Serie alternada

Enmatemticas, unaserie alternadaes unaserie infinitadel tipo

conan 0. Una suma finita de este tipo es unasuma alternada.

Condiciones de convergencia[editar]Una condicinsuficientepara que laseriealternada converja es que seaabsolutamente convergente. Pero la misma no es una condicinnecesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aun as son convergentes. Por ejemplo, laserie armnica

diverge, mientras que su versin alternada

converge allogaritmo naturalde 2.

Un test ms amplio de convergencia de una serie alternada es eltest de Leibniz: si la sucesines montona decreciente y tiende a cero, entonces la serie

converge.

Se puede utilizar lasuma parcial

para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Sies montona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta aproximacin resulta ser menor que.

Convergencia condicional[editar]Unaserie condicionalmente convergentees una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la seriereal

converge condicionalmente, entonces para todo nmero realexiste unreordenamientode la serie tal que

Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:

Una forma posible de reordenar la serie es (los parntesis en el primer rengln estn nicamente para mejorar la comprensin):

Una demostracin de este postulado se basa en que elalgoritmo vorazpara escorrecto.

Criterio de Leibniz

Enanlisis matemticoelcriterio de Leibnizes un mtodo, debido aGottfried Leibniz, utilizado para demostrar laconvergenciadeseries alternadas.

Unaserie alternadaesaquellade la forma:

conan 0.

Entonces, la serie converger si lasucesinanesmontona decrecienteyconvergente a cero(han de cumplirse ambas condiciones). Adems, si

y

la suma parcialSkaproxima la suma de la serie con error

La inversa en general no es cierto.