proporciones y semejanza

Proporciones y Semejanza 1

PROPORCIONES Y SEMEJANZA

LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razn de a y b se

escribe b

a y se lee: a es a b.

PROPORCION: Es la igualdad de dos razones. d

c

b

a, y se lee: a es a b como c es a d. a y c

se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes. c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos. Cualquier elemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres. Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional.

x

z

y

x, x es la media proporcional entre y z;

3

6

6

12; 6 es la media proporcional entre 12 y 3

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: 1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporcin se cumple que el producto de los

extremos es igual al producto de los medios.

210545

2

10

4;dcba

d

c

b

a

2. En una proporcin se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra proporcin

5

15

7

21

21

15

7

5;

8

12

2

3

8

2

12

3;

a

c

b

d

d

c

b

a

d

b

c

a

d

c

b

a

3. En cada proporcin se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporcin.

6

9

2

3

9

6

3

2;

c

d

a

b

d

c

b

a

4. 10

24

5

12

10

1014

5

57

10

14

5

7;

d

dc

b

ba

d

c

b

a

5. 10

4

5

2

10

1014

5

57

10

14

5

7;

d

dc

b

ba

d

c

b

a

6. kb

a

fdb

ecak

f

e

d

c

b

a


TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales en los otros dos lados.

HIPOTESIS: DE AB A D C y B E C

TESIS: CD CE

DA EB

1. Sobre CD se toman n segmentos

congruentes de longitud ay sobre DA se toman msegmentos congruentes de longitud a

1. Construccin

2. Se trazan paralelas por esos puntos a AB 2. Construccin

3. En CE se determinan n segmentos s de

longitud b y en EB se determinan m segmentos congruentes de longitud b .

3. De 2. Teorema fundamental de las paralelas

4. ; ; ;CD n a DA m a CE n b EB m b 4. De 1 y 3. Adicin de segmentos

5. m

n

am

an

DA

CD

5. De 4

6. m

n

bm

bn

EB

CE

6. De 4

7. EB

CE

DA

CD

7. De 5 y 6. Propiedad transitiva.

COROLARIO 1:

CE

CB

DA

CA

COROLARIO 2:

EB

CB

DA

CA

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en los otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostracin) TEOREMA DE THALES Si tres o mas rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos de una transversal son proporcionales a sus correspondientes en la otra.


HIPOTESIS: m n s

t1 y t2 son transversales

TESIS: AB BC

DE EF

1. Trazamos 1DK t

, tal que B L E y C K F

1. Construccin

2. EL KF 2. De 1 y de hiptesis

3. KL

DL

EF

DE

3. De 2. Teorema fundamental de la

proporcionalidad en DKF

4. ABLD y BCKL son paralelogramos 4. De hiptesis y de 1. Definicin de paralelogramo

5. AB = DL y BC = KL 5. De 4. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes

6. BC

AB

EF

DE

6. Sustitucin de 5 en 3

7. DE

AB

EF

BC

7. De 6. Propiedad de las proporciones.

TEOREMA En todo triangulo la bisectriz de un ngulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

HIPOTESIS: CD es bisectriz del ngulo ACB A D B

TESIS: AD DB

AC BC

1. Por B se traza BE

, tal que BE DC ;

y BE AC

se cortan en E

1. Construccin

2. CE

DB

AC

AD

2. De 1. Teorema fundamental de las

proporciones en ABE


3. 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas

4. 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas

5. 5. De Hiptesis. CD es bisectriz 6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva

7. CE BC 7. De 6. En un triangulo a ngulos s se oponen lados congruentes

8. AD DB

AC BC


TEOREMA: La bisectriz de un ngulo exterior de un triangulo no issceles, divide a la prolongacin del lado opuesto al ngulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes.

HIPOTESIS: CP es bisectriz del ngulo exterior BCE

TESIS: AP BP

AC BC

1. Se traza BD PC , que corta a AC en D 1. Construccin

2. DC

AC

BP

AP

2. De 1. Teorema fundamental de la

proporcionalidad en ACP

3. 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas.

