SEMEJANZA

Al igual que una serie de numeros pueden estaren proporci6n, tambien los segmentos y otras figu-ras geometric as pueden relacionarse de una forma si-milar. Si se considera que los valores numericos 4, 8y 16, por ejemplo, se encuentran en una cierta pro-porci6n, resulta 16gico mantener que tres segmentosde longitudes 4 cm, 8 cm y 16 cm tambien guardanla misma relaci6n proporcional. Desde este punto devista, es posible afirmar que la proporcionalidadde segmentos no es sino un caso particular de la pro-porcionalidad de magnitudes.

Para trabajar con proporcionalidades entre segmen-tos, se deben conocer las longitudes de al menos tresde enos, a partir de las cuales es factible determinarla de un cuarto. Para que unos segmentos dados seanproporcionales, 10deben ser sus medidas a, b, c y d:

La igualdad entre estas fracciones indica que el co-ciente de cada par de segmentos correspondientes essiempre el mismo: a este numero se Ie conoce comorazon de proporcionalidad y, en general, se repre-senta por la letra k.

Resulta muy frecuente encontrar fotograffas, ma-pas y otros elementos gnificos que reproducen figurasde la misma forma, pero con distintas dimensiones.Observense los siguientes dibujos:

Aunque se tiene constancia de los conocimientos sobre geometrfa decivilizaciones muy antiguas, como la mesopotamica y la egipcia,fue gracias a la sistematizaci6n y al rigor metodol6gico de losantiguos griegos que esta rama de las mate mati cas se mantuvodurante siglos como el mas logrado modelo del saber cientifico.Tales de Mileto fue, ademas de fil6sofo, ffsico y astr6nomo, elprimer verdadero ge6metra de la Grecia c1asica. Se cree que pudoaprender matematicas en Egipto, durante sus viajes de negocioscomo come reiante, y que por ello estuvo en contacto con loscalculistas de ese pais. Se sabe que los egipcios establecieron unaserie de resultados geometricos de orden practico, necesarios parala agrimensura, ya que las marcas limftrofes de sus tierras delabranza eran peri6dicamente borradas por las crecidas del Nilo.Tales de Mileto esta considerado como el primer fil6sofo de lahistoria y el mayor de los grandes Siete Sabios de Grecia. Susconocimientos de astronomia Ie permitieron predecir un eclipseque se produjo en 585 a.c., logro que Ie proporcion6 grancelebridad. En ffsica, reconoci6 la actividad magnetica que algunosminerales mostraban sobre el hierro. Sin embargo, sus principalesaportaciones pertenecen al ambito de la geometria: se Ie debe laresoluci6n del problema de c6mo inscribir un triangulo en uncfrculo y el descubrimiento de algunas de las relaciones entre losangulos y los lados de los triangulos.La tradici6n cuentaque el famosoteorema que lIevasu nombre fue elresultado de abstraery generalizar una ideapuesta en practicapor el mismo Talesdurante uno de susviajes por Egipto:calcul6 la altura delas piramides midiendo la sombra que proyectaban y comparandosu longitud con la de la sombra de un bast6n vertical sobre elsuelo, calculo que implica el conocimiento de la proporcionalidadentre los lados de triangulos con angulos iguales. Mas alia desus descubrimientos concretos, el merito de Tales reside en lapresentaci6n de las demostraciones que fundamentan la validez delos teoremas. Por esta circunstancia, se Ie considera el fundador dela matematica deductiva.

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Es muy sencillo caer en la cuenta de que entre elloshay figuras que tienen la misma forma pero no elmismo tamafio: tales figuras se Haman semejantes.Las principales caracterfsticas de las figuras seme-jantes es que los angulos correspondientes de ambasson iguales y que los segmentos correspondientes sonproporcionales, segun una raz6n de proporcionalidada la cual se denomina razon de semejanza.

En resumen, dos figuras son semejantes si susangulos correspondientes son iguales y sus segmen-tos correspondientes son proporcionales.

