

d) Definir los objetivos que se persiguen y clasificarlos por su orden de importancia.

Identificar las relaciones importantes entre las diferentes componentes del sistema,este paso equivale a encontrar las restricciones que existen, a la vez que permite másadelante representar estas interrelaciones en forma matemática.

La identificación de la estructura del sistema (componentes, canales, interrelaciones,etc.), se hace a través de un proceso sistemático, que se conoce como diseño de sistemas.

El diseño de sistemas se lleva a cabo de la siguiente manera:



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a) Se ubica al sistema considerando dentro de sistemas más grandes.

b) Se determinan las componentes del sistema.

c) Se determinan los canales de comunicación entre las componentes del sistema y de estehacia los elementos de otros sistemas que van a tener influencia directa o indirecta.

d) Se determinan de que manera se tiene acceso a la información requerida como seprocesa esta y como se transmite entre las diferentes componentes del sistema.

RECOLECCION Y PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN.

1.- Mediante algún método de recolección se necesita capturar los siguientes datos.

- Número de llegadas por unidad de tiempo a diferente horarios.

- Tiempos entre llegadas en diferentes horarios.

- Operaciones que se realizan en el banco.

- Frecuencia de los servicios requeridos por el usuario.

- Comportamiento del usuario en las líneas de espera.

2.- Procesar la información capturada, en forma de tablas, gráficas, etc. a través de algúnpaquete computacional.

Recolección y procesamiento de la información.

RECOLECCIÓN: Es el proceso de capturar los datos disponibles que se requieren para lasimulación del comportamiento del sistema.

PROCESAMIENTO: Se comprenden las actividades requeridas para transformar los datosen información.

Por ejemplo, un directorio telefónico es un banco de datos: mi dirección y teléfonoes información que procede de ese banco de datos el hecho de que estos datos esténarreglados en cierta forma (procesados y forma alfabética), permite el acceso a lainformación deseada de una manera sencilla.

La formulación es necesaria para poder simular un sistema.

La información debe ser: oportuna relevante y confiable.



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FUENTES PARA GENERAR INFORMACIÓN

1.- Las series históricas o de tiempo: son datos útiles y de rápido procesamiento para

convertirlos en información.

2.- La opinión de expertos: Es información subjetiva, carente de detalle y de utilidadmínima, económica y rápida de obtener cierto tipo de información complementaria.

3.- Los estudios de campo: son el método mas efectivo, aunque más costoso y tardado, deobtener información requerida. Se requiere el diseño de una muestra estadísticarepresentativa del universo bajo estudio; de un cuestionario que asegure la relevancia yconfiablilidad de un cuestionario y que asegure la relevancia y confiabilidad de los mismosy de personal entrenado que aplique la encuesta. La información capturada se mete a lacomputadora a través de algún paquete y se edita.

FORMULACIÓN DEL MODELO.

1. Representar el sistema mediante un esquema en el que se visualice en cada modula consus componentes, atributos, actividades endógenas y exógenas y las relaciones entreestas. El conjunto de todos estos módulos es el sistema.

2. Caracterizar matemáticamente las relaciones quien gobierna la interacción de lascomponentes del sistema y de las actividades endógenas y exógenas.

Es mas fácil construir una expresión matemática de las componentes y actividadesdel bloque de que todo el sistema. Sin embargo a una escala, la modelación puede ser muydifícil o, en ciertos casos imposible.

El sistema como un todo se modela matemáticamente de acuerdo a la interconexiónde los bloques.

Por ejemplo si un sistema esta formada por una sola unidad de servicio y una líneade espera, una expresión matemática para determinar el tiempo promedio que los clientesestán en el sistema:

TSISTEMA = TCOLA + TSERVICIO



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FORMULACIÓN DEL MODELO

Al modelar el sistema banco se caracterizan por expresiones matemáticamente las

relaciones que gobiernan las interacciones de los módulos con cada uno de suscomponentes, atributos, actividades endógenas y exógenas.

A

B

C

D

E

F

Se considera que el sistema banco esta formado por el modulo siguiente:

MODULO 1: Formado por las 6 cajas.

COMPONENTES:

CAJAS A, B, C, D, E, F.

LINEAS DE ESPERA

ATRIBUTOS:

CAJAS: Tipo de operación que realizan, monto de dinero recaudado, clientes atendidos encada actividad; tiempo de servicio para cada actividad.LINEA DE ESPERA: Tiempo promedio que un cliente esta en cola, número promedio decliente en cada cola.

ACTIVIDADES EXÓGENAS: Todas las actividades económicas que originan que losusuarios lleguen al banco.

ACTIVIDADES ENDÓGENAS: Son cinco las actividades que se van a realizar en elbanco.1. Ahorro



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2. Deposito3. Cambio de cheques4. cambio de dinero

5. pago de servicios

estas actividades pueden hacerse en algunas o varias cajas.

El 10% realizan ahorro, de este 10% el 40% solo realizan ahorro en la caja a el60% además van a depositar en las cajas B a F.

El 20% realizan la operación de deposito en las cajas B a FEl 40% realizaba la operación de deposito en las cajas B a F

45% cheques < 1000 cajas B y E35% cheques 1001 a 5000 cajas C y D

20% cheques > 5000 caja F

El 20% realizan la operación cambio de dinero en las cajas de la B a F.El 10% realizan la operación pago de servicios en las cajas B y E.



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EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LAINFORMACIÓN PROCESADA

Se necesita averiguar el tipo de distribución probabilística que gobierna a lainformación.

Para ello se requiere la realización de una serie de prueba estadísticas, para analizarsi existen diferentes significativas entre la distribución empírica observada (histograma delos datos capturados) y la distribución teórica supuesta de no existir diferenciassignificativas, se utiliza la distribución teórica que generalmente ya viene tabulada. De locontrario, el comportamiento del sistema debe hacerse en base a la distribución empíricaobservada, lo cual acarrea cierta complejidad.

Las diferentes pruebas auxiliares para analizar estas diferencias estadísticas son:a) Pruebas referentes a valores medios (diferentes entre medias).

b) Pruebas referentes a variaciones (Ji-cuadrada, prueba F…).

c) Pruebas referentes a conteo de datos (proporciones, tablas de contingencia, bondad deajuste, pruebas de corridas e intervalo).

d) Pruebas no parametricas (rangos, medianas, corrección, Kolmogorov-Smirnov, etc.).

EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LAINFORMACIÓN PROCESADA

¿Como se evalúo que las llegadas de clientes al banco son tipo Poisson o que lostiempos entre llegadas son de tipo exponencial?

De 9:00 a 10:00 el tiempo promedio es de 15”De 10:00 a 12:00 el tiempo promedio es de 30”De 12:00 a 13:00 el tiempo promedio es de 20”

En relación al tiempo de operación y caja a utilizar, como se determino que:El 10% va a ahorrar en la caja a que de este 10%El 40% se retira.El 60% se va a deposito.El 20% se va a depositar en las cajas B a F.El 40% va a cambio de cheques que de este 40%.El 45% son cheques < 1000 y va a las cajas B y F.Que el 35% son cheques 1001 a 5000 y van a las cajas C y D.Que el 20% son cheques > 5000 y van a la caja FEl 20% va a cambio de dinero en las cajas B y F.El 10% va apago de servicios y va a las cajas B y F .



20

Como se concluyo que los tiempos de servicios en las cajas de acuerdo al tipo deoperación son:

Ahorro 3” 1”

deposito

cambios de cheques

cheque < 1000

cheque 1001 a 5000

cheque> 5000

cambio de dinero

pago de servicios 4’ 2’

Para realizar las pruebas estadísticas se sugiere apoyarse en algún software como elstatgraphics que es un paquete estadístico.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

¿EXISTE UN PROBLEMA?

Recientemente se ha notado la disminución de clientes en el banco.

Posiblemente el trato hacia el cliente no se a el adecuado. O probablemente elcliente tarda mucho esperando ha ser atendido que ha optado por buscar los servicios deotro banco. Posiblemente haya muchas interrogaciones en relación a lo que esta ocurriendoactualmente en el banco. Pero de ella, la mas importantes es la que esta relacionada con eltiempo que permanece el cliente en el banco ¿como es este tiempo? ¿podría ser disminuidoa tal grado que sea atractivo para el cliente y vuelvan a requerir los servicios del banco?

Problema: La cantidad de clientes ha disminuido, necesitamos ser más eficientes y eficaz.

¿De quien es el problema?: De todos los que laboran en el banco pero fundamentalmentedel gerente y el cuerpo directivo.

¿Marco de referencia?: De acuerdo con la experiencia del gerente se supone que elproblema se encuentra en las cajas, específicamente en el tiempo utilizado para que uncajero atienda a un cliente. El problema se encuentra en todo el sistema o específicamenteen el subsistema cajas.

15. 30

1' 30'' 2' 45''

2 5. ' ' 1

3' 1'



21

¿Quien o quienes toman las decisiones?: El gerente con su cuerpo directivo.

¿Cuales son las componentes controlables del sistema?:

Las cajas: Pueden ponerse cajeros más rápidos y eficientes, aumentando su numero.Las líneas de espera: Pueden organizarse de tal manera que la espera sea agradable.Estrategias: A través de personal capacitado se puede orientar al cliente para mandarlo a lacaja más adecuada y rápida. Esto hacia más fluida la espera.

¿Cuales son las componentes no controlables? Los clientes en lo que se refiere a tasa dellegada, a su deseo de irse cuando ha transcurrido cierto tiempo o existen un numerodeterminado de clientes delante de el.

¿Cuales son las interrelaciones más importantes del sistema? Los recurso del sitema bancoson.

*Recursos humanos.*Recursos financieros.*Recursos materiales.

Entre estos existe un número muy grande de interrelaciones.

R.H R.F

R.M

En nuestro caso las interrelaciones más importantes son la que se entre los recurso

humanos con los clientes. Que llegan al banco y que por un tiempo determinado formanparte del sistema banco.

Cada caja esta atendida por sistema humano y este atiende a otro ser humano que esun cliente.

Aunque se maneje dinero y equipo eléctrico no existen interrelaciones relevantesque sean un objetivo para este análisis.

