Emprendedores sin fronteras

Mecánica 2015-1

Sesión 1

Tema:

Cantidades Vectoriales

PROBLEMA 1 (4 puntos)

La barra mostrada se encuentra en equilibrio. Determine:

a.- La magnitud de la fuerza resultante de la distribución.(N)

b.- La posición x a partir del extremo izquierdo A de la barra donde está

ubicada la magnitud de la fuerza resultante.(N)

c.- La magnitud de la reacción vertical en el apoyo A.(N)

d.- La magnitud del Momento reactivo en el apoyo A.(N)

BLOQUE B (4 puntos)

El sistema motriz O2B tiene 2= 5 rad/s, cte. Calcule:

a.- La expresión vectorial de BA.(cm)

b.- El vector unitario del vector CB.

c.- La magnitud del vector CB.(cm)

d.- La magnitud del vector PC.(cm)

e.- La velocidad del bloque C.(m/s)

f.- La aceleración del bloque A.(m/s2)

g.-. La aceleración del bloque C.(m/s2)

P

a

b

c

ˆ ˆ ˆ ˆ200 110( 30 30 ) 170j Cos i Sen j c i

ˆ ˆ ˆ ˆ200 110(0,866 0,5 ) 170j i j c i

ˆ ˆ74,74 255c i j

ˆ ˆ74,74 255 ˆ ˆˆ 0,2812 0,9596265,7274

C

i ji j

Del Polígono OO2BA:

O

Del Polígono O2PCB:

P

ˆ ˆ ˆ250 110( 30 30 )j a b Cos i Sen j

ˆ ˆ95,26 195a b i j

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0,866 0,5 0,2812 0,9596 95,26 195ai aj bi bj i j

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( 30 30 ) 95,26 195Ca Cos i Sen j b i j

0,866 0,2812 95,26a b

0,5 0,9596 195a b

52,9791

175,6048

a cm

b cm

ˆC

/ˆ ˆ1,2412 4,2351 ( )A CR i j m /

ˆ ˆ0,4938 1,6851 ( )B CR i j m

VECTORES

A

B

B A B A

A

B

A

C

B

C

A

C

B

CAB

A

C

B

CBA

A

B

BAC

A

B

BAC

Suma de vectores

B A

A

B

A B C

C

B

A

C

D

A

B

C

D

R

DCBAR

A

B

C

D

R

DACBR

A

B

BX

BY

j

i

)cos(2

)(

22

22

ABBAR

BBAR YX

BAC

jBiBB

jAiAA

yx

yx

A

C

B

BXAX

AY

BY

j

i

B

B

C

B

A

)sen(

C

)sen(

B

)sen(

A

,0CBA:si

A

C

C

B

A

Producto de vectores

A

x x y y z z

A B ABcos( )

A B A B A B A B

Escalar

A B C

A B ABsen( )

Vectorial

Sistema de Referencia: Cuerpos que se

toman como referencia para describir el

movimiento del sistema bajo estudio.

Bases para el estudio del movimiento mecánico

x(t)

y(t)

z(t)

Se le asocia

• Observador

• Sistema de Coordenadas

y

x

z

• Reloj

En el Movimiento plano

Se utilizan las Coordenadas Cartesianas

y (m)

x (m)O

origenabcisa

(x,y)

Q (-2,2)

P (8,3)

También las Coordenadas Polares

O

origen

(r,)

Movimiento plano

Relacion entre (x,y) y (r,)

y (m)

x (m)O

origenabcisa

(x,y)

r

θcosrx

θrseny θtan

x

y22 yxr

i

j

VECTOR

SENTIDO

Todo vector tiene las siguientes características:

En el caso de las fuerzas, también tienen un punto de aplicación.

Vectores en el espacio y en el

plano

Notación A

Módulo o valor ó Norma

A

Dirección θ,

x

y

z

θ

Ap

x

y

0 AA

Propiedades de Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a

si mismo

A

B

C

CBA

Suma de Vectores

BA

R

BA C

C

Ley del polígono

Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen

del segundo vector y así sucesivamente los vectores que siguen.

El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer

vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.