29.1 TEOREMA DE TALES EN EL TRIANGULOY SU REclPROCO. CRITERIOS DESEMEJANZA DE TRIANGULOS

La semejanza entre triangulos tiene una especialimportancia, ya que gran numero de otras figurasgeometricas pueden ser descompuestas en triangu-los. El fundamento para abordar la semejanza entretriangulos es el teorema conocido como teorema deTales. Considerese la siguiente figura:

El teorema de Tales afirma que si las rectas a, byeson paralelas y cortan a otras dos, r y s, los segmentosque deterrninan son proporcionales, es decir:

AB A'B'

BC B'C'

Sea ahora el siguiente conjunto de rectas, dispues-tas segun las condiciones del teorema de Tales:

Si los segmentos AB y BC son iguales, entonces lossegmentos A' B' YB' C' son tambien iguales, es decir,

AB = BC ~ A'B' = B'C'

Se puede examinar a continuaci6n este otro conjun-to de lfneas:

Si el segmento AB es el doble de BC, entonces A' B'es el doble de B' C', relaci6n que se expresa de la si-guiente manera:

De forma reciproca, s~ una figura como la ante-rior los segmentos AB y BC son proporcionales a A' B'YB' C', entonces las rectas a, bye son paralelas.

Imagfnese que se tienen dos triangulos como losdel dibujo siguiente:

Para averiguar si son semejantes 0 no, basta concomprobar dos condiciones: en primer lugar, se ave-rigua si los lados son proporcionales, es decir, si secumple la relaci6n:

a be,- = - = - = razon de semejanzaa' b' c'

En segundo lugar, se comprueba si los anguloscorrespondientes son iguales, es decir, si se cumplenlas igualdades siguientes:

A=A',B=B'YC=C'

Observese ahora la siguiente figura:B

Los triangulos ABC y AB' C' tienen un angulo encomun, A, de forma que el triangulo menor formaparte del mayor. Ademas, los lados opuestos a A sonparalelos. Se dice que estos triangulos estan en posi-cion de Tales, y se puede afirmar que son semejantes.

Para demostrar que esta propiedad se cumple, sedebe comprobar que, si dos triangulos estan en posi-cion de Tales, sus angulos respectivos son iguales ysus lados, proporcionales. Para verificar estas condi-ciones, se estudia la siguiente figura:

Primero, se comprueba que sus angulos son igua-les: el angulo A es comun a los dos triangulos;ademas, B = I} y C = C', ya que son angulos corres-pondientes de dos paralelas cortadas por una secante.

Para verificar que sus lados son proporcionales, seconsidera el siguiente esquema:

Aplicando el teorema de Tales a la primera figura,se tiene que:

Se traza por C' una paralela a AB, y al aplicar denuevo el teorema de Tales, se obtiene que:

a ba' b'

De esta manera, se ha llegado a demostrar la pro-porcionalidad de los lados, puesto que se pueden dis-poner los resultados parciales anteriores de tal mane-ra que formen precisamente la condicion de propor-cionalidad de los lados:

Si se toma un triangulo cualquiera, l,como se puededibujar otro semejante a el? La forma mas sencilla deconseguirlo es prolongar dos de sus lados y trazar unaparalela al tercero:

iCuanto medira en apariencia dicho angulo?

Soludon al final del capitulo

El resultado es un triangulo mayor, que se encuen-tra en posicion de Tales respecto del menor.

Para asegurar que dos triangulos son semejantes, sino estan en posicion de Tales, basta que se cumplanalgunas de las siguientes condiciones, conocidas co-mo criterios de semejanza de triangulos:

Primer criterio: se dice que dos triangulos son se-mejantes si tienen dos pares de angulos respectiva-mente iguales:

Es decir, ABC es semejante aA' B' C' si, por ejem-plo: A = A' y iJ = J}. En este caso, tambienC = C:', Y los dos triangulos se pueden disponeren posicion de Tales.

Segundo criterio: dos triangulos son semejantes sisus lados son proporcionales:

As!, ABC es semejante a A' B' C' si !!.- = !!.... = .!:..-

a' b' c'

En este caso, los triangulos se pueden poner enposicion de Tales sobre cualquiera de los vertices.

Tercer criterio: dos triangulos son semejantes sitienen un angulo igual y los lados que 10 formanson proporcionales:

En este caso, tambien se pueden disponer enposicion de Tales sobre el vertice A.

En particular, se afirma que dos triangulos rec-tangulos son semejantes si tienen igual uno de susangulos agudos. Esta situacion coincide con el pri-mer criterio de semejanza, ya que con un anguloagudo igual y considerando el angulo recto, ya sondos los angulos iguales y, en consecuencia, tam-bien sera igual el tercero:

Por ultimo, se toman en consideracion los dostriangulos dados, con razon de semejanza 2:

~

~

b- = 2 ~ b = 2b' yb'

~ = 2 ~ h = 2h'h'

A b . h/2 2b' ·2h' 4· b' . h'- - -- - ---- ----4A' - b' . h/2 - b'· h' - b'· h' -

La generalizacion de este resultado es que si larazon de semejanza de dos triangulos es k, la razonentre sus areas es k2.

