segunda entrega sec 2013

A

B

N

M

PO E

F

BA DC

G

NM

E DF

BA C

3 de junioXXII-114 Primer Nivel

En la figura 1 hay 3 cuadrados: C1 de 1cm de lado,

C2 de 3cm de lado y C3 de 5cm de lado; fig 1

una hormiga va de A a B por el camino señalado.

¿Cuánto mide el camino que recorre la hormiga? fig 2

En la figura 2 hay 6 cuadrados: C1 de 1cm de lado,

C2 de 3cm de lado, C3 de 5cm de lado, C4 de 7cm de lado

C5 de 9cm de lado y C6 de 11cm de lado;

una segunda hormiga va de M a N por un camino como

el que sigue la primera hormiga.

¿Cuánto mide el camino que recorre la segunda hormiga?

XXII- 214 Segundo nivel

Andrés arma cuadrados cuadriculados con

palillos iguales, como muestra la figura

1 2 3

¿Cuántos palillos utilizará para armar el cuadrado cuadriculado número 99?

XXII- 314 Tercer nivel

ABEF y BCDE son cuadrados iguales

de 96 cm de perímetro.

M es punto medio de AF y

N es punto medio de CD.

Las figuras sombreadas son dos semicírculos de diámetros BC y EF y dos

triángulos.

¿Cuál es el perímetro y cuál es el área de la figura que queda sin sombrear?


En la figura: ADFG, BDEO y BCPO son rectángulos.

AB = BD; DE = EF; CD = 2 BC.

Problemas Semanales de Graciela Ferrarini y Julia

Seveso

GH

CD

A B

FE

E

D C

A B

¿Qué fracción del rectángulo ADFG

representa la parte sombreada?


Si comprás un electrodoméstico con la tarjeta del Banco Azul, sobre el precio de

lista, te descuentan el 20% y el resto lo pagás en 12 cuotas iguales.

Luis compró un televisor en estas condiciones y está pagando $191 en cada

cuota.

¿Cuál era el precio de lista del televisor?


El cubo de la figura tiene 8cm3 de volumen.

Una hormiguita que camina siempre por las aristas

va de A a G sin pasar dos veces por un mismo vértice.

¿Cuántos caminos distintos puede hacer?

¿De qué longitudes pueden ser estos caminos?


Esteban tiene 7 bolitas:

una roja, una blanca, una negra y todas las demás azules.

Las pone una al lado de otra en una fila, de distintas maneras pero de modo que

la roja:

no debe estar en ninguna de las puntas de la fila y no debe estar entre dos

bolitas azules.

¿De cuántas maneras puede armar Esteban una de esas filas? Indica cuáles son.


En la figura ABCD es un cuadrado y

BCE, un triángulo equilátero.

¿Cuánto miden los ángulos AEB y AED?


Al curso de la mañana asistió un grupo de 9 personas.

El promedio de las edades de este grupo era 25 años.

Al curso de la tarde asistió un grupo de 11 personas.

El promedio de las edades de este grupo era 45 años.

Si se juntas ambos grupos de personas, ¿cuál es el promedio de edades de este

nuevo grupo?


La figura, formada por un cuadrado, un rectángulo

y un triángulo isósceles, tiene 96 cm de perímetro.

El cuadrado y el triángulo tienen igual perímetro.

El perímetro del rectángulo es el doble del perímetro del cuadrado.

¿Cuánto miden los lados del cuadrado, del rectángulo y del triángulo?


Entre los alumnos que fueron a revisación médica esta mañana, el 40% ya tenía

detectada alguna dificultad visual.

Entre los que tenían dificultad, el 70% usaba anteojos y el 30% restante, lentes

de contacto.

Si esta mañana fueron a revisación médica 21 alumnos con anteojos, ¿cuántos

alumnos fueron en total?


En el triángulo ACE: , AE = 2AC, B es punto medio de AC,

D es punto medio de CE y F es punto medio de AE; FD=AB.

Los segmentos FC y BD se cortan en G.