4. 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas

5. 5. De hiptesis. PC es bisectriz 6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva

7. DC BC 7. De 6. En un triangulo a ngulos s se oponen lados congruentes

8. BC

AC

BP

AP


9. BC

BP

AC

AP



EJERCICIOS 1)

DE AC (De hiptesis por formar ngulos correspondientes congruentes)

64969624

4 2 ABxxx

xBC

BE

BA

BD

2) Con las siguientes longitudes: BC = 21; EC = 9; AB = 14; BD = 5, ser ED AC ? Si fueran paralelas se debera cumplir que

14 21

5 12

BA BC

BD BE, lo cual es falso porque no se cumple

que producto de medios es igual a producto de medios y

por lo tanto ED no es paralelo a AC

3)

TESIS: bc

baEC

cb

baDC ;


bc

baEC

babcEC

b

bc

EC

a

AC

ACAB

EC

ECBE

AC

AB

EC

BE

AC

EC

AB

BE

cb

baDC

bacbDC

b

bc

DC

a

AC

ACAB

DC

DCBD

AC

AB

DC

BD

.11

)(.10

.9

.8

.7

.6

.5

)(.4

.3

.2

.1

SEMEJANZA DE POLIGONOS. Dos polgonos son semejantes si entre sus vrtices existe una correspondencia tal que los ngulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.

'; '; '; '; 'A A B B C C D D E E

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

AB BC CD DE EAk

A B B C C D D E E A

Donde k, se llama constante de proporcionalidad

Se escribe ABCDE ABCDE; se lee: semejante a SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dos tringulos son semejantes si tienen igual forma. En los tringulos semejantes se cumple que los ngulos correspondientes son congruentes y lados correspondientes son proporcionales.


; ;A D B E C F AB AC BC

DE DF EF

La semejanza es una relacin de equivalencia, o sea que cumple:

1. Propiedad reflexiva: ABC ABC 2. Propiedad simtrica: ABC DEF DEF ABC 3. Propiedad transitiva: y DEF PQR, entonces ABC PQRABC DEF Las seis condiciones dadas en la definicin de tringulos semejantes se pueden reducir a tres TEOREMA DE SEMEJANZA A A A Si dos tringulos tienen sus ngulos respectivamente congruentes entonces son semejantes.

HIPOTESIS:

; ;A R B S C T

TESIS: ABC RST

1. Sean D y E, puntos sobre CA y CB ,

tales que y CD TR CE TS

1. Construccin

2. C T 2. De hiptesis 3. CDE TRS 3. De 1 y 2. L A L

4. CDE R 4. De 3. Son ngulos correspondientes en tringulos s

5. R A 5. De hiptesis 6. CDE A 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva

7. DE AB 7. De 6. Por formar con una transversal ngulos correspondientes congruentes.

8. CB

CE

CA

CD

8. De 7. Teorema fundamental de la proporcionalidad

9. CB

TS

CA

TR

9. Sustitucin de 1 en 8.

10. De igual modo, tomando F y G en AB y

BC , tal que y BF SR BG ST ,

puede demostrarse que

10.


AB CB RS TS

RS TS AB CB(hgalo)

11. AB

RS

CB

TS

CA

TR

11. De 9 y 10

12. ; ;A R B S C T 12. De hiptesis 13. ABC RST 13. De 11 y 12. Definicin de tringulos

semejantes. COROLARIO 1. Si dos tringulos tienen dos ngulos congruentes entonces son semejantes (A A) COROLARIO 2. Si dos tringulos rectngulos tienen un ngulo agudo congruente entonces son semejantes. COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos tringulos semejantes tienen la misma razn que la de dos lados correspondientes.

ST

BC

RS

AB

RT

AC

TH

CE

COROLARIO 4. Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo se determina otro triangulo semejante al primero.

Si DE AB , entonces ABC DEC

TEOREMA DE SEMEJANZA L A L Si en dos tringulos dos lados correspondientes son proporcionales y los ngulos

comprendidos entre ellos son congruentes, entonces los tringulos son semejantes.