29.2 APLICACIONES AL CALCULO DEDISTANCIAS Y AL ESTUDIO DE LASHOMOTECIAS

Al igual que con los triangulos, se puede establecerla semejanza entre otras figuras. El resto de polfgonos

se comporta de una forma muy similar a los triangu-los, como consecuencia de la posibilidad de descom-ponerlos en triangulos:

La forma de construir poligonos semejantes es algocompleja, y se sirve de 10 que se conoce como homo-tecia. Considerese el siguiente esquema:

Observese que cada par de lados a y a', b y b', C

Y c', d y d' son paralelos entre sf. Si se miden y serealizan los cocientes

a beda" b" c' Y d'

se puede comprobar que el resultado de cada uno deellos es siempre el mismo.

Lo mismo ocurre con los cocientes:

OA OB OC ODY

OA" OB" OC' OD'

Este tipo de construccion se conoce como homote-cia, y las dos figuras con forma de fiecha formadas sedenominan figuras homoteticas. Al punto 0 se llamacentro de la homotecia.

El esquema anterior facilita la comprension delprocedimiento para realizar una homotecia de la fi-guraABCD:

Se toma un punto 0 cualquiera, que no pertenezcaa la figura. Sera el centro de la homotecia.

Se trazan desde 0 lineas que pasen por los verticesde la figura. En el ejemplo son las lineas OA, OB,OCy OD.

Se mide una de las distancias desde 0 hasta uno delos vertices, por ejemplo, el vertice A.

Sobre la linea OA, se lleva la distancia medida,multiplicada por el factor de proporcionalidad re-querido, para obtener la posicion de A'.

A continuacion, desde A' y desde los puntos quese vayan obteniendo, se trazan paralelas a los ladosde la figura original. De esta manera, se deterrninanB', C' YD', que formaran la figura semejante de larazon deseada.

Dados un punto fijo 0 y un numero k "* 0, se deno-mina homotecia de centro 0 y razon k a una transfor-macion H que convierte cada punto P en otro puntoP' de forma que:

P' esta alineado con 0 y P.

P'O = Ikl· PO.

P YP' estan en la misma semirrecta de origen 0, sik > 0, Y se encuentran en distintas semirrectas deorigen 0, si k < 0.

Una de las propiedades de las homotecias es quetransforman las distancias entre los vertices de las fi-guras, ya que las multiplica por el valor absoluto dela razon de la homotecia. Es decir, si H(P) = P' YH(Q) = Q', entonces P'Q' = Ikl· PQ.

Aplicando una homotecia se pueden construir figu-ras semejantes, de angulos correspondientes igualesy lados proporcionales.

Si se consideran dos figuras semejantes, se llamanangulos homologos 0 correspondientes a los res-pectivamente iguales; vertices homologos son loscorrespondientes a angulos hom6logos; lados hom6-logos son los que unen vertices hom6logos, y la razonde semejanza de poligonos semejantes es el cocienteconstante k entre cada dos lados hom6logos. A me-nudo, a la raz6n de semejanza se la denomina escala.

Por ultimo, se observa que entre dos figuras seme-jantes hay elementos que permanecen iguales y otrosque varian: los angulos (A, B y C) se mantienen fijos,los lados hom6logos (a, a', b, b' y c, c') mantienen laraz6n de proporcionalidad, k, los perimetros guardanla misma proporcion k que los lados, y las areas estanen proporcion k2:

1 Los numeros y las magnitudes pueden estar enproporcionalidad. ;,Sucede 10 mismo en el caso delos segmentos?Sf, por cuanto se puede considerar que la propor-cionalidad de segmentos constituye un caso particu-lar de la proporcionalidad de magnitudes, puesto quelos segmentos se representan conforme a su longitud,que es una magnitud.

2 ;,Que es la razon de proporcionalidad?Es el valor constante del cociente entre cada par desegmentos correspondientes, denotado por k.

3 ;,Cmlndo dos figuras son semejantes?Cuando los angulos correspondientes son iguales ysus lados respectivos, proporcionales.

4 ;,Que relacion establece la razon de proporcio-nalidad entre figuras semejantes?Permite relacionar figuras semejantes mediante la re-laci6n entre sus lados. Los lados de una de las figurassemejantes seran todos eHos iguales a la longitud delos lados de la otra, multiplicados por la raz6n de pro-porcionalidad.

5 l,C6mo se Haman las figuras que tienen la mismaforma pero no el rnismo tamafio?

