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PRÁCTICA DE ÁLGEBRATema: Funciones Reales de variable real

Profesor: Walter Rogger Torres Iparraguirre

APRENDIZAJES ESPERADOS

1. Dados dos conjuntos A y B, determina el producto cartesiano A x B

2. Define y ejemplifica una relación binaria.3. Identifica si una relación es reflexiva, simétrica

y/o transitiva.4. Dada una relación determina si es de

equivalencia.5. Determina dominio y rango e identifica su

relación inversa.

CONTENIDO TEÓRICO

I. NOCIONES PRELIMINARESPAR ORDENADO: Es un ente geométrico que consta de dos elementos “a” y “b” a los cuales se les denomina 1er y 2do componente respectivamente. Se le denota por: (a; b) y se utiliza para indicar la posición de un punto P = (a; b) respecto al origen “o” del plano cartesiano.

Propiedades1. De la igualdad:

2. De la oposición:

PRODUCTO CARTESIANODados dos conjuntos no vacíos “A y “B” se define el producto cartesiano de A por B, así:

Propiedades1. El producto cartesiano no es conmutativo

2. Con respecto al número de elementos de un

producto.

RELACION BINARIADados dos conjuntos no vacíos “A” y “B” se denomina relación de “A” en “B” a todo subconjunto del producto cartesiano de “A” por “B” es decir: Y según la definición:

2

Notación: Son equivalentes las notaciones:

Propiedades1. De las relaciones notables

2. Con respecto al número máximo de relaciones binarias de A en B:

II. FUNCIONESEmpleamos funciones para analizar numéricamente las relaciones de causa y efecto, es decir la correspondencia entre un valor de entrada y otro de salida. Observa el esquema siguiente:

Luego:Una función es una regla o correspondencia entre dos conjuntos de números reales, que asigna a cada elemento del primer conjunto, llamado el dominio de la función, exactamente un elemento del segundo conjunto. Al conjunto de valores asignados se le llama el rango de la función.

1. DEFINICIÓNDados dos conjuntos no vacíos “A” y “ B “ y una relación, se define: “f es una función de A en B sí y solamente si para cada x A existe a lo más

un elemento y B, tal que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.

2. NOTACION DE UNA FUNCIONUna función puede denotar de diferentes formas, pero la más adecuada es la siguiente:

Donde la ecuación: y = F(x) se denomina Regla de Correspondencia entre x e y; además:A : Conjunto de partidaB : Conjunto de llegadax : Pre – imagen de y o variable independientey : Imagen de x o variable dependiente

3. EVALUACION DE UNA FUNCIONDada la función Evaluar la función F significa obtener el valor de “y” mediante su regla de correspondencia, luego de asignarle un cierto valor de “x”. Por ejemplo, para x = a, el valor de la función, llamado también Imagen, que le corresponde será F(a), con lo cual que el par (a; F(a)) F.

4. RECONOCIMIENTO GRAFICO DE UNA FUNCIONEn el plano cartesiano, una cierta gráfica es la representación de una función si y sólo si cualquier recta vertical (paralela al eje y) intersecta a dicha gráfica a lo más en un punto.Observa los siguientes gráficos:

3

5. APLICACIÓNLa función F se denomina Aplicación de A en B si y solamente si todo elemento x A sin excepción, tiene asignado un elemento y B y solamente uno, en tal caso se denota así:

El dominio de toda aplicación siempre coincide con el conjunto de partida A, es decir:

Dom (F) = A y también: Ran (F) B

6. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

CASOSA. DADOS LOS PARES ORDENADOS DE UNA

FUNCIONDominio de F o Dom (F): También

denominado pre – imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A.Así en la función:

Rango de F 0 Ran (F): También denominado imagen, recorrido o contradominio , es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llagada B.

Se debe tomar en cuenta que:

B. DADA LA GRAFICA DE UNA FUNCIONEs necesario primero tener nociones básicas sobre proyecciones de figuras geométricas sobre un plano.Proyección de un punto sobre una recta

Q es la proyección de P sobre L

A es la proyección de P sobre el eje x B es la proyección de P sobre el eje yProyección de una curva sobre una recta

es la proyección de la curva C sobre la recta L.

