sergio yansen núñez · parte 6 actividad n° 1 sea . determine y simplifique la expresión para...

Sergio Yansen Núñez

PARTE 1

Actividad N° 1

a) Dada la recta %B � $C œ "#

i) dibuje el gráfico. ii) determine los intersectos con los ejes.

b) Determine la ecuación de la recta cuyo gráfico se da a continuación:

Actividad N° 2

Realice un gráfico y determine los intersectos con los ejes:

C œ � B )B � "&#

RESOLUCIÓN PARTE 1

Actividad N° 1

a) i) B œ ! Ê C œ � % C œ ! Ê B œ $


ii) intersecto con eje : B B œ $ intersecto con eje : C C œ � %

b) ; Ð!ß $Ñ Ð&ß !Ñ

7 œ œ œ �C �C

B �B &�! &!�$ $# "

# "

C œ �$&B � ,

! œ † & � ,� Ê , œ $$&

C œ �$&B � $

Actividad N° 2

(parábola)C œ � B )B � "&#

+ œ � " � !

B œ � œ � œ %, )#+ �#

B œ % Ê C œ � "' $# � "& œ "

vértice: Ð%ß "Ñ

intersecto con eje C À C œ � "& intersecto con eje B À C œ ! Í � B )B � "& œ ! Í B œ $ ” B œ &#

la parábola intersecta al eje en y en . B B œ $ B œ &


PARTE 2

Actividad N° 1

Sea determine:0ÐBÑ œ " B BÈ # %

a) 0Ð � +Ñ

b) 0Ð+ Ñ#

Actividad N° 2

Determine todos los valores de tales que si + 0Ð+Ñ œ & 0ÐBÑ œ #B � B %#

Actividad N° 3

Determine y simplifique la expresión si .0Ð+ 2Ñ � 0Ð+Ñ 0ÐBÑ œ " � #B

Actividad N° 4

Determine el dominio más amplio en donde la fórmula dada determina una función:

a) 0ÐBÑ œ"

B �%B�%#

b) 0ÐDÑ œ"

%�DÈ #

Actividad N° 5

Determine gráficamente el recorrido (rango) de 0ÐBÑ œ B &#

RESOLUCIÓN PARTE 2

Actividad N° 1

a) 0ÐBÑ œ È" + +# %

b) 0Ð+ Ñ œ " + +# % )Èc) 0Ð � + Ñ œ " + +# % )È


d) 0Ð!Ñ œ "

e) 0Ð � "Ñ œ $Èf) 0Ð$Ñ œ *"ÈActividad N° 2

0Ð+Ñ œ &

#+ � + % œ &#

#+ � + � " œ !#

+ œ"„ *

%

È

+ œ " ” + œ � "

#

Actividad N° 3

0Ð+ 2Ñ � 0Ð+Ñ œ " � #Ð+ 2Ñ � Ð" � #+Ñ œ � #2

Actividad N° 4

a) H970 œ ÖB − ÎB %B % Á !× œ � Ö � #×‘ ‘#

b) H970 œ ÖD − Î % � D $ !×‘#

% � D $ ! Í D � % � ! Í ÐD #ÑÐD � #Ñ � !# #

_ # # �_

D � # � �

D # �

ÐD � #ÑÐD #Ñ � �

H970 œ Ó � #ß #Ò

Actividad N° 5

(parábola)C œ B &#


V/-0 œ Ò&ß _Ò


PARTE 3

Actividad N° 1

Exprese el área de un cuadrado como una función de su perímetro . Indique dominioE Tde la función.

Actividad N° 2

Exprese el volumen de una esfera como una función del área de su superfice .Z WIndique dominio de la función.

( ).Z œ < ß W œ % <%$1 1

$ #

Actividad N° 3

Considere un rectángulo que tiene base y perímetro . Exprese su área comoB "!! Efunción de . B Indique dominio de la función.

Actividad N° 4

Sean , Determine e indique su dominio.0ÐBÑ œ B � # 1ÐBÑ œ B Þ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑÈ ÈActividad N° 5

Sean , Determine e indique su dominio.0ÐBÑ œ #B � $ 1ÐBÑ œ Þ Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ"

BÈ

RESOLUCIÓN PARTE 3

Actividad N° 1

E œ +#

T œ %+ Ê + œT%

E œ Ð ÑT%

#

E œ T !T"'

#

,

Actividad N° 2


Z œ <%$1

$

W œ % < Ê < œ1# Ê W

%1

Z œ †% W$ %1 Ð ÑÊ

1

$

Z œ W !ÈÈW

$† %

$

1

,

Actividad N° 3

#C #B œ "!! Í B œ &! � B

B ! • &! � B !