HIPOTESIS: CA CB

NE NL

C N TESIS: ABC ELN


1. En CA y en CB , existen los puntos D y

E tales que y CD NE CE NL

1. Construccin

2. C N 2. De hiptesis 3. CDE ELN 3. De 1 y 2. L A L

4. NL

CB

NE

CA

4. De hiptesis

5. CE

CB

CD

CA


6. DE AB 6. De 5. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad

7. CDE ABC 7. De 6. Una recta paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejante al primero.

8. ABC ELN 8. Sustitucin de 3 en 7. COROLARIO Si en dos tringulos rectngulos los catetos son proporcionales, entonces los tringulos son semejantes.

EJERCICIO

HIPOTESIS: , ,AF BD CE son alturas.

TESIS: ABC FCD FEB ADE

1. C C 1. Propiedad reflexiva 2. CFA y CDB son rectngulos 2. De hiptesis. Definicin de altura

3. CFA CDB 3. De 1 y 2. Por tener un ngulo agudo congruente

4. AC

BC

CF

CD

4. De 3. Si son semejantes los lados correspondientes son proporcionales

5. FCD ABC 5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L A L

6. A A 6. Propiedad reflexiva 7. CAE y DAB son rectngulos 7. De hiptesis. Definicin de altura.

8. CAE DAB 8. De 7 y 6. Por tener un ngulo agudo congruente

9. AE

AD

AC

AB

9. De 8. Por ser lados correspondientes de tringulos semejantes

10. ABC ADE 10. De 6 y 9. Teorema de semejanza L A L


11. B B 11. Propiedad reflexiva 12. AFB y CBE son rectngulos 12. De hiptesis. Definicin de altura y de

triangulo rectngulo.

13. AFB CBE 13. De 11 y 12. Por tener un ngulo agudo congruente.

14. FB

EB

AB

CB

14. De 13. Por ser lados correspondientes en tringulos semejantes.

15. ABC FEB 15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L A L 16. ABC FCD FEB ADE 16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitiva

NOTA: El triangulo DEF se conoce con el nombre del triangulo del pedal. TEOREMA DE SEMEJANZA L L L Si en dos tringulos sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los tringulos

son semejantes.

HIPOTESIS: EF

BC

DE

AB

FD

CA

TESIS: ABC DEF

1. En CA existe un punto G, tal que

CG FD y en CB existe H, tal que

CH FE

1. Construccin

2. Se traza GH 2. Construccin

3. EF

BC

FD

CA

3. De hiptesis

4. GH AB 4. De 3. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad

5. CGH CAB 5. De 4. Una recta paralela a un lado de un triangulo determina un triangulo semejante al primero.

6. GH

AB

CG

CA

6. De 5. Los lados correspondientes son proporcionales

7. GH

AB

FD

CA


8. DE

AB

FD

CA

8. De hiptesis.

9. DE

AB

GH

AB



10. DE

GH

AB

AB


11. 1GH

GH DEDE

11. De 10.

12. CGH DEF 12. De 11 y 1. L L L 13. ABC DEF 13. Sustitucin de 12 en 5. COROLARIO 1. Si dos tringulos rectngulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente proporcionales, entonces son semejantes. COROLARIO 2. Si dos tringulos issceles tienen un ngulo cualquiera respectivamente congruentes, entonces son semejantes.

EJERCICIOS RESUELTOS

DATOS: ABC es rectngulo en C DEA es rectngulo en E HALLAR el valor de x.

ABC DEA por ser rectngulos con un ngulo agudo congruente (A A)

81602020

10

16xx

x

2)

HIPTESIS: A CBD TESIS: ADDCBD2

1. A CBD 2. 1. De hiptesis 3. D D 3. Propiedad reflexiva 4. ADB BDC 4. De 1 y 2. A A

5. BD

DC

AD

BD

5. De 3. Por ser lados correspondientes en tringulos

semejantes

6. ADDCBD2 6. De 4. Propiedad de las proporciones.


3)

HIPOTESIS: y son medianas

ABC HFE

AD HL

TESIS: AD BC

HL FE

1. B F 1. De hiptesis. ABC HFE

2.