Nos interesa la utilización de las cajas atendidas por seres humanos, denominadoscajeros.



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¿Quienes harán la investigación de lo que esta ocurriendo en el sistema banco? Expertos eninvestigación de operaciones, en sistemas y en simulación.

¿Como se emplearan los resultados de la investigación? Para el análisis se determinara:Número promedio de clientes en cada caja.El tiempo promedio que un cliente esta en caja.El promedio que un cliente esta en el sistema.El número promedio en el sistema.El factor de utilización de cada una de las cajas.El numero de los clientes que hicieron determinado tipo de servicio.La posibilidad de que colas en las cajas con un número determinado de clientes.Determinar los tiempos promedio de atención de los clientes en las cajas.Los resultados anteriores se emplearan para analizar con que condiciones desde el punto devista funcional se encuentra el sistema banco.

¿Por Quien? El grupo de especialistas proporcionara dicha información al gerente y suequipo administrativo para su análisis y toma de decisiones.¿Qué efectos tendra? Puede ser que elimines cajas si es que la utilización son muy grandes.¿Las soluciones tendran efecto a corto o largo plazo? Dada la alta competitividad con otrosbancos se sugiere realizar la simulación del sitema banco para poder tener un análisis quetraiga como resultado mejorar el servicio que dicho banco proporciona. Todo esto a cortoplazo.a) ¿Podrán los efectos de las soluciones modificarse o cambiarse fácilmente?: En este caso

el efecto de las soluciones es proporcionar satisfacción en el cliente una parte de lasolución sería disminuir el tamaño de las líneas de espera, agilizar el tiempo de atenciónde caja a los clientes. Para lograr una mayor satisfacción se debe permitir decidir hasta

que punto pueden crecerse los cambios deseados u en su momento disminuirse.b) ¿Cuantos elementos del sistema se afectaran por las soluciones y en que grado?: Los

elementos del sistema que podrían verse afectado son alguna o algunas de las 6 cajas.Existe la posibilidad de que alguna caja tenga su utilización baja, desaparezca, no así elservicio que proporciona al eliminarse cajas, esto podría afectar a algún trabajador.

En la formulación del problema existe un proceso dialéctico entre los que tienen elproblema y los que van a construir el modelo. Algunos objetivos o propósitos puedendefinirse mediante los siguientes aspectos:

a) Preguntas que deben contestarse:¿Realmente necesita hacerse un análisis del funcionamiento del sistema banco? ¿Podria

disminuirse el tiempo de estancia de un cliente en el sistema banco? ¿Sera necesarioinstalar equipo electrónico que sirva de apoyo al cajero para dar un servicio más rápido?,¿Se necesitan más cajas para el servicio?

b) Hipótesis que deben ser verificadas:La causa de que en el banco haya poca clientela se debe a que los tiempos de servicio en las

cajas son muy lentos originando la acumulación de mucha cola.Si el cajero cuenta con equipo electrónico como apoyo a sus operaciones la eficiencia se

elevaría hasta el 90%.



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Un resultado del analisis podria ser que despidieran personal.La administración del banco podría instalar espejos, sillas, televisiones, la sala para evitar

que los llamados aburridos se fueran.

c) Efectos que deben estimarse:¿Como afectaría al sistema banco si e instalara equipo electrónico en cada caja?¿Como afectaría al sistema banco si se aplica el horario de servicio?

¿Como afectara al sistema banco si se instalan en la localidad otros bancos?

VALIDACIÓN DEL PROGRAMA POR COMPUTADORA

En el caso del sistema banco se tiene lo siguiente.1.- Cada corrida genera los siguientes resultados.a) Un numero de clientes que se van por aburridos.b) Un número promedio de clientes que se esperan en la cola de cada cajac) Un factor de utilización para cada una de las 6 cajas.d) Una tabla de tiempos de tránsitos o de estancia de los clientes en el sistema.e) Una tabla de los tiempos de estancia en cada una de las colas(cajas).

Si se realiza otra corrida se obtiene a otros resultados diferentes.¿Cuantas veces se debe correr el programa? Aún cuando en cada corrida los

resultados son diferentes estadísticamente estos pueden ser confiables.2.- Establecer las hipótesis para cada tipo de resultados, aún cierto nivel de significancia.

Por ejemplo si se hacen 5 simulaciones probar que probabilisticamnete los factoresde utilización de cada una de las cajas son iguales.

AU = UB = UC = UD = UF





3.- Realizar la prueba de hipótesis para afirmar o refutar la hipótesis como statgraphics.

4.- Simultáneamente realizan las pruebas de hipótesis, y se pueden comparar los resultadoscon algún patrón de información previamente conocido para tener panorama más amplio yconfiable.



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5.- Si la hipótesis no fue aceptada entonces se debe revisar exhaustivamente todo elprograma las funciones, procedimientos entradas y salidas de información, hasta encontrar

si hay el posible error.

DISEÑO DE EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN

Esta fase se puede hacer simultáneamente con las faces: diseño y validación delprograma. Una vez validado el programa se entra a la fase del diseño de experimentos quese quieren simular, para ello se debe hacer lo siguiente:

1. Definir las variables endógenas y exógenas.2. Definir las estructuras funcionales que las relacionan.3. Elegir las distribuciones adecuadas a los parametros aleatorios.4. Generar los números y variables aleatorias que de acuerdo a estas distribuciones,

representan al sistema baja estudio.5. Realizar pruebas de hipótesis para seleccionar la información necesaria para realizar la

simulación.6. Definir las distintas condiciones iniciales y finales de la simulación.7. Realizar un número determinado de simulación.8. Tabule y grafique los resultados para realizar un mejor análisis y validación de la

simulación.

DISEÑO DEL EXPERIMENTO DE SIMULACIÓN DEL SISTEMABANCO

1. ¿Están bien definidas las variables endógenas del sistema?2. ¿Están bien definidas las estructuras funcionales que realizan las variables?3. ¿Se han hecho las pruebas de hipótesis necesarias para afirmar que:

-Las llegadas son de tipo Poisson o que los tiempos son de tipo exponencial-Que los tipos de servicio que van a requerir el cliente están representados por una

distribución.-Que las duraciones de los servicios son de tipo uniforme y normal como lo espe-sifica el enunciado.

4. ¿Se tiene bien definido el modelo generador de números aleatorios?5. ¿Se tienen bien definidos los modelos generador de números aleatorios?En cuanto a las condiciones iniciales y finales se tiene lo siguiente:

CONDICIONES INICIALES El banco inicia s su funciones a las 9:00 Al inicio no hay ningún cliente



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CONDICIONES FINALES El banco solo pueden darse llegadas hasta las 13:30 horas. La simulación termina cuando no haya un solo cliente.

8. ¿Se tienen definidas cuantas simulaciones se van a realizar? un solo día es de 9:00 a 13:30. solo podrían simular una semana o un mes.

9. Tabular y grafique los resultados obtenidos de cada simulación con el fin de realizar unmejor análisis y validación de la simulación.

ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN

1. Recolectar sistemáticamente los datos producidos por la simulación.2. Calcular ciertas estadísticas.3. Interpretar el comportamiento de la información obtenida.4. Validar los resultados de la simulación comparando tanto similitud entre los resultados y

las posibles series historicas que se poseen, como el uso que los decisiones le den a estaherramienta.

La utilización del modelo por parte de los decisores es la validación crucial. De otraforma el modelo se archiva o se tira a la basura.

ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN

1.- Diseñe una tabla con un formato tal que facilite la visualización de los resultados decada simulación del sistema banco

corrida clientes que se van colas en cada caja utilización en cajas

QA, QB, QC, QD, QE, PA, PB, PC, PD, PE,QF PF

TABLAS DE TIEMPO2.- Calculo de las estadísticas

promedios, desviaciones estándar porcentajes etc.



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3.- Interpretación de los resultadosHacer comparaciones de los promedios entre una y otra simulación

4.- Comparar estos resultados con algún patrón de información o con la realidad quedesea resolver.

Representaría a los decisiones.

FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA DE COMPUTADORA.

Esta fase se puede hacer simultáneamente con las fases: validación del programa y eldiseño de experimento los pasos a seguir para formular un programa de computadorason:

a) Elaborar un diagrama de flujo que muestre el efecto de las diferentes actividades sobrelas componentes importantes del sistema

b) Diseñar la programación en algún lenguaje especial como:GPSS, SIMNET,SIMSCRIPT, GASP, DYNAMO, etc. ó lenguajes de alto nivel: PASCAL, C.

-condiciones iniciales de la simulación.-condiciones finales.

c) Probar el programa hasta eliminar todos los errores lógicos y no lógicos.

d) Generar resultados.

b) diseñar un programa:El programa puede hacerse en lenguajes de alto nivel: C, PASCAL, FORTRAN,

BASIC, etc., lenguajes de simulación: GPSS SIMNET, cualquiera que sea el lenguajeseleccionada en el deben ampliarse procedimientos funciones o bloques que describan larealización de llegadas servicios y salidas.



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SIMULACIÓN

I SIMULACIÓN Y TOMA DE DECICIONES.

I.1 INTRODUCCIÓN

Con el advenimiento de la computadora, una de las más importantes herramientaspara realizar el diseño y operación de sistemas o procesos complejos es la simulación.

Aunque la construcción de modelos arranca desde el Renacimiento, el uso modernode la palabra simulación data de 1940, cuando los científicos Von Neuman Y Ulam quetrabajaban en el proyecto Monte Carlo, durante la segunda Guerra Mundial, resolvieronproblemas de reacciones nucleares cuya solución experimental sería muy cara y el análisis

matemático demasiado complicado.

Con la utilización de la computadora en los experimentos de simulación, surgieronincontables aplicaciones y con ello, una cantidad mayor de problemas teóricos y prácticos.En estas notas, se intenta por consiguiente, investigar y analizar cierto número deaplicaciones importante de simulación de las áreas economía, administración de negocios,ingeniería industrial e sistemas computacionales investigación de operaciones, así comotambién sugerir algunos métodos alternativos para resolver algunos problemas teóricos yprácticos que surgen al efectuar simulaciones reales.

I.2 DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN.