4

es la proyección del segmento sobre la recta L

En el plano cartesiano, nos interesa la proyección de la gráfica de una función sobre uno de los ejes coordenados. Observa las siguientes gráficas:

Por lo tanto:El Dominio de una función está determinado por la proyección de su gráfica sobre el eje “x”; en el ejemplo sería el intervalo

El Rango de una función está determinada por la proyección de su gráfica sobre el eje “y”; en el ejemplo será el intervalo .

C. DADA LA REGLA DE CORRESPONDENCIA DE UNA FUNCION

Dominio: Para hallar el dominio en estos casos, se despeja la variable “y” o f(x) y luego se analiza en el segundo miembro los

valores que puede adaptar “x” tal que la función existe en los reales.

Rango: Para hallar el rango se despeja la variable “x” y se hace el análisis a la variable “y” de tal forma que exista la función en los reales.

FUNCIONES USUALES:

IMPORTANTE:Una función “f” queda bien determinada (también se dice: bien definida), si se conocen:

a) Su regla de correspondencia f(x) (o sea la ecuación de la función

b) Su dominio: Df.

PRÁCTICA DE CLASE

01. ¿Qué conjunto de pares ordenados:R1 = {(3; 2) , (4; 6) , (5; -1)}R2 = {(1; 2) , (1; 3) , (1; -2)}R3 = {(1; 4) , (3 ; 4) , (7 ; 3)}R4 = {(3; 6) , (3; 7) , (4; 7)}Son funciones:

a) R1 R3 b) R1 R2 c) R2 R4

d) R3 R4 e) N.A

02. ¿Cuáles de los siguientes diagramas de Venn – Euler representen a funciones:

Tipo deFunción

Regla deCorrespondencia

Existe enR sólo si:

Polinómica

Raíz de índiceParRaíz de índiceimpar

Racional ó

Logaritmo

5

Son ciertas:

a) Todas b) I, IV y V c) I, III y IVd) I y IV e) sólo I

03. Dada la función:f = {(1; 2), (2; a + b), (3; 9), (2; 7), (3; a + 2b)}Hallar: ab

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

04. Sabiendo que:f = {(5; 7a+ 2b), (2; 5) , (2; a + 2) , (5; 5b – 2a)}Describe una función. Calcular: f(2) + f(f(2))

a) 6 b) 7 c) 34d) 44 e) 54

05. Indique cuáles de los siguientes gráficos representan a funciones:

Son ciertas:

a) Todas b) II, IV y V c) II, IV, VId) I, III, V e) Todas menos I

06. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:* Toda función es una relación ( )* Toda relación es una función ( )* Toda recta es una función ( )* Toda parábola es una función ( )

a) FVFF b) VFFF c) VFVVd) VFVF e) VFFV

07. Dados los conjuntos: M = {1,2,3} y N = {0,1,2} y las funciones:f1 = {(1;0) , (2;0)} f2 = {(1;0) , (2;2) , (3; 0)}f3 = {(1; 0) , (2; 1) , (3; 1)}f4 = {(2; 2) , (3; 0)}Son aplicaciones de M en N:

a) todas b) f2 y f3 c) f1 y f4

d) f1 y f2 e) f3 y f4

08. Señalar cuál de los siguientes diagramas de Veen – Euler establece una Aplicación:

a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 4d) 2 y 3 e) 3 y 4

09. De la figura mostrada, halle el valor de:

6

a) 1 b) 1/2 c) 2d) 1/3 e) 3

10. Del diagrama que se muestra. Calcular el valor

de:

a) 5/8 b) 7/3 c) 8/5d) 3/5 e) 8/7

11. Sea la función f : R R, definida por: f(x) = ax +

b, donde a y b son constantes. Si f = 4 y

f(2) = -1. Hallar a2 + b2

a) 32 b) 34 c) 36d) 41 e) 25

12. La siguiente tabla, muestra los valores hallados para la función: f(x) = ax2 + b

x 1 0f(x) 8 5

Entonces al producto de las constantes a y b es:

a) 12 b) 16 c) 20d) 15 e) 24

13. Siendo: f = {(1; 0) , (2; 3) , (3; 8) , (4; 15) , (5; 24)}Una función definida en Z+. Halle su regla de correspondencia o ley de formación:

a) f(x) = 2x – 1 ; x [1; 5]b) f(x) = x2 – 2 ; x [1; 5]c) f(x) = 3x – 3 ; x <0; 6>d) f8x) = - (1 – x2) ; x [0; 6>e) f(x) = x2 – 1 ; x [1; 5]

14. Las funciones F, G y H tienen las reglas de correspondientes siguientes:f(x) = - x2 ; G(x) = -x ; h(x) = 1/x

las gráficas de F G se cortan en los puntos “P” “Q” y las gráficas de F H, en el punto “R”. Luego los puntos; P, Q y R son respectivamente:

a) (0; 0) , (1; -1) y (-1; -1)b) (1; 1) , (0; 0) y (-2; 1)c) (-1; -1) , (1; 1) y (-1; 1)d) (-1; 1) , (1; -1) y (0; 0)e) N.A

15. Dado el conjunto:A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, se grafica una función de A en A, así: F: A A

Indicar la suma de elementos de su rango.

a) 21 b) 17 c) 16d) 15 e) 12

16. Sea f la función cuya gráfica presentamos.

Podemos afirmar que:I.- Dom (f) = [0; e > - {a}II.- Ran (f) = <h; d] – {b}III.- x1 ; x2 elementos del dominio de dicha función tales que se cumpla: f(x1) = f(x2)

Son verdaderas:

a) I y III b) I y II c) II y IIId) todas e) N.a

17. Encontrar el dominio de la función F, definida

por: F(x) =

a) R – {0} b) R – {0; 1} c) R – {-1; 0; 1}d) R e) R – {-1; 0; 1; 2}

7

18. Dada la función: f(x) =

Proporcionar: Dom f(x) Ran f(x)

a) <0; 2] b) <0; 2> c) <0; 1/2>d) <0; ½] e) <-2; 2]

19. Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que:f(x) = -x2 + 4x + 1 g(x) = 3x2 + 6x + 1Indicar la intersección de sus rangos

a) [2; -5] b) [2; 4] c) [3; 5]d) [1; 4] e) [0; 5]

20. Halle el dominio de la siguiente función:f(x) =

a) Df = [1; 3 > U <3; 4]b) Df = [1; 4]c) Df = <1; 3> U <3; 4>d) Df = <10; 4>e) Df = [-1; 3] U <4; 5]

21. Sea F(x) = , una función cuyo dominio es:Dom (F) = [-4 ; -2] [-1 ; 1] ; determinar su rango.

a) [-1; 0] [3; 15]b) [0; 1] [3; 15]c) IRd) [-1; 3] [5; 15]e) N.A.

22. Considere la función F con máximo dominio posible: Luego el rango de F es:

a) [1 ; 2] b) <-2 ; 2> c)<-2; >

d) [2 ; ] e) <2 ; 2 >

23. Si el rango de: , es : [a ;

b>Luego el valor de “a + b” es:

a) 0 b) 1 c) 2

d) e)

24. Hallar el dominio de la función:

a) x [-4 ; -2] [2 ; 4]b) x [-3 ; -2] [1 ; 2]c) x [-3 ; -1] [1 ; 2]d) x [-2 ; 0] [1 ; 2]e) N.A.