FLFEFE

FL

BDBCBC

BD

22

22

2. De hiptesis. D y L son puntos medios

3. FE

BC

HF

AB

3. De hiptesis. Los lados correspondientes en tringulos semejantes son proporcionales

4. FL

BD

HF

AB

2

2


5. FL

BD

HF

AB

5. De 4. Simplificacin

6. ABD HFL 6. De 1 y 5. Semejanza L A L

7. HF

AB

HL

AD

7. De 6. Lados correspondientes en tringulos semejantes son proporcionales

8. FE

BC

HF

AB

8. De hiptesis. Lados correspondientes en tringulos semejantes

9. FE

BC

HL

AD

9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

4) Si dos tringulos issceles tienen un ngulo cualquiera respectivamente congruente, entonces son semejantes.

HIPTESIS: A D ABC es issceles con CA CB

DEF es issceles con FD FE

TESIS: ABC DEF

1. CA CB 1. De hiptesis

2. A B 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ngulos congruentes.

3. FD FE 3. De hiptesis

4. D E 4. De 3. En un triangulo a lados congruentes se oponen


ngulos congruentes.

5. A D 5. De hiptesis 6. A B D E 6. De 2, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. ABC DEF 7. De 6. A A

II CASO:

HIPTESIS: C F ABC es issceles con CA CB

DEF es issceles con FD FE

TESIS: ABC DEF

1. CA CB 1. De hiptesis

2. m (A) = m (B) 2. De1. En un triangulo a lados congruentes se oponen ngulos congruentes

3. m (A) + m (B) + m (C) = 180 3. En un triangulo la suma de los ngulos interiores es 180

4. 2m(A) + m(C) = 180 4. Sustitucin de 2 en 3

5. FD FE 5. De hiptesis.

6. m (D) = m (E) 6. De 5. Ver la razn 2. 7. m (D) + m (E) + m (F) = 180 7. En un tringulo la suma de los ngulos

interiores es 180 8. 2m (D) + m(F) = 180 8. Sustitucin de 6 en 7 9. 2m(A) + m(C) = 2m (D) + m(F) 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva 10. m (C) = m (F) 10. De hiptesis 11. 2m (A) + m (C) = 2m (D) + m (C) 11. Sustitucin de 10 en 9 12. 2m (A) = 2m (D) 12. De 11. Propiedad cancelativa. 13. m (A) = m (D) 13. De 12 14. ABC DEF 14. De 13 y 10. A A

RELACIONES METRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA.

TEOREMA Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas que se cortan en E TESIS: AE EB DE EC


1. Se trazan y AD CB 1. Construccin

2. C A 2. Por estar inscritos en el mismo arco BD 3. B D 3. Por estar inscritos en el mismo arco AC 4. CEB AED 4. De 2 y 3. A A

5. DE

EB

AE

CE

5. De 4. Lados correspondientes en tringulos semejantes

6. DECEEBAE 6. De 5. Propiedad de las proporciones.

DEFINICION: SEGMENTO DE UNA SECANTE

BC : Segmento externo de la secante

AB : Segmento interno de la secante

TEOREMA: Si se trazan una tangente y una secante desde un mismo punto exterior a una circunferencia la medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas de la secante y su segmento externo.

HIPTESIS: PA

Tangente.

PC

secante a la circunferencia y la corta en

B y C.

TESIS: PA

PB

PC

PA

1. Se trazan AC y AB 1. Construccin

2. 2

m arcoAB

m C 2. Por ser un ngulo inscrito.

3.

2

m arcoABm BAP

3. Por ser un ngulo semiinscrito.

4. m(C) = m(BAP) 4. De 2 y 3. Propiedad transitiva. 5. m(P) = m(P) 5. Propiedad reflexiva 6. CAP ABP 6. De 4 y 5. A A

7.PA

PB

PC

PA

7. De 6. En tringulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales


TEOREMA: Si se trazan secantes desde un mismo punto exterior a una circunferencia, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.

HIPTESIS: PA y PC son secantes

PA corta a la circunferencia en B y A

PC corta a la circunferencia en D y C TESIS: PA PB PC PD

La demostracin se deja como tarea.

EJEMPLO

Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X OD = x 4

40)42(4584)4( xxx

DCADDBFD

Y resolviendo la ecuacin se llega a x = 7 PROYECCIONES: La proyeccin de un punto a una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta.

La proyeccin de un segmento sobre una recta, es otro segmento sobre la recta, obtenido de las proyecciones de los extremos del segmento.