Se ha empezado a utilizar la palabra simulación sin haber dado una definición deella. Por consiguiente, antes de proseguir con este tema, sería conveniente describiralgunas de las definiciones más aceptadas de y difundidas de la palabra simulación. TomasH. Naylor (1977), la define así:

Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una

computadora digital, los cuales requieren ciertos tipos de modelos lógicos y matemáticos

que describen el comportamiento de un negocio o un sistema económico (o algún

componente de ellos) en periodos extensos de tiempo real.

La definición anterior está hecha en un sentido muy amplio, pues puede incluirdesde una maqueta, hasta un sofisticado programa de computadora. En sentido másestricto, Masiel y Gnugnoli, definen simulación como:

Simulación es una técnica numérica para realizar experimentos en una

computadora digital. Estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos

matemátematicos y lógicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios,

económicos, sociales, industriales, biológicos físicos y químicos a través de largos

períodos de tiempo.



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Otros estudiosos del tema como Robert E. Shannon (1988), definen simulacióncomo:

Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de unsistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el

comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el

sistema.

Para los que prefieren una definición estrictamente formal, la propuesta por WestChurman puede resultar satisfactoria, ya que admite las ambigüedades e inconsistenciasinherentes al uso actual de la palabra y define la simulación como [Boni, 1963]:

Se dice que “x simula a y” si y sólo si:

a) x y y son sistemas formales;

b) y se considera como el sistema real;

c) x se toma como una aproximación del sistema real;d) las reglas de validez en x no están exentas de error.

Las definiciones anteriores no especifican si los sistemas modelados son continuos odiscretos. Se desprende entonces que, existe la simulación de sistemas dinámicos continuosy discretos.

1.3 SIMULACIÓN COMO UNA TECNICA PARA SOLUCIONARPROBLEMAS.

Simulación, es una forma de realizar experimentos en la computadora, la cual ayudaa las empresas a realizar la simulación de un proyecto para ver si valdrá la penadesarrollarlo en la empresa. A continuación listamos algunos de los aspectos másimportantes que se tienen que tomar en cuenta, cuando se desea llevar a cabo unexperimento de simulación, en la toma de decisiones.

1. La simulación hace posible estudiar y experimentar con las complejas interacciones queocurren en el interior de un sistema dada, ya que sea en una empresa, industria,economía o un subsistema de cualquiera de ellas.

2. A través de la simulación se puede estudiar los efectos de ciertos cambios informativos,de organización y ambientales, en la operación de un sistema, al hacer alteraciones en sumodelo y observar los efectos de éstas en el comportamiento del problema.

3. La observación detallada del sistema que se está simulando, conduce a un mejorentendimiento del mismo y proporciona sugerencias para mejorarlo.

4. La experiencia que se adquiere al diseñar un modelo de simulación en una computadora,puede ser más valiosa que la simulación en sí misma. El conocimiento que se obtiene aldiseñar un estudio de simulación sugiere, frecuentemente, cambios en el sistema en



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cuestión. Los efectos de estos cambios pueden probarse, entonces, a través de lasimulación, antes implantarlos en el sistema real.

5. La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundoconocimiento acerca de cuales variables son más importantes que otras en el sistema ycómo ellas obran entre sí.

6. La simulación puede emplearse para experimentar con situaciones nuevas acerca de lascuales tenemos poca o ninguna información, con el objeto de estar preparados paraalguna eventualidad.

7. La simulación puede servir como una prueba de preservicio para ensayar nuevaspolíticas y reglas de decisión en la operación de un sistema, antes de tomar el riesgo deexperimentar con el sistema real.

8. Las simulaciones son valiosas algunas veces, ya que proporcionan una formaconveniente de dividir un sistema complicado en subsistamos, cualesquiera de los cualespuede ser modelado por un analista o un equipo de expertos en esta área.

9. Para ciertos tipos de problemas estocásticos, la secuencia de los eventos puede ser muyimportante, pues La información acerca de los valores esperados y de los momentos,puede ser suficiente para describir el proceso. En estos casos los métodos de MonteCarlo pueden constituir la única forma satisfactoria de obtener la información requerida.

10.Las simulaciones de Monte Carlo pueden realizarse para verificar soluciones analíticas.

11.La simulación permite estudiar los sistemas dinámicos, ya sea en tiempo real, tiempocomprimido o tiempo expandido.

12.Cuando se presentan nuevos componentes de un sistema, la simulación puede emplearsepara ayudar a descubrir los obstáculos y otros problemas que resultan de la operación delsistema.

1.4 ETAPAS PARA REALIZAR UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN.

La mayoría de los autores de libros sobre simulación, opinan que loa pasasnecesarios para llevar a cabo un experimento de simulación son:

Definición del sistema. Para tener una definición precisa del sistema que se deseasimular, es necesario hacer primeramente un análisis del mismo, con el fin de determinarla interacción del sistema con otros sistemas, las restricciones del sistema, las variablesque interactúan dentro del sistema y sus interrelaciones, las medidas de efectividad quese van a utilizar para definir y estudiar el sistema y los resultados que se esperan obtenerdel estudio.



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Formulación del modelo. Una vez que están definidos con exactitud los resultados quese esperan obtener del estudio, el siguiente paso es definir y construir el modelo con elcual se obtendrán los resultados deseados. En la formulación del modelo es necesariodefinir todas las variables que forman parte de él, sus relaciones lógicas y los diagramasde flujo que describan en forma completa al modelo.

Colección de datos. Es posible que la facilidad de obtención de algunos datos o ladificultad de conseguir otros, pueda influenciar el desarrollo formulación del modelo.Por consiguiente, es muy importante que se definan con claridad y exactitud los datosque el modelo va a requerir para producir los resultados deseados. Normalmente, lainformación requerida por un modelo se puede obtener de registros contables, deórdenes de trabajo, de órdenes de compra, de opiniones de expertos y si no hay otroremedio por experimentación.

Implementación del modelo en la computadora. Con el modelo definido, el siguientepaso es decir si se utiliza algún lenguaje de propósito general, como Fortran, Basic,Pascal, C/C++, Visual Basic, Visual C++, o Delphi, etc. o software de propósitoparticular, como GPSS, GPSSH, PROMODEL SIMFACTORY, SLAM I, y II,MICROMANAGER, etc., para procesarlo en la computadora y obtener los resultadoresultados deseados.

Validación. Una de las principales etapas de un estudio de simulación es al validación.A través de esta es posible detallar deficiencias en la formulación del modelo. Lasformas más comunes de validar un modelo son:- La opinión de expertos sobre los resultados de la simulación.-La exactitud con que se predicen datos históricos. -La precisión en la predicción del futuro.- La comprobación de falla del modelo de la persona que hará uso de los resultados quearroje el experimento de simulación.

Experimentación. La experimentación con el modelo se realiza después de que ha sidovalidado. La experimentación consiste en generar los datos deseados y en realizaranálisis de sensibilidad de los índices requeridos.

Interpretación. En esta etapa del estudio, se interpretan los resultados que arroja la

simulación y basándose en esto se toma una decisión. La computadora en si no toma ladecisión, sino que la información que proporciona ayuda a tomar mejores decisiones ypor consiguiente a sistemáticamente obtener mejores resultados.

Documentación. Dos tipos de documentación son requeridos para hacer un mejor usodel modelo de simulación. La primera se refiere a la documentación de tipo técnico, esdecir, a la documentación que el departamento de procesamiento de Datos debe tener delmodelo. La segunda se refiere al manual del usuario, con el cual se facilita lainteracción y el uso del modelo desarrollado, a través de una computadora.



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1.5 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS NO UNIFORMES

Si el modelo de simulación es estocástico, la simulación debe ser capaz de generarvariables aleatorias no uniformes de distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas.Lo anterior puede obtenerse si se cuenta con un generador de números uniformes y unafunción que transforme estos números en valores de la distribución de probabilidaddeseada. A este respecto, se han desarrollado una gran cantidad de generadores para lasdistribuciones más comunes como; la distribución normal, exponencial, Poisson, Erlang,Binomial, Gamma, Beta, F, t, 2.1.5.2 LENGUAJE DE PROGRAMACION.

Las primeras etapas de un estudio de simulación se refieren a la definición delsistema a ser modelado y al descripción del sistema en términos de relaciones lógicas desus variables y diagramas de flujo. Sin embargo, llega el momento de describir el modeloen un lenguaje que sea aceptado por la computadora que va utilizar (PC compatible). Enesta etapa se tienen dos curso de acción a seguir si no se tiene nada de software desimulación, que son:desarrollar el software requerido, oComprar software (lenguaje de programación d propósito especial). Para esta alternativa esnecesario analizar y evaluar varios paquetes de simulación (GPSS, GPSSH, PROMODELSIMFACTORY, SLAM , MICROMANAGER, etc.) antes de tomar la decisión final.

1.5.3 CONDICIONES INICIALES.

La mayoría de los modelos de simulación estocástica se corren con la idea deestudiar al sistema en una situación de estado estable. Sin embargo, la mayor parte de estosmodelos presentan en su etapa inicial estados transigentes los cuales no son típicos delestado estable. Por consiguiente es necesario establecer claramente las alternativas o cursosde acción que existen para resolver este problema. Algunos autores piensan que la formade atacar este problema sería a través de :

Usar un tiempo de corrida suficientemente grande de modo que los períodos transientessean relativamente insignificantes con respecto a la condición de estado estable.

Excluir una parte apropiada de la parte inicial de la corrida.

Utilizar simulación regenerativa.

Basado en la experiencia, de las tres alternativas presentadas, la que presenta menosdesventajas es el uso de simulación regenerativa. Las otras alternativas presentan lasdesventajas de ser prohibitivamente excesivas en costo.



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1.5.4 TAMAÑO DE LA MUESTRA.

Uno de los factores principales a considerar en un estudio de simulación es eltamaño de la muestra (número de corridas en la computadora). La selección de un tamañode muestra apropiado que asegure un nivel deseado de precisión y a la vez minimice elcosto de operación del modelo, es un problema algo difícil pero muy importante. Puestoque la información proporcionada por el experimento de simulación sería la base paradecidir con respecto a la operación del sistema real. Esta información deberá ser tan exactay precisa como sea posible o al menos el grado de imprecisión presente en la informaciónproporcionada por el modelo debe ser conocida. Por consiguiente, es necesario que unanálisis estadístico se a realizado para determinar el tamaño de la muestra requerido.

