UN SERMÓN LARGO LLEVA A UN BUEN PROBLEMA

El sermón era largo y hacia mucho calor en el templo. Era difíci l mantenerse despierto. Por un rato, el joven Franklin Figit se divirt ió ojeando el boletín dominical. Cansado de esto, trató de doblarlo de maneras cada vez complicadas. Fue entonces cuando le surgió una idea bri l lante. “Me pregunto que pasaría” se di jo así mismo, “si tomara un boletín gigante, lo doblara a la mitad, luego nuevamente a la mitad y así hasta haberlo doblado 40 veces. ¿Qué altura tendría el paquete de papel formado de esta manera?”

El joven Franklin formuló una pregunta muy interesante. ¿Cuál cree usted que sea la respuesta correcta? ¿10 pulgadas? ¿3 pies? ¿500 pies? Haga su apuesta y escriba al margen. Cuando en esta sección se l legue a la respuesta correcta, lo más probable es que quedaría muy sorprendido.

Empecemos ahora mismo a analizar el problema. Si el problema tuviera “c” unidades de grosor (c = 0.01 pulgadas sería un valor razonable), después de doblar una vez tendrían 2c unidades de grosor. Después de dos dobleces, mediría 2x2c unidades de grueso y después de doblar el boletín 40 veces se tendría un grosor de2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2

Nadie que tenga sentido de la economía y de la elegancia, escribiría la mult ipl icación cuarenta veces dos de esta manera. Para indicar un producto de este t ipo, la mayor parte de la gente y todos los matemáticos prefieren escribir. El número 40 se l lama exponente y nos indica el número de veces que hay que mult ipl icar a 2 consigo mismo. Al número se le l lama una potencia de 2 y se lee: “dos a la cuadragésima potencia”, o “2 a la cuarenta”.

En el caso general, si “b” es cualquier número y “n” un

entero posit ivo, entonces: b n =

TEORÍA DE EXPONENTES

INDICADOR:Identifica y resuelve situaciones problemáticas, aplicando las leyes de exponentes correctamente.

INDICADOR:Identifica y resuelve situaciones problemáticas, aplicando las leyes de exponentes correctamente.

DE DESCARTES A NEWTON

La nueva razón, la autent ica revoluc ión del mundo moderno, culminó en los s ig los XVI I y XVI I I con una renovación completa del universo del conocimiento.

Hasta e l s ig lo XVI , la c ienc ia había permanecido ínt imamente l igado a la teología y a la f i losof ía , las invest igac iones empír icas que la habían hecho durante e l renacimiento, sobre todo en e l terreno de la medic ina y en e l de la astronomía, habían s ido v io lentamente combat idas por la ig les ia y la obra de un Leonardo de Vinc i , que intentaba reunir en un conjunto coherente todo e l saber de su t iempo quedó como una exper iencia a is lada, las pos ic iones re l ig iosas del s ig lo XVI no favorec ieron en nada a la expansión de la c iencia .

Si desea triunfar debes abrir nuevos caminos en vez de recorrer las

viejas rutas de los éxitos ajenos.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EL GRAN MOVIMIENTO INTELECTUAL

Comienza en e l año 1620 t iene por art í f ices a Gal i leo, Kepler , Descartes, Le ibniz y Newton. Profesores de univers idad provocan conf l ic tos teológicos, ya que la ig les ia , que había condenado a Gal i leo, no integra e l progreso c ient í f ico en su v is ión del mundo. Disc ípulo de Ar istóte les , no puede aceptar un mundo en movimiento, regido por leyes matemát icas y , s in embargo, los sabios del s ig lo XVI I con instrumentos de ópt ica y cá lculo perfecc ionado demuestran que es e l so l e l que está en e l centro del universo y que la sangre no es un l íquido estancado. S in embargo, por la mayor ía de los creyentes ponen la re l ig ión “en entredicho”. A la muerte de Cr ist ina de Suecia, e l grupo de sabios que la rodeaba se d ispersa por toda Europa, perseguidos f recuentemente por la contra reforma. Pero los contactos entre c ient í f icos se mult ip l ican grac ias a un amigo de Descartes, e l padre Mersenne, quien se encarga de d i fundir las ideas mas revoluc ionar ias , empezando por las de Gal i leo.I . Gal i leo se insta ló en F lorencia en 1585. Se dedicó a

estudiar pr inc ip ios de Arquímedes.I I . Kepler , grac ias a su estudio de Marte, este d isc ípulo de

Copérnico re interpreta e l movimiento de los p lanetas: descr iben una e l ipse g i rando a l rededor del so l .

I I I . Descartes, introdujo las matemát icas en e l seno de las c iencias y la re l ig ión.

IV. Le ibniz , interesado por e l derecho, la geología, las matemát icas y la f i losof ía , dotado de un espír i tu encic lopédico refuta la Doctr ina de Descartes. Junto con Newton desarro l la e l cá lculo inf in i tes imal .

INDICADORES:Valoran la utilidad del lenguaje algebraico para generalizar y operar con cantidades desconocidas en situaciones reales.Reducen términos semejantes correctamente.