E œ BÐ&! � BÑ ß B − Ò!ß &!Ó

Actividad N° 4

Ð0 ‰ 1Ñ œ B � #ÉÈ B ! • B � # !È ÈB � # ! Í B %

H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ò%ß _Ò

Actividad N° 5

Ð1 ‰ 0Ñ œ"

#B�$È

#B � $ $ ! Í B $$#


H97Ð1 ‰ 0Ñ œ Ó ß _Ò$#


PARTE 4

Actividad N° 1

Sea 0ÐBÑ œ � "È%B�B

#

#

Determine . H970

Actividad N° 2

Sean

0 À H970ïïïïpV/-0 0ÐBÑ œ ÐB � #Ñ ", definida por #

1 À H971ïïïïpV/-1 1ÐBÑ œ # B � ", definida por Èa) Determine y .Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ H97Ð0 ‰ 1Ñ

b) ¿Existe la inversa de ? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"

Actividad N° 3

Un cono de papel con diámetro de pulgadas y altura de pulgadas está% %inicialmente lleno de agua. Se le hace un pequeño hoyo en el fondo y el aguacomienza a fluir. Sea y la altura y el radio, respectivamente, del agua en el2 <cono minutos después de que el agua empieza a fluir.>

a) Exprese como una función de .< 2

b) Exprese al volumen como una función de . ( )Z 2 Z œ < 2"$1

#

c) Si la altura del agua después de minutos está dada por ,> 2Ð>Ñ œ !ß & >Èexprese como una función de .Z >


RESOLUCIÓN PARTE 4

Actividad N° 1

Sea 0ÐBÑ œ � "È%B�B

#

#

Determine .H970

H970 œ ÖB − Î !×‘ %B � B#

%B � B B � %B# # ! Í Ÿ ! Í BÐB � %Ñ Ÿ !

_ ! % �_

B � �

B % �

� �BÐB � %Ñ

H970 œ Ò!ß %]

Actividad N° 2

Sean 0ÐBÑ œ ÐB � #Ñ " 1ÐBÑ œ # B � "# Èa) Determine y .Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ H97Ð0 ‰ 1Ñ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ Ð# B � " � #Ñ " œ BÈ #

H970 ‰ 1 œ ÖB − Î B − H971 • 1ÐBÑ − H970×‘

œ ÖB − ÎB − Ò"ß _Ò • # B � " − ×‘ ‘È œ Ò"ß _Ò

b) ¿Existe la inversa de ? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"

1Ð+Ñ œ 1Ð,Ñ Ê # + � " œ # , � "È È È È+ � " œ , � " + � " œ , � " + œ ,

es inyectiva,1


es epiyectiva pues por lo tanto es biyectiva y tiene1 G9.970 œ V/-0 ß 1inversa.

Sea C œ # B � "È C � # œ B � "È ÐC � #Ñ œ B � "#

B œ ÐC � #Ñ "#

1 ÐBÑ œ ÐB � #Ñ "�" #

Actividad N° 3

Un cono de papel con diámetro de pulgadas y altura de pulgadas está% %inicialmente lleno de agua. Se le hace un pequeño hoyo en el fondo y el aguacomienza a fluir. Sea y la altura y el radio, respectivamente, del agua en el2 <cono minutos después de que el agua empieza a fluir.>

a) Exprese como una función de .< 2

2 % 2< # #œ Ê < œ

b) Exprese al volumen como una función de .Z 2

Z œ < 2 œ 2 œ" " 2 2$ $ # "#1 1

# #Ð Ñ 1$

c) Si la altura del agua después de minutos está dada por ,> 2Ð>Ñ œ !ß & >Èexprese como una función de .Z >

Z œ œ œ1 1 12"# "# *'

Ð!ß& >Ñ Ð >Ñ$ $ $È È


PARTE 5

Actividad N° 1

Sean

0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por 0ÐBÑ œ # � BÈ1 À H971ïïïïpV/-1, definida por 1ÐBÑ œ "�B