El vector resultante es

aquel que va desde el

origen del primer vector

hasta el extremo del

ultimo

A

B

C

D

Entonces si se tiene los

siguientes vectores

El vector resultante

de la suma de

todos ellos será:

A B

C

D

DCBAR

R

Propiedades de Vectores

A

Opuesto o

negativo

-A

Nulo 0 = A + ( )-A

Vector unitario A

A

μ

AA

Propiedades de la suma de

Vectores

Ley

Conmutativa

ABBAR

Ley Asociativa

C)BA()CB(AR

Vector

Diferencia

B-AR

)B (-AR

A

B A

-BR

Ley conmutativa

Los vectores A y B pueden ser desplazados

paralelamente para encontrar el vector

suma

B

A

B

(Método paralelogramo)

B

A

Analíticamente se cumple:

BCosABAR

BCosABAR

.2

.2

22

222

Método del triangulo

B

A

B

A

Se cumplen dos leyes:

A B R

Sen Sen Sen

Ley de senos

Ley de Cosenos

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 .

2 .

2

R A B A BCos

A R B R BCos

B R A RACos

R A B B A

Multiplicación de un vector por un

escalar

Dado dos vectores ByA

Se dicen que los vectores A y B son: BA

BAsi

0

BAsi

0

BAsi

1

A y B son proporcionales y en el mismo

sentido. Paralelos.

A y B son proporcionales y en sentido

contrario. Antiparalelos.

A y B son iguales.

Ndonde

A

B

AB

2

1

A

B

AB

4

1

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los

siguientes vectores

A B

C

A B

C

2R C CA C CB

C

VECTORES UNITARIOS

X ZYA = i + j + kA A A

22 2

Y

y

X

ZX

ZA A

Ai j kAu u

A

A

A

AA

a

A

x

y

z

A

i

k

j

z

x

y

Vectores unitarios: i, j, k

• Vector cuya magnitud o módulo es 1, se utiliza para definir la

orientación de las cantidades físicas vectoriales.

A

Au =

A AA = A u

PROPIEDAD DEL VECTOR UNITARIO

1º A y B son paralelos y colineales.

2º- A y C son paralelos y colineales

3º- B y C son paralelos y colineales

• OBSERVACIONES• 1º- El vector unitario del vector A = (uA) es colineal al mismo sentido del vector A

• 2º-El vector unitario del vector B = (uB) es colineal al mismo sentido del vector B

• 3º- El vector unitario del vector C = (uC) es colineal al mismo sentido del vector C

• CONCLUSIÓN : Si 2 vectores son colineales o paralelos y del mismo sentido, entonces sus vectores sus vectores unitarios son iguales

A

C

uB

uAuC

Caracteristica fundamental: El tamano del vector unitario es uno o la unidad

CBAuuu

C

C

B

B

A

A

1 uuuu CBA

u

Vectores unitarios en el plano

x

y

i Vector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

i

j

Vectores unitarios en el espacio

xy

z

i

j

k

Representación de un vector

x

y

z

θ

222

zyx AAAAA

kAjAiAA zyx

A

ASen

X ASenA Cos

Y ASenA Sen

ZA ACos

ZA

XA YA

Observaciones:

Las componentes rectangulares de

un vector dependen del sistema

coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia.

Permanece invariante en

cualquier sistema coordenado

Determine la resultante de los siguientes vectores

A4u 3u

B

BAR

7u

Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen

del segundo vector y así sucesivamente.

El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer

vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.

+

A

B

8u 4u =

BAR

4u

Observamos que, cuando los vectores

están en la misma dirección

podemos determinar fácilmente su

magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la

misma dirección ? , ¿ podremos

determinar directamente su magnitud?

A

B

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos

tratar de buscar otra forma de determinarla. Analiticamente se cumple:

BAR

sen

R

sen

B

sen

A

Ley de Senos

Ley de Cosenos

BCosABAR .2222

BCosRBRA .2222

RCosARAB .2222

A

B

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6ui j

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6u

yx AAA

yx BBB

jiR ˆ5ˆ10 Vectorialmente:

jiA ˆ3ˆ4

jiB ˆ8ˆ6

yy BA

xx BA

10u

5u

yyxx BABAR

Por pitagoras podemos ahora determinar

la magnitud del vector resultante

uR 55510 22

yA

xA

xB

yB

xCy

C

xD

yD

yyyyyDCBAR

xxxxxDCBAR

xR

yR

15 u

5 u

yxRRR

105R

En la armadura mostrada, determine:

a.- El vector LH.(m)

b.- El vector CG.(m)

c.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable pequeño que actúa sobre

la estructura.(kN)

d.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable grande que actúa sobre

la estructura.(kN)

EJEMPLO

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)A

Dados los puntos indicados,

el vector que los une esta

representado por:

VECTOR GEOMETRICOEs aquel vector que se construye en funcion de sus coordenadas

k)z(zj)y(yi)x(xA121212ˆˆˆ

xy

z (x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

Representado por sus

componentes:

VECTOR FISICOEs aquella cantidad vectorial que se determina en funcion a su magnitud y a su vector unitario.