Si el área de ABDE es de 192 cm2,

¿cuál es el perímetro de ABDE?

¿cuál es el área de DEFG?

1 de julioXXII-118 Primer Nivel

Federico compró un televisor a pagar en 12 cuotas iguales.

Pagó puntualmente y de la última cuota le descontaron la octava parte.

El descuento fue de $ 33. ¿Cuánto pagó en total por el televisor?


Hoy fueron al festival Ana, Laura, Daniela y sus dos hermanos menores.

Las entradas no eran numeradas.

Encontraron 3 asientos libres en la última fila y 4 asientos libres en la

anteúltima.

Si las chicas quieren sentarse todas en la misma fila y ninguno quiere estar solo

en una fila, ¿de cuántas maneras pueden sentarse?


En el micro las filas tienen 3 asientos: 2 de un lado del pasillo y 1 del otro lado.

Para los asientos de las tres primeras filas, la azafata tiene 5 paquetes de alfajores y

2 paquetes de sándwiches. Puede dejar uno o ningún paquete en cada asiento y si

deja alfajores en el asiento que está solo también debe dejar alfajores en el asiento

que está, en esa fila, del otro lado del pasillo.

¿De cuántas maneras distintas puede repartir los paquetes? Explica cuáles son.


Se dibuja un rectángulo ABCD y, sobre el lado AB, se marca el punto E y, sobre

el lado CD, se marca el punto F de manera que el AEFD es un cuadrado.

El perímetro de ABCD es 70 cm y el perímetro de EBCF es del perímetro de

ABCD. ¿Cuál es el perímetro de AEFD?


En el rectángulo ABCD: AB= BC, M es punto medio de AB, N es punto medio de

BC,

P es punto medio de CD y R es punto medio de AD.

Si el área de ABPR es de 375 cm2,

¿cuál es el perímetro de ABCD?

¿cuál es el área de BNPDRM?

E D

BA C

F


Para comprar una computadora hay dos ofertas:

Con la tarjeta A descuentan el 20% y el resto se paga en 10 cuotas de $271,60

cada una.

Con la tarjeta B se paga un anticipo de $245,75 y 11 cuotas de $240 cada una.

¿Cuál es el descuento de la tarjeta B?

¿Cuál es el precio de la computadora sin descuento?


Diego, Juan, Pablo y Tiago tienen, entre todos, $ 336.

Diego tiene el doble que Juan. Pablo tiene 5 veces lo que tiene Diego. Tiago

tiene la mitad de lo que tiene Diego. ¿Cuánto tiene cada uno?


Ana quiere aprovechar los descuentos de la heladería:

“2x1 en kilo de helado de lunes a viernes” (no acumulable con otras

promociones);

“25% de descuento los días lunes”.

Hoy es lunes y compró 3 kilos de helados.

Si paga $169,75, ¿cuál es el precio del kilo de helado sin descuento?


En la figura: ABEF y ACDF son rectángulos, BC = 3AB.

Área ABEF = 144 Perímetro de ACDF= 100 cm.

Si los lados de ABEF tienen longitudes enteras,

¿cuál es el perímetro y cuál es el área de ABDF?

5 de agostoXXII-121 Primer Nivel

Camila tiene 4 cajas rectangulares: 1 verde, 1 naranja y 2 azules y

2 cajas circulares: 1 azul y 1 naranja.

Cada caja cabe en un estante del mueble de la figura.

N C

RO

MA B

D

P

4

1

32

B

EE

JFH

E D I

CCBB

H

H

CAAH

H

F BGDB CH

CAID FJ BH

Siempre coloca una caja por estante de modo que:

las cajas de cada columna son de la misma forma,

las cajas de una fila nunca son todas del mismo color y

las cajas de una columna nunca son todas del mismo color.

¿De cuántas maneras puede acomodar las 6 cajas en el mueble?


Los nueve casilleros del guardarropa están vacíos.

Los numerados con 1-2-3-4 tienen puerta, los otros no.