#

#

a) Trace el gráfico de .0b) Pruebe que existe y determine .0 0 ÐBÑ�" �"

c) Determine y .H97Ð1 ‰ 0Ñ Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ

d) Determine tal que .5 − 1Ð5 "Ñ œ‘"#

Actividad N° 2Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con un área de . También#Þ%!!7#

quiere utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de lassecciones del borde. Exprese la longitud total de cerca que se requiere para este proyectocomo una función de . Además determine el dominio de la función obtenida.B

Actividad N° 3

Sea si si 0ÐBÑ œ

B � %B ( B Ÿ $"# � $B B $ $œ #

a) Calcule, si es posible, .0Ð0Ð&ÑÑb) Trace el gráfico de . ¿Es inyectiva? Justifique.0 0

RESOLUCIÓN PARTE 5

Actividad N° 1

a) , C œ # � B C !È C œ # � B#

B œ � C ##

ÐC � !Ñ œ � ÐB � #Ñ#


Corresponde a la ecuación de una parábola "abierta hacia la izquierda" de vérticeen .Ð#ß !Ñ

La gráfica de es:0

b) Como es epiyectiva pues , entonces basta probar que es0 G9.970 œ V/-0 0inyectiva en su dominio:

0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ È È# � + œ # � ,

# � + œ # � ,

+ œ ,

Se tiene que . Por tanto, es inyectiva lo que significa0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ Ê + œ , 0que es biyectiva, por tanto tiene inversa.0

Puesto que se tiene que B œ � C # 0 ÐBÑ œ # � B# �" #

c) H97Ð1 ‰ 0Ñ œ Ö B − H970 Î 0ÐBÑ − H971×

œ ÖB − Ó �_ß #Ó Î # � B − ×È ‘


œ Ó �_ß #Ó

Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ œ œ"�Ð #�BÑ

# #B�"È #

d) 1Ð5 "Ñ œ "

#

Í œ"�Ð5�"Ñ

# #"#

Í 5 #5 " œ ! #

Í 5 œ � "

Actividad N° 2

Sea la longitud que se muestra en la figura:C

B $ ! ß C $ !

#BC œ #Þ%!! Ê C œ "Þ#!!B

Sea la longitud total de la cerca, : : œ %B $C œ %B $Þ'!!B

Por tanto, ; : œ %B B $ !$Þ'!!B

Actividad N° 3

a) 0Ð&Ñ œ � $ 0Ð0Ð&ÑÑ œ 0Ð � $Ñ œ Ð � $Ñ � % † Ð � $Ñ ( œ #)#

b) Para B Ÿ $ Sea C œ B � %B (#

+ œ " $ !

, satisface condición .B œ � œ # B Ÿ $,#+


vértice

B C œ � B )B � "$ ÐBß CÑ% Ð$ß %Ñ

# $ Ð#ß $Ñ" % Ð"ß %Ñ

#

$

Para B $ $ Sea C œ "# � $B

B C œ B # ÐBß CÑ$ Ð$ß $Ñ

% ! Ð%ß !Ñ$

Gráfico de 0

0 C œ no es inyectiva pues la recta horizontal, por ejemplo, corta al gráfico de(

#0 en dos puntos.


PARTE 6

Actividad N° 1

Sea . Determine y simplifique la expresión para .0ÐBÑ œ 2 Á +"B�" 2�+

0Ð2Ñ�0Ð+Ñ

Actividad N° 2

Sea . Sabiendo que determine todos los0ÐBÑ œ # #B � B $È # H970 œ Ò � "ß $Ó ,valores de , tales que 3 .- − H970 0Ð-Ñ œ

Actividad N° 3

Sea 0ÐBÑ œ " � " � BÈa) i) ¿ ?# − H970 ii) ¿ ?� $ − H970

b) Determine, si es posible, tal que + − H970 0Ð+ "Ñ # œ !

