SEÑALES Y SISTEMAS CON MATLAB

Sebastián Araujo

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Índice1. Gráfico de una señal periódica 3

2. Cálculo de la energía total y de la potencia media de una señal 32.1. Potencia de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Gráfico de una función definida por pedazos 4

4. Transformaciones de la variable independiente 5

5. Señales elementales 55.1. Escalón unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2. Pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3. Función signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.4. La función rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.5. La función de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.6. Impulso unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.6.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.6.2. Aproximación de un Dirac con sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6. Convolución 116.1. Convolución de dos pulsos rectangulares que nos da como resultado un pulso triangular . . . 116.2. Otro ejemplo de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

1. Gráfico de una señal periódicaGraficar una señal periódica definida por:

f(t) = t

0 < t < π

f(t) = f(t+ π)

Usamos el código:

%gráfica una función periódicat=0:0.1:pi;ft=t;for n=-3:3tt=t+n*pi;hold onplot(tt,ft)hold offend

lo que nos produce:

2. Cálculo de la energía total y de la potencia media de una señalDefinimos la energía total como:

E = limL→∞

ˆ L

−L

|f(t)|2dt

y la potencia media como:

3

P = limL→∞

12L

ˆ L

−L

|f(t)|2dt

Para calcular la primera integral de forma simbólica podemos usar:

syms tE=int(abs(f(t))^2,t,-inf,inf)

Para la potencia podemos primero integrar:

syms Lintegral=int(abs(f(t))^2,-L,L)

y luego calcular el límite con:

P=limit(integral/(2*L),L,inf)

Para evaluar la integral como un número decimal:

format longeval(E)eval(P)

2.1. Potencia de señales periódicasEn este caso P está se calcula por:

P =1T

ˆ T

0

|f(t)|2dt

El cálculo es por la misma vía utilizando como variables syms t y T.

3. Gráfico de una función definida por pedazosGraficar la función:

x(t) =

−t+ 1 −1 6 t < 0t 0 ≤ t < 22 2 ≤ t ≤ 30 t > 3

%gráfica de una función definida a pedazost1=-1:0.01:0;xt1=-t1+1;plot(t1,xt1)t2=0:0.01:2;xt2=t2;hold onplot(t2,xt2)t3=2:0.01:3;xt3=2;plot(t3,xt3)

4

t4=3:0.01:7;xt4=0;plot(t4,xt4)hold offaxis([-2 7 -1 4])xlabel(’t’)ylabel(’x(t)’)title(’Señal a trozos’)

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x(t)

Señal a trozos

4. Transformaciones de la variable independienteCalcular y graficar basado en el ejemplo anterior la señal:

x(−3t− 2)

5. Señales elementales

5.1. Escalón unidadheaviside

%ejemplo de paso unitario en 5t=-10:.1:10;paso5=heaviside(t-5);plot(t,paso5)axis([-10 10 -2 2])xlabel(’t’)ylabel(’u(t)’)title(’Paso unitario en 5’)

5

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

u(t)

Paso unitario en 5

Calcular y graficar:

x(t) = u(t+ 2)− 2u(t+ 1) + 2u(t)− u(t− 2)− 2u(t− 3) + 2u(t− 4)

5.2. Pulso rectangularrectpulsUn pulso rectangular centrado en 2 de ancho 4 y de amplitud 5:

%pulso rectangulart=-10:0.01:10;pulsorec=5*rectpuls(t-2,4);plot(t,pulsorec)title(’Pulso rectangular’)xlabel(’t’)axis([-10 10 0 6])

6

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6Pulso rectangular

t

5.3. Función signoGraficar sign(t-5)

%función signo en 5t=-10:.1:10;signo5=sign(t-5);plot(t,signo5)axis([-10 10 -2 2])xlabel(’t’)ylabel(’sign(t)’)title(’Signo en 5’)

7

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

sign

(t)