INDICADORES:Valoran la utilidad del lenguaje algebraico para generalizar y operar con cantidades desconocidas en situaciones reales.Reducen términos semejantes correctamente.

EL PADRE DEL ÁLGEBRALa época fue en el siglo XVI. Francia y España estaban en guerra. Como en cualquier guerra, ambos bandos enviaban sus mensajes en código para ocultar sus planes al enemigo. Obviamente, el secreto era de suma importancia. Empero, los secretos españoles no se podían conservar. No es que no lo intentaran. Más cuando los franceses capturaban un correo español, leían el mensaje con tanta precisión como lo podía hacer cualquier español. ¿Cómo podía ser esto? Los españoles sabían que sus códigos estaban siendo descifrados. ¿Cómo podía cualquier francés descifrarlos? En realidad, ¿cómo podía cualquier hombre hacerlo, a menos que tuviera la clave? La conclusión fue obvia. Algo más que un hombre debía estar trabajando para Francia. Los franceses debían tener pacto con el demonio. ¡Debían estar usando magia negra!.Los españoles se quejaron con el Papa. Pero el Papa era demasiado sabio para interferir porque no era el demonio quien estaba desbaratando los códigos; era un abogado francés llamado Vieta. No era mediante la magia como hacía su trabajo, sino mediante las matemáticas. Porque Vieta era un abogado con una afición, y esa afición era el Algebra. Descifrar códigos no era para él sino resolver ecuaciones.El Rey de Francia contrajo con Vieta una deuda de gratitud. De igual modo la tienen generaciones de estudiantes de Algebra. Y es que Vieta no sólo descifró los códigos españoles sino que simplificó totalmente el Algebra. Antes de su tiempo, prácticamente no se hacía uso de signo y símbolos, todo se hacía de modo difícil: con palabras. Vieta introdujo el uso de las letras como variables (usaba las vocales para las incógnitas y las consonantes para los datos). Usó los signos de operación para mostrar si se sumaba, se restaba, se multiplicaba o se dividía. Tan

No temas que tu vida acabe, teme que

quizá nunca empiece.

POLINOMIOS

INDICADORES:Identifican y denotan un polinomio de acuerdo a su definición perfectamente.Determinan los grados relativo y absoluto de un polinomio correctamente.Resuelven situaciones problemáticas utilizando polinomios especiales de manera eficaz

INDICADORES:Identifican y denotan un polinomio de acuerdo a su definición perfectamente.Determinan los grados relativo y absoluto de un polinomio correctamente.Resuelven situaciones problemáticas utilizando polinomios especiales de manera eficaz

LA NOCIÓN CLÁSICA DEL POLINOMIO

Un ejemplo sencillo: Situémonos en el conjunto R, que es el del álgebra elemental, y denominemos “x” un número real cualquiera (lo cual, como recordamos, se escribe x R). He aquí un ejemplo de cálculo susceptible de ser efectuado sobre los números como x.

Supongamos que x designa una longitud indeterminada (medida en metros); entonces x2 designará la superficie de un cuadrado de lado x y x3

el volumen de un cubo de arista x.Imaginemos que una persona compra:Una cuerda cuya longitud equivale tres veces a la longitud de x, es decir 3x metros y cuyo precio es de 2 soles el metro; esta cuerda cuesta pues:

3x . 2 = 6x solesUn tablero de contrachapado de superficie 2x2 (en metros cuadrados), al precio de 12 soles el metro cuadrado; por lo tanto, este tablero cuesta 2x2 . 12 = 24x2 soles.Un tonel de vino de capacidad igual a x3 (en metro cúbicos), al precio de 2 soles el litro (de 2000 soles el metro cúbico, puesto que un metro cúbico hay 1000 litros); cueste 2000x3 soles.Después de estas compras, le quedan 50 soles se pide expresar la suma que esta persona tenía inicialmente. Es perfectamente evidente que esta suma depende de x y que no se puede conocer, puesto que x es indeterminado; sin embargo puede expresarse en soles bajo la forma.

50 + 6x + 24x2 + 2000x3 (1)Una expresión como (1) se denomina polinomio de una indeterminada (la indeterminada es x); se representa con frecuencia por P(x), que se lee “P de x” (P es la inicial de la palabra “polinomio”. Las compras de una segunda persona llevarían a establecer por ejemplo, el polinomio:

P1(x) = 30 + 2x- 15x2 + 50x3

El signo “-” delante de 15x2 significa una deuda equivalente a la suma de 15x2 soles. Para otra persona podría tenerse: P2(x) = 15 – 2x+ 2x2,etc.Lo que distingue de los polinomios P, P1, P2, ….., no es la presencia de la indeterminada x a la potencia 1, a la potencia2, etc, sino el conjunto de coeficientes:

(50,6,24, 2000) para el primer polinomio(30,2,-15, 50) para el segundo polinomio(15, -2, 3) para el tercer polinomio

Para terminar, es posible realizar, por supuesto, operaciones con los polinomios como P + P1 o P . P1

Estas observaciones no llevarán a una definición algo más general de los polinomios. En lo que sigue, x definirá siempre la magnitud indeterminada sobre la que se calcula, y los coeficientes se indicarán mediante letras minúsculas como a, b, c, …. o para no agotar demasiado aprisa el alfabeto –mediante minúsculas afectadas por un índice, es decir por un número entero (0, 1, 2, ….) escrito en caracteres pequeños en la parte inferior y a la derecha de una letra: a1 se lee “ a uno” o “a índice 1” La notación por medio de índices, que ya nos es familiar, atemoriza a veces a los no

Nuestro objetivo en la

vida no es superar a los

demás sino superarnos

a nosotros mismos.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

INDICADOR:Calcular operaciones con polinomios correctamente.INDICADOR:

Calcular operaciones con polinomios correctamente.

