sebastian quintero zapata 1214720558 parcial i

Primer examen parcial Control: Anlisis en Variables de estado

Control: Anlisis en variables de estado PRIMER EXAMEN PARCIAL

Sebastin Quintero Zapata

cc: 1214720558 Universidad Nacional de Colombia sede Medelln, Facultad de Minas

Departamento de Ingeniera Elctrica y Automtica

Programa de: Ingeniera de control

Medelln, Antioquia, Colombia

Marzo -2015

Resumen

El siguiente informe corresponde al primer examen parcial de la asignatura de control: anlisis en variables de

estado, en el que inicialmente se debe de comprender el concepto de linealizacin, despus de esto se debe de

hacer la verificacin entre el modelo del sistema lineal vs el sistema no lineal, despus de la corroboracin de la

linealizacin se debe de realizar un anlisis de controlabilidad y observabilidad, para determinar que a cuales

variables de estado es posible la aplicacin de las teoras de control, adems de esto se entender y examinar

el resultado obtenido de la matriz de ganancias relativas del sistema, en acto seguido se diseara un controlador

PID para las salidas correspondientes del sistema, despus se construir un desacoplador para el sistema con el

objetivo de disminuir el efecto de una variable sobre la otra y adems se realizar el diseo de un controlador

PID para el sistema en conjunto con el desacoplador.

Palabras clave: variables de estado, linealizacin, punto de equilibrio, punto de operacin, controlabilidad,

observabilidad, RGA, saturacin, desacoplador, PID.

1. Introduccin

El trabajo siguiente trata sobre el diseo de un

controlador para la salida de temperatura del fluido

frio y de igual manera para la salida de la

temperatura del fluido caliente , para un intercambiador de calor el cual se muestra en la

figura siguiente, este sistema es utilizado para

realizar transferencia de calor entre varios medios

y es uno de los procesos ms frecuentes y de esta

manera utilizados en ingeniera.

1.1. DEFINICIN DEL SISTEMA

A continuacin se muestra la figura que representa

el sistema propuesto para el examen parcial.

Figura 1. Intercambiador de calor

Las ecuaciones que representan el modelo del

sistema son las siguientes:

1

= 1 + (1 1)

1

= 1 2 + (2 2)


1

= 2 3 + (3 3)

1

= 3 4 + (4 4)

1

= 2 1 + (1 1)

1

= 3 2 + (2 2)

1

= 4 3 + (3 3)

1

= 4 + (4 4)

Las constantes del modelo son las siguientes:

( ) = 4181,3

( ) = 1000

3

( ) = 15000

2

( ) = 0,1571 2

( ) = 0,0118 3

( ) = 0,0039 3

( ) = 40

= 40

( ) = 0

= 0

En adicin a esto los volmenes de control para las

temperaturas calientes y fras se relacionan de la

siguiente manera:

= 1 = 2 = 3 = 4

= 1 = 2 = 3 = 4

2. linealizacin del sistema alrededor de los puntos de operacin.

Para realizar la linealizacin del sistema primero

se debe de comprobar que el punto de operacin

corresponde a un punto de equilibrio y de esta

manera saber si (0) = 0, donde 0 es el punto de operacin del sistema y si se cumple la

condicin mencionada anteriormente es porque a

su vez es un punto de equilibrio, de esta manera la

tasa de variacin del sistema en estos puntos es

cero.

Despus de realizar la linealizacion por

aproximacin de series de Taylor se obtienen lo

siguiente:

2.1 Verificacin de la linealizacin realizada alrededor de los puntos de

operacin.

A continuacin se muestran la comparacin de los

modelos linealizado y no lineal. La simulacin se

realiz en simulink con entradas de flujo caliente

=18

y = 9

y despus de diez segundo se

cambia la referencia del sistema en un 10 %.


Figura 2 modelo lineal vs no lineal (TH4)

Figura 3 modelo lineal vs no lineal (TC1)

3. Anlisis de controlabilidad y observabilidad

Para calcular la controlabilidad de los estados

primero se debe de hallar la matriz de

controlabilidad del sistema relacionada con los

estados del sistema y las entradas del mismo,

despus de esto se debe de analizar que las

columnas y las filas sean linealmente

independientes, adems de esto se desarroll la

prueba PBH del sistemas y se obtuvo que el rango

de la matriz de controlabilidad es igual al nmero

de variables del estado del sistema y el que el

vector obtenido despus de la prueba PBH todos

sus componentes son diferentes de cero.

= (1, 1) = 1

Donde L son los vectores propios de la matriz A1

= (1, 1) () = 8

De esta manera todos los estados del sistema se

pueden controlar.