CD es la proyeccin de AB sobre recta m EL es la proyeccin deEN sobre la recta n

La proyeccin de AC sobre AB es AH (sobre la

prolongacin de AB )

RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO TEOREMA DE PITAGORAS: En todo triangulo rectngulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

HIPTESIS: ABC es rectngulo en C ; ;AB c BC a AC b

TESIS: c2 = a2 + b2

1. Se traza la altura CH sobre la hipotenusa.

1. Construccin

2. El complemento de es A 2. De 1. Por ser ngulos agudos del triangulo rectngulo CHA

3. El complemento de B es A 3. De Hiptesis. Por ser ngulos agudos del triangulo rectngulo CHA

4. ACH B 4. Por tener el mismo complemento, el A 5. CHA CHB 5. De 4. Por ser rectngulos con un ngulo agudo

congruentes. 6. A A 6. Propiedad Reflexiva. 7. CHA ABC 7. De 1 y de hiptesis y de 6. Por tener un ngulo

agudo congruente

8. CHA ABC CHB 8. De 5 y 7. Propiedad transitiva.


9. b

c

m

b

9. De 8. Por ser lados correspondientes en los tringulos ABC y CHA

10. b2 = cm 10. De 9. Propiedad de las proporciones

11. a

c

n

a

11. De 8. CHA ABC CHB

12. a2 = nc 12. De 11. Propiedad de las proporciones 13. a2 + b2 = cm + nc 13. Adicin de 10 y 12 14. a2 + b2 = c(m + n) 14. De 13. Factor comn 15. a2 + b2 = c2 15. De 14. Adicin de segmentos.

COROLARIOS: 1. En un triangulo rectngulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos

tringulos semejantes entre si y semejantes al original. 2. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que

determina sobre ella. 3. Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccin sobre ella. 4. La razn de los cuadrados de los catetos es igual a la razn de sus proyecciones sobre la

hipotenusa 5. La altura sobre la hipotenusa es cuarta proporcional entre los lados del triangulo.

AB

CB

AC

AH

6. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.

TEOREMA En cualquier triangulo, el producto de un lado por su altura correspondiente, es igual al

producto de otro lado por su altura correspondiente.

HIPOTESIS: CE altura sobre AB , AD altura sobre

CB , CE = h1, AD = h2, AB = c, CB = a

TESIS: 21 hahc

1. y CEBADB son rectngulos. 1. De hiptesis. Definicin de altura

2. B B 2. Propiedad reflexiva 3. CEBADB 3. De 1 y 2. Por ser tringulos rectngulos con un

ngulo agudo congruente


4. 2

1

h

h

c

a

4. De 3. Lados correspondientes en tringulos semejantes son proporcionales

5. 21 hahc 5. De 4. Propiedad de las proporciones

TEOREMA En un triangulo acutngulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyeccin del otro sobre el.

HIPOTESIS: ABC es acutngulo.

AD = m, proyeccin de AC sobre AB

DB = n, proyeccin de BC sobre AB

TESIS: 2 2 2 2a b c cm

1. a2 = h2 + n2 1. Pitgoras en CDB 2. a2 = h2 + (c m)2 2. De 1 y de hiptesis. Resta de segmentos. 3. a2 = h2 + c2 2cm + m2 3. De 2. Algebra 4. b2 = h2 + m2 4. Teorema de Pitgoras en CDA 5. a2 = b2 + c2 2cm 5. Sustitucin de 4 en 3.

TEOREMA: En un triangulo obtusngulo, el cuadrado del lado opuesto al ngulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas dos veces uno de ellos por la proyeccin del otro sobre el.

TESIS: BDccab 2222 La demostracin se deja como tarea.

EJERCICIOS 1)

TESIS: 2222 mnba


DEMOSTRACION: 1. a2 = h2 + n2 1. Teorema de Pitgoras en CDB 2. b2 = h2 + m2 2. Teorema de Pitgoras en CDA 3. a2 - b2 = h2 + n2 (h2 + m2) 3. Igualdad 1 menos igualdad 2. 4. a2 - b2 = n2 m2 4. De 3. lgebra. 2)

HIPTESIS: ABC cualquiera

CE h es altura

CD d es mediana

n es la proyeccin de CD sobre AB

CDA es obtuso A D - E B

TESIS: ncab 222

DEMOSTRACION:

1. AD = DB = 2

c.