Actividad N° 4

Sea . Determine tal que 0ÐBÑ œ - $ ! 0Ð - * Ñ œ %"

B �*È #

È #

RESOLUCIÓN PARTE 6

Actividad N° 1

Solución:

0Ð2Ñ�0Ð+Ñ2�+ 2�+

�œ

" "2�" +�"

œ+�"�2�"Ð2�"ÑÐ+�"Ñ

2�+

œ+�2

Ð2�"ÑÐ+�"Ñ

2�+


œ�Ð2�+Ñ

Ð2�"ÑÐ+�"ÑÐ2�+Ñ

œ �"Ð2�"ÑÐ+�"Ñ

Actividad N° 2

Solución:

30Ð-Ñ œ

# #- � - $ œ $È #

#- � - $ œ "#

- � #- � # œ !#

- œ " $ − H970 ” - œ " � $ − H970È È

Actividad N° 3

Solución

a) i) no existe por tanto 0Ð#Ñ # Â H970

ii) existe por tanto 0Ð � $Ñ � $ − H970

b) 0Ð+ "Ñ # œ !

" � " � Ð+ "Ñ # œ !È È � + œ $

+ œ � * − H970

Por tanto + œ � *

Actividad N° 4

Solución: 0Ð - %Ñ œ %È #


"

Ð - �*Ñ �*É È # #

œ %

"- œ %

- œ "%


PARTE 7

Actividad N° 1

En cada caso, determine . H970

a) 0ÐBÑ œ "B �%B�%#

b) 0ÐDÑ œ "

%�DÈ #

Actividad N° 2

Determine la función lineal cuya gráfica se da a continuación:

Recuerde: La ecuación de la recta que pasa por es ;ÐB ß C Ñ à ÐB à C Ñ C œ 7B ," " # #

con 7 œC �CB �B# "

# "

.

Actividad N° 3

Sea 0ÐBÑ œ � B )B � "&#

a) Trace el gráfico de 0b) Determine V/-0c) Determine los intersectos de la gráfica de con los ejes e .0 B C

Actividad N° 4

Sea si si 0ÐBÑ œ

B � # B Ÿ $� #B " B $ $œ

a) Calcule , , .0Ð"Ñ 0Ð$Ñ 0Ð&Ñb) Trace el gráfico de .0c) Determine .V/-0d) Determine tal que .B − 0ÐBÑ œ � (‘

RESOLUCIÓ PARTE 7

Actividad N° 1


a) H970 œ ÖB − ÎB %B % Á !× œ � Ö � #×‘ ‘#

b) H970 œ ÖD − Î % � D $ !×‘#

% � D $ ! Í D � % � ! Í ÐD #ÑÐD � #Ñ � !# #

_ # # �_

D � # � �

D # �

ÐD � #ÑÐD #Ñ � �

H970 œ Ó � #ß #Ò

Actividad N° 2

la recta pasa por los puntos: y Ð!ß $Ñ Ð&ß !Ñ la recta viene dada por: C œ 7B ,

cálculo de la pendiente: 7 œ œ œ �C �CB �B &�! &

!�$ $# "

# "

C œ � B ,$&

cálculo de : , ! œ � † & , Ê , œ $$&

C œ � B $$&

Por tanto; 0ÐBÑ œ � B $$

&

Actividad N° 3

a) (ecuación de una parábola)C œ � B )B � "&#

+ œ � " � !

B œ � œ � œ %, )#+ �#

B œ % Ê C œ � "' $# � "& œ "

vértice: Ð%ß "Ñ


b) V/-0 œ Ó �_ß "Ó

c) La gráfica de intersecta al eje en 0 C C œ � "& Para obtener dónde la gráfica de intersecta al eje , se resuelve la ecuación:0 B

� B )B � "& œ ! Í B œ $ ” B œ &#

Por tanto, la gráfica de intersecta al eje en y en .0 B B œ $ B œ &

Actividad N° 4

a) si si 0ÐBÑ œ

B � # B Ÿ $� #B " B $ $œ

0Ð"Ñ œ � " 0Ð$Ñ œ " 0Ð&Ñ œ � *

b) B C œ B � # ÐBß CÑ

" Ð$ß "Ñ# ! Ð#ß !Ñ$

B C œ � #B " ÐBß CÑ� & Ð$ß � &Ñ

% � ( Ð%ß � (Ñ$


c) Del gráfico de se obtiene que 0 V/-0 œ Ó �_ß "Ó

d) satisface condición .B � # œ � ( Ê B œ � & ß B Ÿ $ satisface condición .� #B " œ � ( Ê B œ % ß B $ $