Por otra parte para calcular la observabilidad del

sistema linealizado se debe de calcular la matriz de

observabilidad la cual est relacionada con la

matriz A1 y C1 y calcular si el rango de esta matriz

es equivalente a la cantidad de variables de estado

del sistema.

= (1, 1)

El resultado tras haber realizado la comparacin

entre el rango de la matriz de observabilidad y el

nmero de variables de estado fue equivalente.

Donde L son los vectores propios de la matriz A1

Adems de esto se realiz la prueba PBH definida

por la siguiente condicin:

= 1 Donde L son los vectores propios asociados a la

matriz A.

= (1, 1) () = 8

Se obtuvo que el vector PBH es diferente de cero

en cada una de sus componentes, de esta manera el

sistema todos los estados son observables.

4. Anlisis de ganancias relativas

(RGA)

Teniendo como base la linealizacin del modelo

realizado anteriormente se puede obtener la matriz

de ganancia del sistema definida por:

() = 1

Donde la matriz G se obtiene al realizar la funcin

de transferencia de las matrices de linealizacin del

sistema

= (1, 1, 1, 1) = () () = . ()

Se debe de evaluar la matriz RGA en la frecuencia

= 0; = 0 + 0 , para observar la influencia de las variables del sistema que se desean manipular


en relacin con las variables que se pueden

controlar en este caso se debe hallar la relacin de

entre la entrada de flujo frio , flujo Caliente y las salidas 4 1, despus de realizado la evaluacin de esta matriz en esta frecuencia se

obtiene lo siguiente:

Se debe de tener en cuenta que la suma de las

componentes:

(1,1) + (1,2) = 1 (1,1) + (2,1) = 1 (1,2) + (2,2) = 1 (2,2) + (2,1) = 1

Adems de esto se debe tambin evaluar la matriz

RGA en la frecuencia de corte del sistema, la cual

est definida por:

= 0,2 Porcentaje de sobrepico

= 7 Tiempo de establecimiento

= (ln())2

(ln())2 + 2

=4

Reemplazando los valores correspondientes se

tiene que la frecuencia de corte est dada por:

=4

=

4

7 0,4559= 1,2533

De esta manera (1,2533) es equivalente a la siguiente expresin matricial:

Esta matriz nos otorga informacin acerca de la

relacin de las variables de entrada con las salidas

del sistema cuando se encuentran dentro de un

proceso de control.

Segn las recomendaciones realizadas en clase, las

cuales se encuentran basadas en el anlisis de

ganancias relativas la salida 4 se debe de controlar con la entrada y 1 se debe de controlar con , en otras palabras el control de temperatura del flujo caliente se debe de controlar

con la entrada de flujo caliente, y la temperatura del

fluido frio se debe de controlar con la entrada de

fluido frio.

4.1 Reduccin de modelos

Despus del anlisis de ganancias relativas se

procede a hallar la funcin de transferencia de cada

lazo y despus de aproximar el modelo de orden

ocho a uno de orden 2 se tienen las siguientes

funciones de transferencia.

4

= 11

1

= 22

4.1.2 Verificacin de la reduccin de los

modelos

para la verificacin de los modelos reducidos se

us una entrada escaln unitario para las funciones

de transferencia resultantes definidas en el literal

anterior.


Figura 4 modelo de orden dos vs modelo orden

ocho

Figura 5 modelo de orden dos vs modelo orden

ocho

En las grficas anteriores se puede observar que la

reduccin de los modelos es adecuada por lo tanto

de ahora en adelante se empelaran los modelos de

segundo orden para las funciones de transferencia.

4.2 Diseo de controladores PID

Teniendo en cuenta que para controlar la

temperatura del fluido caliente (4) se debe de usar la entrada de flujo caliente () y haciendo uso del flujo frio () para efectuar el control sobre la temperatura de salida ( 1) se realiz el diseo de dos controladores PID para cada lazo de

control por medio de asignacin de polos basado en

la ecuacin diofantina [1].

En la que la funcin de transferencia del

controlador est definido por:

() =2

2 + 1 + 02 2 + 1

El polinomio caracterstico de la ecuacin

diofantina est dado por:

(2 + 2 + 2)(2 + 2 + 2)

El criterio de adicin del alfa se tom cinco veces

ms alejado que el polo ms lejano del sistema

de esta manera.

> 5 polo mas alejado

Para el primer sistema.

4

= 11



= (ln())2

(ln())2 + 2

=4

Para el segundo sistema se utilizaron los mismos

criterios de diseo.