Ani, Ceci, Gabi y Mar guardan sus camperas,

cada una en un casillero diferente.

Siempre eligen sólo dos casilleros con puertas y,

una vez elegidos los cuatro casilleros,

quedan una fila y una columna vacías.

¿De cuántas maneras distintas pueden guardar sus camperas? Explica cuáles

son.


En esta pirámide, las letras A; B; C; D y E representan

un dígito del 0 al 4 y las letras F; G; H; I y J representan

un dígito del 5 al 9. Cada elemento sombreado es igual

a la suma de los dos que están en la línea anterior

a su izquierda y a su derecha.

La cifra de las decenas se omite:

p.ej. si sumo 8+7=15, sólo escribo el 5.

¿A qué número corresponde cada letra?


ABCD y ABRP son rectángulos.

M es punto medio de AB y N es punto medio de CD.

El rectángulo AMOP representa la sexta parte del ABCD.

Perímetro de AMND = 68 cm.

Perímetro de AMOP = 36 cm.

¿Cuál es el perímetro del ABCD?


En un rectángulo ABCD de 126 cm de perímetro, se marcan:

P en CD de manera que CD = 4 PD

Q en AB de manera que AB = 3AQ.

Si PC = AD, ¿cuál es el área de QBCP?


Al comprar una cafetera y un juego de tazas de café al contado, se ahorra del

precio de lista sobre las dos cosas. Se pagan $992.

En cambio, si se compra todo en 10 cuotas, recargan al precio de lista de la

cafetera

y al precio de lista de las tazas. Cada cuota es entonces de $141.

¿Cuál es el precio de lista de la cafetera? ¿Cuál es el precio de lista del juego de tazas?


Marina va a invitar a algunos compañeros del grado a jugar a su casa.

Los compañeros de Marina son: Ani, Bibi, Ceci, Dora, Ema, Pedro, José, Mario, Oski y

Santi.

Invitará a 3 mujeres y a 2 ó 3 varones. Pedro y José son hermanos y van los dos o

no va ninguno de los dos. ¿De cuántas maneras puede invitar Marina a sus

compañeros?

Da todas las posibilidades.


C

EF

BA D

En el video club, cada día un socio puede alquilar: 1 video por $10 ó 2 videos por

$18.

Hoy se alquilaron 100 videos y se recaudaron $944.

¿Cuántos socios fueron al video club a alquilar videos?


ABCDEF es un hexágono regular de 3cm de lado y centro O.

En cada uno de los triángulos AOB; BOC; COD; DOE; EOF y FOA se marca el

punto de

intersección de las alturas.

Estos puntos: M en AOB; N en BOC; P en COD; Q en DOE; R en EOF y S en FOA

forman otro hexágono regular MNPQRS. ¿Cuál es el perímetro de MNPQRS?


En el video club, por día, cada socio puede alquilar: 1 video por $10 ó 2 videos

por $ 18.

Hoy fueron 72 socios y alquilaron 100 videos.

¿Cuánto dinero ingresó por alquiler de videos?


ADEF es un rectángulo,

B es el punto medio de AD, BD=DE.

Área del triángulo CDE = área del triángulo BCE.

Área del triángulo BCE = 294 .

¿Cuál es el perímetro del rectángulo ADEF? ¿Cuál es el área de ACEF?


Gabi tiene 9 películas distintas: 4 de dibujos animados, 2 educativas y 3

musicales.

Quiere elegir 6 películas, al menos una de cada género, para llevarse para el fin

de

semana largo. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? Da todas las posibilidades.

3 de junio

Primer Nivel114. Hay un tesoro enterrado en una casilla de un tablero de 8 8. En cada una de las otras casillas hay enterrado un mensaje que indica el mínimo número de pasos que se necesitan para llegar a la casilla del tesoro. (Se necesita un paso para moverse desde una casilla a una casilla vecina, que es una que tiene un lado común con la casilla de partida.). Determinar el mínimo número de casillas que se deben excavar para llegar con certeza al tesoro.