El tamaño de la muestra puede obtenerse de dos maneras:

13.Previa e independientemente de la operación del modelo, o14.Durante la operación del modelo basado en los resultados arrojados por el mismo. Para

la última alternativa se utiliza la técnica estadística de intervalos de confianza.

1.5.5 DISEÑO DE EXPERIMENTOS.

El diseño de experimentos es un tópico cuya relevancia en experimentos en estudiosde simulación ha sido reconocida, pero raramente aplicada. El diseño de experimentos enestudios de simulación puede ser varios tipos, dependiendo de los propósitos específicosque se hayan planteado. Existen diferentes formas de análisis que pueden ser utilizados.

Entre los más comunes e importantes, se pueden mencionar los siguientes: Comparación de las medias y varianzas de las alternativas analizadas. Determinación de la importancia y el efecto de diferentes variables en los resultados de

la simulación. Búsqueda de los valores óptimos de un conjunto de variables.

Para realizar el primer tipo de análisis, al cual se le denomina comúnmente diseñode experimentos de un factor simple, es necesario tomar muy en cuenta el tamaño de lamuestra, las condiciones iniciales y la presencia o ausencia de autocorrelación. Para elsegundo tipo de análisis, existe una gran cantidad de literatura, puesto que la gran mayoríade los libros de texto de diseño de experimentos, explican o tratan el tema de análisis de

varianza y técnicas de regresión como medios para evaluar la importancia y el efecto devarias variables en los resultados de operación de un sistema. Para el tercer tipo de análisis,generalmente se requiere utilizar algoritmos heurísticos de búsqueda como por ejemplo elalgoritmo de Hookes y Jeeves.



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1.5.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN EL USO DE LA SIMULACIÓN

Aunque la técnica de simulación generalmente se ve como un método de últimorecurso, recientemente avances en las metodologías de simulación y la gran disponibilidadde software que actualmente existe en el mercado, han hecho posible que la técnica desimulación sea una de las herramientas más ampliamente usadas en el análisis de sistemas.Además de las razones antes mencionadas, Tomas H. Naylor (1977), ha sugerido que unestudio de simulación es muy recomendable porque presenta las siguientes ventajas:

A través de la técnica de simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos yexternos del sistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistema y observando losefectos de estas alteraciones en el comportamiento del sistema.

Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejor

entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren laoperación y eficiencia del sistema.

La técnica de simulación puede ser utilizada como un instrumento pedagógico, paraestudiantes al enseñarles los conocimientos básicos en el análisis teórico, el análisisestadístico, y en la toma de decisiones.

La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundoconocimiento acerca de cuáles variables son más importantes que otras en el sistema ycómo ellas obran entre sí.

La técnica de simulación puede utilizarse para experimentar con nuevas situaciones,sobre las cuales se tiene poca o nula información. A través de esta experimentación sepuede anticipar mejor a los posibles resultados no previstos.

La técnica de la simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundoconocimiento acerca de cuáles variables son más importantes que otras en el sistema ycómo ellas obran entre sí.

Se puede utilizar también para entrenamiento de personal. En algunas ocasiones sepuede tener una buena representación de un sistema (como por ejemplo los juegos de

negocios), y entonces a través de él es posible entrenar y dar experiencia a cierto tipo depersonal.

La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundoconocimiento acerca de cuáles variables son más importantes que otras en el sistema ycómo ellas entre sí.

Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puede utilizarsepara anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puede surgir en elcomportamiento del sistema.



34

A diferencia de las ventajas mencionadas, la técnica de simulación presenta elproblema de requerir equipo de computo y recursos humanos, en ocasiones costosas.Además, generalmente se requiere bastante tiempo para que un modelo de simulación sea

desarrollado y perfeccionado. Finalmente, es posible que la alta administración de unaorganización no entienda esta técnica y esto crea dificultad en vender la idea.

1.6 EJMPLOS DE USO DE SIMULACIÓN

Existe una gran cantidad de áreas donde la técnica de simulación puede ser aplicada.Algunos ejemplos podrían ser los siguientes:

Simulación de un sistemas de colas. Con la técnica de simulación es posible estudiar yanalizar sistemas de colas cuya representación matemática sería demasiado complicada deanalizar. Ejemplos de estos sistemas serían aquellos donde es posible la llegada al sistemaen grupo, la salida de la cola del sistema, el rehusar entrar al sistema cuando la cola esexcesivamente grande, etc.

Simulación de sistemas de inventarios. A través de simulación se puede analizar másfácilmente sistemas de inventarios donde todos sus parámetros(tiempo de entrega,demanda, costo de llevar inventario, etc.), son estocásticos.

Simulación de un proyecto de inversión. Existen en la práctica una gran cantidad deproyectos de inversión donde la incertidumbre con respecto a los flujos de efectivo que elproyecto genera a las tasas de interés, a las tasas e inflación, etc., hacen difícil y a vecesimposible manejar analíticamente este tipo de problemas. Para este tipo de situaciones eluso de simulación es ampliamente recomendado.

Simulación de sistemas económicos. La técnica de simulación puede ser utilizada paraevaluar el efecto de cierto tipo de decisiones (devaluación de la moneda, el impuesto alvalor agregado, etc.), en las demás variables macroeconómicas como: producto nacionalbruto, balanza comercial, inflación, oferta monetaria, circulante, etc.

Simulación de estados financieros. La expansión y diversificación de una organización através de la adquisición y establecimiento de nuevas empresas, repercutensignificativamente en su posición y estructura financiera. Por consiguiente, el uso desimulación permite analizar cuál de las estrategias de crecimiento son las que llevaran a laorganización al logro de sus objetivos y metas de corto, mediano y largo plazo.

Simulación de juegos de azar . Se pueden hacer predicciones sobre los resultados de un juego en particular, por ejemplo mélate, tris, etc. donde las variables involucradas sonestocásticas.



35

II MODELACIÓN

2.1 INTRODUCCIÓN.

La ciencia trata de explicar los fenómenos; con tal fin elabora leyes. Perosiendo la tarea del científico difícil, con frecuencia se enfrenta a problemas muy complejos,y para explicar aquellos datos inobservables que descubre necesita emplear términosteóricos. De esta manera, combinando y coordinando de forma adecuada un grupo de leyesy hechos, mediante construcciones lógicas, se obtienen las teorías.

Como en la teoría de entidades no observables, que son los contenidos de lostérminos teóricos, el nivel de los hechos queda abandonado. Así pues, las teorías funcionancomo explicaciones muy generales y amplias, de las cuales las leyes son aspectosparticulares.

Nos planteamos entonces la siguiente pregunta: ¿de que manera están relacionadaslas teorías, con sus términos teóricos y con los hechos? ¿Cómo volvemos al nivel fáctico (ode hechos)?

Encontraremos la respuesta cuando comprendamos qué es un modelo científico ycuál es su función en la ciencia.

2.2 LA NOCIÓN DE MODELOEl término modelo abarca varios significados; el primero de ellos al que nos

referiremos es el de :

a) Representación. Por ejemplo, la maqueta de un edificio es un modelo porque lorepresenta. Aunque no vemos el edificio, gracias al modelo comprendemos cómo será.

Otro ejemplo:Un mapa es un modelo porque representa una zona determinada con los caminos, ríos y

montañas que existen realmente en esa zona.

b) La palabra “modelo” también se emplea en el sentido de perfección o ideal. Por ejemplo,decimos: “Martín es un estudiante modelo” o “Lupita es una esposa modelo”. Con elloqueremos dar a entender que así como es Martín deberían ser los demás estudiantes; ycomo Lupita deberían ser todas las esposas.

c) Otra significación de la palabra “modelo” es la de muestra; que se emplea, por ejemplo,cuando en una unidad habitacional un vendedor nos muestra la casa “modelo”, tambiénllamada casa muestra; o bien, cuando vamos a un desfile de modas y vemos los distintosmodelos, que son muestras de la producción de un diseñador.



36

En la ciencia continuamente se hace referencia a los modelos científicos que puedenentenderse abarcando tres significaciones: representan la teoría, muestran las condicionesideales en las que se producen un fenómeno al verificarse una ley o una teoría y por otro

lado, constituyen una muestra particular de la explicación general que da la teoría.

Un ejemplo típico de modelo es el átomo que ilustra la teoría de Bohr, la cualadmite la existencia de átomos en la realidad y los concibe como compuestos por un núcleo(eléctricamente positivo), alrededor del cual giran en órbitas “muy especificas” loselectrones (con carga negativa), ver figura

figura 2.1 Modelo atómico de Bohr.

Este modelo representa la explicación dada por Bohr, nos dice cómo se comportan

los átomos en condiciones ideales; es una muestra particular de todas las explicacionesdadas en términos teóricos y generales.

Algunos autores reúnen estas tres significaciones: “representación”, “ideal” y“muestra”, en una sola: configuración ideal.

Podemos decir, entonces, que un modelo científico es la “configuración ideal querepresenta de manera simplificada una teoría”.

2.3 DEFINICIÓN DE MODELO

Definición: El modelo es una representación o abstracción de una situación uobjetos reales, que muestra las relaciones (directas e indirectas) y las relaciones de la accióny la reacción en términos de causa efecto. Como un modelo es una abstracción de larealidad, puede parecer menos complicado que la misma. Para que sea completo, elmodelo debe ser representativo de aquellos aspectos de la realidad que estáninvestigándose.

Debido a que la simulación es solamente un tipo de modelación, aunque muyimportante, preparemos el escenario para un comentario sobre modelación de simulaciónconsiderando primero la modelación en términos generales.



37

Una de las razones básicas para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuálesson las variables importantes o pertinentes. El descubrimiento de las variables pertinentesestá estrechamente asociado con la investigación de las estadísticas y la simulación para

investigar las relaciones que hay entre las muchas variables de un modelo.