Si es paralelo a un vector geometrico, los dos tienen en comun el mismo vector unitario.

kFjFiFF ZYX

F

F

F

A

Au

ˆ

222F ZYX FFF

Donde:

Producto escalar de dos

vectores

A B ABcosθ

BA A osθC

Componente de A sobre B

AB B osθC

Componente de B sobre A

Primera Propiedad

A BCos

A.B

ˆ ˆ 1i i ˆ ˆ 1j j

ˆ ˆ 0i j

ˆˆ 0j k

ˆˆ 0i k

xAiA ˆ

ˆ ˆ 1k k

yAjA ˆ

zAkA ˆ

ZZYYXX BABABABA

Segunda Propiedad

Producto vectorial de dos

vectores

BAC

θABC senBxA

0ii

ikj ˆˆˆ

0kk

kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ

jik ˆˆˆ

Primera propiedad

Segunda propiedad

El modulo del producto vectorial de dos vectores

representa el area del paralelogramo.

Por lo cual, el area del triangulo sera la mitad de

la que corresponde al paralelogramo

2

θ.

2ATriangulo

senbabxa

Producto Vectorial: AxB

ZYX

ZYX

BBB

AAA

kji

BxA

x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC A B (A i A j A k) (B i B j B k)

X Y Z Z YC A B A B

y z x x zC A B A B

z x y y xC A B A B

Demostrar:

ANGULOS DIRECTORES , y

X ZYA = i + j + kA A A

22 2

Y

y

X

ZX

ZA A

Ai j kAu u

A

A

A

AA

a

A

x

y

z

A

Sea (alfa) el angulo que forma el eje X positivo con el vector A

Son aquellos que definen la direccion de un vector en el espacio

Sea (beta) el angulo que forma el eje Y positivo con el vector ASea (gamma) el angulo que forma el eje Z positivo con el vector A

Propiedad 1:

Sea:

A

A

A

ACos XX

A

A

A

ACos YY

A

A

A

ACos ZZ

Propiedad 2:

1222 CosCosCosPropiedad 3:

kCosjCosiCoskA

Aj

A

Ai

A

A ZYXA

...

Siendo:

222 )()()( ZYX AAAAA

XAYA

ZA

Vector unitario

Determinese la suma de los siguientes vectores:

Ejemplo 1:

k5j8i3A ˆˆˆ

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ

kji4C ˆ2ˆ7ˆ

Ejemplo 2:

8m

10m

5m

A

B

C

Determine la suma de los

vectores indicados

x

y

z

Ejemplo

Dados los vectores:

ˆˆ ˆ3 3 5

ˆˆ ˆ4 5 3

A i j k

B i j k

Determine :

a) El producto escalar entre ellos.

b) El producto vectorial entre ambos

e) El ángulo que forman entre sí.

xy

z

A

B

BACosuCompP

B

A

B

A

B

..

Vector Proyeccion de A sobre B

B

Bu

θA

BP

BA

BACos

.

BB

BA

B

B

B

BAu

B

BAu

BA

BAAuCompP

BBB

A

B

A

B

).

2().(.)

.(.

..

A

B

A B A BComp ACos A

A B B

ˆ ˆ( ).A

B BBP A u u

1. Determine la Componente de A sobre B

2. El vector Proyeccion de B sobre C

Ejemplo:

k5j8i3A ˆˆˆ

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ

kji4C ˆ2ˆ7ˆ

.. , . . . , . . .

. 2 3 ... .. 2 3 .

. . . : . (2 ) 6.

Calcule X si se sabe que es perpendicular los

vectores F i j k y G i j k

y satisface la condicion X i j k

La fuerza F = 500 N actua en A,

tal como se muestra en la

figura. Calcule las

componentes de esta fuerza a

lo largo de los ejes AB y AC.

Sustente su respuesta.

THE END!

Higher Education:

Let’s make it all that it can be and needs to be!Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!

Profesor: M.Sc Tito Vilchez