Segundo Nivel214. En el plano hay marcados 100 puntos entre los que no hay tres alineados. Determinar si siempre es posible dividir estos puntos en 50 grupos de dos puntos cada uno y unir los dos puntos de cada grupo con un segmento de modo que cada uno de los 50 segmentos corte a cada uno de los otros 49. Tercer Nivel314. Las filas de un tablero de 8 8 están numeradas de A hasta H, y las columnas de 1 a 8. Se coloca una torre blanca en la casilla B2, y una torre negra en la casilla C4. Cada jugador, por turnos, mueve su torre (empieza el de la torre blanca). En cada movida está prohibido mover la torre hacia una casilla amenazada por la otra torre ni a una casilla ya visitada por alguna de las torres. El jugador que no puede mover pierde el juego. Determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora.ACLARACIÓN: Una torre se mueve tantas casillas como se quiera en dirección horizontal o en dirección vertical. Se consideran casillas visitadas solo la casilla inicial y final de una movida de una torre.

10 de junio

Primer Nivel115. Ana y Bea tienen una pila de hojas cada una, algunas horizontales y otras verticales. Entre las dos tienen 17 hojas. La operación permitida es quitarle a una de ellas dos hojas horizontales o dos hojas verticales, y darle a la otra una hoja horizontal y una hoja vertical. Determinar si es posible que con este procedimiento se intercambien las pilas de Ana y Bea. O sea, que Ana pase a tener tantas hojas verticales y horizontales como tenía Bea, y recíprocamente.

Segundo Nivel

215. Charly y Diego juegan el siguiente juego. Para empezar, Charly coloca 222 nueces en 2 cajas.

Problemas Semanales

de Patricia Fauring y Flora Gutiérrez

Diego sabe cómo fueron distribuidas y elige un entero N de 1 a 222 inclusive. A continuación Charly mueve, si fuera necesario, una o más nueces a la tercera caja, que está vacía, de modo que una o dos cajas contengan en total exactamente N nueces. Diego gana todas las nueces que movió Charly. Determinar la mayor cantidad de nueces que Diego puede asegurarse de ganar, no importa como actúe Charly.

Tercer Nivel315. Adentro de una circunferencia hay marcado un punto A. Dos rectas perpendiculares trazadas por A cortan a la circunferencia en cuatro puntos. Demostrar que el baricentro de estos cuatro puntos no depende de la elección de las dos rectas.

17 de junio

Primer Nivel116. Una cantidad par de peras se han puesto en una fila de modo que el peso de dos peras vecinas difiere como mucho en 1 gramo. Demostrar que siempre es posible distribuir las peras en paquetes de dos peras cada uno y luego colocar estos paquetes en una fila de manera que el peso de dos paquetes vecinos difiera como mucho en 1 gramo.

Segundo Nivel216. En un tablero de 9 9 Sofía colorea 46 casillas de rojo. Pedro debe elegir un cuadrado de 2 2 del tablero (de 4 casillas). Si el tablero que elige Pedro tiene 3 o más casillas rojas, gana Pedro, si no, gana Sofía. Determinar cuál de los dos tiene estrategia ganadora.

Tercer Nivel316. Sea una sucesión infinita de números. Se sabe que para cada entero positivo k existe

un entero positivo tal que . Determinar si esta sucesión es

necesariamente periódica, o sea, si existe un entero positivo T tal que para cada entero positivo k.

24 de junio

Primer Nivel

117. Un número entero tiene exactamente dos dígitos distintos. Se sabe además que el número tiene por lo menos diez dígitos, y que si dos dígitos son vecinos entonces son distintos. Determinar la mayor potencia de dos que puede dividir a este número.

Segundo Nivel217. Calcular cuántos enteros positivos n menores o iguales que 1000 tienen la propiedad de que la suma de los dígitos de 5n es igual a la suma de los dígitos de n.