2.3.1 FUNCIÓN DE LOS MODELOS

El concepto de la representación de algún objeto, sistema o idea, con un modelo, estan general que es difícil clasificar todas las funciones que satisfagan los modelos. Lamayoría de los autores de libros de simulación, reconocen por lo menos cinco usoscomunes:

d) Una ayuda para el pensamiento.

e) Una ayuda para la comunicación.f) Para entretenimiento e instrucción.g) Una herramienta de predicción.h) Una ayuda para la experimentación.

La utilidad de modelo como ayuda para el pensamiento es evidente. Los modelospueden ayudarnos a organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistencias. Porejemplo, la construcción de un modelo de representación de una red con el método PERT(evaluación de programas y técnicas de revisión) para un trabajo de diseño de sistemascomplejos, obliga a pensar sobre qué pasos son necesarios y su consecuencia. Si esadecuada, la construcción de modelos obliga a organizar, evaluar y experimentar la validez

de pensamientos.

Como una ayuda para la comunicación, los modelos bien pensados no tienen igual.“Una imagen vale más que mil palabras” confirma esta función. Todos los lenguajesverbales tienden a ser ambiguos e imprecisos, cuando se trata de pensar ideas odescripciones complejas. Los modelos adecuadamente concebidos pueden ayudar aeliminar esta ambigüedad y proporcionan un modo de comunicación más eficiente yefectivo.

Los modelos han sido, y continúan teniendo un uso generalizado como ayudas parael entretenimiento e instrucción. A menudo los modelos son ideales para entrenar a una

persona, para que aprenda nuevas habilidades y pueda afrontar varias eventualidades antesde que ocurran. Un muñeco de tamaño natural es utilizado en ocasiones para enseñartécnicas de primeros auxilios, modelos de vehículos espaciales se usan para entrenarastronautas, modelos para enseñar a conducir automóviles, y simulación de negocios paraentrenar ejecutivos, son algunos ejemplos de modelos de entrenamiento.

Quizás, uno de los usos más importantes de los modelos, práctica e históricamente,es la predicción de las características del comportamiento de la entidad modelada. No eseconómicamente factible construir un jet supersónico para determinar sus características devuelo bajo condiciones extremas, sin embargo, su comportamiento se puede predecirmediante la simulación Mediante simulación se verificaron las disposiciones de



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emergencia del Apolo 13, antes de implantarlas; éstas les permitieron a los astronautasregresar a salvo después de la explosión del tanque de oxigeno. La mayoría de los modelosque se tratan en os libros de simulación son herramientas de predicción.

Finalmente, el uso de los modelos hace posible la experimentación controlada ensituaciones en que los experimentos directos serían imprácticos o prohibitivos por su costo.

2.4 CALSIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN

Las diferentes clasificaciones de los modelos dan una idea adicional de suscaracterísticas esenciales, porque pueden describirse de muchos modos. Los modelospueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grado de

abstracción. La base más común es la de tipos de modelos, que incluye los tipos básicos:icónico, analógico y simbólico o matemático.

Los modelos pueden clasificarse de manera general y los modelos de simulación demanera particular, de diversas formas. Por desgracia, ninguna es completamentesatisfactoria, a pesar de que cada una sirve a un propósito particular. Algunos de estosesquemas de clasificación son los siguientes:Estático (de corte seccional) vs. Dinámico (series de tiempo)Determinístico vs Estocástico.Discreto vs Continuo.Icónico o físico vs Analógico vs Simbólico.

Podemos pensar a los modelos de simulación como un espectro continuo,empezando con los modelos exactos o modelos reales a escala y siguiendo con los modelosmatemáticos completamente abstractos (véase la figura 2.1)

Modelos Modelos Modelos Modelos Simulación por Modelosfísicos a escala analógico administrativo computadora matemático

Exactitud Abstracción

figura 2.1 principio del espectro de modelación.



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2.4.1 MODELOS ICONICOS O FÍSICOS

Un modelo icónico es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma

idealizada o en escala distinta. Para expresarlo de otro modo, una representación es unmodelo icónico hasta el grado en que sus propiedades sean las mismas que tiene lo querepresenta. Los modelos icónicos son muy adecuados para la descripción deacontecimientos en un momento especifico del tiempo. Por ejemplo, una maqueta es unabuena imagen de una fabrica, mientras que las operaciones reales de una fabrica construiden términos de un pequeño modelo que funcione, pueden ser demasiado costosas paraconstruir y modificar a fin de estudiar sus posibles mejoras. Otra característica de unmodelo icónico la constituyen sus dimensiones , dos dimensiones (fotografía, plano ymapa), o tres dimensiones(maqueta, globo, automóvil y avión), llamados generalmentemodelos escala. Cuando un modelo sobrepasa la tercera dimensión, como ocurre enmuchos problemas de investigación de operaciones y simulación, es imposible construirlo

físicamente, y entonces pertenece a otra categoría de modelos llamados simbólicos omatemáticos.

2.4.2 MODELOS ANALOGICOS

Los modelos analógicos pueden representar situaciones dinámicas y se usan másque los icónicos, porque pueden mostrar las características del acontecimiento que seestudia. Las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencia en las estadísticasy los diagramas de flujo, son ejemplos de modelos analógicos. A menudo un modelo

analógico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativas entre las propiedadesde los objetos de varias clases. Al transformar las propiedades en propiedades analógicas,con frecuencia podemos incrementar nuestra capacidad de hacer cambios. Otra ventaja delos modelos analógico sobre los icónicos es que ordinariamente puede hacerse que losprimeros representen muchos procesos del mismo tipo, lo que se hace evidente en el flujode trabajos en procesos y productos terminados de una fabrica. No podría usarseeficazmente un modelo icónico para estudiar los efectos de ciertos cambios en el control decalidad. Un diagrama de flujo es un modelo analógico muy sencillo y eficaz en esascondiciones.

2.4.3 MODELOS SIMBOLICOS (MATEMATICOS)

Nos interesan principalmente los modelos simbólicos que son verdaderasrepresentaciones de la realidad y toma la forma de cifras, símbolos y ecuacionesmatemáticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos en nuestra mente yluego se registran como modelos simbólico o matemático que se usa comúnmente en lainvestigación en general, es la ecuación. Una ecuación es concisa y fácil de comprender.Sus símbolos no sólo son más fáciles de manipular que las palabras, sino que se escribenmás rápidamente. Además de estos atributos, los modelos simbólicos se prestan a las



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manipulaciones de las computadora, a través de lenguajes de programación de propósitopartículas o general, los cuales trataremos en un capítulo posterior.

Los modelos simbólicos los hemos descrito hasta ahora en un sentido muy amplio.Las ecuaciones no sólo son ejemplos de modelos, sino que modelos comunes de negociosincluyen además, declaraciones de ingresos, tablas de organización de empresas, etc.,Otros ejemplos incluyen modelos gráficos y pictóricos. Hay que tener en cuenta quepueden representarse problemas para los que las analogías son más eficientes que losmodelos simbólicos. Por ejemplo, un sistema puede ser tan complicado que la cantidad detrabajo requerida para construir un modelo simbólico sea demasiado costosa si se relacionacon ganancias posibles. A menudo es difícil asignar tan sólo un modelo a una clase, y estoes especialmente cierto con respecto a los modelos de simulación, que son modelosanalógicos y que se describen con símbolos matemáticos.

2.5 TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS

Como los modelos matemáticos son los que más interesan principalmente, lossepararemos por categorías, lo que nos dará un soporte lógico para clasificarlos. Sin queesta clasificación pretenda estar completa; la podemos a disposición del lector, para queéste tenga una mejor comprensión de las diferencias esenciales entre los modelos.

2.5.1 CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS

Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos para representarconstantes y variables ( en gran parte números), Llamamos a esto un modelo cuantitativo.

Se considera que una ecuación matemática es un modelo de este tipo, porque representauna abstracción de las relaciones o condiciones entre constantes y variables. Las fórmulas,matrices, diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos algebraicos sonejemplos comunes de los modelos matemáticos.

Los modelos que se ocupan de las cualidades de los componentes se llamancualitativas. Hay muchos problemas en los que no pueden cuantificarse exactamentedebido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidadde muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas,relaciones demasiado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo,mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento,

teoría de conjuntos, análisis dimensional, investigación de operaciones, análisis dedecisiones y simulación se pueden obtener ciertos valores representativos del sistema bajoanálisis.2.5.2 ESTANDAR Y HECHOS A LA MEDIDA

Se usan modelos estándar para describir las técnicas que han llegado a asociarse conla investigación de operaciones (I. O.). Para usar esas técnicas se insertan los valores(números) apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar paraobtener una respuesta.



41

Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos dediversas disciplinas, y especialmente las matemáticas, para construir un modelo de ajuste alproblema de que se trata. Un ejemplo de este caso es el Análisis Veture [Thierauf, 1995],

utilizado en investigación de operaciones, que reúnen varios métodos estándar de la I. O..

III PLANEACIÓN DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN ENCOMPUTADORAS

3.1 INTRODUCCIÓN

La simulación en computadoras es un recurso para dirigir experimentos científicos en las

empresas y sistema económico. Para planear experimentos de simulación, aplicables a lossistemas económicos e industriales, necesariamente debemos recurrir a técnicas como laestadística matemática, el análisis numérico, la econometría, la programación encomputadora y el diseño de experimentos.

3.2 METODOLOGÍA

La experiencia sugiere que la planeación de experimentos de simulación requiera deun procedimiento que consta de las etapas siguientes:

Formulación del problema.

Recolección y procedimiento de datos tomados en realidad.Formulación de un modelo matemático.Estimación de los parámetros de las características operacionales a partir de los datosreales.Evaluación del modelo y de los parámetros estimados.Formulación de un programa para la computadora.Validación.Diseño de los experimentos de simulación.Análisis de los datos se simulación.

Aunque el orden en que se implantan esos nueve pasos permanece abierto a

discusión, la figura 3.1 los muestra bajo una ordenación basada en los resultados deexperiencias [Naylor, 1977].

Con toda seguridad, cualquier procedimiento de este tipo resulta sumamentearbitrario en su naturaleza y la posibilidad de juzgarlo sólo existe en un plano puramentepragmático.