Por tanto, para , se tiene que B œ � & ” B œ % 0ÐBÑ œ � (


PARTE 8

Actividad N° 1

0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por

0ÐBÑ œB #B B � � %

� B %B B � %œ #

#

si si

a) Calcule , 0Ð � $Ñ 0Ð$Ñ Þ

b) Trace el gráfico de .0

c) Determine tal que .B − 0ÐBÑ œ !‘

d) ¿Tiene inversa? Justifique.0

e) Determine .V/-0

Actividad N° 2

0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por 0ÐBÑ œ � "É$ BB�#

a) Determine .H970

b) Pruebe que tiene inversa en su dominio.0

c) Determine .0 ÐBÑ�"

Actividad N° 3

Exprese el área de un cuadrado como una función de su perímetro . Indique dominioE Tde la función obtenida.

Actividad N° 4

Un rectángulo tiene área de m . Exprese el perímetro del rectángulo como una"' T#

función de la longitud de uno de sus lados. Determine el dominio de la funciónBobtenida.

RESOLUCIÓN PARTE 8

Actividad N° 1


a) 0Ð � $Ñ œ � #" 0Ð$Ñ œ $

b) Considerando C œ B #B#

no satisface la condición , por tanto ese valor no seráB œ � œ � # B � � %,#+

considerado en la siguiente tabla de valores.

B C œ B #B ÐBß CÑ) Ð � %ß )Ñ

� & "& Ð � &ß "&Ñ

#

�%

considerando C œ � B %B#

satisface la condición , por tanto ese valor seráB œ � œ # B � %,#+

considerando en la siguiente tabla de valores.

(vértice)

B C œ � B %B ÐBß CÑ� $# Ð � %ß � $#Ñ

# % Ð#ß %Ñ$ $ Ð$ß $Ñ

#

�%

c) no satisfacen condición .B #B œ ! Ê B œ ! ” B œ � #ß B � � %#

satisfacen condición .� B %B œ ! Ê B œ ! ” B œ %ß B � %#

Por tanto, para se tiene que .B œ ! ” B œ % 0ÐBÑ œ ! d)


no es inyectiva pues, por ejemplo, la recta horizontal corta a su gráfico0 C œ #

en dos puntos. Por tanto, no tiene inversa.0

e) Del gráfico de se obtiene que 0 V/-0 œ Ó �_ß %Ó A Ó)ß _Ò

Actividad N° 2

a) H970 œ B − ÎB # Á !× œ � � #×˜ ˜‘ ‘

b) Como es epiyectiva pues basta probar que es inyectiva en0 G9.970 œ V/-0ß 0du dominio.

0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ É É$ $+ ,

+�# ,�#� " œ � "

+ ,+�# ,�#� " œ � "

+ ,+�# ,�#œ

+Ð, #Ñ œ ,Ð+ #Ñ

+, #+ œ ,+ #,

#+ œ #,

+ œ ,

es inyectiva en su dominio, por tanto es biyectiva y tiene inversa.0 0

c) Sea C œ � "É$ BB�#


C œ � "$ BB�#

C " œ$ BB�#

ÐC "ÑÐB #Ñ œ B$

C B #C B # œ B$ $

C B œ � # � #C$ $

B œ�#�#C

C

$

$

Luego, 0 ÐBÑ œ�" �#�#BB

$

$

Actividad N° 3

Sean , , : lado, área y perímetro de un cuadrado, respectivamente.+ E T

E œ +#

T œ %+ Ê + œ T%

E œ Ð ÑT%

#

E œ T $ !T"'

#

, (dominio)

Actividad N° 4

Sean , lados del rectángulo y su perímetro.B C T

BC œ "' Ê C œ "'B

T œ #B #C

T œ #B # † "'B

T œ B $ !#B $#B ; (dominio)


PARTE 9

Actividad N° 1

Sea si si 0ÐBÑ œ

B � %B ( B � $#B � & B $œ #

a) Trace el gráfico de .0b) Calcule, si es posible, Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñc) Determine, en caso de existir, todos los valores de , tales que5 − H970

0Ð5Ñ œ %.