Tercer Nivel

317. Hay 16 personas sentadas alrededor de una mesa redonda. Se levantan todas y se vuelven a sentar de modo que cada persona se sienta en el mismo lugar en el que estaba o en un lugar vecino (al lado) del que estaba. Determinar cuántas distribuciones de las 16 personas satisfacen estos requisitos.

1 de julio

Primer Nivel118. Un triángulo equilátero de lado 7 está dividido en 49 triangulitos equiláteros de lado 1 mediante paralelas a sus lados. Se recortan del triángulo paralelogramos con un par de lados iguales a 1 y el otro par iguales a 2, siguiendo líneas de la grilla. Determinar el mayor número de estos paralelogramos que se pueden cortar.

Segundo Nivel218. En un triángulo ABC sean K y L puntos en el lado AB tales que . El punto

M del lado BC es tal que . Si ML es la bisectriz de , hallar el valor de .

Tercer Nivel318. En la mesa hay una pila de piedras. En cada paso se pueden quitar algunas piedras. En el primer paso se quita una piedra y de ahí en más, en cada paso se puede quitar la misma cantidad que en el paso anterior o quitar el doble que en el paso anterior. Determinar el mínimo número de pasos necesarios para quitar exactamente 2012 piedras de la mesa.

8 de julio

Primer Nivel119. Llamamos S (n) a la suma de las cifras del entero n. Por ejemplo, .

Hallar el valor de.

(A tiene 2012 términos).

Segundo Nivel219. En cada cara de un cubo hay escrito un número entero (puede haber repeticiones). En cada movida se eligen dos caras adyacentes del cubo (con una arista común) y se aumenta en 1 cada uno de los números escritos en esas dos caras. Hallar la condición necesaria y suficiente que debe cumplir la numeración del cubo para que sea posible, al cabo de varias movidas, terminar con un cubo con los mismos números en sus 6 caras.

Tercer Nivel319. Se tiene una varilla de longitud 200 que se corta en N pedazos, todos de longitudes enteras. Hallar el menor valor de N tal que siempre es posible armar el borde de un rectángulo utilizando todos los N pedazos, cualquiera sean los tamaños de los pedazos en los que se partió la varilla. (No se

permite partir pedazos.)

29 de julio

Primer Nivel120. De un cuadrilátero de papel como el de la figura, hay que recortar un nuevo cuadrilátero cuya área sea igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Solo se puede doblar una o más veces y cortar por algunas de las líneas de los dobleces.

Describir los dobleces y los cortes y justificar que el área es la mitad.

Segundo Nivel220. Hay 30 personas, cada una de las cuales es un caballero o es un mentiroso, sentadas alrededor de una mesa redonda. Los lugares alrededor de la mesa están numerados de 1 a 30 en orden consecutivo. Los caballeros siempre dicen la verdad y los mentirosos siempre mienten. Cada persona tiene exactamente un amigo entre los restantes 29. Además el amigo de cada caballero es un mentiroso y el amigo de cada mentiroso es un caballero. Cada persona responde a la siguiente pregunta: “¿Es verdad que tu amigo es vecino tuyo en la mesa?” Las 15 personas sentadas en las posiciones con número impar de la mesa respondieron “Sí”. Determinar cuántas personas ubicadas en posiciones con número par también respondieron “Sí”.

Tercer Nivel320. Encontrar el mayor entero positivo n, menor que 2012, que cumple la siguiente propiedad: Si p es un divisor primo de n, entonces es un divisor de n.

5 de agosto

Primer Nivel121. En el triángulo ABC, , BC = 1 y E es el punto del lado AC tal que EC = 1.La perpendicular a AC que pasa por E corta a la prolongación de BC en el punto D de modo que CD = 2 y C está en el interior de DB.Determinar la medida de los ángulos del triángulo ABD.

Segundo Nivel

221. Sobre el rectángulo ABCD se dibujan los triángulos equiláteros BCX y DCY de modo que cada uno comparte puntos con el interior del rectángulo. La recta AX corta a la recta DC en P. La recta AY corta a la recta BC en Q. Demostrar que el triángulo APQ es equilátero.