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(1)

FOMULACIÓN DEL PROBLEMA

(2)

RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTODE DATOS

(3)

FORMULACIÓN DEL MODELOMATEMATICO

(4)

ESTIMACIÓN DELOS PARAMETROS

MODELO RECHAZADO

EVALUACIÓN DEL (5)MODELO

MODELOACEPTADO (6)

FORMULACIÓN DEL PROGRAMA PARA LA

COMPUTADORA

(7)

VERIFICACIÓN

(8)

DISEÑO DE EXPERIMENTOS Fig. 3.1 Diagrama deflujo para la planeación



43

(9) de experimentos desimulación

ANALISIS DE DATOS DE

LA SIMULACIÓN

3.2.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Es necesario en primer lugar definir claramente los objetivos de nuestrainvestigación, antes de hacer cualquier intento encaminado a planear la realización de unexperimento en simulación. Encontraremos que la exposición original del problema varíaconsiderablemente de su versión final, ya que la formulación del problema es un procesosecuencial que generalmente requiere de una formulación continua y progresiva derefinamiento de los objetivos de experimento durante sus realización

Los objetivos de la investigación, tanto en la empresa y la economía, como tambiénen la mayoría de las ciencias sociales, toma generalmente la forma ya sea de: (1) preguntasque deben contestarse, (2) hipótesis que se deben probarse y (3) efectos por estimarse.

3.2.2 RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS TOMADOS DE LAREALIDAD.

Necesitaríamos colectar y procesar una cierta cantidad de datos antes de que exista laposibilidad de definir algún problema. Para nuestros propósitos, resulta completamenteirrelevante que los requerimientos para el procesamiento de datos procedan la formulacióndel problema o viceversa; si hemos de dirigir experimentos de simulación, es importante

que ambas funciones se lleven a cabo.

Existen, por o menos, cinco razones por las cuales es necesario de disponer de unsistema eficiente para el procesamiento de datos, que permita alcanzar el éxito al realizarlos experimentos de simulación.

En primer instancia la información descriptiva y cuantitativa. En segundo, los datospuedan sugerir hipótesis de cierta validez. Como tercer punto, los datos también puedensugerir y mejoras o refinamientos en los modelos matemáticos. Cuarto; es necesario quelos datos, reducidos a una forma final, se utilicen para estimar los parámetros de lascaracterísticas disponibles de operación relativas a las variables endógenas, exógenas y de

estado del sistema. Finalmente, cabe considerar que sin tales datos, serían imposiblesprobar la validez de un modelo para la simulación.

La recolección de datos es el proceso de capacitación de los hechos disponibles, conlos cuales pueden ser procesados posteriormente, cuando sean necesarios. El proceso derecolección y el almacenamiento de datos ocurre simultáneamente.

3.2.3 FORMULACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

La formulación de los modelos matemáticos consiste en tres pasos:



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i. Especificación de los componentesii. Especificación de las variables y los parámetrosiii. Especificación de las relaciones funcionales.

Una de las primeras consideraciones que se toman en cuanta en la formulación deun modelo matemático reside en saber cuántas variables se deben incluir en el modelo.

La segunda consideración importante en la formulación del modelo matemático serefiere a la complejidad de los mismos. Por lo general, estamos interesados en alformulación de modelos matemáticos que produzcan descripciones o predicciones,razonablemente exactas, referentes al comportamiento de un sistema dado y reduzca a lavez, el tiempo de computación y programación. Sin embargo, no es posible establecer conexactitud, la interdependencia de loas características den los modelos matemáticos, ya quetanto él numero de variables en un modelo, como su complejidad, se encuentran

directamente relacionadas con los tiempos de programación, cómputo y validez. Sialteramos cualquiera de las citadas características, alteramos a su vez el resto de ellas.

Una tercera consideración en la formulación de modelo matemáticos parasimulación en computadora estriba en el área de la eficiencia de computación, es decir, lacomplejidad del algiritmo1.

Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de computo requerida para lograr algúnobjetivo experimental específico.

El tiempo consumido para la programación de la computadora, constituye una

cuarta consideración al formular modelos para simulación.

3.2.4 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LAS CARACTERISTICASOPERACIONALES A PARTIR DE LOS DATOS REALES

Una vez que hemos recolectado los datos apropiados del sistema y formulandovarios modelos matemáticos que describen su comportamiento es necesario estimar susvalores de los parámetros de dichos modelos y probar su significación estadística.

Ejemplo. La estimación de parámetros de los modelos económicos cae dentro del dominiode la econométria

Entre los métodos importantes de estimación econométrica descritos por Goldber yJohnston [Naylor, 1977], y que se comparan sobre la base de sus propiedades estadísticas yde computación, se encuentran:1.- Métodos de una sola ecuación.i) Mínimos cuadrados ordinarios. j) Mínimos cuadrados indirectos (Generalizados).k) Ecuación única con información limitada.l) Mínimos cuadrados de dos etapas.



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2.- Métodos de ecuaciones simultáneas.m) Máxima probabilidad con información completa.

n) Mínimos cuadrados de tres etapas.

3.2.5 EVALUACIÓN DEL MODELO Y DE LOS PARAMETROS ESTIMADOS

Es necesario hacer un juicio del valor inicial de la suficiencia de nuestro modelo,para probarlo. Esto se logra haciendo una comparación de las mediciones inicialesobtenidas por nuestro modelo de simulación con las obtenidas de la realidad.

Este paso representa sólo la primera etapa en la prueba de un modelo de simulaciónprevia a las corridas reales en la computadora, por lo que en este punto nuestro interésreside en probar las suposiciones o entradas que se programarán en la computadora.

En caso de que las características operacionales tomen la forma de distribuciones deprobabilidad, será necesario aplicar pruebas de bondad de ajuste que determinen quétambién se ajusta una distribución hipotética de probabilidad a los datos del mundo real.Deseamos también probar la importancia estadística de nuestras estimaciones de los valoresesperados, variancias y otros parámetros de estas distribuciones de probabilidad. Estaspruebas podrían comprender:

1.- Prueba d referente a las medidas.o) Prueba de una muestra relativa a las medidasp) Diferencias entre medias

2.- Prueba referentes a las varianciasq) ji cuadradar) Prueba F

3.- Pruebas basadas sobre el conteo de datos.s) Prueba referente a las proporcionest) Diferencias entre K proporcionesu) Tablas de contingenciav) Pruebas de bondad de ajuste

4.- Pruebas no paramétricasw) Las pruebas de signox) Pruebas basadas en suma de rangos

y) Pruebas de la medianaz) La prueba U (Tchebychev)aa) Pruebas de corridasbb)Prueba de correlación en serie

En caso de que las caracteristicas operacionales tomen la forma de los modeloseconométricos, requerimos probar la importancia estadística de cada uno de los parámetrosestimados en tales modelos, mediante el uso de las pruebas estándar t, y F. Tambiéndesearemos aplicar pruebas que nos permitiran las violaciones en las suposicionesfundamentales de nuestros modelos econométricos; estas podrían comprender las pruebaspara:



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1. Errores en las variables2. Colinearidad múltiple

3. Heterosedasticidad4. Autocorrelación5. Identificación

De entre las preguntas que nos interesa formular durante esta etapa del procedimiento, seencuentran las siguientes:

¿Incluimos algunas variables que no sean pertinentes, en el sentido de quecontribuyen muy poco a nuestra capacidad para predecir el comportamiento de las variablesendógenas de nuestro sistema?

¿omitimos la inclusión de una o más variables exógenas que pudieran afectar elcomportamiento de las variables endógenas en nuestro sistema?

¿Formulamos incorrectamente una o más relaciones funcionales entre las variablesendógenas y exógenas de nuestro sistema?

¿Apreciamos debidamente las estimaciones de los parámetros de las caracteristicasoperacionales de nuestro sistema?

¿Cómo se comportan los valores teóricos de las variables endógenas de nuestro sistema conlos valores históricos o reales basados en cálculos manuales? (ya que aún no formulamos

un programa para computadora).

Sólo si es posibles contestar satisfactoriamente las seis preguntas, procederemos alpaso 6: la formulación de un programa para computadora. De otro, repetiremos los pasosdel 1 al 5 hasta que sea posible responder satisfactoriamente las preguntas.

4.2.3 FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA PARA LA COMPUTADORA.

La formualción de un programa para computadoras, cuyo propósito sea dirigir losexperimentos de simulación con nuestros modelos del sistema bajo estudio, requiere que seconsidere especialmente las siguientes actividades:

1. Diagrama de flujo2. Lenguaje de computadora

Compiladores de propósito general Lenguajes de simulación de propósitos especiales

3. Búsqueda de errores4. Datos de entrada y condiciones iniciales5. Generación de datos6. Reportes de salida



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Al escribir un programa de simulación para computadora la primera etapa requierela formulación de un diagrama de flujo que bosqueje la secuencia lógica de los eventos querealizará la computadora, al generar los tiempos planificados para las variables endógenas

de nuestro modelo.Podemos escribir nuestro programa en un lenguaje de propósitos generales como

FORTRAN, BASIC, PASCAL , C++ o sus visuales o bien emplear un lenguaje desimulación como . SIMPAC, DINAMO, PROGRAM SIMULATE, GPSS, o nuevos comoGPSSH, SLAM, PROMODEL, SINFACTORY, MICLROMANAGER, entre otros.Dependerá de la aplicación, el uso del lenguaje adecuado. En un capítulo posterior sedescribirán alguno de estos lenguajes y su aplicación particular.

3.2.7 VALIDACIÓN

Ciertamente, el problema de validar modelos de simulación es difícil ya que implica

un sinnúmero de complejidades de tipo práctico, teórico, estadístico e inclusive filosófico.La validación de experimentos de simulación forma parte de un problema mucho másgeneral, es decir, el de la validación de cualquier clase de modelo o hipótesis. Laspreguntas básicas son: “¿Qué significa validar una hipótesis?” y “¿Cuáles criterios deberánutilizarse para establecer la validez de una hipótesis?”.

Aún así parece que por lo general sólo dos pruebas se consideran apropiadas paravalidar los modelos simulación. Primeramente, ¿Qué tan bien coinciden los valoressimulados de las variables endógenas con los datos históricos conocidos, si es que estosestán disponibles?. En segundo lugar, ¿Qué tan exactas son las predicciones delcomportamiento del sistema real hechas por el modelo de simulación, para períodos futuros

(de tiempo)?. Asociada con cada una de estas pruebas, existe una gran variedad de pruebasestadísticas, tanto como clásicas como recientes.