Actividad N° 2

Sea 0ÐBÑ œÈÈ$

$

#B�"

B�#

a) Determine .H970b) Pruebe que es inyectiva en su dominio.0

c) Determine, si es posible, tal que 2 − 0 œ #‘ ˆ ‰ È#2�"2�#

$

Actividad N° 3

Considere las funciones 0 À Ó �_ß !Òqqqqqp 0ÐBÑ œ " � #B‘ definida por È 1 qqqqqp 1ÐBÑ œÀ Ó �_ß � #Ó Ó �_ß � Ó

$

#definida por "�B

#

#

a) Determine y H97Ð0 ‰ 1Ñ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑb) ¿Tiene inversa? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"

RESOLUCIÓN PARTE 9

Actividad Nº1 a) Para ; sea B � $ C œ B � %B (#

B œ � œ # � $,#+

:


B C œ B � %B ( ÐBß CÑ$ % Ð$ß %Ñ# $ Ð#ß $Ñ! ( Ð!ß (Ñ

#

Para sea B $ à C œ #B � & B C œ #B � & ÐBß CÑ

$ " Ð$ß "Ñ% $ Ð%ß $Ñ

Gráfico de :0

b) Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ 0Ð0Ð"ÑÑ

0Ð"Ñ œ " � % † " ( œ %#

Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ 0Ð%Ñ œ # † % � & œ $

Por tanto, Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ $

c) Si 5 � $ 0Ð5Ñ œ % Í 5 � %5 ( œ %#

Í Ð5 � $ÑÐ5 � "Ñ œ ! Í 5 œ $ ” 5 œ "

no satisface condición 5 œ $ 5 � $

satisface condición 5 œ " 5 � $


Si 5 $ 0Ð5Ñ œ % Í #5 � & œ %

satisface condiciónÍ 5 œ 5 $*#

Por tanto, 5 œ " ” 5 œ *#

Actividad Nº2

a) H970 œ ÖB − ÎB � # Á !× œ � Ö#×‘ ‘

b) 0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ

Í È ÈÈ È$ $

$ $

#+�"

+�#

#,�"

,�#œ

Í œ #+�" #,�"

+�# ,�#

Í #+, � %+ � , # œ #+, � %, � + #

Í � $+ œ � $,

Í + œ , Por tanto, es inyectiva.0

c) 0 œ #ˆ ‰ È#2�"2�#

$

; ÉÉ

$

$

# �"

�#

ˆ ‰#2�"2�#

#2�"2�#

œ # 2 Á #È$

%2�#2�##2�"2�#

�"

�#œ #

$2$ œ #

¡contradicción! 2 œ # 2 Á #

Por tanto, no existe valor de tal que .2 0 œ #ˆ ‰ È#2�"2�#

$

Actividad Nº3


a) H97Ð0 ‰ 1Ñ œ ÖB − H971 Î 1ÐBÑ − H970× œ ÖB − Î − ×Ó �_ß � #Ó Ó �_ß !Ò"�B

#

#

B − H97Ð0 ‰ 1Ñ � !Í B Ÿ � # • "�B#

#

"�B#

#

� ! Í B � " $ ! Í ÐB "ÑÐB � "Ñ $ !#

_ " " �_

B� " � �

B " �

� �ÐB "ÑÐB � "Ñ

B − Ó �_ß � "Ò A Ó"ß _Ò

Se tiene, entonces: B − B − Ó �_ß � "Ò A Ó"ß _ÒÓ �_ß � #Ó • Por tanto, H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ó �_ß � #Ó

Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ " � #Ð Ñ œ B œ lBl œ � B B −É È"�B#

## (pues Ó �_ß � #Ó Ñ

b) Gráfico de :1

Toda recta horizontal corta al gráfico de en a lo más un punto, por lo tanto, es1 1inyectiva.

1 G9.970 œ V/-0es epiyectiva pues

Por lo tanto, es biyectiva y tiene inversa.1


Sea C œ "�B#

#

#C œ " � B#

B œ " � #C#

pues B œ � " � #C B −È Ó �_ß � #Ó

Por tanto, 1 ÐBÑ œ � " � #B�" È


PARTE 10

Actividad N° 1

Sea una función si si

si 0 0ÐBÑ œ

B � %B * B Ÿ "

� B ' " � B Ÿ #" B $ #

definida porÚÛÜ

#

#

a) Trace el gráfico de .0b) ¿Es inyectiva? Justifique.0c) Determine .V/-0d) Determine, si existe, tal que .5 − H970 0Ð5Ñ œ 5

Actividad N° 2

Sea 0 À H970 0ÐBÑ œ # 'B � B � &qqqqqpV/-0 definida por È #

a) Determine H970b) Determine, si es posible, tal que 5 − #0Ð5 "Ñ � 0Ð$Ñ œ !‘

c) ¿Tiene inversa? Justifique.0

Actividad N° 3

Un granjero tiene millas de malla para cercar un terreno de pastoreo en forma#!rectangular a lo largo de un río recto. Si no se requiriese cercar a lo largo del río y loslados perpendiculares al río tuvieran millas de largo cada uno, exprese el área delB Erectángulo como función de . A partir de consideraciones prácticas, ¿cuál es el dominioBde la función obtenida?