25. Hallar el rango de la función cuya regla de correspondencia es:

a) <0 ; 2] b) <1 ; 3> c) <0 ; 2>

d) <1 ; 3] e)

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Si F={(8; 2) , (2;a) , (a2 -1; b) , (2 ; 2a - 3) , (3; 5)}Indicar la suma de las del mínimo y máximo valor de la función.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 4

02. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen a una función de M × M, si M={2,3,4,5,6}

= {(x, y) M2 / x = 3}

= {(x, y) M2 / y = 3}

= {(x, y) M2 / x + y = 7}

= {(x, y) M2 / x2 + y2 = 25}

= {(x, y) M2 / x > y}

a) Todasb) , y

c) , ,

d) , y

e) ; y

03. Cierta función F viene representada por la siguiente gráfica. ¿Qué valores de la variable independiente x hacen que la función se anule?

8

a) {-2; 2} b) {4} c) {-2; 2; 3}d) {-2; -1; 1; 2; 3} e) {-2; -1; 0; 1; 2}

04. Con respecto al problema anterior. ¿Para qué valores de x la función es negativa?

a) <-1; 0> b) <-2; 3> c) <1; 3>c) <-2; -1> <2; 3>

e) <-2; -1><1; 3>

05. ¿Cual de las siguientes gráficas no presenta una función?

e) Ninguna

06. Sabiendo que f es una función tal que:f(x + 2) = f(x) + f(2), x IR. Decir cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. f(()) = 0 II. f(8) = 4 f (2)III. f(-2) = - f (2)

a) Sólo I b) sólo II c) Sólo IIId) todas e) I y II

07. Sea f: IR R, f(x)= mx2 + nx + p y se cumple:

f(1) = -1 ; f(-1) =11 y f(-1) + f = 10

Calcule f(2)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

08. Sea f una función real, tal que: f(x – 1)=x2 – 3x + 2, x IR. Hallar el conjunto solución de la inecuación.f (x – 2) + f (x + 2) > 0

a) <- , 0> b) <- , 4> c) <- , -4>d) <4 , +> e) <-4 , +>

09. Dadas las funciones:

Hallar Dom (F) Dom (G)

a) <- ; +> – { 1}b) <-10 ; +> { 1}c) IRd) [-1- ; +> – {1}e) [-10 ; +> – {2}

10. Hallar el rango de la función:; x [2 ; 3]

a) y [3 ; 4] b) y <-3 ; 4] c) y<-; 2]d) y <-1 ; +> e) N.a.

11. Dada la función:

Indicar su dominio:

a) IR – [1 ; 7] b) IR – <1 ; 7> c) IR–[-1; 7]d) <-1 ; 7> e) [-1 ; 7]

12. ¿Cuál es el rango de la función

?

a) b) c)

d) e)

13. Hallar el rango de la siguiente función:

9

a) <0;1> b) <0 ; 1] c) [0 ; 1]d) [0 ; 1> e) <½ ; 1]

14. Hallar el dominio de la siguiente función:

a) x <3; +>

b) x <2; 3>

c) x <3; 4> d) x <-1 ; 3> e) x IR15. Si : f:[-1 ; 3] R, definida por :

a) b) c) <- ; -5]

d) e) N.a.

16. Hallar el rango de la función:

a) [3 ; +> b) [0 ; +> c) [1 ; +>d) [2 ; +> e) [4 ; +>


a) <-2 ; 2> b) <0 ; +> c) [0 ; +>

d) e) N.a.

18. Hallar el rango de la función: . Si: Dom F = [1 ; 9]

a) [-1 ; 15] b) [ – ; -1] c) [-9 ; 1]

d) [– ; ] e) [-9 ; -1]


a) <- ; 0] b) {0} c) {2}d) {1} e) {4}

20. Dada la función “g” de modo que:

Calcula:

a) <0 ; 1] b) <-1 ; 0] c) -1d) 0 e) 1

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar el dominio de una función F cuya regla de correspondencia es:

a) [- 2; 0] - {1} b) <- 2; 0>- {-1}c) <- 1; - 3/4> d) [- 4/3; - 1>e) [- 4/3; - 3/4] - {- 1}

02. Hallar el dominio de:

a) [ ; 2 ]

b) [ ; 2 ] [ ; 2]

c) [- 2; { ] [ ; 2 ]

d) [- 1; ] [ ; 4 ]e) [- 2; - 1 ] [ 1; 2 ]