1. De hiptesis D es punto medio por definicin de mediana

2. b2 = (AD)2 + d2 + 2(AD).n 2. Relaciones mtricas en el triangulo obtusngulo ADC

3. ncdc

bnc

dc

b 22

22

2

2

422

2


4. a2 = (DB)2 + d2 2(DB).n 4. Relaciones mtricas en el triangulo acutngulo DCB

5. ncdc

anc

dc

a 22

22

2

2

422

2


6. ncab 222 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5.

3)

HIPTESIS: CAB rectngulo en A

; ;

; ; ;

AD CB DF AB DE CA

CE p FB q AC b AB c

TESIS: q

p

c

b3

3

1.

En :CDA AEpDEDE

p

AE

DE 2 1. En un triangulo rectngulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre


los segmentos que determina sobre ella.

2. En :ADB AFQDFDF

q

AF

DF 2 2. En un triangulo rectngulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella.

3. AFq

AEp

DF

DE2

2

3. Divisin de 1 y 2.

4. DE FA 4. De hiptesis por ser perpendiculares a la misma recta AC.

5. CA DF 5. De hiptesis por ser perpendiculares a la misma recta AB

6. EDFA es un paralelogramo. 6. De 4 y 5. Definicin de paralelogramo. 7. AE = DF; AF = DE 7. De 6. En un paralelogramo los lados

opuestos son congruentes

8. q

p

DF

DE

q

p

DF

DE

DEq

DFp

DF

DE3

3

3

2

2

8. Sustitucin de 7 en 3 y lgebra.

9. El complemento de 3 es 1 9. En un triangulo rectngulo los ngulos agudos son complementarios

10. El complemento de 2 es 1 10. En un triangulo rectngulo los ngulos agudos son complementarios

11. 3 2 11. De 9 y 10. Por tener el mismo complemento.

12. ADB ADC 12. De 11. Tringulos rectngulos con un ngulo agudo congruente.

13. c

b

DF

DE

13. En dos tringulos semejantes la razn entre dos alturas correspondientes es igual a la razn de dos lados correspondientes.

14. q

p

c

b

q

p

c

b3

33


4)

HIPTESIS: BAC es rectngulo en A FLDE es un cuadrado de lado x, inscrito en el triangulo.

; ; ;AH h BC a AB c AC b

AH es altura; B F H L C

TESIS: xha

ha

Nota: En la demostracin no se olvide de utilizar el teorema: En dos tringulos semejantes la razn entre dos alturas correspondientes es igual a la razn de dos lados correspondientes.

5) Si en un triangulo rectngulo, x y son las medidas de los catetos y z es la medida de la

altura correspondiente a la hipotenusa, demostrar que: 222

111

zyx


EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LA

CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO.

1.

HIPOTESIS: CD es bisectriz de ACB ;AP CD BQ CD

C P D Q

TESIS: AD DB

AC BC

NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de la bisectriz interior de un ngulo de un triangulo.

2.

DE AC a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DB b. Si DB = 7; EB = 2AD; CE = 14; Hallar CB c. Si CB = 24; EB = AB; DB = 4; Hallar AB

3.

HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AB CD . Las diagonales se cortan en O.

TESIS: OC OA

OD OB

4.

HIPTESIS: ABC es issceles con CA CB

;EF CB ED AC

TESIS: AD EF ED BF

5.

HIPOTESIS: A D B; CD es bisectriz de ACB 2 m ACB m A ; ;AC b AB c BC a

TESIS: 2c a ab


6.

HIPTESIS: A CBD

TESIS: AB AD

CB DB

7.

HIPTESIS: ABC HEF AD y HL son medianas

TESIS: AD BC

HL FE

8.

Si QR MN completar:

) b) c)

) e) f)

PM PQ QMa

PQ PM PM

PR PQ PNd

RN PR PM

9. Demostrar que el triangulo cuyos vrtices son los puntos medios de los lados de un

tringulo dado es semejante al triangulo dado. 10. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 20, y 28. Cules son las longitudes

de los segmentos en que la bisectriz del ngulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el caso del ngulo menor.