RESOLUCIÓN PARTE 10

Actividad N° 1

a) Para , se tiene B Ÿ " 0ÐBÑ œ B � %B *#

(ecuación de una parábola, abierta hacia arriba)C œ B � %B *#

vértice: , no satisface condición .B œ � œ # B Ÿ ",#+

B C œ B � %B * ÐBß CÑ" ' Ð"ß 'Ñ! * Ð!ß *Ñ

#


Para con B " � B Ÿ # ß 0ÐBÑ œ � B '#

(ecuación de una parábola abierta hacia abajo)C œ � B '#

vértice: no satisface condición B œ � œ ! ß " � B Ÿ #,#+

B C œ � B ' ÐBß CÑ" & Ð"ß &Ñ# # Ð#ß #Ñ

#

Gráfico:

b) no es inyectiva, pues por ejemplo: 0 0Ð$Ñ œ 0Ð%Ñ œ "

c) V/-0 œ Ö"× A Ò#ß &Ò A Ò'ß _Ò

d) Si 5 Ÿ " 0Ð5Ñ œ 5 5 � %5 * œ 5#

5 � &5 * œ !#

la ecuación no tiene solución en .˜ œ , � %+- � !ß#‘

Si " � 5 Ÿ # 0Ð5Ñ œ 5 � 5 ' œ 5#

� 5 � 5 ' œ !#

5 5 � ' œ !#

Ð5 $ÑÐ5 � #Ñ œ !


5 œ � $ ” 5 œ #

5 œ � $ Â Ó"ß #Ó à 5 œ # − Ó"ß #Ó

Si 5 $ # 0Ð5Ñ œ 5 , no satisface condición " œ 5 5 $ #

Por tanto, 5 œ #

Actividad N° 2

Solución:

a) H970 œ ÖB − Î 'B � B � & !×‘#

'B � B � & ! Î † Ð � "Ñ#

B � 'B & Ÿ !#

1 5ÐB � ÑÐB � Ñ Ÿ !

Valores críticos: .B œ "ß B œ &

_ " & �_

B " � �

B & �

� �ÐB � ÑÐB � Ñ1 5 B − Ò"ß &Ó

Por tanto, H970 œ Ò"ß &Ó

b) Sea ; œ 5 "

#0Ð5 "Ñ � 0Ð$Ñ œ !

Í #0Ð;Ñ � 0Ð$Ñ œ !

,#Ð# '; � ; � & Ñ � Ð# ' † $ � $ � & Ñ œ !È È# #

'; � ; � & !#

% # '; � ; � & � % œ !È #


È'; � ; � & œ !#

'; � ; � & œ !#

; � '; & œ !#

Ð; � "ÑÐ; � &Ñ œ !

, ambos valores satisfacen condición; œ " ” ; œ &'; � ; � & !#

5 œ ; � "

Si entonces ; œ " 5 œ !

Si entonces ; œ & 5 œ %

Por tanto, .5 œ ! ” 5 œ %

c) Del trabajo ralizado en b) se obtuvo que satisfacen la; œ " ” ; œ &condición , es decir, . Esto quiere decir que#0Ð;Ñ � 0Ð$Ñ œ ! 0Ð;Ñ œ #ambos valores, que pertenecen al dominio de , tienen la misma imagen.0Esto significa que no es inyectiva, por tanto, no tiene inversa.0 0

Actividad N° 3

Solución:

#B C œ #! Ê C œ #! � #B

E œ BC

E œ BÐ#! � #BÑ E B , en función de .

Dominio:


B $ ! • #! � #B $ !

Í B $ ! • B � "!

Í B − Ó!ß "!Ò , dominio de la función.

sergio yansen núñez · parte 6 actividad n° 1 sea . determine y simplifique la expresión para...

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