Serie de Maclaurin

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Ejemplo: Serie de Maclaurin para sin x

F(x)= sin x

n- ésima derivada de la función evaluada en 0

f(x)= ( f (0) xk)k !

Evaluar f(0)

f(0)=0

f‘(0)= cos 0 = 1

f‘‘(0)= -sin 0 = 0

f‘‘‘(0)= -cos 0 = -1

f‘‘‘‘(0)= sin 0 = 0

Como puede observarse:

1 0 -1 0

sin x =0 x0

0 !+ 1x

1

1!+ 0 x

2

2 !−1 x

3

3 !+ 0x

4

4 !+ 1x

5

5 !+ 0 x

6

6!−1x

7

7 ! ...

sin x =1x1

1!−1 x

3

3 !+ 1x

5

5 !−1x

7

7 ! ....

Como tenemos el exponente impar

(−1)k x2k +1

(2k+1)!