/ "'-/ I"- / ""

./,;' .•...... ..••.. 1/ '"

7 Modificar una de estas figuras para que sean se-mejantes las dos:

TEOREMA DE TALES EN EL TRIANGULOY SU REciPROCO: CRITERIOS DESEMEJANZA DE TRIANGULOS

8 Enunciar el teorema de Tales y representargnlficamente la figura requeridaSe tiene el siguiente conjunto de lineas:

Si las rectas a, bye son paralelas, y cortan a otrasdos, r y s, los segmentos que determjnan son propor-cionales, es decir:

9 Enunciar el teorema de Tales reciproeo.

Si los segmentos AB y BC, determinados en tresIfneas a, bye, par el corte de otras dos, son propar-cionales a A' B' Y B' C', entonces a, bye son paralelas.

Si AB = 2,3 em, BC = 1,5 em y B' C' = 2,4 em, ;,sepuede averiguar la longitud del segmento A'B'?Ya que las rectas a, bye son paralelas, el teorema deTales afirma que 10ssegmentos determinados por r ys son proporcionales. Por tanto:

AB A'B'BC B'C'

2,31,5

11 ;,Se puede apliear el teorema de Tales en lafigura abajo representada para ealcular B' C'?

Para aplicar el teorema de Tales hacen falla, al menos,tres rectas paralelas. Las rectas bye 10son; la terceraseria la que corta las rectas r y s en A.

Por consiguiente, el teorema de Tales permite esta-blecer la relaci6n:

AB AB'BC B'C'

Se sustituyen los valores conocidos, de forma que sepasa a la ecuaci6n:

2,5 41,5 B'C'

12 Calcular la longitud del segmento NP en elsiguiente dibujo:

Se utiliza el teorema de Tales, ya que la figura da-da cumple las condiciones necesarias para ello. Partanto, se afirma la relaci6n:

MN

NP

Se sustituyen las medidas conocidas y queda la si-guiente ecuaci6n:

1,5 1NP 1,5

13 Dividir el segmento representado a eontinua-cion en tres partes iguales:

Para dividir el segmento AB en tres partes iguales, sedebe trazar una sernirrecta cualquiera con origen enA, que forme con el segmento AB un angulo menorque 180°, como se muestra:

Se elige un segmento arbitrario y se lleva sobre la se-mirrecta adicional tres veces. El punto P, correspon-diente al extremo final de la ultima divisi6n, se unecon el punto B:

Finalmente se trazan paralelas a PB por los puntos dedivisi6n M y N, Yse obtienen los dos puntos M' y N',que dividen el segmento AB en tres partes iguales:

Como 10ssegmentos AM, MN YNP son iguales, tam-bien 10sercinlos segmentos AM' , M' N' YN' B, por 10que cada uno de ellos medira una tercera parte delsegmento AB.

14 ;,Como se puede saber si dos triangulos sonsemejantes, con procedimientos matematicos?Comprobando si los angulos correspondientes soniguales y los lados, proporcionales. Si los angulos delprimer triangulo son A, Bye, y sus lados, a, bye, ylos cingulos del segundo triangulo son At, /3' y C', ysus lados, a', b' y c', se debe verificar que se cumplela relaci6n:

15 Trazar una paralela al lado AC del triangulorectangulo ABC que pase por el punto m.

A

B

;,Cuanto miden los angulos del triangulo ABC? ;,Ycuanto los angulos del triangulo que se origina?;,Como son los triangulos que se han obtenido?

Si se traza la paralela allado AC por el punto m, seobtiene la siguiente figura:

B

Como el triangulo ABC es rectangulo, el angulo Cmide 90°. Con el uso de un transportador, se rnideuno de los otros dos angulos que tiene el triangulo:si es B, se determina que tiene una abertura de 56°.Para conocer cuanto rnide A, se restan los angulos yaconocidos a los 180° que suman los angulos de untriangulo: A es igual a 34°.Se puede comprobar que los angulos del tricingulooriginado al trazar una paralela allado AC por el pun-to m son iguales a los del tricinguloABC.

Los dos triangulos obtenidos son semejantes, puestoque tienen angulos iguales y lados proporcionales. Dehecho, los dos triangulos se encuentran en posici6nde Tales.

16 ;,Por que son semejantes los triangulos APQy ACB? Calcular el valor de x.

Los dos triangulos indicados son semejantes porqueestan en posicion de Tales. Para calcular x, se aplicael teorema de Tales, por el cual se establece que:

AQ AP

QB PC

Se sustituyen en la expresion las longitudes de lossegmentos conocidos:

5 AP=x 7

Se ha obtenido una ecuacion con dos incognitas, queno se puede resolver min. Por tanto, se debe averiguarla medida del segmento AP para que solo quede comoincognita x.