4.2.4 DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN

Una vez que estemos satisfechos con la validez de nuestro modelo para lacomputadora, estaremos en posibilidad de considerar su uso para dirigir efectivamente, losexperimentos de simulación. De hecho, como ya hemos definido nuestro problemaexperimental, las variables endógenas y lo factores (variables exógenas y parámetros),deberemos interesarnos ahora por los detalles de diseño experimental.

En esta fase, es posible identificar dos metas importantes: en primer lugar,seleccionaremos los niveles de los factores y las combinaciones de niveles, así como elorden de experimentos; en seguida y una vez que seleccionaremos nuestras combinacionesde factores, deberemos esforzarnos por asegurar que los resultados queden libres de erroresfortuitos.

3.2.9 ANALISIS DE LOS DATOS SIMULADOSLa etapa final en el procesamiento requiere un análisis de los datos generados por la

computadora, a partir del modelo que simular. Tal análisis consiste de tres pasos:

1.- Recolección y procesamiento de los datos simulados.



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2.- Cálculo de la estadística de las pruebas.3.- Interpretación de los resultados.

Aunque el análisis de los datos simulados es de hecho semejante al análisis de losdatos del mundo real (Véanse los pasos 2, 3 y 4 de la figura 3.1) existen algunas diferenciasimportantes. El análisis de los datos de simulación en computadora es, según los expertos,considerablemente más difícil que el análisis de los datos del mundo real.

IV GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS.

4.1 INTRODUCCIÓN.

En el presente capítulo presentaremos los métodos más utilizados, para generarnúmeros aleatorios y pseudoaleatorios con computadora. Dejemos el tema de la aplicación,

para el capitulo V.

Antes de continuar, es necesario establecer la siguiente terminología. El términovariable aleatoria se emplea para nombrar una función de valor real, definida sobre unespacio muestral asociado con los resultados de un experimento conceptual, de naturalezaazoroza. El valor numérico resultante de un experimento, de cada una de las variablesaleatorias, se llama número aleatorio. Se utilizan letras mayúsculas para denotar lasvariables aleatorias y minúsculas, para denotar valores de éstas variables aleatorias yminúsculas, para denotar valores de éstas variables, es decir, para los números aleatorios.Por ejemplo, F(x); la función de distribución acumulada para una variable aleatoria X,indica la probabilidad de que X sea menor o igual al particular valor x de la función de

probabilidad de la variable aleatoria X, cuando X= x.

4.2 TECNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS.

Se han venido usando cuatro métodos alternativos para generar las sucesiones denúmeros aleatorios, estos son:

4.2.1 Métodos manuales

Lanzamiento de monedasLanzamiento de dadosBarajasDispositivos mecánicosDispositivos electrónicos

Ventajas: Son aleatoriosDesventajas: No reproducibles

4.2.2 TABLAS DE BIBLIOTECA.



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Son números aleatorios que se han publicado; por ejemplo a Millon Random Digits,de la Corporación Rand, de los cuales podemos encontrar listas de los en los libros deprobabilidad y tablas de matemáticas. Estos números fueron generados por alguno de los

métodos de computación analógica, los cuales mencionados a continuación.

Ventaja: Provienen de un fenómeno aleatorio y son reproducibles.Desventaja: No se obtiene en tiempo real.

4.2.5 MÉTODOS DE COMPUTACIÓN ANALÓGICA

Los métodos de computación analógica dependen de ciertos procesos físicosaleatorios (por ejemplo, el comportamiento de una corriente eléctrica), por lo que seconsidera que conducen verdaderos números aleatorios.

Ventaja: Aleatorios.Desventaja: No reproducible.

4.2.4 MÉTODOS DE COMPUTACIÓN DIGITALSe distinguen tres métodos para producir números aleatorio cuando se usa la computación

digital (computadoras), los cuales son:

4.2.4.1 PROVISIÓN EXTERNA.Consiste en grabar en la memoria de la computadora, las tablas Randa, a fin de tratar

estos números como datos de entrada para un determinado problema.

4.2.4.2 GENERACIÓN POR MEDIO DE PROCESOS FÍSICOS ALEATORIOS.

Consiste en usar algún aditamento especial de la computadora, para registra los resultadosde algún proceso aleatorio y ademas, reduzca estas resultados a sucesiones de dígitos.

4.2.4.3 GENERACIÓN INTERNA POR MEDIO DE UNA RELACIÓNDE RECURRENCIA.

Consiste en generar números pseudoaleatorios por medio de ecuaciones derrecurrencia, en las que necesariamente se tiene que dar un valor inicial o semilla, paragenerar los siguientes valores. Vamos ha centrar nuestra atención en este último método de

computación digital, y los describiremos ampliamente.Ventaja: Son reproducibles.Desventaja: Son pseudoaleatorios.

4.2.4.4 CARACTERISTICAS DE LOS NÚMEROSPSEUDOALEATORIOS

a) Uniformemente distribuidosb) Estadísticamente independientesc) Reproduciblesd) Sin repetición dentro de una longitud determinada



50

4.3METODOS QUE UTILIZAN ECUACUACIONES DE

RECURRENCIA PARA GENERAR NUMEROSPSEUDOALEATORIOS.Aquí describiremos los métodos de generación de números pseudoaleatorios,

usando ecuaciones de recurrencia.

4.3.1 METODO DE CUADRADOS CENTRALES.Históricamente, el primer método aritmético para generar números

pseudoaleatorios, fue el de los cuadrados centrales, en el que cada número de la sucesión seobtiene tomando los dígitos centrales del cuadro del número precedente. El modelomatemático que los describe es:

n0 = semilla entera (entero positivo)

ni = dígitos centrales de n2i-1

xi = dígitos centrales de x2i-1 para i = 1, 2, 3,…

ejemplo: a) enterossea:

n0 = 83,n1 = d. c. (6889) = 88n2 = d. c. (7744) = 74

n3 = d. c. (5476) = 47n4 = d. c. (2209) = 20n5 = d. c. (0400) = 40n6 = d. c. (1600) = 60

b) FRACCIONARIO(Semilla impar y primo)

n0 = 0.528n1 = 0.278784 = 0.787n2 = 0.619369 = 0.193n3 = 0.037249 = 0.372

n4 = 0.138124 = 0.383n5 = 0.146689 = 0.466n6 = 0.217151 = 0.171n7 = 0.029241 = 0.292n8 = 0.085264 = 0.852n9 = 0.725904 = 0.259n10 = 0.067021 = 0.670n11 = 0.4489 = 0.489n12 = 0.239121 = 0.391n13 = 0.152881 = 0.528 P = 13n14 = 0.278784 = 0.787



51

METODOS DE GENERACIÓN DE NUM. PSEUDOALEATORIOS U(0,1).

-Métodos congruenciales “69”

reglas: C debe ser un entero impar, no divisible ni por 3 ni por 5 a usualmente puede ser cualquier constante sin embargo para asegurar buenos

resultados, seleccione a de tal forma que (a) mod 8= 5 para una computadora binario a o(a) mod 200 = 21 para una computadora decimal.

M debe ser el número entero más grande que la computadora acepte

De acuerdo con Hull y Debell, los mejores resultados par un generadorcongruencial mixto en una computadora binaria son:

a = 8 * c 3 c = cualquier entero r0 = cualquier entero impar (ni) m =2b donde b>2 y que m sea aceptado por la computadora

4.3.2 METODO DE CONGRUENCIAS PARA GENERAR NÚMEROSPSEUDOALEATORIOS

Fórmulas generales de congruencias.

MIXTO MULTIPLICATIVO

ni+1 = (ani +c)mod m ni+1 = (a*ni )mod m

Para i = 0, 1, 2, …,m-1, donde a, c, m son enteros positivos. A n0 se le llamasemilla inicial.

donde i = 0, 1, 2,…,m-1a, c, n

0< m

h = máximo periodo

n ain c

ai

am

HG KJNM QP01

1mod



52

Método multiplicativo c =0 Método mixto c 0BASE 2

h = 2b-2 ; b<2 h = m = 2b ; donde b > 2

m= 2b

donde a imparn0 impar positivo c = impar positivo y n0 entero

positivo(a,m) =1

;

valida para

si b = 3 poner a = 5.

BASE 10

h = 5 * 10d-2; d>3 h = m 10d; d 3

m = 10d

t= cualquier entero positivo si d = 3, poner a = 101

para dp = {3,11,13,19,21,27,29,

53,59,61,77,83,91 c= impar positivo y (c,5) = 1etc} mod 200

n0 impar positivo y (a,5)01 n0 entero positivo

METODO MIXTO BASE 2Genera tantos números igual al modulo para b> 2

METODO MULTIPLICATIVO BASE 10

m > h

mínimo del modulo sería 10,000

ab

2 12

a m a ss 2 1 2;

ab

2 12

b

b

b par

bb impar

221

2

LNM OQP

S|T|

b 4

a

d

10 12

a t p 200 a ss 10 1 1;

p 3 8 0mod 4 ad

NM QP10 12



53

p= residuo 3p< mod m

(a,5) = 1 significa que a no debe ser múltiplo de 5METODO MIXTO BASE 10Se genera un periodo igual al modulo

s= 1, 2, 3,…

caso particularc que no sea múltiplo de 5c= 1, 3, 7, 9, 11, 13, 117, 19, ….(m-1)n0 = cualquier entero positivo…(m-1)

ejemplo:h = m = 103 d = 3a 103/2 + 1 = 32.62posibles de a s a

2 101 el que más se acerca a 32.62 es 101, a = 101

3 10014 10001

d d a

3 32.62 3 1014 101 4 1015 317.22 más cercano al valor de a. 5 1016 1001 6 10017 3163.27 7 10018 10001 8 10001

9 31623.77 9Cuando d = 3, = 32.62 en los valores de 5 a 9 cualquier valor que más se acerque

a 32.62 es s = 2 y a = 101

3 8mod

h m d d

10 32

a ad

10 12

as 10 1;

a

a

d d d par

d d impar

221

2

S|

T|



54

d= 4 a=104/2 + 1 = 102 + 1

d= 5 a=105/2 + 1 = 101

Ejemplo: Base 2 MULTIPLICATIVO

h = 27 b -2 = 7 de donde b= 7 + 2 , b =9

n = 2b-2, b > 2.