11. Demostrar que las bisectrices de dos ngulos correspondientes cualesquiera de

tringulos semejantes estn en la misma razn que los lados correspondientes.

12. Se da un paralelogramo ABCD. Una recta que pasa por B corta a AC en E, a DC en G y

a la prolongacin de AD en F. Demostrar: 1) AEF CEB 2) EB es media proporcional entre EG y EF .

13. Se da un triangulo rectngulo ABC con CD como altura a la hipotenusa AB. Demostrar

que: AC2 BC2 = AD2 BD2


14. Para cuales conjuntos de longitudes ser ED AC

15.

HIPTESIS: ABC es rectngulo en C

EFHD es un cuadrado TESIS: EDA CHD FBH

16.

HIPTESIS: y AE BD son alturas

TESIS: 1) AEC BDC 2) ACB ECD 3) AC DC BC CE

17.

HIPTESIS: ; ; ;DF AB CB AB CE DF AC CD

TESIS: 1) DEC ABC

2) AB DC

DEAC

18.

HIPTESIS: AB es bisectriz de CAF DE CF ; C B F

TESIS: CB DE

AC AE


19.

HIPTESIS:

rectangulo en A

bisectriz de CAB

;

ABC

AD

EB AD

AC b AB c

TESIS:

2

2

BE c

b cAD

b c

20.

HIPTESIS: ABC rectngulo en A

AF es bisectriz

KB AF

TESIS: 2b c

AFb c

21.

HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo

;MF AD ME AB ; A M C

TESIS: ME AD

MF AB

AYUDA: Trazar y ML AB HM AD 22.

HIPOTESIS: ADEF es un cuadrado TESIS: 29x a

CAB es rectngulo 4 ; 3 ;AB a AC a CE x

F es punto medio de AB

23.

HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AD = DC = a;

m( A) = 60 ; ; 3

:

DN NC AM MB AB a

NM y CB x

TESIS: 3;x a y a


24.

HIPOTESIS:

; ;

y son medianas perpendiculares.

BC a AC b BA c

BE AD

TESIS:

2 22

5

a bc

25.

26.

a) Si m = 5; h = 15; hallar el valor de a, b, c, n

b) Si 4 3, 4b m ; hallar el valor de a, c, h, n.

c) Si 6 2, 4c m ; hallar el valor de a, b, h, n.

d) Si 3 10, 13b n ; hallar el valor de a, c, h, m. e) Si b = n = 8; hallar el valor de a, c, h, m.

27.

DATO: CAD CBA

HALLAR el valor de x.

28.


29.

AC es bisectriz de DAB . 24; 25; 20; 16; ?AD AB AE BE DC x

30. Se da un triangulo ABC, se traza la mediana CD . CDB es agudo. Si AC = 7, AB = 8, CD = 5.15, HALLAR el valor de BC.

31.

32.

33. En cada una de las figuras, hallar los tringulos semejantes:

CDB BDA es un diametro

es tangente en A

AD

BA


34.

HIPTESIS: AB es un dimetro A O B D

DE DA TESIS: ADE ACB

35.

36. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente PT y una secante

que corta a la circunferencia en los puntos R y S. Demostrar que 2

PT PS PR

37. Sea ABC un triangulo issceles con BA BC y D un punto de AC tal que 3AC AD . Se

traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongacin de CB

en F. Demostrar que DE EF 38. ABC es un triangulo inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ngulo C corta al lado

AB en D y su prolongacin corta a la circunferencia en P. Demostrar que 2CA CB AD DB CD

39.

ABCD es un rectngulo. Se trazan las bisectrices de los cuatro ngulos del rectngulo. 1) Demostrar que EFGH es un cuadrado

2) Si 7 2AB cm y 3 2BC cm . Hallar el permetro del cuadrado EFGH


SOLUCION DEL 38: Colocar las razones.