LA EXISTENCIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Algunos números irracionales, como , poseen una característica especial: si tratamos de calcular su valor numérico, aplicando por ejemplo el algoritmo de extracción de la raíz cuadrada, el resultado es un decimal infinito no periódico, lo que significa que solo podrán conocerse valores aproximados de dicho número; sin embargo, existen diversas construcciones geométricas que permiten representar segmentos cuya longitud haya de ser exactamente la del número irracional en cuestión. Así, por ejemplo, la es el valor de la longitud de la diagonal de cualquier cuadrado que tenga por lado la unidad de medida. Esto hace que, tras la elección de una longitud unidad, sea posible representar sobre una recta el conjunto de todos los números racionales y también, por lo menos, determinados números irracionales. Esta representación, sin embargo, plantea un problema: ¿es posible representar cualquier clase de número mediante un punto de la recta?, y, recíprocamente, ¿es factible asignar a cada punto de la recta un número de algún tipo? Tradicionalmente, la intuición geométrica había servido para dar una respuesta afirmativa a estas cuestiones; ya que existían números irracionales como , ó , que podían representarse como puntos de una recta mediante construcciones geométricas que utilizaban exclusivamente la regla y el compás, se pensaba que ello había de ser posible para todo número imaginable. Pero existen unos números, los llamados números trascendentes (cuya existencia se demostró en 1844 aunque se sabía de ella desde antes), que no se prestan a ser construidos geométricamente; son números que, como el llamado número , pese a poder definirse como resultado de algún tipo de cálculo, no pueden obtenerse como solución de una ecuación algebraica con coeficientes racionales. El notable matemático alemán Richard Dekekind estableció que era posible la representación de cualquier número sobre la

La soberanía del hombre

está oculta en su

conocimiento

La soberanía del hombre

está oculta en su

conocimiento

PRODUCTOS NOTABLES

INDICADOR:Hallan productos en forma abreviada.INDICADOR:

Hallan productos en forma abreviada.

SRINIVASA RAMANUJAN

La luz que irradió su vida alumbró tan sólo 32 años, Srinivasa Ramanujan, el más famoso matemático de la India contemporánea, escribió unos 3000 teoremas en muchas ramas de la matemáticas: teoría de números, funciones elípticas, fracciones continuas y muchas más.Algunos de sus teoremas son “extraños”, según dice su colega británico G.H. Ardí (1877 - 1947) y todavía se están estudiando.Nació en el sur de la Indica, en una familia muy pobre, pero de casta muy alta, tan pobre era que no podía comprar papel, inventaba su matemática escribiendo con tiza en una pizarra. A los 26 años obtuvo fondos para ir a Inglaterra a trabajar con G.H. Hardy.Una vez, Ramanujan estaba muy enfermo en un hospital de Londres, Hardy lo fue a visitar y dijo al llegar:

Vine en el taxi 1729, el número me pareció banal y espero que no sea de mal agüero.

Al contrario –replicó Ramanujan –el número no es nada banal, es un número muy interesante. Es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos perfectos de dos formas distintas:1 729 = 13 + 123 = 93 + 103

Otra hazaña numérica de Ramanujan fue el haber conjeturado que el número e , compuesto por 3 números irracionales, era un número entero. En 1974, en las computadoras de la universidad de Arizona (E.U.A), se comprobó que, efectivamente era el número 262 537 412 640 768 744.Ramanujan hacía cómputos mentales con una facilidad extraordinaria, en una de su libreta, encontrada en 1976, aparecen miles de fórmulas de matemática entre las cuales figura la siguiente:

Los pies en la tierra,

pero la mirada en

las estrellas.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

INDICADOR:Hallan el cociente al dividir polinomiosINDICADOR:

Hallan el cociente al dividir polinomios

RENÉ DESCARTES(1596 - 1650)

Famoso filósofo matemático, biólogo, físico y eminente astrónomo francés: es autor del método llamado cartesiano.En su obra “La Geometría” puso los cimientos de la geometría analítica, también llamada “Geometría Cartesiana” en honor a su memoria. Es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas.La obra filosófica máxima de Descartes es “El Discurso del Método” en esta obra busca el fundamento de la certeza en el hecho indubitable de la conciencia del propio pensamiento. En el campo del álgebra propuso un teorema importante que permite hallar el residuo de una división de polinomios por simple evaluación.

Resto de la división

La genialidad es 1%

de inspiración y 99%

de transpiración.