Signo en 5

5.4. La función ramparamp

5.5. La función de muestreoGraficar la función seno cardinal.

%gráfico del sinct=-10:.1:10;sapi=sinc(t);plot(t,sapi)axis([-10 10 -2 2])xlabel(’t’)ylabel(’sinc(t)’)title(’Sinc de t’)

8

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

sinc

(t)

Sinc de t

5.6. Impulso unidadUsamos diract=-10:0.1:10;plot(t,dirac(t-2))xlabel(’t’)ylabel(’dirac(t-2)’)title(’Un delta de Dirac en t=2’)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Un delta de Dirac en t=2

t

dira

c(t−

2)

9

5.6.1. Desplazamiento

Propiedades del delta de Dirac en variable simbólica

syms xx1=x^2+1dirac(x-3)%desplazamientoint(dirac(x-3)*x1,-inf,inf)%derivacióndiff(heaviside(x-3))%desplazamiento con la derivada del Diracdiracprim=diff(dirac(x-3))int(x1*diracprim,-inf,inf)

5.6.2. Aproximación de un Dirac con sinc

Escalamos y aumentamos la amplitud del seno cardinal:

t=-10:0.1:10;diracsinc=100*sinc(100*t);plot(t,diracsinc)title(’Dirac aproximado con un seno cardinal’)xlabel(’t’)ylabel(’100*sinc(100*t)’)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−20

0

20

40

60

80

100Dirac aproximado con un seno cardinal

t

100*

sinc

(100

*t)

10

6. Convolución

6.1. Convolución de dos pulsos rectangulares que nos da como resultado unpulso triangular

y(t) = rect(t) ∗ rect(t)

y(t) =ˆ ∞−∞

rect(τ)rect(t− τ)dτ

t=-10:0.1:10;y=conv(rectpuls(t),rectpuls(t));plot(y)

Graficar la nueva señal redefiniendo correctamente el nuevo vector t. Verificar length(y) y length(t).t=-10:0.1/2:10;plot(t,y)

6.2. Otro ejemplo de convolución

x1(t) = 3e−t 0 ≤ t <∞

x2(t) =t

20 ≤ t < 2

Graficar las funciones, calcular la convolución, graficar el resultado:

y(t) = x1(t) ∗ x2(t)

Podemos expresar nuestras funciones usando pasos unitarios:

%convolución y gráficos de dos funcionest=-10:0.01:10;x1=3*exp(-t).*heaviside(t);subplot(3,1,1)plot(t,x1) x2=(t/2).*heaviside(-(t-2)).*heaviside(t);subplot(3,1,2) plot(t,x2)y=conv(x1,x2)t=-10:0.01/2:10;subplot(3,1,3)plot(t,y)

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−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1

−0.5

0

0.5

1

Matlab tiene conflicto al usar heviside y dirac (symbolic toolbox) dentro de la operación convolución. Elresultado por lo tanto no es válido. La solución consiste en usar funciones del signal processing toolbox, eneste caso sirve rectpuls.

%convolución y gráficos de dos funciones usando rectpulst=-10:0.01:10;x1=3*exp(-t).*rectpuls(t-5,10);subplot(3,1,1)plot(t,x1)ylabel(’x1(t)’)x2=(t/2).*rectpuls(t-1,2);subplot(3,1,2)plot(t,x2)ylabel(’x2(t)’)y=conv(x1,x2);t=-10:0.01/2:10;subplot(3,1,3)plot(t,y)title(’Convolucion de las dos funciones’)xlabel(’t’)

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−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

x1(t

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

x2(t

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

50

100

150

200Convolucion de las dos funciones

t

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Referencias[1] Mari J.-L, Glangeaud, F., Coppens, F., 1997, Traitament du signal pour géologues et géophysiciens,

Éditions Technip.

[2] Soliman S.S., D.S. Mandyam, 1999, Señales y sistemas continuos y discretos, Prentice Hall.

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