1

= 22




= (ln())2

(ln())2 + 2

=4

4.2 .1 Simulacin del sistema no lineal

controlado por medio de PID.

4.2 .1.1 Simulacin con aumento de la

referencia en el mismo instante.

Figura 6. Lazo de control de temperatura fra sin

perturbaciones

Figura 7. Lazo de control de temperatura caliente

sin perturbaciones

Figura 8. Esfuerzo de control

4.2 .1.2 Simulacin con referencias en

sentidos opuestos en el mismo instante.

Figura 9. Lazo de control de temperatura fra sin

perturbaciones

Figura 10. Lazo de control de temperatura

caliente sin perturbaciones



4.2 .1.3 Simulacin con cambios en las

referencias en diferentes instantes de

tiempo.

Figura 12. Lazo de control de temperatura fra

sin perturbaciones




4.2 .2 Simulacin del sistema no lineal

controlado por medio de PID y adicin

de perturbaciones.

4.2 .2.1 Simulacin sin variacin en la

referencia.


con perturbaciones






referencia en los mismos instantes.


con perturbaciones





referencia en diferentes instantes de

tiempo.


con perturbaciones





5. Construccin del desacoplador para

el sistema.

Para el clculo del desacoplador se utilizara la

siguiente formula teniendo en cuenta que al haber

realizado el anlisis de ganancias relativas la

relacin entre los lazos es directa debido que para

controlar el fluido caliente (4) se debe de usar la entrada de flujo caliente () y haciendo uso del flujo frio () para efectuar el control sobre la temperatura de salida ( 1).

() =

[ 1

1211

2122

1]

Donde representa la funcin de transferencia de la salida respecto a la entrada .

Evaluando la matriz correspondiente a la funcin

de transferencia del sistema en la frecuencia

= 0 (0) = _

De esta manera se puede calcular la matriz que

define a nuestro desacoplador de la siguiente

manera.

(0) = 0

La comprobacin del clculo del desacoplador

viene dado por:

0 = (0) (0)

De esta manera el clculo del desacoplador del

sistema es adecuado.

5.1 Diseo de controladores PID para el

sistema desacoplado.

Para este nuevo sistema se debe de recalcular el

PID para el control de temperatura del fluido frio

(1). Se utiliz el mismo mtodo de asignacin de polos utilizando la ecuacin diofantina.

Los criterios utilizados fueron los mismos que para

el clculo de los controladores anteriores

> 5 polo mas alejado



= (ln())2

(ln())2 + 2


=4

5.2 Simulacin del sistema no lineal

con desacoplador controlado por medio

de PID.

5.2 .1. Simulacin con aumento de la



sin perturbaciones




5.2 .2. Simulacin con cambios en la



sin perturbaciones





5.2 .3. Simulacin con cambios en la

referencia diferentes instantes.


sin perturbaciones




5.3 Simulacin del sistema no lineal

controlado por medio de PID

desacoplado y adicin de

perturbaciones.

5.3.1 Simulacin sin variacin en la

referencia.


con perturbaciones





5.3.2 Simulacin con variacin en la

referencia en el mismo tiempo.


con perturbaciones




5.3.3 Simulacin con variacin en la

referencia en diferente tiempo.


con perturbaciones





Conclusiones

-Una de las partes ms importantes del proceso de

control en variables de estado es el de la

linealizacion del sistema, ya que de las matrices

obtenidas dependen anlisis tan importantes como

lo es la estabilidad del sistema que se desea

trabajar, por lo tanto se debe de tener mucha

precaucin al momento de realizar las

aproximaciones correspondientes.

-Los procesos reales en la mayora de los casos se

vern expuestos a perturbaciones que pueden

desviar los puntos de equilibrio del sistema, de esta

manera es necesario disear sistemas de control

que permitan mantener las variables del sistema

dentro de su rango de operacin, y de esta manera

garantizar su correcto funcionamiento.

-Un punto de operacin es todo aquel punto que al

ser evaluado en las ecuaciones que describen el

sistema se obtiene como resultado el valor de cero,

de esta manera no todo punto de operacin resulta

ser de equilibrio.

-La matriz RGA posee la suficiente informacin

para poder establecer la relacin entre las entradas

y salidas del sistema, de esta manera se convierte

es una de las primeras condiciones para poder

realizar el diseo de un controlador ptimo

teniendo en cuenta las especificaciones del

problema.

Referencias

[1] Graham Clifford Goodwin, Stefan F.

Graebe, Mario E. Salgado, Control system

design, Prentice Hall, 2001. Ed Valparaiso

pp. 214-220 ISBN 978-0-13-958653-8.

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