Se observa que el triangulo APQ es rectangulo, conun cateto de 3 cm y una hipotenusa de 5 cm. Aplican-do el teorema de Pitagoras, se calcula el cateto AP deeste triangulo:

Tras despejar AP, se deterrnina que su medida es de4 cm. Este valor se sustituye en la ecuacion con dosincognitas pendiente:

5 4x 7

Una vez efectuados los calculos pertinentes, se obtie-ne que x = 8,75 cm.

17 Sabiendo que el siguiente trhingulo esbi enposicion de Tales, hallar la medida del segmentode color azul.

15 9x 6

x = 15·6 = 90= 109 9

18 ;,Dos triangulos son semejantes si tienen dosangulos iguales? Razonar la respuesta.

Sf. Puesto que la suma de los angulos de un triangu-10 es de 180° en todos los casos, el tercer angulo deambos siempre sera igual a dicha medida menos losdos angulos ya conocidos como iguales. Por tanto, altener los tres angulos iguaIes seran semejantes.

19 Averiguar si los dos triangulos siguientes sonsemejantes. ;,Que razon de semejanza tienen?

Son semejantes, ya que las medidas de sus lados sonproporcionales, pues se cumple la relacion:

10,5 6 7,5-=-=-=157 4 5 '

20 Discutir si los siguientes triangulos son seme-jantes, y por que.

Son semejantes porque tienen un angulo igual y loslados que 10 forman proporcionales, ya que:

10,5 6-=-=15

7 4 '

21 Dos trhingulos, ABC y A'B'C', son semejan-tes. Sabiendo que A = 60° y que iJ = 70°, determi-nar At, ii', C'.Si son semejantes es porque sus angulos correspon-dientes tambien 10 son. Por tanto, A = A' y B = S',par 10 que At = 60° y S' = 70°.

Solo falta calcular el angulo C', pero como la sumade los angulos de un triangulo es de 180°, se deduceque C' = 50°.

25 Eneontrar la razon de las areas de los dostriangulos semejantes dados:

Como ambos triangulos han de ser semejantes, sus Clados han de ser proporcionales. Se conocen los ladosdel triangulo ABC y uno de los lados del trianguloA' B' C'. La razon de semejanza se puede deducir dela proporcion entre los lados BC y B' C':

22 Hallar los lados del triangulo A'B'C' seme-jante al triangulo ABC de la figura, sabiendo queellado B' C' mide 30 em.

e

30 = 65

Si se multiplican los otros lados del triangulo ABCpor la razon encontrada, se conoceran los lados deltriangulo A' B' C': ellado A' C' valdra 6 .AC = 6 . 3 == 18 cm; y A'B' = 6· AB = 6·4 = 24cm. As! pues,el triangulo A' B' C' tiene lados de 30, 18 Y 24 cm.

23 ;,Por que son semejantes dos triangulos quetienen un lado eomun, perpendicular a la base?Se trata de dos triangulos rectangulos unidos poruno de los catetos. Tienen un angul0 agudo igual,el correspondiente al lado comun a ambos triangu-los. Por tanto, son semejantes por el primer criteriode semejanza de triangulos, ya que tienen iguales dosangulos: el agudo descrito y el angulo recto propio delos triangulos rectangulos.

24 Dado el siguiente triangulo reetangulo, ealcu-lar el valor de x.

B

/I\A x 9 C

Cuando se tiene un triangul0 rectangulo ABC y se tra-za la altura desde un vertice a la base, esta divide eltriangulo en dos nuevos triangulos rectangulos seme-jantes. Sabido esto, aplicando el teorema de Tales secumple que:

x 1212 9

Una vez efectuadas las operaciones correspondientes,se tiene que x = 16.

Se puede observar que la aplicacion del teorema deTales equivale al uso del teorema de la altura: h2 == m· n, donde h denota la altura, men el caso particu-lar de este problema corresponde a x, y n correspondea 9.

C'E ~t:s;,"00

A 6cm B A' 3cm B'

6·8 2A = -- = 24cm

23·4

A' = -- = 6cm2

2

24- = 4 = 22

6

La razon de las areas es 4, es decir, el cuadrado de larazon de semejanza de los lados, que vale 2. Se com-prueba esta afirmacion al dividir los lados correspon-dientes de ambos triangulos y observar que sus co-cientes resultan la razon de semejanza:

8 10 6-=-=-=2453

26 Si dos triangulos semejantes, ABC y A' B' C',de los euales el primero es el mayor, tienen unarazon de semejanza 2, ;,eual sera el area del trian-gulo A' B' C', si la del ABC es de 128 em2?La razon de las areas de dos triangulos semejantes esigual al cuadrado de su razon de semejanza, es de-cir, si de denota por A y por A' las areas de dichostriangulos se tiene que:

~ = k2A'

donde k es la razon de semejanza. En el caso que setrata, se conocen el area de un triangulo y la razon desemejanza:

128 = 22

A'AI despejar la incognita de la anterior ecuacion setiene que A' = 32 cm2•

27 Considerense los siguientes triangulos:C

Calcular el perimetro de cada triangulo y la razonentre ellos.Los lados de los triangulos dados son proporcionales:

Asi pues, los triangulos ABC y A' B' C' son semejan-tes, con una razon de semejanza de 2.El perimetro del triangulo ABC es P = 8 + 6 + 10 == 24 cm, en tanto que el del triangulo A' B' C' es P' == 4 + 3 + 5 = 12 cm.

P 24-=-=2P' 12

28 Se tienen dos triangulos con razon de seme-janza 4. Si el perimetro del mayor es 36 unidadesde medida, calcular el perimetro del otro.La razon de los perimetros P y P' de dos triangulossemejantes es igual a su razon de semejanza:

P- =kP'

En este caso se conoce un perimetro y la razon:

36 = 4P'

Al resolver el valor de p', resulta que es de 9 unidadesde medida.

29 Dos trhingulos, ABC y A' B' C', son semejan-tes. Si los tres lados del primero miden 24 m, 28 my 34 m, calcular la longitud de los lados del segun-do, sabiendo que su perimetro es de 129 m.

Si se suman los lados del primer triangulo se cono-cera su perimetro: P = 24 + 28 + 34 = 86 m. Se sabeque el perimetro del segundo triangulo es de 129 m;como la razon de los perimetros de triangulos seme-jantes equivale a la razon de semejanza, se tiene queesta ultima es de:

12986 = 1,5

Al multiplicar cada lado del primer triangulo por larazon de semejanza, se deterrnina la medida del la-do correspondiente del segundo triangulo, es decir,36m,42my51m.

30 ;,Que diferencia existe entre triangulos seme-jantes y triangulos equivalentes?Los triangulos semejantes tienen igual forma perodistinto tamafio, por 10 cual sus areas son proporcio-nales. En cambio, los triangulos equivalentes tienensiempre areas iguales.

31 Si OR = 2,5 cm, RS = 5 cm y OR' = 1,5 cm,averiguar la longitud de R'S' .

32 Observar el dibujo y contestar a la pregunta si-guiente: sabiendo que AB = BC, (,cuanto rnide A' B',si B' C' rnide 2 cm?

IA

\A'

33 Aplicar el teorema de Tales para calcular la me-dida del segmento x.

35 Sabiendo que una razon es un cociente, y queuna proporcion es la igualdad de dos razones, se pue-de asegurar que 10s segmentos determinados en dosrectas cualesquiera al ser cortadas por rectas parale-las son proporcionales. (,Como se expresa esta afir-macion en terminos matematicos, siguiendo la nota-cion del siguiente dibujo?

AB A'B' ACSolucion: = = = = =

BC B'C' A'C'

36 Las rectas paralelas r y s del dibujo siguienteson cortadas par dos secantes. Sabiendo que el seg-mento OA mide 8 unidades, el segmento OB, 3 uni-

dades, y el segmento OC, 12 unidades, (,que medidatendni el segmento OD?

37 Dibujar un segmento de 8 em y dividirlo en trespartes iguales.

38 Dado un segmento de 4 em, dividirlo en cincopartes iguales.

39 Consicterense 10s siguientes pares de figuras,que representan un par de triangulos iguales y otrode triangulos semejantes:

(,Como son 10slados y 10sangulos de 10siguales? (,Y10sde 10ssemejantes?

Solucion: Los trhingulos iguales a) tienen angu-los y lados iguales; los semejantes b),angulos iguales y lados proporcionales

40 Dibujar dos triangulos en posicion de Tales.iComo son entre sf?

semejantes no semejantes

A

BGc

A

.6 cA A

MGN M~ N

Copiar los triangulos dados en un papel y recortar eltriangulo AMN de cada par; situarlo sobre el trianguloABC correspondiente, haciendo coincidir el vertice Ay sus lados. iQue diferencia se puede observar entrelos triangulos semejantes y los que no 10 son?

Solucion: Los semejantes tienen los lados pro-porcionales y los no semejantes, no

42 En la figura representada, MN es paralelo a BC.- --

Calcular AM y MN.

