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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales

Esto es, m ecuaciones con n incógnitas

La expresión anterior la podemos escribir como una multiplicación de matrices, así:

En forma abreviada escribimos

Donde A es la matriz de los coeficientes, X es el vector columna de las incógnitas y b el

vector columna de los términos libres.

Toda n-tupla ordenada que satisface cada una de las ecuaciones del sistema

se llama una solución del sistema. Si miramos el sistema en forma de matrices,

escribiremos una solución como el vector columna.

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Ejemplo:

El sistema

Se puede escribir en forma de matrices, como

Una solución del sistema es o , si consideramos el sistema en forma de

matrices, pues si , , y . Se satisfacen las tres ecuaciones

anteriores.

Métodos de solución de un sistema de ecuación lineal:

En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con

varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada

incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una

contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer

cumplir la igualdad del sistema.

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales

simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas

ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo.

Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (dos

ecuaciones lineales de dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de

tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas).

En forma escrita matemáticamente, las variables se representan como

, y de igual manera cada una de ellas en un sistema de ecuaciones.

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Conceptos Básicos de Función Lineal y Ecuación Lineal

Función Lineal

Un par ordenado (x,y) de números reales tiene a x como primer elemento y a y como

segundo elemento. El primer elemento se llama abscisa y el segundo elemento ordenada.

Ejemplo:

Graficar los siguientes pares ordenados y

Distancia entre dos puntos

Los puntos 11, yx , 22 , yx y 12 , yx determinan un triángulo rectángulo en el cual las

longitudes de sus catetos están dados por 121 xxd y 122 yyd . Así aplicando el

teorema de Pitágoras se tiene 212

2

12 yyxxd

X

d1

d d2

X2,Y2

X2,Y1

X1,Y1

Y2

Y1

X1 X2

Y

8

4

3 7

Y

X

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Ejemplo:

Calcular la distancia entre los siguientes pares ordenados y

Por tanto, remplazando se obtiene:

212

2

12 yyxxd

Punto Medio

La fórmula del punto medio M de un segmento recto en el plano, es análoga a la fórmula

obtenida para el punto medio de un intervalo (a,b).

2,

2

2121 yyxxM

M

d1

X

d2

X2,Y2

X1,Y1

Y2

Y1

X1 X2

Y

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Ejemplo:

Calcular el punto medio entre los siguientes pares ordenados y

Por tanto, remplazando se obtiene:

2,

2

2121 yyxxM

Pendiente de la recta

La pendiente de una recta es el cociente entre las unidades de cambio vertical y las

unidades de cambio horizontal de dos puntos cualesquiera.

La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 11, yx y 22 , yx es:

12

12

12 , xxxx

yy

x

ym

5 X

6 M(5,6)

C(7,8)

L(3,4)

8

4

3 7

Y

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La inclinación de la recta depende de su pendiente de la siguiente manera:

a) Una recta con pendiente m>0, sube de izquierda a derecha.

b) Una recta con pendiente m<0, baja de izquierda a derecha.

c) Una recta con pendiente m=0, es horizontal.

d) Una recta con pendiente indefinida, es vertical.

Ejemplo:

Calcular la pendiente de la recta que pasa por los pares ordenados y

Remplazando se obtiene:

12

12

12 , xxxx

yy

x

ym

x

P2

X1 X2

X

m y

P1

Y2

Y1

Y

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Ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto intercepto

La ecuación punto pendiente es de la forma 11 xxmyy con pendiente m y pasa

por el punto 11, yx .

Ejemplo:

Calcular la ecuación de la recta que pasa entre el par ordenado y que tiene por

pendiente

De la información tenemos que: , ,

Por tanto al remplazar la ecuación tenemos que:

11 xxmyy

La ecuación de la recta es:

4

m = 1

3

Y

X

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Ecuación de la recta conociendo la pendiente y el punto de corte con el

eje coordenado de las ordenadas (Y)

La ecuación pendiente-intercepto es de la forma bmxy con pendiente m e

intersección con el eje y en el punto (0,b).

Ejemplo

Calcular la ecuación de la recta que pasa entre el par ordenado K= (0,2) y que tiene por

pendiente

De la información tenemos que: m=1 y el punto es x=0 y y=2

Por tanto, al remplazar la ecuación tenemos:

11 xxmyy

012 xy

xy 2

2 xy

La ecuación de la recta es: 2 xy

Y

X

m = 1

K(0,2)

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Comparación de posición entre funciones lineales

o Rectas paralelas

La pendiente de una recta nos permite saber cuándo dos rectas son paralelas. Dos rectas

no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Es decir que 21 mm .

o Rectas perpendiculares

La pendiente de una recta también nos permite saber cuándo dos rectas son

perpendiculares. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si sus pendientes

cumplen la relación 2

1

1

mm

(X3,Y1)

Y

X

(X3,Y2)

Y1

Y2

L1

L2

(X2,0) (X1,0) (X3,0)

1 2

Y

X

L1

(X3,Y1)

(X3,Y2)

Y1

Y2

L2

(X1,0) (X3,0) 1

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En base a lo anteriormente expuesto se puede expresar que un sistema de ecuaciones de

2X2 es una representación gráfica de dos rectas que pueden definir un punto de

intersección o de corte entre ellas, lo cual proporciona un punto que es la solución del

sistema de ecuaciones de esta dimensión.

Si aumentamos la dimensión del sistema de ecuaciones a uno de 3X3 en este caso ya no

se puede trabajar con líneas sino con tres planos, los cuales tienen un punto común,

cuando se intersectan entre ellos. Que de igual manera generan mediante este punto, una

solución al sistema de ecuaciones de 3X3.

A sistemas de ecuaciones de mayor dimensión no son explicables físicamente dado que

solamente se puede observar tres dimensiones, pero para efectos analíticos de sistema

económicos que trabajan más de tres variables es de gran utilidad los sistemas de

ecuaciones de mayor dimensión.

Para cualquier sistema de ecuaciones de dimensión nxn se debe tener en cuenta que la

solución puede estar en tres alternativas las cuales pueden ser que tenga:

1. Una única solución 2. Varias soluciones 3. Ninguna solución

Para cada uno de los anteriores casos puede proporcionar un gráfico de explicación.

Aunque esta dado para dos dimensiones se puede llegar a expandir para más

dimensiones.

Métodos Algebraicos de Solución Lineal

1. Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier

incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla

en otra ecuación por su valor.

Y

X

Y

X X

Y

Única Solución Múltiples Soluciones Ninguna Solución

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En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por

su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En

ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el

inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y

que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la

siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para

así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

Si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales

Obtendremos , , con lo que el sistema queda ya resuelto.

2. Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de

sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación

se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

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Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,

Si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo

que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de

la incógnita x,

Y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales,

Obtendremos , , con lo que el sistema queda ya resueltoi.

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3. Reducción Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los

casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado

para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las

ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos

ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto

signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o

cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,

donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por 3 para poder cancelar la

incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original:

Obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este

caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera

de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y

Obtendremos , , con lo que el sistema queda ya resuelto.

i Algunos apartes aparecen también en http://sistemadeecuacioneslineales.wikispaces.com/Sistemas+de+Ecuaciones+Lineales www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r72845.DOCX