Tercer Nivel321. En un cuadrado ABCD, sea P un punto del lado CD, distinto de C y D. En el triángulo ABP se

trazan las alturas AQ y BR, y sea S el punto de intersección de las rectas CQ y DR. Demostrar que .

12 de agosto

Primer Nivel122. Hay 21 lámparas dispuestas en forma de triángulo equilátero de lado 6, como se muestra en la figura. Al comienzo están todas apagadas. La operación permitida es cambiar el estado de tres lámparas que sean vecinas dos a dos, esto es, de las tres lámparas, las que están encendidas se apagan y las que están apagadas se encienden. Dar una secuencia de pasos con la que se logre que las 21 lámparas queden encendidas.ACLARACIÓN: A, B, C son vecinas dos a dos si A y B son vecinas, B y C son vecinas y C y A son vecinas.

Segundo Nivel222. Se define una sucesión de números de acuerdo con las siguientes reglas:Los tres primeros números son 0, 1 y 2. A partir de allí, si los últimos tres números son a, b, c, el siguiente número es igual a c menos el menor de los dos números a y b. El comienzo de la sucesión es 0, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, … . Por ejemplo, el noveno número es y el décimo es

.Calcular el número ubicado en la posición número 100 de esta sucesión.

Tercer Nivel322. Los términos de una progresión geométrica son números enteros positivos, todos

menores que 2012. Se sabe que es múltiplo de 5, que es múltiplo de 4 y que es múltiplo de

3. Además, NO es múltiplo de 6, y ningún número primo divide simultáneamente a los cinco

números . Determinar la progresión.

19 de agosto

Primer Nivel123. El pirata Morgan tiene 14 monedas de plata, 15 de oro y 16 de bronce, y su amigo Bill tiene 16 monedas de plata, 15 de oro y 14 de bronce. Cada día ellos intercambian monedas de acuerdo con la siguiente regla: uno de los piratas le entrega al otro 2 monedas del mismo metal y recibe del otro 2 monedas, una de cada uno de los otros dos metales. Cierto día, Bill se queda sin monedas de oro. Hallar la cantidad de monedas de bronce que puede tener Bill en ese momento. Dar todas las posibilidades.

Segundo Nivel

223. Hay 12 personas que son, en realidad, 6 pares de mellizos. Con estas personas hay que formar 3 equipos de 4 integrantes cada uno, de modo que ningún equipo contenga a dos hermanos mellizos. Calcular de cuántas maneras se pueden formar los equipos con estas condiciones.

Tercer Nivel323. Un año es bisiesto si es divisible por 4 o por 400 en caso de que termine en dos o más ceros (1900 no es bisiesto y 2000, sí). Un año es apocalíptico si es bisiesto y su desarrollo en base 3 contiene el mismo conjunto de dígitos que su desarrollo en base 10 (en cualquier orden). Por ejemplo, 2012 es apocalíptico porque 2012 es múltiplo de 4 y . En cambio, 1012

no lo es, pues . Hallar todos los años apocalípticos entre 1 y 2012.

26 de agosto

Primer Nivel124. Se tiene un polígono regular P de n lados. Sean A, B, C, D y E cinco vértices consecutivos de P. Las rectas AB y DE se cortan en K, de modo que . Calcular la cantidad n de lados del polígono P.

Segundo Nivel224. Sea ABCD un trapecio de bases BC y AD tal que y . Denotamos O al punto de intersección de las diagonales AC y BD. La recta perpendicular a AC trazada por O corta a la prolongación del lado AB en E y a la base AD en F. Calcular el área del cuadrilátero AECF.

Tercer Nivel324. En el triángulo ABC, y el lado AB es menor que el lado AC. Sean M el punto medio de BC, K el pie de la altura trazada desde A y N el simétrico de A respecto de BC. La recta perpendicular

a MN que pasa por N corta a la recta BC en L. Si y , calcular .

segunda entrega sec 2013

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