43 En la figura, el segmento AB es paralelo a CD.iPor que son semejantes los dos triangulos?

Solucion: Los angulos determinados en el verti-ce 0 de cada uno de ellos son iguales,pues se trata de angulos opuestos porel vertice. En consecuencia, se puedenponer en posicion de Tales

44 iEs cierto que dos triangulos son semejantes sitienen un angulo igual y los lados correspondientesproporcionales?

45 i Como son los angulos de los triangulos seme-jantes? Razonar la respuesta.

Solucion: Son iguales porque a lados proporcio-nales les correspond en angulos iguales

46 Dado un triangulo equilatero de 1 cm de lado,dibujar otro semejante, con una razon de semejanzade 2 respecto del primero.

47 (,Son los dos triangulos siguientes semejantes?En caso afirmativo, indicar el criterio utilizado.

Solucion: Si, ya que cumplen el primer criterio:tienen dos angulos iguales

48 Hallar la longitud de la altura del triangulo quese representa en la figura:

B

A~2,1 7,8 C

49 Encontrar el valor del segmento x del siguientetriangulo rectangulo:

50 Si dos triangulos, ABC yA' B' C', son semejantesy la razon de semejanza del primero al segundo es0,75, (,cual sera la razon entre las areas?

51 La razon de las areas de dos triangulos semejan-16, ,

tes es 25. (,Cual es la razon de los lados?

4Solucion: "5

52 Se tienen dos triangulos semejantes, y el areadel mayor es de 50 cm2. La razon entre las areas es2. (,Cual es el area del otro triangulo?

53 Dibujar un triangulo rectangulo cuyos catetosmidan 6 y 8 cm. A continuacion, dibujar otro seme-jante cuya razon de semejanza sea 2. (,En que propor-cion habra aumentado su area?

C

]~A 8 em B

Su area habra aumentado 4 veces

54 Si los lados de un triangulo se triplican, (,que Iesucede a su area?

APLICACIONES Al CAlCUlO DEDISTANCIAS Y Al ESTUDIO DE LASHOMOTECIAS

55 La teoria de semejanza, ;,s610 es aplicable atriangulos?No, se puede aplicar a cualquier figura, pero se estu-dia en especial en los triangulos, por la razon de quecualquier polfgono se puede dividir en varias figurasde tres lados.

56 Dada una figura, enumerar los pasos que sedeb en seguir en una homotecia.En primer lugar, se toma un punto cualquiera 0, queno pertenezca a la figura, el cual sera el centro dela homotecia. A continuacion, se traza desde 0 unaserie de lfneas que pasen por los vertices de la figuraque se ha dado.

El siguiente paso consiste en tomar la distancia desdeo hasta uno de los vertices, por ejemplo, A. Sobre lalfnea que une ambos puntos, se l1evala distancia me-dida multiplicada por el factor de proporcionalidadque se requiera. Se obtiene as! el vertice A'. Desdedicho punto, y desde los que se vayan obteniendo, setrazan paralelas a los lados originales. La figura resul-tante, siempre que se haya aplicado de forma correc-ta este procedimiento, ha de ser semejante a la figuraoriginal propuesta.

59 i.. Como se define la razon de semejanza dedos figuras semejantes u homologas?

La razon de semejanza de poligonos semejantes es elcociente constante k de cada dos lados homologos.Con frecuencia, ala razon de semejanza se Ie da tam-bien la denominacion de escala.

60 Dada la siguiente figura, hacer una homote-cia de centro 0 y razon de semejanza 4:

El primer paso consiste en trazar rectas que pasen poro y por los vertices de la figura dada:

A continuacion, se mide una de las distancias de 0 auno de los vertices, por ejemplo, A. Sobre la mismalinea anterior, se lleva la distancia medida, multipli-cada por el factor de proporcionalidad, en este caso4. As! se obtendni A', como se muestra:

Se procede de igual modo para obtener los restantesvertices, cada uno segun su distancia hasta 0:

Finalmente, se unen los vertices encontrados, me-diante trazos paralelos a los lados de la figura ori-ginal, y se obtiene un cuadrado semejante al anterior,con la razon de semejanza 4 pedida:

61 La figura ABDE ha sido transformada a par-

tir de dos homotecias de centro 0 y razon ~ y -~,

respectivamente.

i.. Como han sido transformadas las distancias a 0en cada caso?

En ambos casos, las distancias a 0 han sido reduci-das, aunque en distinta proporcion. Ademas, cuandola razon es positiva, la figura resultante queda en elmismo lado de 0 que la figura inicial, mientras queen la homotecia de razon negativa, el homologo a ca-da punto se encuentra situado en la otra semirrectacon origen en O.

