PROBLEMAS DE APLICACINLa temperatura en un punto de una placa metlica en el plano XY es en grados Celsius.

Encuentra la razn de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la direccin y sentido del vector (2,-1).

Una hormiga que est en el punto (1,1) quiere caminar en la direccin y sentido en que la temperatura disminuye ms rpidamente. Encuentra un vector unitario en esta direccin y sentido.

2. La altura de una montaa con respecto al nivel del mar, viene dado por :

donde x representa la direccin Este e y la direccin Norte. Un alpinista esta en el punto de la montaa de coordenadas .

PREGUNTAS :- Analizar si el alpinista asciende o desciende cuando camina en las direcciones Norte, Noreste y Sur respectivamente.

- Cul sera la direccin que ha de seguir el alpinista para que no cambie su altura?

- Cules sern las direcciones que ha de tomar para ascender y descender lo ms rpido posible ?

3. Supongamos que la altura de una montaa en la posicin (x,y) esta dada por :

Si en la posicin hay un manantial, En que direccin comienza acorrer el agua?

Cmo se puede calcular la pendiente de estas rectas tangentes?

Cmo podemos calcular la pendiente de esta recta tangente en la direccin u?

Se podr relacionar la pendiente con alguna derivada especial?

Cmo se relaciona esta nueva derivada con las derivadas parciales?

Cmo relacionamos la derivada parcial con la derivada en otras direcciones?

Hallar la derivada de en el punto P(1,2), en la direccin del vector v(1,1) .

Hallar la derivada de la funcin, donde en la direccin de la mxima variacin.

LOGRO DE LA SESIN Al trmino de la sesin; el estudiante resuelve ejercicios y problemas de aplicacin de las derivadas direccionales y gradiente; utilizando sus definiciones y propiedades, interpretando los resultados obtenidos, con coherencia.

DEFINICINSe define la derivada direccional de en en la direccin de un vector unitario es :

si existe el limite PropiedadTeorema Si es una funcin diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la frmula:

DEFINICIN : GRADIENTE DE UNA FUNCIN

Si es una funcin diferenciable, entonces el gradiente de es el vector definido por :

Propiedad : -

-

1. Larson-Hostetler Clculo 515.15 LARS

2. Stewart, James. Clculo multivariable 515 STEW/M 2002