M = 2b m = 29 , m = 512.

, t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

t a

0

1 5

112 13

19

3 21

27

4 29

35n0 = 1, 3, 5, 7, 9,… 511, impar menor que m.

(a , m) = 1 primo relativo, divisibles entre 1, máximo común divisor

(5 , 15) = 1 No son primos relativos

(8 , 9) = 1 son primos relativos porque no tienen factores primos comunes que los puedandividir. Ni+1 = 21ni mod 512

i =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …127

a m a impar

a 512 22 63.

a t 8 3

3



55

127 + n0 = 128

h = 27 = 128.

NOTA: con estos parámetros genero 128 datos.

4.3.3 Método aditivo de congruencias

con k = 1, 2, 3, 4, 5, …

Se presupone k valores iniciales dados, con k un número entero positivo. Si k = 1, laecuación de recurrencia genera la conocida sucesión de Fibonacci. Esta sucesión secomporta como las sucesión que se genera con el método multiplicativo de congruencias,

con el factor Las propiedades estadísticas de este método tienden amejorarse cuando k se incremente. Además, este método genera períodos mayores que elmódulo m.

n n n mi i i k

1

mod

n n n n semillask 0 1 2

, , ,...

a 1 5 2c .



56

UNIDAD I I IGeneración de variables aleatorias

Funciones de probabilidad

Definición: sea f(x) una función de variable real continua o discreta. F(x) es una funciónde probabilidad, si satisface las condiciones siguientes:

1)

2)

Función acumulada

definición: Sea f(x) una función de probabilidad continua o discreta. Se define la funciónacumulada de f(x) denotada F(x) como:

a)

Metodo de la transformada inversa

Si f(x) es una función de probabilidad continua o discreta y F()x es su función acumulada,entonces podemos obtener la variable aleatoria x con distribución f(x) haciendo r = F(x);r, despues despejamos x como x= F-1(r); ri (0,1) pseudoaleatorio uniforme, i =0,1,2,3,4, . . . ,h-1

f x x R

f x m m R( ) ;( ) ; ;

0 (positiva y acotada)m infinito

f x dx

f x x D

( )

( )

z

1

1

en caso continuo

en caso discreo; D es el dominio de f(x)

a) en caso continuo

b) en caso discreto

F x f t dt

F x f t

x

t D

x

( ) ( )

( ) ( )

z



57

Metodo de rechazos

Si f(x) es una función de variable aleatoria continua o discreta, acotada y definida para

y finitos, entonces se puede aplicar la técnica de rechazos para

generar valores de la variable aleatoria x por los 4 pasos siguientes:1.- Escalar f(x) multi l̀icándola por una constante positiva c tal que cf(x )<= 1; c= 1/m;

2.- Obtener x a través de la realción lineal x = a + (b-a)r; r (0,1)

3.- Generar parejas de números pseudoaleatorios (ri,ri+1)[ (r1,r2) (r2,r3) (r3,r4), . . . , (rh-

2,rh-1)]4.- Investigar si ri+1 <= cf(xi), si es así, se acepta xi si no se rechaza.

i ni ri xi = a+(b-a)ri cf(xi) ¿ri+1<= cf(xi) ?

0 n0 r0 x0 cf(x0) 0 ó 11 n1 r1 x1 cf(x1) 0 ó 12 n2 r2 x2 cf(x2) 0 ó 1. . . . . .. . . . . .. . . . . .n-1 nh-1 rh-1 xh-1 cf(xh-1) último se compara con r0 n nh=0 r0 ----- ------- -----

f x e

f x e dt

f x f t dt

e dt

e

x

t

x

x

t

t x e t

( )

( )

( ) ( )

zz

zz

x 0 exponencial

= 0dt +

=

0

x

-

0

0 x<0

x 0

m

0

0

1

a x b a b R ; ,

m f x a x b ( ) qm



58

a=-1

b= 1c=

0 < r <10 > r >-11>1-r > 00<1-r<1

0 < R < 1

Distribución de Poisson

Sea t una variable aleatoria discreta, con distribución de Poisson con media .

La función inversa se obtiene formando productos de variables leatorias uniformementedistribuidos en [0,1], denotados ri, hasta que este producto sea menor que e, es decir, hastaque se satisfaga la desigualdad:

f x x

( );

ST

0 en otra parte

-1 x 12

1 2

r F x

e r

e r

x r

x r

x

x

( )

ln( )

ln( )

donde 0 r 1

1

1

1

11

x Ri i

1

ln

Pr( )!

( ) ( )

t Re

R

con

E t Var t

R

y

r e r i

i

t

i

i

t

1 1

1



59

Al cumplirse esta desigualdad se encuentra el valor de t (la vaiable aleatoria condistribición de Poisson) con media .

Distribución lognormal.

Sea t una variable aleatoria positiva con distribución lognormal.Entonces:

x = log t

La función inversa se obtiene de :

recomendandose que n>=12

Distribución Geometrica.

Sea t una variable aleatoria con función de densidad geometrica f(t)= pqt t= 0,1,2,3,....con q = 1- p 0 <= p <= 1

La función de distribución es:

f x e

con

E x e

Var x e e

x M

M

M

( ) ;

( )

( ) [ ][ ]

( )

( )

HGIKJ

12

1

2

2

2 2

2

2

2

< x <

t F r r r r en

M n

r n

i

i

n

FHG

IKJ

HGIKJN

MM QPP

1

1 2 3

12 2

1 2

1( , , , . . . )



60

donde r es un número aleatorio con distribución uniforme en [0,1].

Nota: Esta función t debe redondearse al entero inmediato inferior.

Distribución uniforme en el intervalo cerrado [a,b]

Sea t una variable aleatoria distribuida exponencialmente, con media 1 / ; sufunción de densidad es:

donde r es una variable aleatoria con distribución uniforme en [0,1].

Distribución Erlang

Sea t una variable aleatoria con distribución de Erlang con media R/ y varianzaR/ 2, es decir, con densidad

F t pq

con

E t q

p

Var t q

p

t F r r

q

x

x

t

( )

( )

( )

( )log

log

0

2

1La función inversa

f t e

entonces

t r

t

( )

:

log( )

y su distribución

F(t) = 1 - e- t

11



61

La función inversa es:

donde r1,r2,...rR son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en [0,1].

Distribución Normal

Sea t una variable aleatoria con distribución normal con media M y varianza 2 su densidad es:

Entonces si M=0 y 2=1 la función inversa es aproximadamente: igual a:

f t Rt e

R

et

m

donde

E t R

Var t R

R R t

t

m

m

R

( , )( ) !

;

( )

( )!

:

( )

( )

( )

1

1

1

2

1

1

R = 1,2,3,4, . . .

entonces su distribución es:

F(t, R) = 1 -

t F r r r r R i

i

R

1

1 21

1( , , . . . ) log

f x e

E x M

Var x

t M

( )

( )

( )

( )

HG KJ1

2

2

22

2



62

donde r1,r2,...rR son variables aleatoriasindependientes con distribución uniforme en el intervalo [0,1].

Es recomendanle que n>=10. Si se quiere una variable aleatoria con distribuciónnormal con una media y varianza cualquiera, la formula anterior se convierte en:

Distribución ji-cuadrada

Sea t uan variable aleatoria con distribución ji-cuadrada con n grados de libertad ydensidad dada por;

si n es un numero par , la función inversa es:

mientras que si n es non, la función inversa es la suma de n variables aleatorias cuadradas,cada una de ellas con distribución normal, M=0 y =1

t F r r r r n

n

n

i

i

n

FH IK

1

1 2

1

2

112

( , , . . . )e

t F r r r r M n i

i

1

1 2

1

12

6( , , . . . ) ( )

f t n

t e

E t n

Var t n

n

n t

( )!

( )

( )

1

2 2

2

2

2 1 2

e je j e j 0 t , n = 1,2, . . .

se tiene

t F r r r r

R n

R i

i

n

11 2

1

2

2

21

2

( , , . . . ) log /



63

donde cada ri se obtiene de :

Distribución binomial negativa (o de pascal)

Sea t una variable aleatoria con función de densidad binomial negativa

donde r1,r2,...rR son R variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el

intervalo [0,1].

Distribución Binomial

Sea t una variable aleatoria t con distribución binomial se genera de la suma de n varibles(no aleatorias) xi i=1,... tal que cada vez que se obtiene una variable aleatoria ri, i=1,2,3...ncon distribución uniforme en [0,1] se realiza de la siguiente transformación:

t F r r r r n i

i

n

1

1 2

2

1

( , , . . . )

t F r r r r n

n

n

i

i

n

FH

IK

1

1 21

2112

( , , . . . )e j

f t p q

q p

E t Rq

p

Var t Rq p

t

r

q

t

R t R t

i

i

R

( ) ,

,

( )

( )

log

log

1

2

1

1

t = 0,1,2,3, . . .

0 p 1

con

la función inversa es:



64

Distribución empirica

Variables aleatorias con cualquier distribución empiríca discreta o continua quepueda aproximarse por una distribución discreta, pueden generarse para el siguientemetodo:

Si t es una variable aleatoria r con distribución uniforme en [0,1] que cumpla con la

siguiente desigualdad. Si t=bi con probabilidad

Números Aleatorios con distribuciones diferentes a la uniforme.

Para cada variable aleatoria x con distribución cualquiera F(x), existe una variablealeatoria r, unica, distribuida uniformente, tal que: F(x)= r.

r es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución cualquieraF(*) tenga un valor menor a x.

Cuando es posible encontrar la función inversa F-1

(r)=x, se pueden generar variablesaleatorias con distribución F(*), a partir de variables aleatorias r, distribuidas uniformenteen el intervalo cerrado [0,1].

x x p

x x p

i i

i i

1

1 1

si r

si r

0

i

i

Para x = 0 la función inversa es

m

t F x x x xn i

i

n

1

1 20

( , , . . . )

simula3

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