03. Proporcione el dominio de la siguiente función:

a) [ 1; 3 > < 3; 4 ] b) [ 1; 4 ]c) < 1; 3 > < 3; 4 > d) < 1; 4 >

10

e) [ - 1; 3 ] < 4; 5 ]

04. Hallar el dominio de la función:

a) < - ; - 3 > < 3; + >b) < - ; - 3 ]c) < - ; - 3 ] [ 3; + > - { 4 }d) R - { 4 }e) R - < - 3; 3 >

05. Hallar el rango de la función:g(x) = x2 - 4x + 9 ; x R

a) y [ 5; + > b) y [ 2; + >c) y [ - 2; + > d) y < - 2; 5 ]e) N.a.


a) R b) R - { - 2 } c) R - { 5 }d) [ 0; + > e) < - 2; 3 ]

07. Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que:f(x) = - x2 + 4x + 1 g(x) = 3x2 + 6x + 1Indicar la intersección de sus rangos.

a) [ 2; 5 ] b) [ 2; 4 ] c) [ 3; 5 ]d) [ 1; 4 ] e) [ 0, 5 ]


si esta definida x [ 0; 80 ]

a) [ 0; 2 ] b) [ 0; ] c) [ - 1; 8 ]

d) [ ; 8 ] e) N.a.

09. Sea “F” una función real definida por:F(x) = 2 - 8x + 13 x < - 1; 6 >. Hallar el rango “F”.

a) < - 8; 22 ] b) [ - 3; 22 > c) < - 3; 22 >d) < - 3; 3 > e) N.a.

10. Halle el rango de la función:

a) R - { - 1; 1 } b) < - ; - 1 > < 1; + >

c) [ - 3; 1 > d) < - ; 3 ] < 1; + >e) N.a.

11. Dada la función:

Proporcionar: Dom f(x) Ran (x)

a) < 0; 2 ] b) < 0; 2 > c) < 0; 1/2 >d) < - 1/2; 1/2 > e) < - 2; 0 >

12. Si: Dom (f) y Ran (f) representa respectivamente el dominio y el rango de la función real:

.

Determine Dom f Ran f

a) [ 0; + > b) < - ; - 2 ] [ 3; + >c) [ 3; + > d) [ 1; + >e) < 0; 7 ]


a) < 0; 4 ] b) [ 0; 1/7 ] { 1/2 }c) [ 0; 4/7 ] d) [ 0; 9/5 ]e) [ 1; 7/2 ]


a) [ - ; 0 ] b) [ 0; 4 ] c) [- 4; +>d) [ - 4; + > e) [ - 4; 2 ]

15. Sea: f(x) = x2 - 1 una función cuyo dominio es:Df = [ - 4; - 2 ] [ - 1; 1 ]. Determinar el rango.

a) [ - 1; 0 > < 3; 15 ] b) [ - 1; 15 ]c) [ - 1; 0 ] [ 3; 15 ] d) [ - 1; 0 ] < 3; 15 ]e) [ - 1; 0 ] [ 1; 15 ]

16. Señale el rango respectivo de las funciones:

g(x) = |x + 2| - 3

a) [ 1; + > y [ - 3; + >b) < - ; 1 ] y [ 3; + >c) [ 0; + > y [ 0; + >

d) y [ - 3; 1 ]

e) N.a.


11

a) [ 1/3; 3 ] b) [ 1/3; 0 ] c) [ 1; 6 ]d) [ 1/3; 4 ] e) [ 0; 1 ]


a) [ 3; + > b) [ 0; + > c) [ 1; + >d) [ 2; + > e) [ 4; + >

19. Hallar el rango de la función:f(x) = 2x - 3 ; si x [ 1; 3 >

a) [ - 1; 3 > b) [ - 3; 1 > c) [ 0; 1 >d) < - 3; 0 ] e) R

20. Halla el rango de ,

sabiendo que está definida en el intervalo [4; 8]

a) [1/4; 5/4] b) <- ; 5/4] c( [5/4; +>d) [1/4; + > e) N.a.

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