1. ACD PCB 2. A P

3. ADP PBC

4. 2

CA CDCA CB CD CP

CP CB

CA CB CD CD DP CA CB CD CD DP

5. CD DP AD DB

6. 2CA CB CD AD DB

40. Las bases mayor y menor de un trapecio miden 20 y 12 cm. respectivamente. Por un

punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El

segmento divide a los lados en la razn 2

3. Calcular la longitud del segmento.

Se traza AC que corta a EF en R. 2

3

DE CF

EA FBde hiptesis

12 12 12 2

3

AD ER AD EA ER DEER DC ADC AER

ER EA ER EA ER EA

Resolviendo12 2

3

ER

ER, se tiene que

36

5ER

20 20 20 2

3

BC RF BC FB RF CFRF AB ABC RFC

RF FB RF FB RF FB

Resolviendo20 2

3

RF

RF, se tiene que 12RF

De donde se tiene que 36 96

125 5

EF

41. Sea ABCD un rectngulo tal que AB = 2 y BC = 5. Sea P un punto interior al rectngulo de modo que CPD = 90 y CP = DP. Hallar la longitud de PA.

42. Sea ABCD un rectngulo tal que AB = 2 cm y BC = 1 cm. Sea M el punto medio de CD . Hallar la distancia de M a la recta AC

43. Se da un triangulo ABC inscrito en una circunferencia. Se traza la bisectriz CD

que corta

a AB en D y a la circunferencia en E. Demostrar que el producto de los lados que forman


el ngulo C es igual al cuadrado de la bisectriz mas el producto de los segmentos

determinados por ella sobre el lado AB . AYUDA. Demuestre primero que: ADC EBC y despus que CDA BDE . Tener en cuenta que CE = CD + DE.

DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS 1. Toda Proporcin tiene 4 trminos diferentes. ( ) 2. Si dos tringulos tienen dos lados correspondientes congruentes, entonces sus ngulos

correspondientes opuestos son congruentes. ( ) 3. Si dos tringulos tienen sus ngulos correspondientes congruentes, entonces sus lados

correspondientes son congruentes. ( ) 4. Si dos tringulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ngulos

correspondientes son congruentes. ( ) 5. Dos tringulos issceles son semejantes si tienen un ngulo respectivamente congruente. 6. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporcional entre los

segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( ) 7. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyeccin sobre ella. ( ) 8. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al

tercer lado. ( ) 9. Dos polgonos que tienen sus ngulos respectivamente congruentes son semejantes. 10. Dos tringulos rectngulos issceles son semejantes. ( ) 11. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad

del tercer lado. ( ) 12. Las alturas correspondientes en dos tringulos semejantes son proporcionales a los lados

correspondientes. ( ) 13. Tringulos congruentes son semejantes. ( ) 14. Dos tringulos rectngulos con un ngulo agudo congruente, son semejantes. 15. La semejanza es una relacin de equivalencia. ( ) COMPLETAR:

1. Si d

aentoncesdcba ,,

2. La media proporcional entre 9 y 16 es: 3. Una cuarta proporcionalidad entre 5, 3, 2 es:

4. xentocesx

x,,

3

4

4

3

5. ,1

53

2

83

x

x

x

xentonces el valor de x es:

6. Dado el triangulo rectngulo MNP con N recto y NT la altura sobre NP , entonces NP es la media proporcional entre _____________ y MP.

7. La igualdad de dos razones se llama ____________________ 8. El permetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 cm. y 20 cm. es

________________ cm. 9. El cuadrado de uno de los catetos de un triangulo rectngulo es igual al cuadrado de la

hipotenusa __________ el cuadrado del otro cateto. 10. Una recta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos tringulos

_______________ 11. La razn de los cuadrados de los catetos es igual a la razn de sus

______________________ sobre la hipotenusa.


12. En un triangulo rectngulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos tringulos semejantes entre si y semejante al ___________________________________________

13. La altura trazada sobre la hipotenusa es _______________ proporcional entre los __________________ que determina sobre ella.

14. Cada cateto es _____________________ proporcional entre la _____________________ y su ____________________________ sobre ella.

15. En cualquier triangulo, el producto de un lado por su _____________________ correspondiente, es igual al producto de otro lado por_____________________ correspondiente.

16. Los tringulos que siempre son semejantes son los ________________________.

Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometra Euclidiana de Nelson Londoo Geometra Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometra. Reunin de profesores Geometra de Clemens y otros, de la serie Awli Geometra de Edwin E. Moise

Recopilados por: Jos Manuel Montoya Misas.

proporciones y semejanza

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