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MÉTODO DE SOLUCIÓN MATRICIAL
1. Regla de Cramer o Determinantes
Este método de solución se puede utilizar en un sistema lineal de ecuaciones de orden 2
como en uno de orden superior. De la siguiente manera:
a. De orden 2X2
Consideremos el sistema de ecuaciones
22221
11211
byaxa
byaxa en dos incógnitas x y y
El denominador de x y de y, en la solución, es el determinante formado con los
coeficientes de la x y de la y, en forma ordenada. Este determinante se llama el
determinante principal del sistema.
El numerador de x, en la solución, se obtiene al sustituir, en el determinante principal, la
primera columna por la columna de términos independientes:
Determinante Denominador Determinante del Numerador de x
2221
1211
aa
aa
222
121
ab
ab
De forma similar, el numerador de y, en la solución, se obtiene al sustituir, en el
determinante principal, la segunda columna por la columna de términos independientes:
Determinante Denominador Determinante del Numerador de y
2221
1211
aa
aa
221
111
ba
ba
Por lo que:
2221
1211
222
121
aa
aa
ab
ab
x
2221
1211
221
111
aa
aa
ba
ba
y
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En donde el determinante del denominador debe ser diferente del valor 0
02221
1211
aa
aa
Ejemplo:
Hallar la solución del sistema de ecuaciones lineales:
Determinante Denominador Numerador X Numerador Y
Por tanto,
La solución del sistema de ecuaciones está dada por los valores y
b. De orden 3X3
Consideremos el sistema de ecuaciones
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
en tres incógnitas x, y, z.
El denominador de x, de y y de z, en la solución, es el determinante formado con los
coeficientes de la x, de la y, y de la z, en forma ordenada. Este determinante se llama el
determinante principal del sistema.
El numerador de x, en la solución, se obtiene al sustituir, en el determinante principal, la
primera columna por la columna de términos independientes:
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Determinante Denominador Numerador de x
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
33323
23222
13121
aab
aab
aab
De forma similar, el numerador de y, en la solución, se obtiene al sustituir, en el
determinante principal, la segunda columna por la columna de términos independientes:
Determinante Denominador Numerador de y
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
33331
23221
13111
aba
aba
aba
De forma similar, el numerador de z, en la solución, se obtiene al sustituir, en el
determinante principal, la tercera columna por la columna de términos independientes:
Determinante Denominador Numerador de z
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
33231
22221
11211
baa
baa
baa
Donde, x, y y z, se solucionan:
333231
232221
131211
33323
23222
13121
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab
x
333231
232221
131211
33331
23221
13111
aaa
aaa
aaa
aba
aba
aba
y
333231
232221
131211
33231
22221
11211
aaa
aaa
aaa
baa
baa
baa
z
En donde el determinante del denominador debe ser diferente del valor 0
0
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
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Ejemplo:
Hallar la solución del sistema de ecuaciones lineales:
Determinante Denominador
Numerador X Numerador Y Numerador de Z
En donde para determinar el valor de la variable x se debe operar;
En donde para determinar el valor de la variable y se debe operar:
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En donde para determinar el valor de la variable z se debe operar:
La solución del sistema termina siendo ; y
2. El Método de Gauss-Jordan
Es un método que permite entre otras cosas encontrar la solución de un sistema de
ecuaciones.
El método consiste en reducir la matriz original a una matriz equivalente, pero más
sencilla. La reducción de la matriz original se lleva a cabo teniendo en cuenta ciertas
propiedades que cumplen las matrices, llamadas “operaciones elementales”.
En la resolución de un sistema de ecuaciones lineales se permiten tres tipos de
operaciones entre ecuaciones, a saber:
a) Intercambiar dos renglones de una matriz ji FF
b) Multiplicar o dividir un renglón o fila por un número diferente de cero icF
c) Sumar o restar a una fila un múltiplo de otra. ji FcF
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Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, se procede de la siguiente
manera:
I. Se forma la matriz ampliada bAB , donde A es la matriz de los coeficientes y b
indica la matriz de los términos libres. II. Al aplicar operaciones elementales entre filas, la matriz B se lleva a una matriz
equivalente C, donde C es escalonada reducida. III. Como la matriz B es equivalente a la C, entonces el sistema de ecuaciones que
presenta la matriz B es equivalente al sistema de ecuaciones que representa la matriz C, y en esta matriz es fácil hallar las soluciones.
Ejemplo:
Sea el sistema de ecuaciones, obtener la solución por el método de Gauss
Presentando como matrices, obtenemos
Para solucionar el sistema utilizamos el método de Gauss, en:
Obteniendo los siguientes pasos:
Luego,
Después,
Finalmente,
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Por lo cual la solución de este sistema de ecuaciones es: y
Sistema de ecuación lineal homogénea
Si en el sistema de ecuaciones lineales la solución es cero, se dice
que el sistema es Homogéneo.
Ejemplo:
Sea el sistema de ecuaciones
Presentando como matrices, obtenemos
Para solucionar el sistema utilizamos el método de Gauss, en:
Obteniendo los siguientes pasos:
Luego
Después,
Finalmente,
De lo cual se puede concluir que y ; luego el sistema no tiene solución fuera
de la trivial.