62 Se tiene una homotecia, denotada por H, talque transforma el punto P en P', Y Q en Q'. Esdecir, H (P) = P' y H (Q) = Q'. La razon de la ho-motecia es 2 y la longitud del segmento PQ es 4.;,Que longitud tiene el segmento P'Q'?Como una homotecia transforma distancias, multi-plicandolas por el valor absoluto de su razon, siH(P) = P' YH(Q) = Q', entonces P'Q' = Ikl . PQ,por 10 que, en este caso, se tiene que:

puesto que el valor absoluto de un numero positivo esel mismo.

63 La razon de una homotecia es -3 y el seg-mento P' Q' resultante mide 2 em. ;,Cminto mideel segmento PQ, sabiendo que P' y Q' son los pun-tos homologos de P y Q, respectivamente?Ya que una homotecia cumple la igualdad P' Q' =J!:L.PQ, en el caso que se trata se tiene que 2 = 1-31· PQ.Puesto que el valor absoluto de -3 es 3, la igualdad~escribe 2 = 3 . PQ. Resulta sencillo calcular quePQ mide:

23" = 0,66 cm

64 Calcular emil es la medida del segmento P' Q'de la figura dada, si se sabe que el segmento PQmide 2 em:

Para calcular la medida del segmento P'Q', se utili-za la formula que cumple cualquier homotecia que

transforma el punto P en su homologo P' y a Q enQ': P'Q' = Ikl· PQ.

La incognita en este problema es la longitud del seg-mento P' Q', de manera que para poderla hallar es ne-cesario conocer la longitud de PQ y la razon k.

Se conoce PQ; k, en cambio, no. Sin embargo, puedededucirse: se observa que son dos triangulos en posi-cion de Tales, cuyos lados PQ y P' Q' son paralelos,por 10 que se puede aplicar el teorema segun el cuallos lados son proporcionales segun la razon de seme-janza, es decir, se cumple que:

OP' OQ'

OP OQ

4, I 4,5-=-=152,7 3 '

As!, la razon es 1,5 Y ya se pueden sustituir todos losdatos en la expresion: P' Q' = Ikl . PQ, de forma quese determina que P' Q' = 1, 5 . 2 = 3 cm.

65 "Como se llama la forma utilizada para cons-truir figuras semejantes?

66 Cuando se utiliza una homotecia para construirdos figuras cualesquiera semejantes, "que nombre re-ciben estas?

67 Si se consideran figuras semejantes creadas me-diante una homotecia, "como se llaman los angulos,los vertices y los lados iguales?

Solucion: A.ngulos, vertices y lados homologos,respectivamente

68 Mediante una homotecia, hallar la figura seme-jante a la dada, con razon de semejanza 3:

()

69 Dibujar una figura homotetica a la representada,de razon 2:

)

70 Trazar una figura homotetica a la siguiente, conrazon 0,5. l,Que se observa?

)

71 Realizar un dibujo semejante al siguiente, que, ., 3

este en proporclOn 2

72 Transformar la figura ABDE a traves de dos ho-. d d 1 1moteclas e centro 0 y e razones 2 y -:3

~

"E" 0

A"

B"

73 Dibujar la circunferencia homotetica con razon2 respecto a la dada:

o

74 Calcular la razon de la homotecia de centro 0que transforma la circunferencia C en la segunda cir-cunferencia, C':

75 Dadas dos circunferencias exteriores de centrosC1 y Cz y radios rl Y rz , formar una homotecia quetransforme la una en la otra:

76 Se ha hecho una homotecia sobre un polfgonode area 4 cmz. Sabiendo que la razon de la homote-cia es 0,5, deterrninar el area que tendra el polfgonohomotetico.

77 Haciendo una homotecia se han obtenido dos fi-guras semejantes, la dada, que tiene un area de 8 cmz,y la otra, cuya area es de 32 cmz. Calcular cual es larazon de la homotecia.

78 Si la razon de una homotecia es de 5, l,que rela-cion tendran los perimetros de las figuras semejantesobtenidas?

Solucion: El perimetro de la figura homoteticasera cinco veces mayor

79 El perfmetro de una figura es 18 em, y la razonde la homotecia utilizada para dibujar una figura se-mejante a la anterior es 6. Calcular el perimetro de lafigura homotetica.

VISTa CON LUPA (pag. 573): EI angulo seguira pareeiendo de 15°. Es eierto que el area que mide el angulo aparente aumenta, pero su radiotambien 10 haee en la misma proporcion. AI eontemplar un triangulo, por ejemplo, se observa un triangulo semejante al original.