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VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES Concepto de vector en R2 y R3 Las aplicaciones matemáticas suelen relacionarse con cantidades que poseen magnitudes y dirección. Un ejemplo de este tipo de cantidad es la velocidad. Tal es el caso de la velocidad de un avión que tiene magnitud (la rapidez del movimiento) y dirección (lo determina el curso del avión). Otros modelos de esta clase de cantidades son la fuerza, el desplazamiento y la aceleración. En física e Ingeniería suele llamarse vector a un segmento rectilíneo dirigido, y las cantidades que tienen tanto magnitud como dirección se denominan cantidades vectoriales. A diferencia de una cantidad que tiene magnitud pero no dirección se llama cantidad escalar. Algunas cantidades escalares son la longitud, área, volumen y rapidez. Al estudio de los vectores se le llama Análisis Vectorial y se puede hacer en forma geométrica o analítica.

Si el estudio es geométrico primero definimos un segmento rectilíneo dirigido como

el que va desde un punto B y lo representamos AB . El punto A se llama punto inicial, y el punto B, punto terminal.

El segmento dirigido AB es el vector de A a B y se puede decir que dos segmentos

dirigidos AB y CD son iguales si tienen la misma longitud y la misma dirección, y

escribimos AB = CD . Con la interpretación anterior de vector, podemos suponer conveniente que todo vector tiene su punto inicial en algún punto de referencia fijo. Tomando este punto como el origen de un sistema rectangular de coordenadas cartesianas, un vector se puede definir analíticamente en términos de números reales.

Si el estudio es analítico designamos un vector en el plano por una pareja ordenada o par ordenado de números reales y empleamos la

notación nxxxxX ,....,,, 321 elementos de n .

Un vector en el Plano es un par ordenado de números reales nxxxx ,....,,, 321 los números ,...., 21 xx etc. Se llaman componentes del vector X.

Ejemplos:

35,3,2

45,2,7,4

24,3

B

C A

D

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Descomposición vectorial en R2 y R3

La Magnitud o Norma de un vector corresponde a la longitud de cualquiera de

sus representaciones, la magnitud del vector X, se representa por X

.

Si el vector X es el vector nxxxx ,....,,, 321 , entonces 22

3

2

2

2

1 .......... nxxxxX

Ejemplo:

Si 5,4,3,1 X entonces 512516915431 2222 X

Sean X y Y los puntos de n . La distancia entre X y Y denotada por .

En caso de estar X y Y en 2 o

3 , esto coincide con la fórmula de distancia entre los

puntos. Así y , entonces

Por lo que:

Ejemplo:

Si y , calcular

Dado que:

Entonces:

La dirección de un vector distinto de cero es la dirección de cualquiera de sus representaciones.

X1

2

2

2

1 xxX X2 X2

X1

X=(x1, x2)

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El ángulo director de cualquier vector distinto de cero es el ángulo β que se mide desde el lado positivo del eje x en sentido contrario al del reloj hasta la representación de posición

del vector, si x se mide en grados será º360º0 β ; pero si se mide en radianes, será πβ 20

Si 21,xxX , entonces 1

2

x

xβTan

. Obsérvese que si 21,xxX y β es el ángulo

director de X, entonces βCosXx 1 y

βSenXx 2 Ejemplo: Si entonces el ángulo de dirección del vector ubicado en esta coordenada será

. Debido a que , de donde, . Por tanto

En el caso en el que se identifique claramente la magnitud y el ángulo de dirección del vector, podemos calcular las coordenadas cartesianas del mismo, así: Ejemplo:

Sean y , calcular las componentes rectangulares del vector. Si

y

Por lo cual será;

por tanto

por tanto

De lo cual se puede concluir que y ; por tanto la coordenada es

Operaciones entre vectores en R2 y R3

Igualdad entre vectores

Sean nxxxxX ,....,,, 321 y nyyyyY ,....,,, 321 elementos de n , se dice que X = Y si ii yx

donde

α

X1

2

2

2

1 xxX X2 X2

X1

X=(x1, x2)

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Ejemplo:

Si 8,4,35,2,3 321 xxx , hallar el valor de 321 ,, xxx . Para esta situación tenemos que igualar los compontes de cada uno de los vectores:

633 11 xx 242 22 xx 385 33 xx Así se concluye que x1=6, x2=2 y x3=-3

Vectores equivalentes

Sean ABU y CDV ; se dice que U es equivalente a V si CDAB Ejemplo:

Si 8,4,3A , 4,5,7B , 2,6,4C , 2,7,8 D

Demostrar que los segmentos de recta ABU y CDV son equivalentes entre sí.

Para esta situación tenemos que los vectores cumplen con CDAB :

4,1,484,45,37 AB

4,1,422,67,48 CD

Vector por un escalar

Sean nxxxxX ,....,,, 321 elementos de n , y c un número real (escalar), se define

como ncxcxcxcxXc ,....,,, 321 , donde cX es un nuevo vector den .

Ejemplo:

Si 8,4,3X , hallar el valor de –2X. Es

así, 16,8,682,42,322 X

La multiplicación de un vector por un escalar y la norma de un vector para el caso de dos dimensiones, se puede visualizar para el caso de tres dimensiones y abstraer para dimensiones mayores. La multiplicación de un escalar c por un vector X consiste en amplificar el vector X, c veces. El análisis geométrico de la diferencia de dos vectores X y Y nos conduce a:

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Suma de vectores

La suma de dos vectores nxxxxX ,....,,, 321 y nyyyyY ,....,,, 321 elementos de n ,

es un nuevo vector X + Y, que se define por

nyyyyYX n332211 x,.....,x,x,x

Vamos a analizar geométricamente la suma de dos vectores. Sean 21, xxX y

21, yyY dos vectores en 2

Por tanto, la manera como hemos definido la adición de dos vectores coincide con la Ley del Paralelogramo.

Para cualesquier vectores X, Y, Z de n , y cualesquier c y d números reales, se tiene:

a. ZYXZYX

b. XYYX

c. XX 0

d. 0 XX

e. cYcXYXc

x2+y2

x2

y2

y1 x1 x1+y1

Y = (y1, y2)

X = (x1, x2)

X+Y=(x1+y1, x2+y2)

x1

cX = (cx1, cx2)

x2

cx2

cx1

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f. dXcXXdc

g. XcddXc

h. XX 1

Resta de Vectores

La resta de dos vectores nxxxxX ,....,,, 321 y nyyyyY ,....,,, 321 elementos de n ,

es un nuevo vector X - Y, que se define por nyyyyYX n332211 x,.....,x,x,x

También se puede expresar que la resta de los dos vectores X y Y, representada por X – Y, es el vector que se obtiene al sumar el vector X con el vector negativo de Y; es decir X

- Y = X + (-Y) de modo que 2211 , yxyxYX

Vamos a analizar geométricamente la suma de dos vectores. Sean 21, xxX y

21, yyY dos vectores en 2

Producto Interno o Producto Escalar

Sean nxxxxX ,....,,, 321 y nyyyyY ,....,,, 321 dos vectores de n , se define su producto

interno o escalar denotado por X * Y, que se define por nyyyyYX n332211 x,.....,x,x,x . Nótese que el producto interno es un escalar.

Con esta definición podemos, escribir que con

Podemos concluir que si X es perpendicular (ortogonal) a Y YX , entonces

Luego ; y por tanto

x2-y2

x2

y2

y1 x1

x1-y1

Y = (y1, y2)

X = (x1, x2)

X-Y=(x1-y1, x2-y2)

X-Y=(x1-y1, x2-y2)

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Es claro que si entonces y por tanto , luego X es perpendicular

a Y. Ejemplo:

Si y , entonces . Luego X es perpendicular a Y

Entonces

Por lo cual , entonces X es perpendicular a Y.

Vector Unitario

Se dice que un vector U es unitario si 1U

. Si X es un vector arbitrario diferente de

cero, el vector

XX

U x 1

Ejemplo: Si calcular el vector unitario.

Si

Por lo cual

Como la magnitud de los dos vectores (1,0) y (0,1) es la unidad, se les denomina vectores

unitarios. Se representan con la siguiente notación 0,1i 1,0j , usando otro tipo de

notación jxixxx 2121,

La ecuación expresa que cualquier vector en 2V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores i y j. Se dice que los vectores i y j forman una base para el espacio

vectorial 2V . El número de elementos en una base de un espacio vectorial se denomina

dimensión del espacio vectorial. Por lo tanto, 2V es un espacio vectorial bidimensional. Las siguientes ecuaciones expresa el vector X en términos de su magnitud:

jxixX 21 jSenXiCosXX

Si el vector no cero jxixX 21 , entonces el vector unitario U que tiene la misma

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dirección que X está dado por jX

xi

X

xU 21

Ejemplo: Dados X = (3,1) y Y = (-2,4), Hallar el vector unitario que tenga la misma dirección que X – Y

jijijiYX 35)42()3(

Entonces, 3435

22 YX

El vector unitario es jiU34

3

34

5

Producto Vectorial

Sean y

Dos vectores de , el producto vectorial de X por Y es el vector denotado por y se

define por

Por tanto

Luego

Luego las coordenadas del nuevo vector serán:

Ejemplo:

Sean y

Dos vectores de , el producto vectorial de X por Y es el vector denotado por y se

define por

[Escribir texto]

Por tanto

Después

Luego las coordenadas del nuevo vector serán